Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Transkrypt

1 Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej

2 Klasyczny dylemat więźnia Tabela wypłat dylematu więźnia Bartek Alicja W O W (, ) (, ) O (, ) (, ) W - współpraca O - odmowa > > > >

3 Klasyczny dylemat więźnia Tabela wypłat dylematu więźnia Bartek Alicja W O W (3,3) (0,5) O (5,0) (,) W - współpraca O - odmowa > > > >

4 Wypłata Bartka Diagram użyteczności klasycznego DW Jeśli gracze grają strategiami mieszanymi: (!,") = (",") = 0 = (!,!) Wypłata Alicji Alicja = 0, [0,] W cos O sin W cos (,), Bartek O sin (,) (,) Równowaga Nasha jest daleka od rozwiązań Pareto-optymalnych (",!) = 5, = 3, = i = 0

5 Gry kwantowe sfera Blocha Strategie mieszane są podobne do kubitów: $% = cos!% + e i' sin "% [0,] ' [,]

6 Kolaps funkcji falowej Jeśli układ kwantowy (kubit) pozostaje w superpozycji stanów to jest to wyrazem braku naszej wiedzy o nim. $% = cos!% + e i' sin "% [0,] ' [,] Mierząc stan powyższego kubitu dostaniemy albo!% albo "%, z prawdopodobieństwami cos lub sin odpowiednio. W interpretacji Kopenhaskiej MK, superpozycja stanów kolapsuje do stanu mierzonego, a nieobserwowany składnik bezpowrotnie znika. Ten proces nazywa się kolapsem funkcji falowej. Nieobserwowany składnik znika z pola widzenia jak przegrany los na loterii. Podobnie jak w znanym przykładzie kota Schrödingera Ψ ( kota) = żywy + martwy

7 Gry kwantowe sformułowanie procesu Proces gry kwantowej przebiega według schematu: Alicja +,.!!% )* $ 0 % ), $ % +, - Bartek gdzie!!% jest odpowiednio przygotowanym stanem początkowym, )* = 0 ( * ), jest operatorem splatającym a +, = +,,',6 oraz +, = +,,',6, gdzie +,,',6 = 7 89: cos 7 89; sin 79: cos 7 9; sin, są kwantowymi strategiami Alicji i Bartka odpowiednio. ) <, nazywamy operatorem rozplatającym a $ = % stanem końcowym procesu.

8 0 in W O W Ψ = + = + + = = φ φ φ φ φ φ i i i i i e e e e e H P H 0 0 W ( ) ( ) ( ) i i out H P H W e W e O ϕ ϕ ϕ Ψ = = + + ( ) + iφ e ( ) iφ e obrót o kąt ' wokół osi > Gry kwantowe realizacja fizyczna O W O

9 Gry kwantowe wynik gry Stan końcowy gry jest na ogół stanem splątanym $ = % +? A@ "!% +? AA ""% AA są = cos cos cos ' + ' sin sin sin 6 + = sin cos cos(6 ' ) cos sin sin ' 6,? A@ = sin cos sin(6 ' ) + cos sin cos(' 6 ),? AA = cos cos sin ' + ' + sin sin cos 6 + 6, że w wyniku pomiaru (kolapsu) $ = % przejdzie w jeden z 4 stanów. Wartość oczekiwana wypłaty Alicji wynosi: $ +? A@ +? AA

10 Wynik gry jako stan splątany Jeśli w wyniku gry otrzymujemy np. stan splątany $ = % =!!% ""% to oznacza, że niezależnie od losowego charakteru pomiaru stanu końcowego pewnym pozostaje, że obaj gracze zagrają tak samo. Jeśli zaś $ = %!"% "!% to wiadomo, że gracze zagrają przeciwnie. Tego typu splątany wynik gry jest charakterystyczny dla gier kwantowych i nie występuje w grach klasycznych. Podobne stany splątane występują w słynnym paradoksie EPR

11 Granica klasyczna gry kwantowej Jeśli strategie graczy nie zawierają zespolonych faz +D +,,0,0 oraz+d +,,0,0, to dla przypomnienia $ = %) <, +, +, )*!!%+D +D!!% +,,0,0 789E cos (7 89E sin 7 9E sin 7 9E cos. W tym przypadku wynik Alicji (Bartka) będzie $ cos cos cos sin sin cos sin sin - identyczny z wynikiem gry klasycznej. Splątanie nie jest możliwe!

12 Strategie kwantowego DW Wybierzmy (dowolną) strategię kwantową Alicji.*+,,',6 oraz oznaczmy., = +,,' G,6 G. Niech -H i -, będą strategiami Bartka (zależnymi od,',6 ): -H = +, +,6,' G, -, = +, +,6 G,' Wypłaty graczy stosujących te strategie kwantowe są: Bartek -H -, Alicja.* (,) (,)., (,) (,) więc są równoważne grze o sumie zerowej (matching pennies).

13 Równowagi Nasha kwantowego DW Jeśli teraz przeciwnicy grają strategiami mieszanymi cos I. * + sin I., i cos I - H + sin I -,, gdzie J, J 0, to gra ma jedyną (dla danych,',6 ) RN w punkcie siodłowym γ = γ = G = 5, = 3, = i =

14 Diagram użyteczności kwantowego DW Jeśli gracze zastosują swoje strategie siodłowe γ γ G to w.o. ich wypłat wyniosą LMN,5 = 5, = 3, = i =

15 Podsumowanie. Równowaga Nasha kwantowego DW jest bardziej korzystna od równowagi klasycznego DW. Osiągniecie korzystniejszej RN dla gier kwantowych jest możliwe dzięki zjawisku splątania stanów końcowych gry 3. Gry kwantowe można rozgrywać wykorzystując komputer kwantowy 4. Możliwe są klasycznie symulacje rozgrywki kwantowej 5. Niektóre procesy rynkowe, zachowania partnerów negocjacji, naśladują RN kwantowego DW Pytania:. Czy kolaps funkcji falowej jest obserwowany w grach klasycznych?. Czy splatanie kwantowe ma swój odpowiednik w grach klasycznych?