Liniowe i nieliniowe oscylatory

Transkrypt

1 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 1 Liniowe i nieliniowe oscylatory (porównanie jako ciowe bez odwo ywania si do równa ró niczkowych) Proste liniowe oscylacje: opisane przez wyra enie Asin(ωt+φ) Trzy parametry: A, ω i φ: tylko warto ω jest w asno ci oscylatora amplituda A i faza φ s funkcjami warunku pocz tkowego Bez tarcia i bez zewn trznego wymuszenia nie ma stanów nieustalonych o ile warunek pocz tkowy nie wprowadzi oscylatora w oscylacje nieliniowe Dwa sprz one oscylatory liniowe "Oddzia uj " ze sob tylko wtedy gdy ich cz sto ci s ci le równe (ω 1 = ω 2 ). Nawet jednak wtedy zachodz zjawiska niezgodne opisem liniowym: na przyk ad: przekazywanie energii z jednego wahad a do drugiegio w trakcie rezonansu jest mo liwe tylko gdy s w uk adzie (ma e) nieliniowo ci (nie do unikni cia w rzeczywisto ci). W rezonansie wed ug liniowej teorii amplituda narasta nieograniczenie; w rzeczywisto ci jest ona ograniczona przez t umienie oraz inne wyst puj ce w uk adzie nieliniowo ci

2 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 2 T umienie (dysypacja energii) da si cz sto uwzgl dni w równaniu ruchu liniowym cz onem w postaci np. - x ród em dysypacji jest jednak oddzia ywanie (nieliniowo ) wielu bardzo stopni swobody W obecno ci dyssypacji: o amplituda rezonansu jest ograniczona o oddzia ywania pomi dzy oscylatorami wyst puje w pobli u rezonansu a nie tylko dla ω 1 =ω 2 Oscylatory nieliniowe: jest wiele rodzajów dla nas najważniejszy i najczęstszy: oscylator z cyklem granicznym {hyperlink: Przykład Na rysunku obok: cykl graniczny dla oscylatora van der Pola {hyperlink: o równaniu Lub równoważnie: dx dt dy dt y ( x 2 1) y x

3 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 3 W odró nieniu od liniowego oscylatora: w oscylatorze z cyklem granicznym amplituda A, faza φ oraz cz sto ω s w asno ci stanu oscylatora: po pewnym stanie nieustalonym (czasami trwa bardzo d ugo) uk ad osi ga cykl graniczny niezale nie od warunków pocz tkowych (w granicach basenów atrakcji) Sprz one oscylatory nieliniowe Zazwyczaj oscylatory staraj si " piewa wspólnie" tj. jedn cz sto ci przy czym - cz sto "silniejszego" bierze gór lub - znajduj wspóln cz sto - zazwyczaj ustalony stosunek ich cz sto ci w asnych 1 zjawisko sprze enia cz sto ci (drgania synfazowe) i jest to rodzaj synchronizacji. Oscylatory liniowe tego nie potrafi : nie s w stanie zmienia swej cz sto ci. Nawet sprz one, nielinowe oscylatory nie zawsze radz sobie ze znalezieniem wspólnej cz sto ci st d - kwaziperiodyczno (ruch z kilkoma niewspó miernymi cz sto ciami) lub - ruch chaotyczny (trajektoria uk adu w przestrzeni fazowej jest otwarta ale ograniczona przestrzennie)

4 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 4 Nast puj ce w asno ci oscylatorów nieliniowych: z jednej strony: - utrzymuj swoj "indywidualno " (niezale no od warunków pocz tkowych - w granicach basenów atrakcji) z drugiej strony: - atwo powstawania drga synfazowych (sprz onych) z zewn trznymi rytmami czyni z nich dobrych kandydatów do modelowania zjawisk biologicznych: Wiele rytmów bowiem jest, po pierwsze, cech w asn danego gatunku niezale ną od warunków pocz tkowych oraz względnie ma ych zmian otoczenia, a jednocze nie, musz by w zgodzie z rytmami przyrody (dzie /noc, pory roku itp.) do zastosowań technicznych o w telekomunikacji o w technikach pomiarowych ( lock-in amplifier )

5 t) Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 5 Odwzorowania okr gu Przykład: Oscylator Duffinga rodzaj nieliniowego oscylatora kiedy napędzany jest siła harmoniczną a ( 2 1) Bcos( t) ma bardzo skomplikowany przebieg: Możemy to potraktować jako układ dwóch oddziałujących oscylatorów: o oscylatora Duffinga oraz o drugiego oscylatora źródła siły Bcos(t) t

6 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 6 Postać przekroju stroboskopowego (punkty na takim przekroju zaznaczane są co okres siły wymuszającej) tego przebiegu ma postać następującą n n i prowadzi do wniosku, e do opisu potrzebna jest dwuwymiarowe odwzorowanie: gdzie ω n jest (chwilową) prędkością kątową. n+1 n+1 = G = G 1 2 ( n, n ) ( n, n )

