Plan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha

Transkrypt

1 Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha Model przetrzennego głosowania

2 Aukcja drugiej ceny Najwyższa oferta wygrywa, wygrany płaci drugą najwyższą cenę. W przypadku równych ofert, obiekt dostaje gracz 1 Przypuśćmy, że v 1 > v 2 > 0 Forma strategiczna: N = {1, 2} A 1 = A 2 = R + Funkcje wypłaty: Dla każdego (b 1, b 2 ) R 2 + u 1 (b 1, b 2 ) = u 2 (b 1, b 2 ) = { v1 b 2, jeśli b 1 b 2, 0, w przeciwnym przypadku { v2 b 1, jeśli b 2 > b 1, 0, w przeciwnym przypadku

3 Równowaga w strategiach słabo-dominujących w aukcji drugiej ceny On the le(: bidding higher than your value is weakly dominated. On the right: bidding lower than your value is weakly dominated.

4 Aukcja drugiej ceny - strategia słabo dominująca Słabo dominującą akcją dla każdego gracza to: b i = v i. Jest wiele równowag Nasha - na przykład (v 1, 0). Jedna równowaga w strategiach słabo dominujących: (v 1, v 2 )

5 Aukcja pierwszej ceny Najwyższa oferta wygrywa, wygrany płaci swoją ofertę W przypadku równych ofert, obiekt dostaje gracz 1 Forma strategiczna: N = {1, 2} A 1 = A 2 = R + Funkcje wypłaty: Dla każdego (b 1, b 2 ) R 2 + u 1 (b 1, b 2 ) = u 2 (b 1, b 2 ) = { v1 b 1, jeśli b 1 b 2, 0, w przeciwnym przypadku { v2 b 2, jeśli b 2 > b 1, 0, w przeciwnym przypadku

6 Aukcja pierwszej ceny Nie ma równowagi w strategiach dominujących Nie ma takiej akcji, która jest lepsza dla danego gracza niż inna akcja niezależnie od tego, co zrobi drugi gracz Szukamy równowagi Nasha sposobem wprost: Warunki konieczne (jeśli profil strategii jest równowagą, wtedy musi speł niać te warunki) Warunki wystarczające (jeśli profil strategii spełnia te warunki, wtedy jest równowagą w sensie Nasha)

7 Warunki konieczne Niech (b1, b 2 ) będzie równowagą Nasha. Wtedy, Gracz 1 wygrywa: b1 b 2 Przypuśćmy, że nie: b1 < b 2. Mamy dwie możliwości: b 2 v 2 : Gracz 1 mógłby zaoferować v 2 i mieć zysk b2 > v 2 : Gracz 2 mógłby zaoferować zero i zredukować straty do zera Co oznacza, że taki profil nie może być równowagą. b 1 = b 2 Przypuśćmy, że nie: b 1 > b 2. Gracz I może zaoferować b 2 i mieć zysk. v 2 b 1 v 1 Przypuśćmy, że nie. Są dwie możliwości: b 1 < v 2, wtedy gracz II może podnieść swoją ofertę v1 < b1, wtedy gracz I powinien obniżyć swoją ofertę

8 Warunki wystarczające Każda równowaga Nasha (b1, b 2 ) musi spełniać: v 2 b 1 = b 2 v 1 Czy jakaś z par spełniających te nierówności jest równowagą Nasha? TAK, wszystkie

9 Model wyborów politycznych Kandydaci wybierają, jak bardzo chcą być prounijni. Preferencje: Wygrana Remis Przegrana Wyborcy mają swoją ulubioną pozycję prounijności Jednowymiarowa przestrzeń strategii: prounijność w skali [0, 1] Wyborcy głosują na tego, kto jest najbliżej ich ulubionej pozycji Społ eczeństwo jest kontinuum i wyborcy rozmieszczeni są na przedziale [0, 1] według rozkładu jednostajnego

10 Medianowy wyborca N = {1, 2} A 1 = A 2 = [0, 1] Funkcje wypłaty dla obu partii 1, jeśli i wygra 1 u i (p 1, p 2 ) = 2, jeśli remis 0 jeśli i przegra

11 Niech p1, p 2 będzie równowagą Nasha. Wtedy: Wynikiem musi być remis p1 = p 2 Przypuśćmy, że nie: p 1 p2? Wówczas gracz 1 na przykład ma bodziec, aby zbliżyć się do gracza 2. Wynik powinien być dokładnie w połowie p1 = p 2 = 1/2 Przypuśćmy, że nie: p1 = p2 1/2? Wówczas gracz 1 na przykład ma bodziec, aby przesunąć się nieznacznie w stronę środka. Jedyną równowagą Nasha jest (p 1, p 2 ) = ( 1 2, 1 2 )

12

13 Plan Co było: Pojęcie gry w postaci standardowej/normalnej (tabelka) Strategie dominujące Iteracyjna eliminacja strategii dominujących Racjonalność graczy jest wspólną wiedzą Równowaga Nasha w strategiach czystych Funkcje/korespondencje najlepszych odpowiedzi

14 Plan wykładu Więcej o wiedzy wspólnej: Historia trzech pań z brudnymi twarzami Pojęcie preferencji i użyteczności porządkowej (Cantor) i kardynalnej (von Neumann i Morgenstern) Wprowadzenie strategii mieszanych: Eliminacja strategii zdominowanych przez strategię mieszaną Równowaga Nasha w strategiach mieszanych Pijany kierowca Bitwa płci Sherlock Holmes i profesor Moriarty Doniesienie o przestępstwie Co dalej?: Gry dynamiczne i postać ekstensywna W samo południe

