Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Transkrypt

1 Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria gier modelowanie strategicznego zachowania uczestników, których decyzje wzajemnie wpływają na decyzje. Zajmuje się ona badaniem optymalności decyzji w sytuacjach, w których 2 lub więcej podmiotów (graczy) podejmuje decyzje jednocześnie lub w określonej sekwencji Decyzja jednego gracza wpływa nie tylko na jego własny wynik, ale również na wynik innych graczy (np. gry o sumie zerowej) To, czy decyzja danego gracza jest trafna zależy od decyzji pozostałych graczy. Dlatego nazywamy je strategiami. Podejmując decyzję gracz musi umieć przewidzieć co zrobią pozostali gracze (unikajmy słowa: przeciwnicy)

2 Nobliści z Ekonomii za prace TG 1978 Herbert Simon ewolucyjna teoria gier 1994 John Nash, John Harsanyi, Reinhard Selten rozwój teorii gier, równowaga Nash a 1996 James Mirrlees, William Vickrey modelowanie przetargów, konflikty z asymetryczną informacją uczestników 2005 Robert Aumann, Thomas Shelling rozwiązywanie konfliktów 2007 Leonid Hurwicz, Eric Maskin, R. Myerson mechanizmy rynkowe i regulacje

3 Zastosowanie Teorii gier Analiza oligopoli (kilka firm na rynku) Analiza karteli (zwłaszcza stabilności) Zachowanie podmiotów na rynku (groźby, blokowanie wejścia, wiarygodność) Koszty zewnętrzne (zasoby wspólne, niepieniężne efekty działań odczuwane przez innych) Negocjacje Aukcje Przetargi itd

4 Gra Sytuacja w której gracze podejmują strategiczne decyzje Zbiór graczy (czyli ile uczestników gry) Zbiór strategii (możliwe decyzje każdego gracza) Zbiór wypłat (dla każdego gracza, zależnych od decyzji podjętych przez wszystkich graczy) Szukamy optymalnych strategii graczy (maksymalizujących oczekiwane wypłaty) Gracze są racjonalni Najprostszym rodzajem gier są tzw. gry macierzowe Gry macierzowe są dwu-osobowe Wiersze macierzy reprezentują strategie gracza 1 Kolumny reprezentują strategie gracza 2 Wnętrze macierzy opisuje wynik gry z zależności od decyzji graczy.

5 Macierz wypłat gracz II 2 gracz I Góra R LewoR Prawo 403, 9, 40 1, 860, 30 N Dół 300, 0, 60 50,2, 1 50 Wynik opisany jest za pomocą wypłat dla obu graczy Pierwsza liczba to wypłata gracza 1, druga wypłata gracza 2 Gra jednoczesna Gracze wybierają strategię znając macierz, ale nie znając decyzji drugiego gracza

6 Strategia dominująca Czy dla któregoś gracza istnieje strategia zawsze lepsza od innych? Strategia dominująca strategia, która jest zawsze lepsza od wszystkich innych strategii danego gracza niezależnie od tego co zrobią pozostali gracze Równowaga w strategiach dominujących (2 gracze) każdy gracz wybiera swoją strategię dominującą wynik gry jest określony przez parę strategii dominujących Nie każda gra musi w ogóle mieć strategię dominującą

7 Strategia zdominowana Czy dla któregoś gracza istnieje strategia zawsze gorsza od innych? Strategia zdominowana strategia, dla której istnieje inna strategia, która jest zawsze od niej lepsza, niezależnie od tego co zrobią pozostali gracze Strategie zdominowane możemy wyeliminować z gry. Powtarzając iteracyjnie proces eliminacji strategii zdominowanych, czasem możemy dojść do rozwiązania gry Nawet jeśli strategia nie jest zdominowana, może się nie opłacać jej wybierać

8 Równowaga Nash a Jest para strategii (s 1, s 2 ), które są wzajemnymi najlepszymi odpowiedziami, tzn. s 1 jest najlepszą odpowiedzią na s 2 i vice versa Taka para strategii jest rozwiązaniem gry Żaden z graczy nie ma podstaw do jednostronnego odstąpienia od wybranej strategii Gra może mieć więcej niż jedną równowagę Nash a Równowaga Nash a nie musi być optymalna w sensie Pareto (dylemat więźnia)

9 Równowaga Nash a Czy każda gra ze skończoną liczbą graczy i skończoną liczbą strategii ma równowagę Nash a? Nie, w strategiach czystych Tak, w strategiach mieszanych Gracze mogą wybierać kombinacje swoich strategii czystych z określonym prawdopodobieństwem strategie meiszane Równowaga Nash a nie musi być optymalna w sensie Pareto (dylemat więźnia) Gra może mieć więcej niż jedną równowagę Nash a

10 Gry sekwencyjne Często mamy do czynienia z grami, w których gracze wykonują ruchy sekwencyjnie (np. naprzemiennie): wejście nowej firmy na rynek odpowiedź na wprowadzenie nowych regulacji odpowiedź na kampanie marketingowe przeciwników Gry w postaci normalnej nie są najlepszą reprezentacją takich (dynamicznych) gier, gdyż zakładają one, że gracze wykonują ruch jednocześnie, tzn. nie obserwują ruchów wykonanych przez innych graczy Gry dynamiczne reprezentuje się w postaci ekstensywnej. Aby opisać kolejność ruchów w takiej grze często stosuje się drzewka. Drzewko gry składa się z węzłów i łuków (gałęzi). Do węzłów decyzyjnych przypisany jest gracz podejmujący w tym miejscu decyzję, a do węzłów końcowych przypisane są wypłaty graczy.

11 Dynamiczny versus statyczny dylemat więźniów Gracze decydują reklamować się (R) czy nie (N) Gracz 1 R N Gracz 2 Gracz 2 R N R N (4,4) (6, 3) (3, 6) (5, 5) gracz I RR RR gracz II 2 N 404, 4, 40 6, 360, 30 N 303, 6, 60 50,5, 5 50

12 Indukcja wsteczna Jak rozwiązać grę dynamiczną? Pierwszy sposób polega na znalezieniu postaci normalnej gry i zastosowaniu znanych nam narzędzi. Zakładamy wtedy, że gracze wybierają strategię, czyli kompletny plan gry jednocześnie na początku gry. Tracimy jednak czas i pewne cenne informacje. Łatwiej i lepiej rozwiązać taką grę przez indukcję wsteczną (cofając się od ostatnich etapów do początku). Znalezione rozwiązanie będzie równowagą Nasha nie tylko w całej grze, ale też we wszystkich mniejszych podgrach, dlatego to rozwiązanie nazywa się często równowagą Nasha doskonałą w podgrach. Zauważmy, że równowagą w dynamicznym dylemacie więźniów jest (R, RR), czyli wynik jest ten sam co w grze statycznej. Z reguły jest inaczej.