Lista zadań. Równowaga w strategiach czystych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Lista zadań. Równowaga w strategiach czystych"

Transkrypt

1 Lista zadań Równowaga w strategiach czystych 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Podaj definicję Pareto optymalności i znajdź pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b) U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Dylemat bezpieczeństwa. Gra opisuje sytuację pomiędzy US a ZSRR po II Wojnie Światowej. Każdy z graczy ma dwie strategie: P - produkować broń nuklearną, N - nie produkować broni nuklearnej. Podaj równowagi Nasha. Jak myślisz, która równowaga jest bardziej prawdopodobna w grze i jak było w rzeczywistości? N P P 3,1 2,2 N 4,4 1,3 3. Rozwiąż poniższą grę. Uzasadnij dlaczego równowaga nosi nazwę niebezpiecznej? Jak w rzeczywistości gracze się zachowają? Uzasadnij odpowiedź. U 2,1 2,-20 C 3,0-10,1 D -100,2 3,3 4. Znajdź grę, która ma przynajmniej jeden punkt równowagi, ale algorytm eliminacji strategii zdominowanych daje grę bez punktu równowagi. 5. Udowodnij twierdzenie 1 z wykładu. 6. Udowodnij twierdzenie 2 z wykładu. 7. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia im 1000 zł w spadku. Testament jest następujący: każdy z synów musi podać sumę s i jaką chciałby otrzymać. Jeśli s 1 + s , to każdy otrzymuje to o co prosił, a reszta przechodzi na cele charytatywne. Jeśli s 1 + s 2 > 1000, to żaden z synów nic nie otrzymuje i cała kwota przekazana jest na cele charytatywne. Załóżmy, że każdy z synów troszczy się tylko o swoją cześć spadku i kwota jaką może podać musi być w wyrażona w pełnych zł. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha w tej grze. 8. Rozważmy następujący problem aukcji. Dwóch graczy chce nabyć wartościowy przedmiot. Każdy gracz składa swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Kwoty jakie gracze mogą podać to: 100, 200, 300, 400 i 500 zł. Przedmiot jest warty 400 zł dla gracza 1 i 300 zł dla gracza 2. Gracz, który składa najwyższą ofertę dostaje ten przedmiot. Zwycięzca płaci cenę p. Zatem, jeśli wartość przedmiotu dla zwycięzcy wynosi x, to jego wypłata jest x-p. Dla 1

2 drugiego gracza wypłata wynosi 0. Jeśli obaj podają cenę p, to zwycięzca jest losowany (z prawdopodobieństwem 1/2). Przypadek (I): First Price uction: Cena p jest równa ofercie jaką złożył zwycięzca. Przypadek (II): Second Price uction: Cena p jest równa ofercie jaką złożył drugi gracz. Podaj macierz wypłat dla obu graczy. Zastosuj algorytm eliminacji strategii zdominowanych. Znajdź równowagę stosując algorytm eliminacji strategii zdominowanych. 9. Second Price uction. Sprzedawca posiada wartościowy obraz i chce go sprzedać na aukcji. Do aukcji przystępuje n potencjalnych nabywców. Każdy nabywca k posiada swoją własną ocenę v k > 0. Potencjalni nabywcy składają swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Niech nabywca k składa ofertę b k (0, ). Ten kto podał najwyższą ofertę kupuje przedmiot za drugą co do wielkości ofertę. Jeśli jest więcej nabywców niż jeden z najwyższą ofertą, to kupiec jest losowany według równomiernego rozkładu i płaci za przedmiot najwyższą cenę. Reszta otrzymuje wypłatę zero. Pokaż, że profil strategii (v 1, v 2,..., v n ) jest równowagą Nasha w tej grze n-osobowej. 10. Z miasta do B można dojechać albo przez miasto C bądź przez miasto D. Czas przejazdu (podany w minutach) zależy od ilości x samochodów jadących daną drogą. Przyjmijmy, że liczba samochodów jadących z miasta do B wynosi x C *x B *x 1+x D Podaj postać strategiczną gry, w której każdy kierowca jedzie wybraną przez siebie drogą. (b) Podaj wszystkie równowagi Nasha w tej grze. Jaki jest wówczas czas przejazdu z do B? (c) Starostwo postanowiło wybudować dodatkową drogę (jednokierunkową) łączącą miasta C oraz D. Znajdź równowagi Nasha w tej grze. Czy budowa nowej drogi polepsza czas przejazdu z do B? 2

3 1+x C *x *x B *x 1+x D (d) Spróbuj wytłumaczyć ten paradoks. Równowaga w strategiach zrandomizowanych 11. Podaj wszystkie równowagi Nasha w podanych grach. Narysuj graf najlepszych odpowiedzi dla pierwszej gry. U 6,0 5,3 D 6,1 0,0 (b) L M R U 5,0-1,1 2,0 D 5,3-2,3 2,3 12. Podaj wszystkie równowagi Nasha w grze: B C D E 1-4,5 3,-3 2,-5-1,4 1,1 2 3,-3-6,7 6,4 0,0 3,-2 (b) B C 1 0,2 3,1 2,0 2 1,0 2,1 0,2 Gry o sumie zerowej 13. Znajdź wartość gry oraz optymalne strategie w następującej grze macierzowej (gracz 1- max, gracz 2-min): -4 4 B 1-3 C 2-7 D

4 14. Rozważmy grę Skała-Nożyczki-Papier, w której 2 dzieci jednocześnie pokazuje za pomocą dłoni element tej gry. Skała (S) bije Nożyczki (N), Nożyczki biją Papier (P), and Papier bije Skałę. Jeśli dzieci grają ten sam element (obydwoje S, obydwoje N lub obydwoje P) to jest remis. Skonstruuj macierz wypłat dla tej gry, jeśli +1 to wygrana, -1 przegrana i 0 to remis. Rozwiąż tą grę. 15. Rozważ następującą grę: B C D 1 0,0 2,-2-3,3 0,0 2-2,2 0,0 0,0 3,-3 3 3,-3 0,0 0,0-4,4 4 0,0-3,3 4,-4 0,0 Sprawdź, że para strategii ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 3/5, 2/5, 0)) jest optymalna. (b) Sprawdź, że para strategii ((0, 3/5, 2/5, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) jest także optymalna. (c) Pokaż, że para strategii ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) musi być także optymalna. Podobnie dla pary ((0, 3/5, 2/5, 0), (0, 3/5, 2/5, 0)). (d) Jakie są wypłaty graczy w punkcie (c)? (e) Czy gra jest fair? Uwaga: Grę o sumie zerowej nazywamy fair jeśli wypłata oczekiwana dla strategii równowagi wynosi zero. 16. Rozważamy ciągłą grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym z funkcją wypłaty r(x, y) = 16(x y) 2. Pokaż, że optymalna strategia dla gracza opisana jest za pomocą rozkładu { 1 F 0 (x) = 2, 0 x < 1, 1, x = 1, a gracza B Znajdź wartość gry. G 0 (y) = { 0, 0 y < 1 1, 1 2 2, y Gracze i B grają w grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym. Gracz wybiera liczbę x [0, 1], a gracz B, nie znając wyboru gracza wybiera y [0, 1]. Wypłata gracza wynosi Rozwiąż tą grę. P (x, y) = 1 2 y2 2x 2 2xy x y. (b) Po jakimś czasie gracz jest znudzony ciągłym wygrywaniem i decyduje się zbić z tropu gracza B grając zrandomizowaną strategię używając gęstości 3ξ 2, tzn. że prawdopodobieństwo że gracz wybierze x [ξ, ξ + dξ] wynosi 3ξ 2 dξ. Dlaczego nie jest to głupia strategia dla gracza? Jak dużo gracz może stracić grając tą strategię? 4

5 Gry w postaci ekstensywnej 18. ntek i Bartek grają w następującą grę: ntek ma prawdziwy samolot i fałszywy samolot. Bartek ma urządzenie do strącania samolotu i chce nim trafić w prawdziwy samolot. ntek kładzie na stole prawdziwy lub fałszywy samolot i zakrywa go ręką. Bartek decyduje czy użyć swojego urządzenia. Na sygnał ntek odkrywa samolot, a Bartek decyduje co zrobić. Jeśli Bartek zestrzeli samolot, to wygrywa 1, jeśli samolot był prawdziwy i przegrywa 1, jeśli jest fałszywy. Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był prawdziwy, to gra się kończy i nie ma wypłat. Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się powtarza - tym razem stawka jest podwójna. W przypadku, gdy Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się kończy i Bartek wygrywa 2. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 19. Sasza i Masz kupili zestaw, który zawiera pistolet Colt 45-six shooter, jeden nabój, karton papierosów i zasady gry w rosyjską ruletkę. Każdy z graczy kładzie na stole po paczce papierosów. Sasza gra pierwszy: może dodać dwie paczki papierosów i przekazać pistolet Maszy albo dodać jedną paczkę, naładować rewolwer i strzelić sobie w głowę. Jeśli ma szczęście, to przekaże rewolwer Maszy. Masza ma te same opcje co Sasza. Gra się kończy. Każdy bierze po połowie papierosów, jeśli obaj żyją, albo ten co przeżył zabiera wszystkie paczki ze stołu. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 20. Do gry użyto trzech kart: Króla, 10 i 2. ntek wybiera jedną kartę nie pokazując Piotrowi. Piotr mówi: High lub Low. Jeśli ma rację (Król=High, 2 =Low), wygrywa 3zł od ntka. Jeśli nie ma racji traci 2zł. Jeśli kartą jest 10, to Piotr wygrywa 2zł, gdy wołał Low, ale ntek musi wybrać pomiędzy Królem a 2, gdy Piotr wołał High. Tym razem po wybraniu karty, Piotr znów woła High lub Low i wygrywa 1zł, gdy ma rację oraz traci 3zł, gdy nie ma racji. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 21. ntek i Bartek grają w grę z dwoma kartami oznaczonymi literami H=High i L= Low. Każdy z graczy kładzie na stół po 1zł. ntek losuje kartę, patrzy i zakłada się o 2zł lub 4zł. Bartek może zrezygnować lub popatrzyć. Jeśli zrezygnuje, to ntek zabiera wygraną ze stołu. Jeśli zdecyduje się popatrzyć, to musi dopasować się do ntka zakładu. W tym przypadku ntek wygra, jeśli ma kartę High, w przeciwnym wypadku wygra Bartek. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. Równowagi skorelowane 22. Udowodnij fakt, że p σ jest równowagą skorelowaną, jeśli σ jest równowagą Nasha. 23. Znajdź równowagę skorelowaną, która daje wypłatę ( 40 9, 36 9 ) w poniższej grze U 6,6 2,7 D 7,2 0,0 5

6 24. Dla poniższych gier podaj wszystkie równowagi Nasha i znajdź równowagę, która nie jest w otoczce wypukłej wypłat równowag Nasha: U 8,8 4,9 D 9,4 1,1 (b) L M R U 0,0 2,4 4,2 C 4,2 0,0 2,4 D 2,4 4,2 0,0 25. W poniższej grze o sumie zerowej znajdź optymalne strategie oraz wartość gry. Następnie podaj równowagi skorelowane: L M R U 0,0 0,0 1,-1 C 1,-1 1,-1 0,0 D 1,-1 1,-1 0,0 26. Pokaż, że istnieje jedyna skorelowana równowaga skorelowana w poniższej grze, gdzie a, b, c, d ( 1 4, 1 4 ). Znajdź tą równowagę skorelowaną. Jaka jest granica tej równowagi, gdy a, b, c, d 0? U 1,0 c,1+d D 0,1 1+a,b 27. Dana jest gra G oraz gra Ĝ, która powstaje z G poprzez wyeliminowanie strategii ściśle zdominowanych. Co możesz powiedzieć o równowagach skorelowanych dla obu gier? Równowagi w grach z (nie)pełną informacją 28. Model Cournota. Dwie firmy 1 oraz 2 produkują na rynku pewne dobro, które jest nieskończenie podzielne. Każda z nich musi zdecydować o ilości produkcji q i [0, + ) dla i = 1, 2. Niech cena towaru na rynku kształtuje się w następujący sposób: { P0 (1 Q P (Q) = Q 0 ), Q < Q 0, 0, Q Q 0, gdzie Q = q 1 + q 2 oraz P 0, Q 0 > 0. Koszt produkcji dobra firmy i wynosi C(q i ) = cq i, c > 0, i = 1, 2. Zatem wypłata firmy i jest dana wzorem r i (q 1, q 2 ) = q i P (Q) C(q i ). Znajdź czystą równowagę (symetryczną) Nasha w tym modelu oraz wypłaty. Zauważ, że żadnej z firm nie opłaca się produkować więcej niż Q 0. (b) Jak sytuacja będzie wyglądać w przypadku monopolu (tzn. podaj wartość produkcji q m i zysk tej firmy r(q m ))). (c) Załóżmy, że firmy 1 oraz 2 tworzą kartel umawiając się, że będą używać strategii q k 1 = qk 2 = 1 2 q m. Ile wynosi wówczas zysk dla każdej z firm. Czy jest to rozwiązanie stabilne? W tym celu oblicz najlepszą odpowiedź firmy 2 na strategię 1 2 q m firmy 1. 6

7 29. Rozważmy model oligopolu gry Cournota: n identycznych firm (tzn. z identycznymi kosztami) produkuje ilości q 1, q 2,..., q n pewnego dobra. Cena na rynku opisana jest funkcją P (Q) = P 0 (1 Q/Q 0 ), gdzie Q = n i=1 q i. Znajdź symetryczną równowagę Nasha. Do czego dąży zysk każdej firmy gdy n? 30. Rozwiązanie Stackelberga. Na rynku leaderem w produkcji pewnego dobra jest Firma 1, która pierwsza decyduje o wielkości produkcji q L. Ta strategia obserwowana jest przez inną firmę (tzw. follower), która decyduje też o wielkości produkcji q F tego samego dobra. Rozwiąż tą grę przez algorytm indukcji wstecznej otrzymując w ten sposób SPNE (Subgame Perfect Nash Equilibrium). Równowaga ta jest nazywana także równowagą Stackelberga. Dane o kosztach produkcji oraz zyskach firm są opisane tymi samymi funkcjami co w zadaniu 23. Podaj zyski firm dla tej równowagi. Czy to jedyna równowaga w tym modelu? 31. (Bayessowska równowaga) Rozważmy model duopolu gry Cournota. Niech zysk Firmy i będzie dany funkcją: r i (q 1, q 2 ) = q i (2 q 1 q 2 ) q i θ i, }{{}}{{} cena dobra koszt produkcji gdzie q i jest wielkością produkcji Firmy i. Wiadomo, że Firma 1 może być tylko jednego typu θ 1 = 1. Firma 1 wierzy, że θ 2 = 5 4 z prawdopodobieństwem 1 2 i θ 2 = 3 4 z prawdopodobieństwem 1 2. Zatem Firma 2 może być dwóch typów: high-cost type (θ 2 = 5 4 ) oraz low-cost type (θ 2 = 3 4 ). Znajdź czystą bayesowską równowagę Nasha w tej grze. Oblicz oczekiwane wypłaty dla graczy, gdy grają równowagę. 32. (Więcej informacji szkodzi) Gracz 1 nie jest graczem w pełni poinformowanym, natomiast gracz 2 może być typu high albo low i wie jakiego jest typu. Wypłaty dane są w macierzach: low type U 0,0-1000,50 D 50,-1 25,25 high type U 100,1 1,2 D 99,4 2,1 Rozważ przypadek, gdy obaj gracze znają typ gracza 2. Znajdź równowagi Nasha i wylicz wypłaty w równowadze dla obu graczy gdy gracz 2 jest low-type oraz jest hightype.. (b) Rozważ przypadek, gdy gracz 1 nie zna typu gracza 2, natomiast gracz 2 zna swój typ. Znajdź równowagę bayessowską i porównaj wypłaty gracza 1 z wypłatami otrzymanymi w punkcie. Przyjmij, że prawdopodobieństwo wybrania przez naturę typu gracza 2 wynosi (α, 1 α), gdzie α [0, 1]. Gry kooperacyjne Rozważamy grę kooperacyjną G = (N, P (N), v). Ozn. C - rdzeń gry. 7