15 Brudne twarze Trzy panie ze środkowego zachodu USA mają brudne twarze. Każda pani widzi twarze innych pań, ale nie widzi swojej. Jeśliby którakolwiek z nich wiedziała na 100%, że ma brudną twarz, wówczas zarumieniłaby się. Jednak żadna z nich nie rumieni się. i ogłasza, że jedna pani ma brudną twarz. Po tym ogłoszeniu, jedna z pań zarumieniła się. DLACZEGO??? Czy panie już tego przedtem nie wiedziały??? Wielebny, który zawsze mówi prawdę, przybywa

16 Brudne twarze Jeśli ani Beata ani Cecylia się nie rumieni, Alicja rozumuje następująco: Alicja: Przypuśćmy, że moja twarz jest czysta. Wówczas Beata rozumowałaby następująco: Beata: Widzę, że twarz Alicji jest czysta. Przypuśćmy, że moja twarz jest również czysta. Wówczas Cecylia rozumowałaby następująco: Cecylia: Widzę, że Alicja i Beata mają czyste twarze. Zatem moja twarz musi być brudna. Muszę się zarumienić. Beata: Ponieważ Cecylia się nie zarumieniła, moja twarz musi być brudna. Zatem ja muszę się zarumienić. Alicja: Ponieważ Beata się nie zarumieniła, moja twarz jest brudna. Muszę się zarumienić.

17 Użyteczność ordynalna (porządkowa) Preferencje ujawnione - dedukujemy z obserwowanych wyborów, nie tłumaczymy skąd się biorą. Dwa założenia: Wybory muszą być stabilne Wybory muszą być spójne Relacja preferencji (podzbiór iloczynu kartezjańskiego Ω Ω) spełnia dwa aksjomaty: zupełność: a b lub b a przechodniość: jeśli a b i b c, to a c dla wszystkich a, b, c Ω Twierdzenie (Cantor (1915)) Relacja spełnia zupełność, przechodniość (i separowalność) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje u : Ω R taka, że: u(a) u(b) a b, a, b Ω

18 Aksjomaty von Neumanna Morgensterna Postulat (1) Racjonalny gracz preferuje tą loterię wygraj-lub-przegraj, która daje większą szansę wygranej. (W, p; P, 1 p) (W, q; P, 1 q) p > q Postulat (2) Każda nagroda pomiędzy najgorszą a najlepszą jest równoważna jakiejś loterii wygraj-lub-przegraj. Postulat (3) Racjonalni gracze są obojętni wobec wymiany jednej z wygranej w loterii na inną, którą uważają za jednakowo wartościową. Postulat (4) Racjonalni gracze troszczą się jedynie o całkowite prawdopodobieństwo z jakim dostaną odpowiednią nagrodę w loterii złożonej.

19 Użyteczność kardynalna L = (ω 1, p 1 ;... ; ω n, p n ) [(W, q 1 ; L, 1 q 1 ), p 1 ;... ; (W, q n ; L, 1 q n ), p n ] (W, p 1 q p n q n ; L, 1 (p 1 q p n q n )) gdzie pierwsza relacja obojętnośći wynika z postulatów (2) i (3), a druga relacja wynika z postulatu (4). Zatem zgodnie z postulatem (1) racjonalny gracz preferuje loterię z wyższym prawdopodobieństwem wygranej: r = p 1 q 1 + p 2 q p n q n = p 1 u(ω 1 ) + p 2 u(ω 2 ) p n u(ω n ) = Eu(L) Funkcja u : Ω R jest funkcją kardynalną von Neumanna Morgensterna.

20 Jednoznaczność użyteczności Użyteczność ordynalna (porządkowa): jeśli u : Ω R reprezentuje relację preferencji zdefiniowaną na zbiorze Ω to każda ściśle rosnąca transformacja u również reprezentuje tą relację preferencji. (u = f u, gdzie f jest funkcją rosnącą) Użyteczność kardynalna: jeśli u : Ω R reprezentuje relację preferencji na zbiorze wszystkich loterii lott(ω), to kaźda ściśle rosnąca afiniczna transformacja u również reprezentuje tą relację preferencji. (u = Au + B, gdzie A > 0)

21 Akcje zdominowane i strategie mieszane L P G S D żadna akcja nie dominuje akcji G Lecz strategia mieszana α 1 (S) = 1/2, α 1 (D) = 1/2 ściśle dominuje akcję T ściśle zdominowana akcja nigdy nie będzie grana z dodatnim prawdopodobieństwem w równowadze strategii mieszanych

22 Gra w monety lub strzelanie karnych Bramkarz w lewo Strzelec w lewo w prawo w prawo Jak grać w taką grę? Trzeba być nieprzewidywalnym - czyli grać losowo.

23 Pijany kierowca Szef policji w Warszawie martwi się problemem pijanych kierowców Może zorganizować punkt kontrolny do sprawdzania kierowców punkt kontrolny zawsze złapie pijanego kierowcę ale kosztuje c Kierowca decyduje, czy wypić wino czy colę przed prowadzeniem samochodu. