TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja

Transkrypt

1 TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja

2 Czym się dzisiaj zajmiemy? Rozwiązywaniem gier w postaci ekstensywnej (drzewka) Historią najnowszą Indukcją wsteczną Preferencjami różnego rodzaju Teorią użyteczności Metodą loterii Malarstwem klasycznym i współcznesnym Błędnymi przekonaniami o pojęciu racjonalności

3 Kubański kryzys rakietowy 1963 Chruszczow podejmuje decyzję, czy rozmieścić na Kubie głowice nuklearne, zagrażające USA. Jeżeli Chruszczow zdecyduje się na ten krok, Kennedy ma trzy możliwości: a) Nie robić nic b) Ogłosić blokadę Kuby c) Zniszczyć rakiety za pomocą precyzyjnego uderzenia z powietrza Jeśli Kennedy zdecyduje się na zachowanie agresywne (b lub c), Chruszczow może albo ustąpić, albo zastosować kroki odwetowe.

4 Kubański kryzys rakietowy 1963 CH rozmieszczać rakiety nie rozmieszczać rakiet K u nie robić nic blokada zniszczyć rakiety v CH CH ustąpić odwet ustąpić odwet w x y z

5 Strategie Kennedy ego i Chruszczowa: A. Nie robić nic B. Blokada C. Zniszczyć rakiety A. Nie rozmieszczać rakiet B. Rozmieścić rakiety. W przypadku jakiejkolwiek agresynej reakcji Kennedy ego ustąpić C. Rozmieścić rakiety. W przypadku blokady ustąpić, w przypadku zniszczenia rakiet zastosować środki odwetowe D. Rozmieścić. W porzypadku blokady zastosować odwet, w przypadku zniszczenia rakiet ustąpić E. Rozmieścić rakiety. W przypadku jakiejkolwiek agresywnej rekacji Kennedy ego zastosować środki odwetowe

6 Macierz gry Chruszczow A B C D E Kennedy A B C

7 Macierz gry Chruszczow A B C D E Kennedy A u v v v v B u w w x z C u y z y x

8 Gra o pełnej (doskonałej) informacji Gra jest grą o pełnej informacji, jeżeli na drzewku gry: a) Żaden z węzłów nie jest przypisany ruchowi Losu b) Każdy węzeł należy do osobnego zbioru b) Każdy węzeł należy do osobnego zbioru informacyjnego

9 Indukcja wsteczna przycinanie drzewka KOLUMNA WIERSZ KOLUMNA

10 Indukcja wsteczna przycinanie drzewka KOLUMNA WIERSZ

11 Indukcja wsteczna przycinanie drzewka KOLUMNA 3 1-2

12 Kubański kryzys rakietowy 1963 CH rozmieszczać rakiety nie rozmieszczać rakiet K nie robić nic blokada zniszczyć rakiety v CH CH u Uporządkowanie wyników: Kenneddy: w, y, u, v, x, z Chruszczow: v, u, w, y, z, x ustąpić odwet ustąpić odwet w x y z

13 Zeus vs Atena Zeus Music jest liderem w produkcji nowoczesnego sprzętu audio i jest marką rozpoznawalną Atena Acoustic jest firmą mniejszą, ale cenioną ze względu na innowacyjność i wysoką jakość Obie firmy opracowały nowy, hekasfoniczny system dźwiękowy : słuchacza zawiesza się na pewnej wysokości tak, aby mógł słuchać muzyki ze wszystkich stron Czynnikiem niepewności jest wielkość rynku na takie urządzenia. Analitycy Zeusa oceniają szanse istnienia małego i dużego rynku na 50 do 50.

14 Drzewo Gry LOS mały rynek ½ ½ duży rynek ZEUS ZEUS T NJ T NJ ATENA ATENA ATENA ATENA T NJ NJ NJ NJ T T T (16,8) (8,16) (20,4) (16,8) (30,10) (28,12) (16,24) (24,16)

15 jeśli obie firmy trzymają w tajemnicy swoją decyzję Atena T NJ Zeus T (23,9) (18,14) NJ (18,14) (20,12)

16 jeśli Zeus, jako większa firma, musiał podjąć decyzję wcześniej Atena T/T T/NJ NJ/T NJ/NT Zeus T NJ

17 jeśli Zeus wykonuje ruch jako pierwszy, ale zanim go wykona, przeprowadza dokładne (i kosztowne) badania rynku Atena T/T T/NJ NJ/T NJ/NT T/T Zeus T/NJ NJ/T NJ/NJ

18 Preferencje i użyteczność

19 Czy graczom zawsze chodzi o to, aby wygrać? Piłkarzowi bardziej może zależeć na tym, ile będzie musiał biegać po boisku, niż na wyniku Przegrana może być niekiedy bardziej atrakcyjna z powodów strategicznych Przegrana może być wynikiem bardziej atrakcyjnym finansowo

20 Wypłaty mogą być różne Teoria gier posługuje się pojęciem wypłaty, ale tylko w nielicznych przypadkach interpretuje się ją jako sumę pieniędzy Preferencje uczestnika gry co do jej wyników mogą zależeć nie tylko od jego wypłaty pieniężnej

21 Preferencje Załóżmy, że rozgrywamy z naszym sąsiadem grę, a wynik w i-tym wierzchołku końcowym drzewa to dochód w wysokości a i dla nas i b i dla sąsiada Wówczas nasze preferencje co do wyników mogą mieć jedną z następujących postaci: ( i > j) ( a i > a j ( i ) [( a + 0,1 b ) > ( a + 0, b )] > j) 1 i i j j ( i (i [( a ( )] i 0,3 bi ) > a j 0, b j {( a > a ) [( a = a ) ( b > b )]} > j) 3 > j) i j i j i j

22 Preferencje na zbiorze możliwych wyników Przyjmuje się, że każdy gracz ma swoją preferencję na zbiorze wszystkich możliwych wyników gry. Oznacza to, że o każdej parze różnych wyników X i Y gracz potrafi powiedzieć, czy: Woli X od Y Woli Y od X Czy też jest mu obojętne, czy X, czy Y

23 Słaba i silna relacja preferencji, indyferentność Gracz słabo preferuje X nad Y ( ), jeśli, gdyby miałby on do wyboru Y i X, to wybór X byłby nie gorszy niż wybór Y: X Y Gracz silnie preferuje X nad Y (>), jeśli, stojąc przed wyborem Y lub X konsument zawsze wybierze X ( Y X ) ( X Y ) Gracz jest obojętny wobec X i Y (~), jeśli zachodzi jednocześnie Y X oraz X Y

24 Przechodniość relacji preferencji [( X Y) ( Y Z) ] ( X Z) Jeśli ktoś uważa barszcz (B) za nie gorszy od krupniku (K), a krupnik nie gorszy od grochówki (G), nie woli grochówki od barszczu. Co by było, gdyby preferencja nie była relacją przechodnią, czyli: ( B K) ( K G) ( G > B)

25 Teoria użyteczności W jaki sposób przypisujemy wartości liczbowe poszczególnym wynikom? Jeśli chcemy stosować teorię gier do opisu realnych zjawisk, musimy założyć, że proces ten można przeprowadzić w sposób racjonalny

26 Załóżmy, że gra ma punkt siodłowy Pani Kolumna A B Pan Wiersz A u v B w x C y z

27 Poprośmy Wiersza o uporządkowanie wyników. Wiersz może stwierdzić, że jest to zadanie niewykonalne, bo, co prawda, preferuje u nad v, v nad w, ale przy tym przedkłada w nad u (preferencja nieprzechodnia) Powiedzieć, że po prostu nie jest w stanie porównać x i y. Nie tyle dlatego, że są mu obojętne, ale dlatego, że są tak różne, że porównanie nie jest możliwe Możliwe jednak, że Wiersz będzie w stanie uporządkować wyniki, na przykład tak: u, w, x, z, y, v.

28 Jeśli jest to gra o sumie zerowej i Kolumna również potrafi uporządkować wyniki, to Pani Kolumna A B Pan Wiersz A 6 1 B 5 4 C 2 3

29 Skala porządkowa, użyteczności porządkowe Skala porządkowa skala, na której większa wartość reprezentuje bardziej preferowany wynik, ale na tej zasadzie, że znaczenie ma jedynie uporządkowanie wartości. (np. wykształcenie, kolejność na podium) Użyteczności porządkowe wartości wyznaczone według zasady skali porządkowej.

30 Załóżmy, że gra nie ma punktu siodłowego Pani Kolumna A B różnice Pan Wiersz A a b B c d d-c a-b

31 gra bez punktu siodłowego Jeżeli a>b i b>c, optymalną strategią Wiersza jest strategia mieszana: ( ) B b a c d b a A b a c d c d ) ( ) (, ) ( + + Aby miało to sens, wartości wypłat muszą być przypisane wynikom tak, aby proporcja dwóch różnic była interpretowalna ( ) b a c d b a c d ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( b a c d

32 Skala interwałowa i użyteczności kardynalne Skala interwałowa (przedziałowa) skala, przy której można uporządkować nie tylko uporządkowanie wartości, ale także proporcje między różnicami różnych wartości (np. data urodzenia) Użyteczność kardynalna wartości oddające preferencje mierzone na skali interwałowej