8 33. Niech N = {1, 2, 3} oraz v(s) = 0, gdy S =, 1, gdy S = {1}, {2}, 2, gdy S = {3}, 4, gdy S = 2, 5, gdy S = {1, 2, 3}. Czy v jest superaddytywna? Znajdź wszystkie imputacje w tej grze. 34. Udowodnij tw.1 podane na wykładzie. 35. Udowodnij tw.2 podane na wykładzie. 36. Znajdź funkcję charakterystyczną dla następującej gry 3-osobowej w postaci normalnej: α B 1 1,1,0 4,-2,2 2 1,2,-1 3,1,-1 3-1,0,1-2,1,1 β B 1-3,1,2 0,1,1 2 2,0,-1 2,1,-1 2 0,-1,3-3,2,1 37. Niech (a 1,..., a n ) R n +. Definiujemy: v(s) = { 0, gdy S k, i S a i, gdy S > k. Znajdź C oraz wartość Shapleya dla każdego k = 0,..., n. 38. Gracz i nazywany jest zerowym, jeśli v(s {i}) = v(s) dla każdej koalicji S P (N). Pokaż, że jeśli C, to x i = 0 dla każdej imputacji x w C oraz każdego gracza zerowego i. 39. Oblicz wartość Shapleya dla gry, w której v(s) = i S v({i}). 40. Niech (a 1,..., a n ) R n. Oblicz wartość Shapleya dla gry, w której v(s) = ( i S a i) 2 dla każdej koalicji S P (N) i S. 41. Rozważamy grę ważonego głosowania [5; 1, 2, 3, 4]. Podaj funkcję charakterystyczną dla tej gry. Oblicz wartość Shapleya. Podaj C. 42. Rozważmy grę dualną G do gry G. Funkcja charakterystyczna w G określona jest w następujący sposób v (S) = v(n) v(n \ S), S P (N). Sprawdź, że G jest dualna do G. Czy prawdą jest stwierdzenie: Rdzeń w grze G jest niepusty wtedy i tylko wtedy gdy rdzeń w grze G jest niepusty? Jeśli nie, to podaj kontrprzykład. Pokaż, że wartości Shapleya dla graczy w grach G oraz G są takie same. W poniższych zadaniach zakładamy, że n dzieli się przez Rozważamy grę (n+1)-osobową ważonego głosowania [n/2; n/3, 1,..., 1]. Ile wynosi wartość Shapleya dla gracza 1, gdy n? 8

9 44. Rozważamy grę (n+2)-osobową ważonego głosowania [5n/6; n/3, n/3, 1,..., 1]. Ile wynosi wartość Shapleya dla graczy 1 oraz 2, gdy n? 45. Rozważamy grę (n+2)-osobową ważonego głosowania [n; n/3, n/3, 1,..., 1]. Ile wynosi wartość Shapleya dla graczy 1 oraz 2, gdy n? 9

Elementy teorii gier

Elementy teorii gier Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne.

Lista zadań. 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. Lista zadań 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. (a) U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b) U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Rozwiąż gry używając algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II

Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek... Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. O czym dzisiaj?

