Intermitencja. Często wiry i przepływ laminarny się przeplatają wtedy mówimy o. intermitencji przestrzennej:

Transkrypt

1 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 1 Intermitencja Odrónia si intermitencj w dziedzinie czasu i intermitencj przestrzenn Znaczenie sownikowe terminu intermitency: to intermit: to stop for a time, suspend, cease temporarily, interrupt W hydrodynamice od dawna wiadomo, że przepływ turbulentny (wiry) często występują obok przepływu laminarnego. intermitencji przestrzennej: Często wiry i przepływ laminarny się przeplatają wtedy mówimy o Na zdjęciu na prawo: wiry za samolotem odrzutowym przykład intermitencji przestrzennej

2 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 2 Układy dynamiczne wykazują dwie grupy intermitencji w dziedzinie czasu: Intermitencje Pomeau-Manneville a można je nazwać regularnymi Intermitencje chaos-chaos zajmiemy się nimi nieco później. Przykad: W dowiadczeniu Rayleigha-Bénarda (konwekcja pomidzy dwoma poziomymi pytami) oprócz scenariusza podwajania okresu obserwuje si jeszcze inny sposób dojcia do chaosu: temperatura T+T temperatura T W miar zmiany parametru kontrolnego (w dowiadczeniu z konwekcj - rónica temperatur T pomidzy górn a doln pyt) dugo obszarów laminarnych skraca si a zanikaj one zupenie dla pewnej wartoci krytycznej.

3 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 3 Pomeau i Manneville sklasyfikowali tego typu zjawiska w 3 kategorie w zależności od bifurkacji w układzie: Typ I i III wystpuj w odwzorowaniach jednowymiarowych: s to bifurkacje siodo-wze (tangencjalna) i odwrotna bifurkacja podwajania okresu, odpowiednio. Typ II moliwy jest tylko w bardziej zoonych ukadach - jest on bowiem związany z bifurkacja Hopfa, która wymaga układu co najmniej dwuwymiarowego. Tak czy inaczej te trzy podstawowe ("generyczne") typy bifurkacji s odpowiedzialne za zjawisko intermitencji regularnych w dziedzinie czasu.

4 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 4 Stwierdzono, e intermitencja typu I wystpuje w odwzorowaniach unimodlanych na granicy okien periodycznych, za punktem akumulacji scenariusza podwajania okresu. Przykad: Wemy odwzorowanie logistyczne (x) zoone 3-krotnie tj. (((x))). Bifurkacje tego wanie odwzorowania s odpowiedzialne za wystpowanie okna periodycznego o okresie 3. Bifurkacja tangencjalna zachodzi dla r Wemy r = i x 0 = kr Przykład: Program logistic Parametry: rząd złożenia 3 parametr kontrolny najpierw r = warunek początkowy 0.5 (warto x 0 może być dowolna; wybrana wielkość ma tylko znaczenie dydaktyczne) Trajektoria przechodzi przez kanał intermitencyjny a potem błądzi chaotycznie dopóki nie wejdzie do następnego kanału. Układ znajduje się w stanie chaotycznym zwanym intermitencją I rodzaju. Parametry: rząd złożenia 3 parametr kontrolny najpierw r = warunek początkowy 0.15

5 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 5 Następnie: Zmień parametr kontrolny na r = 3.84 posługując się klawiszem Dodaj wykres po bifurkacji. Użyj Zmień rząd złożenia na 1. W ten sposób zmieniamy tylko rząd złożenia a nie parametr kontrolny! Obserwuj trajektorię o okresie 3. Trajektoria ta przechodzi przez wszystkie stabilne punkty stałe odwzorowania 3-krotnie złożonego. Podsumowanie przykładu: W trakcie intermitencji typu I trajektoria co pewien czas "grznie" w wskim kanale w pobliu jednego z punktów bifurkacji (tzw. kanał intermitencyjny). Nastpuje charakterystyczne spowolnienie, które jest objawem tzw. "ducha" punktu bifurkacji. W trakcie przejcia przez taki kana wystpi prawie staa amplituda iteracji - jest to obszar laminarny (faza laminarna) ruchu. Trafianie do wnętrza kanau odbywa si w sposób losowy: ani fakt wejcia do kanau ani lokalizacja tego wejścia w długości kanału nie zaley od wyboru warunku pocztkowego. Przekroczenie wartości krytycznej r kr powoduje bifurkację styczną i powstanie 3 stabilnych punktów (węzły) oraz 3 niestabilnych punktów stałych (punkty siodłowe). Te ostatnie nie manifestują się jawny sposób w trakcie ewolucji czasowej układu. Ale mają wpływ na dynamikę odpychając od siebie trajektorię (są to repelery). Przykład: Aby zobaczyć, że punkt styczności odwzorowania 3 (x) jest punktem siodłowym użyjemy programu Dynamice Solver, przykład Chaos/intermittence P3 window.ds. Przykład ten ma wstępnie ustawioną funkcję 3 (x).

6 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 6 Otwórz okno Parameters: ustaw parametr kontrolny a4 (odpowiednik parametru r w notacji wykładu) na wartość Następnie: ustaw warunek początkowy jako Uruchom program klawiszem GO na listwie narzędziowej Przyciskając spację lub inny klawisz obserwuj jak trajektoria zbiega do punktu styczności (położenie x 0.51) z lewej strony. Uwaga1: prawe okno to powiększenie tylko jednego kanału intermitencyjnego Uwaga2: dolne okno pokazuje przebieg iteracji w funkcji indeksu iteracji. Zwróć uwagę, że trajektoria przebiega 3 wartości po kolei (!) a nie 2 jak pozornie wynika z kształtu wykresu linia ciągłą. wciśnij STOP zmień kolor trajektorii we wszystkich oknach (paleta kolorów na listwie u góry; trzeba powtórzyć osobno w każdym oknie) ustaw warunek początkowy jako Przyciskając spację lub inny klawisz obserwuj jak trajektoria tym razem trajektoria rozpoczyna na prawo od punktu styczności i zostaje odepchnięta od tego punktu. Wniosek: punkt styczności jest punktem siodłowym w jednym kierunku przyciąga a w drugim odpycha. W odwzorowaniu jednowymiarowym nie ma innych możliwości. W dalszej części wykładu zobaczymy, że dla więcej wymiarowych układów możliwe są inne topologie punktu siodłowego. W tym wykładzie skupiłem się na intermitencji typu I w pobliżu okna o okresie 3 odwzorowania logistycznego. Intermitencji ta występuje na lewo od każdego okna periodycznego tego odwzorowania.

7 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 7 Przykad: Program logistic. Wemy odwzorowanie 5 (x). Bifurkacja zachodzi dla r = (wartość parametru wyznaczona na drodze numerycznej). Wybieram r = oraz x 0 = Jak widać dla tych parametrów ponownie trafiamy w kanał intermitencyjny. W tum przypadku w sumie jest ich 5 a nie trzy jak było dla 3 (x). Ogólnie: trajektoria chtnie powraca do kanaów gdzie przebywa stosunkowo du liczb iteracji (tj. dugi czas) a okresy chaotyczne mona traktowa jako stany nieustalone, które rozdzielaj kolejne obszary laminarne. Dugo obszarów laminarnych dla intermitencji typu I Liczba iteracji, które si odbywaj wewntrz kanau jest zmienna - z kadym przejciem przez kanaa inna. Punkt bifurkacji okrelaj dwa parametry: warto parametru kontrolnego r = r c oraz jego pooenie na osi x. Wyznaczy je mona z warunków: 3 d ( xc ) dx 3 ( xc ) r=r r=r c c = 1 = x c gdzie dla ustalenia uwagi przyjem za podręcznikiem Schuster trzeci iteracj odwzorowania logistycznego.

8 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 8 Rozwijamy 3 na szereg wokó x c i r c : 3 r(x) = 3 r[x c - (x-x c )] = x c + (x-x c ) + a c (x-x c ) 2 + b c (r-r c ) gdzie: d r d r ac oraz bc 2 xc,r c xc, dx dr r c Wprowadza si zmian wspórzdnych: y (x-x c )/b c oraz oznaczenie: a a c /b c > 0 Wtedy odwzorowanie: x n+1 = 3 r(x n ) przeksztaca si w: y n+1 = y n + ay 2 n + ε przy czym ε = r - r c

9 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 9 Krańce kanału intermitencyjnego: Arbitralnie ustalona warto progowa c okrela szeroko obszaru laminarnego wokó x = x c przy pomocy warunku: y n < c << 1 Warunek ten oznacza, e kolejne iteracje bd si zmieniay tylko nieznacznie moemy zastpi równanie rónicowe równaniem róniczkowym: dy = a y 2 + dl gdzie indeks l numeruje iteracje wewntrz obszaru laminarnego (tj. wewntrz kanau). Scakowanie tego równia róniczkowego pozwala okreli liczb iteracji gdy punkt wejcia do kanau jest y wej trajektoria opuszcza kana w y wyj : l( y wyj, y wej )= 1 a arctg ywyj ywej - arctg /a /a Powrót do kanau odbywa si w sposób losowy a wic z pewnym prawdopodobiestwem P(y wej ), które jest symetryczne wzgldem punktu krytycznego: P(y wej ) = P(-y wej ).