33 W jaki sposób skalę porządkową zamienić na interwałową? Rozpatrzmy sytuację, w której w grze o możliwych wynikach u, v, w i x Pan Wiersz określił swoje uporządkowanie preferencyjne wyników jako: u, x, w, v Aby określić użyteczności Wiersza na skali interwałowej, musimy tak przypisać liczby poszczególnym wynikom, by proporcje pomiędzy różnicami użyteczności poszczególnych wyników wynikały w jakiś sposób z preferencji Wiersza

34 Von Neumanna & Morgensterna metoda loterii 1. Przypisanie dowolnych wartości wynikom v i u, pod warunkiem, że u>v, (np. 100 i 0) v Co byś wolał: uzyskać na pewno x, czy wziąć udział w loterii, w której z prawdopodobieństwem ½ dostaniesz v, a z prawdopodobieństwem ½ u? v x gdzieś tutaj u u

35 Von Neumanna & Morgensterna metoda loterii 1. A czy wolałbyś x na pewno, czy loterię ¼ v, ¾ u? v Itd. x gdzieś tutaj 3. Zmieniając prawdopodobieństwa możemy w końcu znaleźć loterię, którą Wiersz uzna za równie korzystną, jak x. Na przykład, Wiersz może być indyferentny wobec x i loterii 4/10v i 6/10u, wówczas: v x u u

36 Jeśli użyteczności Wiersza dla v, w, x i u wynoszą odpowiednio 0, 20, 60 i 100, to jakie będą jego preferencje w następujących sytuacjach wyboru: a. x lub ¾ w, ¼ u b. x lub ½ w, ½ u c. ½ w, ½ x lub ½ v, ½ u d. 3/7 w, 4/7 x lub 3/7 u, 4/7 w

37 Dla poniższej gry i informacji poniżej udzielmy odpowiedzi: Jak gracze powinni rozgrywać grę? Gdyby Wiersz mógł wybierać pomiędzy s na pewno a rozgrywaniem powyższej gry, co by wybrał? Pani Kolumna A B Pan Wiersz A r s B t u Wiersz przedkłada t nad s, s nad r i r nad u Wiersz jest indyferentny wobec s i loterii 2/3 t, 1/3 r Wiersz jest indyferentny wobec r i loterii ½ s, ½ u. Pozostałe preferencje Wiersza są zgodne z powyższymi. Preferencje Kolumny są odwrotne do preferencji Wiersza.

38

39 b

40 c

41 d

42 Błędne przekonania o pojęciu użyteczności Błąd 1. Odwrócenie przyczynowości. Jeśli ktoś przedkłada jakąś propozycję albo jakiś wybór nad inne, znaczy to, że propozycja ta ma wyższą użyteczność Propozycji A przypisywana jest wyższa użyteczność niż propozycji B dlatego, ponieważ dana osoba wskazała, że mając do wyboru A i B, wybiera A. Wskazanie to nie musi wynikać z wartości użyteczności.

43 Błędne przekonania o pojęciu użyteczności Błąd 2. Racjonalność. Jeśli mając do wyboru jedną z dwóch propozycji, osoba wybiera tę o niższej użyteczności, znaczy to, że postępuje nieracjonalnie. Dokonany wybór jest niezgodny z tymi wyborami tej osoby, na podstawie których określiliśmy jej użyteczności (użyteczności mogły ulec zmianie; preferencji nie udało się przedstawić w postaci kardynalnych użyteczności)

44 Błędne przekonania o pojęciu użyteczności Błąd 3. Dodawanie użyteczności. Możemy określić, jaka propozycja jest społecznie najbardziej pożądana, sumując użyteczności różnych osób Użyteczności kardynalne określone są z dokładnością do rosnącego przekształcenia liniowego.

45 Błędne przekonania o pojęciu użyteczności Błąd 4. Międzyosobowe porównywanie użyteczności. Jeśli dany wynik ma dla jednego z graczy wyższą użyteczność niż dla drugiego, to jest on przez pierwszego gracza bardziej pożądany, niż dla drugiego Stwierdzenie to jest bezsensowne wobec faktu, że użyteczności możemy dowolnie przekształcać przez rosnące funkcje liniowe. W istocie, nie istnieje procedura pozwalająca na porównywanie użyteczności dla dwóch różnych osób

46 Dane są następujące skale użyteczności dla Wiersza i Kolumny: Wiersz p 0 q r s 100 Kolumna 0 q p 20 Które z poniższych stwierdzeń są sensowne? Dlaczego? Wiersz ceni s wyżej niż Kolumna. Wiersz silniej preferuje s względem r niż Kolumna r względem s. Wiersz silniej preferuje s względem q niż q względem p. Dla społeczności złożonej z Wiersza i Kolumny s jest lepszym wyborem społecznym niż r. Dla społeczności złożonej z Wiersza i Kolumny s jest lepszym wyborem społecznym niż p. s 60 r 100

47 Czy są jakieś pytania?

48 Następne zajęcia