Mikroekonomia. O czym dzisiaj? Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...

Bardziej szczegółowo

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2

Bardziej szczegółowo

Przykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna

Przykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Na poczatku gry dwaj gracze wkładaja do puli po 1$. Następnie, gracz 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony.

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3 LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania 1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,

Bardziej szczegółowo

Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej

Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej 2012 2013-01-16 1 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,-1 2013-01-16 2 Diagram przesunięć 2013-01-16

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii gier

Wprowadzenie do teorii gier Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 1 1 Klasyfikacja gier 2 Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane 3 Punkty równowagi w grach o sumie zerowej 4 Gry dwuosobowe oraz n-osobowe

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań

Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

Propedeutyka teorii gier

Propedeutyka teorii gier Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna

Bardziej szczegółowo

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Oligopol. Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj

Oligopol. Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj Oligopol Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i działaj ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj dniają istnienie pozostałych firm. Na decyzję firmy wpływaj

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 7

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 7 LEKCJA 7 ZDOLNOŚCI PRODUKCYJNE Inwestując w kapitał trwały zwiększamy pojemność produkcyjną (czyli maksymalną wielkość produkcji) i tym samym możemy próbować wpływać na decyzje konkurencyjnych firm. W

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek. Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Lista zawiera kilkadziesiąt zadań dotyczących różnych gier z użyciem kart i kości, w tym tych najbardziej popularnych jak brydż, tysiąc itp. Kolejne zadania

Bardziej szczegółowo

Modele lokalizacyjne

Modele lokalizacyjne Modele lokalizacyjne Model Hotelling a Konsumenci jednostajnie rozłożeni wzdłuż ulicy Firmy konkurują cenowo Jak powinny ulokować się firmy? N=1 N=2 N=3 Model Salop a Konsumenci jednostajnie rozłożeni

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Plan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha

Plan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej

Bardziej szczegółowo

Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach

Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach Informacja na rynkach konkurencyjnych Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach związanych z przeprowadzeniem

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji

Bardziej szczegółowo

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych. Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem

Bardziej szczegółowo

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A)

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A) 1. Na rynku pewnego dobra działają dwie firmy, które zachowują się zgodnie z modelem Stackelberga. Firmy ponoszą stałe koszty krańcowe równe 24. Odwrócona linia popytu na tym rynku ma postać: P = 480-0.5Q.

Bardziej szczegółowo

12. Funkcja popytu jest liniowa. Poniższa tabela przedstawia cztery punkty na krzywej popytu:

12. Funkcja popytu jest liniowa. Poniższa tabela przedstawia cztery punkty na krzywej popytu: 1. Dla której z poniższych funkcji popytu elastyczność cenowa popytu jest równa -1 i jest stała na całej długości krzywej popytu? A) Q = -5 + 10 B) Q = 40-4 C) Q = 30000-1 D) Q = 2000-2 E) Q = 100-3 F)

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie Poznań, 1.10.2016 r. Dr Grzegorz Paluszak OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie I. Informacje ogólne 1. Nazwa modułu : Teoria gier 2. Kod modułu : 1 TGw

Bardziej szczegółowo

1. S³owo wstêpne Geologia gospodarcza g³ówne aspekty problematyki badawczej Zakres, treœæ i cel rozprawy...

1. S³owo wstêpne Geologia gospodarcza g³ówne aspekty problematyki badawczej Zakres, treœæ i cel rozprawy... Spis treœci Streszczenie... 11 Summary... 13 1. S³owo wstêpne... 15 1.1. Geologia gospodarcza g³ówne aspekty problematyki badawczej... 16 1.2. Zakres, treœæ i cel rozprawy... 17 2. Zarys teorii decyzji...

Bardziej szczegółowo

Analiza cen duopolu Stackelbera

Analiza cen duopolu Stackelbera Na samym początku odpowiedzmy na pytanie czym jest duopol. Jest to forma rynku w której kontrolę nad nim posiadają 2 przedsiębiorstwa, które konkurują pomiędzy sobą wielkością produkcji lub ceną. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Strategie kwantowe w teorii gier

Strategie kwantowe w teorii gier Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie

Bardziej szczegółowo

Konkurencja i współpraca w procesie podejmowania decyzji

Konkurencja i współpraca w procesie podejmowania decyzji Konkurencja i współpraca w procesie podejmowania woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Dzień liczby π, Toruń, 12 marca 2015 Plan działania Przykład

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratoriu m 30 30 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU

Wykład Ćwiczenia Laboratoriu m 30 30 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ELEMENTY TEORII GIER Nazwa w języku angielskim ELEMENTS OF GAME THEORY Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Matematyczne modele współpracy i konfliktu - teoria gier w praktyce

Matematyczne modele współpracy i konfliktu - teoria gier w praktyce Stanisław Kasjan i Piotr Malicki Matematyczne modele współpracy i konfliktu - teoria gier w praktyce (Kurs letni 2010) Materiały dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki Wydział Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

Gry w postaci normalnej

Gry w postaci normalnej Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie! Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np.

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. kula wyłożona głośnikami od wewnątrz. Popyt jest nieznany:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

Zacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym.

Zacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym. Oligopol Oligopol jest zagadnieniem, którego zrozumienie wymaga dobrej znajomości teorii gier. Modele Oligopolu badane przez ekonomistów koncentrują się bowiem na znalezieniu rozwiązania (równowagi) w

Bardziej szczegółowo

MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ.

MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ. Wykład 4 Konkurencja doskonała i monopol 1 MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ. EFEKTYWNOŚĆ RYNKU. MONOPOL CZYSTY. KONKURENCJA MONOPOLISTYCZNA. 1. MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ W modelu konkurencji doskonałej

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K

Bardziej szczegółowo

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej

TEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej TEORIA GIER- semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej 1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Load balancing games

Load balancing games Load balancing games Marcin Witkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 11 grudnia 2010 1 / 34 Szeregowanie zadań Przyporządkowanie zbioru zadań do zbioru maszyn, w ten sposób, aby obciążenie

Bardziej szczegółowo

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 9

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 9 LEKCJA 9 Oligopol równoczesnej konkurencji cenowej przy wyborze zdolności produkcyjnych (model Kreps a) Jeżeli zdolności produkcyjne co najmniej jednej z firm są ograniczone, to na rynku będziemy obserwować

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. Wykład 10

Mikroekonomia. Wykład 10 Mikroekonomia Wykład 10 Informacja Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach związanych z przeprowadzeniem

Bardziej szczegółowo

GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej)

GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) Gra w postaci ekstensywnej formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry, z uwzględnieniem struktury czasowej, możliwości wielokrotnego podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1 John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2 Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w

Bardziej szczegółowo

TEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa

TEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa Przykładowe zadania na kolokwium: TEST [1] Zmniejszenie przeciętnych kosztów stałych zostanie spowodowane przez: a. wzrost wielkości produkcji, b. spadek wielkości produkcji, c. wzrost kosztów zmiennych,

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach.

Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach. Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach. Łukasz Balbus 1 Wojewódzki Urza d Pracy w Zielonej Górze, 28 Maja 2014 1 Uniwersytet Zielonogórski. Cele teorii gier w ekonomii: próba zrozumenia

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników). TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE I CEL GRY ELEMENTY GRY

WPROWADZENIE I CEL GRY ELEMENTY GRY WPROWADZENIE I CEL GRY Masz nadzieję zostać ministrem handlu Maharadży. Osiągniesz swój cel, jeśli pod koniec każdego tygodnia (rundy) będziesz bogatszy od swojego przeciwnika. Fortunę zdobędziesz, zbierając

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4 dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Zadanie 1 Dwie konkurencyjne firmy X i Y są dealerami dobrze znanej marki

Bardziej szczegółowo