10 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 10 Tak wic rednia liczba iteracji w kanale (redni czas przejcia przez kana) c 1 c l >= P( y )l(c,y ) dy = arctg wej wej a /a < wej -c Dla c / /a 1 rednia liczba iteracji w kanale <l> zmienia si jak < l > 1 Zalenoc <l> = <l>(ε) zostaa sprawdzona numerycznie dla odwzorowania logistycznego: oraz dowiadczalnie m.in. w nieliniowym obwodzie RLC i w różnego rodzaju laserach.

11 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 11 Podobnie jak dla intermitencji I rodzaju również dla pozostałych dwóch typów znane są modele uproszczone opisujące tylko zachowanie wewnątrz fazy laminarnej. Fazy chaotyczne symuluje się wtedy losując punkt ponownego wstrzyknięcia do następnej fazy laminarnej za pomocą generatora liczb losowych P(l) w tabeli obok oznacza rozkad prawdopodobiestwa dugoci obszarów laminarnych.

12 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 12 Przykład: Intermitencji I-szego rodzaju obserwowano w 4 poziomowym laserze w zakresie optycznym (M.Arjona i in., Phys. Rev.A50, 871, 1994).

13 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 13 Średnia długość fazy laminarnej dla 4-poziomeowego lasera.

14 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 14 Przykad: Intermitencja typu III: Obserwowana w 1983 roku po raz pierwszy w konwekcji Rayleigha-Bénarda w maym prostoktnym naczyniu. Mierzc modulacj wiata przechodcego przez naczynie Dubois i in. wnioskowali o lokalnym gradiencie temperatury. Rysunek dolny lewy: odwzorowanie I n+2 = f(i n ) zbudowane z maksimów przebiegu gradientu temperatury w czasie: dolna gałąź wykresu - parzyste maksima natenia wiata - mod podharmoniczny górna gałąź wykresu - nieparzyste maksima natenia wiata - (mod podstawowy) Na prawy dolnym rysunku: średnia długość fazy laminarnej w funkcji temperatury spodu naczynia.

15 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 15 Przykład : Intermitencji typu III w nieliniowym układzie elektronicznym (Hugo i in. Phys.Rev.E66, , 2002).

16 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 16 Przykład: Intermitencja typ II występuje w układach 2- i więcej wymiarowych ze względu na własności bifurkacji Hopfa jaka jest z nią związana. Ta bifurkacja zostanie omówiona później. Prowadzi ona od punktu stałego do tzw. cyklu granicznego (drgania). Doświadczalnie intermitencję typu II obserwuje się rzadko. Huang i Kim zaobserwowali ją po raz pierwszy: w nieliniowym oscylatorze (Phys.Rev.A36, 1495, 1987):

17 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 17 Szum typu 1/f W przyrodzie czsto spotyka si ukady, w których wystpuje szum o nateniu narastajcym w kierunku czstoci niskich zgodnie z funkcj 1/f δ z δ1.

18 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 18

19 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 5 19 Dotychczas nie wykazano przekonywajco jaki jest waciwy mechanizm tego powszechnego zjawiska (moe by ich kilka, oczywicie). Przykłady występowania szumu typu 1/f opisano w {hyperlink: Dwoma dobrymi kandydatami s: - samo-organizujca si krytykalno (krytyczno) [przyjrzyj si klepsydrze] {hyperlink: Jednakże w oryginalnym artykule Per Bak z 1987 r autorzy popełnili elementarny błąd: zapomnieli wyznaczyć kwadrat modułu widma Fouriera ich model opisuje szum 1/f 2 a taki szum można modelować za pomocą innego paradygmatu: błądzenia przypadkowego - intermitencja (Schuster podaje wywód, który dotyczy tylko intermitencji typu II i III) Jeli przyjrze si dowiadczeniu numerycznemu wykonania intermitencji rzeczywicie skala czasowa zjawiska zmienia si bardzo silnie w trakcie iteracji: raz przejcie przez kana jest bardzo krótkie a innym razem trajektoria grznie w kanale na wiele iteracji. S to jednak efekty bardzo czue na szczegóy ksztatu funkcji odwzorowania wokó punktu bifurkacji. Np. Schuster uwaa, e czuo intermitencji na zaburzenia zewntrzne (czytaj zmiana parametrów rozwinicia wokó punktu bifurkacji) nie pozwala wyjani t drog silnego szumu w opornikach. Powouje si na prace dotyczce reakcji chemicznych i konwekcji Bénarda gdzie wyjanienie szumu 1/f poprzez intermitencj jest prawdopodobne.