Czym zajmuje się teroia gier

Transkrypt

1 Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych strategii jak zachować się optymalnie czy da się przewidzieć rozwiązanie Rodzaje gier: kooperacyjne vs niekooperacyjne jednorazowe vs powtarzalne o sumie zerowej vs o sumie niezerowej dwuosobowe vs wieloosobowe z doskonałą informacją vs z niedoskonałą informacją itd

2 Zastosowanie teoria gier w ekonomii Wcograją uczestnicy rynków? bargaining game one dolar game aukcje dylemat więźnia Ocograją między sobą? o klienta o polityków (regulacje) o pozycje na rynku owejście na nowy rynek obią pozostali gracze (unikajmy słowa: przeciwnicy)

3 Minimalne wymagania Teoria gier powstała w 1944 wraz z publikacją książki J. von Neumanna i O. Morgensterna Teoria gier i zachowań strategicznych Istotą każdej gry jest wzajemna współzależność graczy Minimalne wymagania w każdej grze jest co najmniej 2 graczy wynik gry zależy od decyzji każdego gracza wypłata każdego z nich zależy od decyzji wszystkich graczy Jeśli gra zawiera kilka równowag Nasha, to racjonalni gracze powinni osiągnąć tylko jedną znich Gry w postaci ekstensywnej (dynamiczne lub statyczne) zawierają podgry Podgra jest częścią większej gry i nie zawiera niepełnych zbiorów informacji

4 Gry sekwencyjne Często mamy do czynienia z grami, w których gracze wykonują ruchy sekwencyjnie (np. naprzemiennie): wejście nowej firmy na rynek odpowiedź na wprowadzenie nowych regulacji odpowiedź na kampanie marketingowe przeciwników Gry w postaci normalnej nie są najlepszą reprezentacją takich (dynamicznych) gier, gdyż zakładają one, że gracze wykonują ruch jednocześnie, tzn. nie obserwują ruchów wykonanych przez innych graczy Gry dynamiczne reprezentuje się w postaci ekstensywnej. Aby opisać kolejność ruchów w takiej grze często stosuje się drzewka. Drzewko gry składa się z węzłów i łuków (gałęzi). Do węzłów decyzyjnych przypisany jest gracz podejmujący w tym miejscu decyzję, a do węzłów końcowych przypisane są wypłaty graczy.

5 Gry sekwencyjne Dla gier sekwencyjnych wygodnie przedstawić je w postaci ekstensywnej (extensive form) w odróżnieniu od postaci uproszczonej, normalnej (normal form) A L B G P L D B P Węzły decyzje graczy Gałęzie możliwe strategie (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Wypłaty

6 Gry z niepełną informacją Każdą grę w postaci normalnej można przedstawić jako grę w postaci ekstensywnej Gracz B Zbiór informacji A D G B B P L L P Gracz A (2,1) (0,0) (1,8) (3,9) Lewo Prawo Góra 3,9 1,8 Dół 0,0 2,1 Gra z pełną / niepełną informacją

7 Zbiór informacji W danym zbiorze informacji: Wierzchołki połączone przerywaną linią lub obwiedzione wspólną elipsą Gracz nie zna wcześniejszego ruchu przeciwnika (nie wie dokładnie w którym węźle się znajduje) Jeśli w danym zbiorze informacji tylko jeden węzeł singleton Każdy węzeł w danym zbiorze informacji musi mieć tę samą liczbę możliwych akcji do wyboru (w przeciwnym razie można byłoby je odróżnić) Gra z pełną informacją każdy zbiór informacji zawiera dokładnie jeden węzeł (singleton)

8 Ile podgier ma ta gra?

9 Dynamiczny versus statyczny dylemat więźniów Gracze decydują reklamować się (R) czy nie (N) Gracz 1 R N Gracz 2 Gracz 2 R N R N (4,4) (6, 3) (3, 6) (5, 5) gracz I RR gracz II 2 RRR NN 404, 4, 40 6, 360, 30 N 303, 6, 60 50,5, 5 50

10 Indukcja wsteczna Jak rozwiązać grę dynamiczną? Pierwszy sposób polega na znalezieniu postaci normalnej gry i zastosowaniu znanych nam narzędzi. Zakładamy wtedy, że gracze wybierają strategię, czyli kompletny plan gry jednocześnie na początku gry. Tracimy jednak czas i pewne cenne informacje. Łatwiej i lepiej rozwiązać taką grę przez indukcję wsteczną (cofając się od ostatnich etapów do początku). Znalezione rozwiązanie będzie równowagą Nasha nie tylko w całej grze, ale też we wszystkich mniejszych podgrach, dlatego to rozwiązanie nazywa się często równowagą Nasha doskonałą w podgrach. Zauważmy, że równowagą w dynamicznym dylemacie więźniów jest (R, RR), czyli wynik jest ten sam co w grze statycznej. Z reguły jest inaczej.

11 Metoda indukcji wstecznej Twierdzenie Zermelo każda skończona gra (w postaci ekstensywnej) z pełną informacją ma równowagę Nasha w zakresie strategii czystych, którą można odnaleźć za pomocą indukcji wstecznej Jeśli żaden z graczy nie ma tej samej wypłaty w dwóch końcowych węzłach, to jest to jedyna równowaga Nasha Przykład gra w szachy zgodnie z twierdzeniem Zermelo, jeden z graczy ma strategie wygrywającą jak dotąd nie udało się stwierdzić czy strategie wygrywającą mają białe czy czarne oraz czy w równowadze osiąga się remis czy zwycięstwo

12 Gry sekwencyjne Gry sekwencyjne z pełną informacją można rozwiązać metodą indukcji wstecznej gr.a D G gr.b P L P (2,1) (0,0) (1,8) Choć zarówno (D,PL), (D,PP) jak i (G,LL), (G,LP) są równowagami Nasha gry to rozwiązaniem (równowagą doskonałą) będzie (G,LP) gr.b L (3,9) Leader ma oczywistą przewagę

13 Równowaga doskonała Nie wszystkie równowagi Nasha gier sekwencyjnych z pełną informacją mogą być oczekiwanym rozwiązaniem gry, jeśli zachodzi sekwencyjna racjonalność Racjonalna strategia powinna być optymalna w każdej z podgier Podgra część większej gry, która: Zaczyna się od zbioru informacji zawierającej pojedynczy węzeł i zawiera wszystkie węzły do których można dojść wychodząc z początkowego węzła; zawiera tylko takie węzły Nie zawiera niepełnych zbiorów informacji

14 Gra w odstraszanie wejścia na rynek Wersja 1: Firma nowa W N Firma stara Firma stara K N K N Wersja 2: (-1,-1) (2, 2) (0, 9) (0, 9) Firma nowa W KR Firma stara2 N -1, -1 2, 260, 30 N 3010, 9, 60 50,0, 9 50 N

15 Doskonała równowaga Znalezione rozwiązanie metodą indukcji wstecz będzie równowagą Nasha (NE) nie tylko w całej grze, ale też we wszystkich mniejszych podgrach, dlatego to rozwiązanie nazywa się doskonała równowagą Nasha w podgrach (SPNE), czyli gracze muszą na każdym etapie gry postępować racjonalnie Gra w odstraszanie wejścia na rynek: Wersja dynamiczna ma 3 podgry Firma nowa ma 2 strategie (W i N), a firma stara 4 strategie: KK, NN, KN, NK w grze dynamicznej i 2 strategie (K i N) w grze statycznej 2 równowagi Nasha w grze statycznej: (W, N) i (N, K) oraz 4 równowagi Nasha w grze dynamicznej: (W, NK), (W, NN), i (N, KK), (N, KN) (N, K) lub (N, KK) i (N, KN) są oparte na niewiarygodnej groźbie Firmy starej, która powinna być zignorowana przez Firmę nową. Tylko (W, N) lub (W, NN) jest równowagą doskonałą

16 Uwiarygodnianie gróźb Groźba musi być wiarygodna aby była skuteczna Groźby bez pokrycia jej spełnienie jest (ex post) wbrew interesom grożącego Groźba musi być wiarygodna aby była skuteczna inwestycje w mocy produkcyjne (obniża tokosztykrańcowe w razie wojny cenowej, choć inwestycja jest kosztem utopionym) kampania reklamowa reputacja

17 Gry koordynacyjne wojna płci Gry koordynacyjne gry jednoczesne, w których wypłaty są maksymalne, jeśli gracze współpracują (koordynują swoje posunięcia) Słynne przykłady: Wojna płci (Battle of the Sexes) Tchórz (Chicken) Jastrząb Gołąb (Hawk Dove)

18 Gry koordynacyjne wojna płci Wojna płci Kobieta woli oglądać jazdę figurową na łyżwach niż zapasy w błocie Mężczyzna woli oglądać zapasy w błocie niż jazdę figurową na łyżwach Każde woli oglądać coś razem, niż spędzać czas osobno Mężczyzna Łyżwy Zapasy Kobieta Łyżwy 8,4 1,1 Zapasy 0,0 4,8 NE {Łyżwy, Łyżwy}, {Zapasy, Zapasy}. MNE {(2/3,1/3); (1/3,2/3)}

19 Gry koordynacyjne tchórz 2 nastolatków ściga się samochodami jadą naprzeciwko siebie wąską ścieżką Ten który pierwszy skręci przegrywa NE {Wytrzymać, Wymięknąć}, {Wymięknąć, Wytrzymać}. MNE {1/50,49/50;1/50,49/50} Kluczowe zobowiązanie (commitment), sygnalizowanie Np. dylemat więźnia i rodziny mafijne Niebieski Więzy rodzinne Wiążące kontrakty Opieka nad rodziną Wytrzymać Czerwony Wymięknąć Wytrzymać 100, , 10 Wymięknąć 10,100 5, 5

20 Gry na współistnienie Jastrząb Gołąb (Hawk Dove) Np. dwóch podchmielonych typów wpada na siebie na ulicy Jastrząb być agresywnym Gołąb spasować Lepiej być agresywnym i przepędzić rywala, ale z tym wiąże się ryzyko obrażeń, jeśli on również zagra jastrzębia Zenek Jastrząb Gołąb Mietek Jastrząb 5, 5 8,0 Gołąb 0,8 4,4 NE {Jastrząb, Gołąb}, {Gołąb, Jastrzęb} MNE{(4/9,5/9);(4/9,5/9)}

21 Aukcje Stosunkowo wydajna i często stosowana metoda sprzedaży (zbierania ofert) Zachęca do konkurencji Niskie koszty transakcyjne Szczególnie efektywne dla dóbr unikalnych i rynków o dużych fluktuacjach Giełdy towarowe, akcje Dobra unikalne: antyki, dzieła sztuki, konie Bony skarbowe Pozwolenia na emisje zanieczyszczeń

22 Aukcje Aukcja tradycyjna (angielska, ustna) Sprzedawca aktywnie proponuje coraz wyższe stawki Kupujący mogą składać oferty Kupujący w każdej chwili znają najwyższą ofertę Koniec jeśli nikt nie chce dać więcej Jaka jest najlepsza strategia kupującego? strategia dominująca to sukcesywne podbijanie ceny aż do osiągnięcia wartości dobra, później wycofanie się z licytacji Aukcja holenderska Sprzedawca zaczyna od wysokiej kwoty Obniża cenę, dopóki nie znajdzie się kupujący Jaka jest najlepsza strategia kupującego? brak strategii dominującej

23 Aukcje Aukcja niejawna (first price sealed bid) Kupujący składają oferty w kopertach Po otwarciu ofert wygrywa najwyższa Wygrywający musi zapłacić tyle ile wylicytował najlepszą strategią jest oferować nieco mniej niż wartość dobra Aukcja niejawna drugiej ceny (Vickreya) Dobro jest przydzielane agentowi oferującemu najwyższą cenę ale płaci za nie drugą najwyższą oferowaną cenę oferowanie prawdziwej wartości prywatnej jest strategią dominującą Wybór formatu aukcji Wybór sposobu licytacji