7 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 7 Je li - po zaniku stanu nieustalonego - = ( n ) tylko wtedy powy sze odwzorowanie dwuwymiarowe redukuje si do: F( n+1= n co mo na traktowa jako odwzorowanie okr gu w siebie tj. odwzorowanie okr gu. ) n Dla pewnego zakresu amplitud i cz sto ci odwzorowanie okr gu mo e by również rozs dnym przybli eniem wahad a z wymuszeniem i t umieniem (patrz podr cznik Schustera str. 177). Najcz ciej badane odwzorowanie okr gu - odwzorowanie standardowe - K n+1= n + - sin( 2 n 2 ) mod1 W odró nieniu od odwzorowań unimodalnych (x) mamy teraz dwa parametry: - Ω jest cz sto ci ko ow ("liczba obrotów" - winding number) - K okre la stopie nieliniowo ci odwzorowania gdy nie ma nieliniowo ci tj K = 0

8 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 8 Najpierw zbadamy liniowe wersję tego odwzorowania: n+1 = n + Przyk ad: program circle.exe K= 0 Niech Ω = 0.4 a warunek pocz tkowy θ 0 = otrzymujemy ruch periodyczny. Liczba obrotów wynosi 2/5 = 0.4 = Ω Gdy Ω jest wymierne tj. Ω = p/q to o p odpowiada liczbie punktów trajektorii na dolnej ga e i odwzorowania o q ca kowitej liczbie punktów trajektorii. Przyk ad: program circle.exe K = 0 Dla niewymiernych Ω dostaje si trajektori kwaziperiodyczn : we my np. Ω =

9 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 9 Drgania synfazowe (sprz enie fazowe - mode locking) pojawia si wraz nieliniowo ci gdy K 0. Przyk ad: program circle.exe. Trajektoria o okresie 5 dla Ω = i K = 0.95 Liczba obrotów (winding number) W jest miar redniej zmiany fazy na jedn iteracj. Dla K = 0 W = Ω Dla K 0 W = lim n n - 0 n Cz on nieliniowy zmienia kszta t odwzorowania. Pozostaje ono odwracalne a do K = 1.

10 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 10 Wewn trz j zorów Arnolda ruch jest synfazowy (mode locked) ze sta wymiern warto ci W. (obok pokazano tylko niektóre j zory). W miar wzrostu K obszary o ustalonym wymiernym W powi kszaj si : j zory Arnolda s coraz szersze. Gdy ustali K = const to, gdy Ω ro nie, odwzorowanie ma trajektorie zarówno periodyczne jak i kwaziperiodyczne. Obszarów sprz e synfazowych jest niesko czenie wiele. Równie niesko czenie wiele jest liczb niewymiernych w odcinku [0,1]. Odpowiadaj one trajektoriom kwaziperiodycznym. Dla K = 1 suma obszarów o wymiernym W na ca ym odcinku 0<Ω<1 jest równa 1 ( ci le): prawdopodobie stwo otrzymania trajektorii kwaziperiodycznej jest ma e. Zbiór jaki pozostaje po usni ciu okien periodycznych tworzy fraktal o wymiarze (Hausdorfa) 0.87.

11 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 11 Diabelskie schody: Przykład: program Dynamics Solver, Examples\Chaos\circle.ds Odwzorowanie okręgu w postaci standardowej: wykres bifurkacyjny dla K = 1 w funkcji parametru, schody diabelskie, wykładnik Lapunowa. Wykładnik Lapunowa jest wszędzie nie dodatni.

12 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 12 Schody diabelskie s przyk adem krzywej samopodobnej (fraktal):

13 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 13 Dla K > 1 odwzorowanie standardowe staje się nieodwracalne możliwe stają się stany chaotyczne. - Obszary drga synfazowych zachodz na siebie: mo liwych jest kilka ró nych drga periodycznych dla danej pary warto ci (K,Ω) - zale nie od przyj tych warunków pocz tkowych Rysunek obok pochodzi ze strony Wikipedia Commons. - Wykres W=W(Ω) przestaje by monotoniczny. 4 Przykład: program Dynamics Solver, Examples\Chaos\circle.ds Odwzorowanie okręgu w postaci standardowej: wykres bifurkacyjny w funkcji parametru, schody diabelskie, wykładnik Lapunowa. Przyjąć K = 1.5 oraz 2.5 i zaobserwować zmiany w wykresach. Dla K > 1 otrzymuje się zakresy, dla których wykładnik Lapunowa jest dodatni ruch staje chaotyczny K 1

14 Dynamika układów nieliniowych 2009 Wykład 6 14 Drogi do chaosu dla odwzorowania okr gu: Bezpo rednie przej cie od kwaziperiodyczno ci do chaosu jest mo liwe tylko przy jednoczesnym (bardzo precyzyjnym) manipulowaniu obydwoma parametrami (K,Ω). Szum w uk adach rzeczywistych powoduje, e sprz ganie si z drganiami o podharmonicznych wysokiego rz du nie wyst puje. Wtedy j zory Arnolda nie wype niaj ca ego odcinka 0 < Ω < 1 dla K = 1. Prawdopodobnie to t umaczy do wiadczalnie obserwowane przej cie od kwaziperiodyczno ci do chaosu, którego obserwacja, z punkty widzenia matematyki układu deterministycznego, jest mało prawdopodobna.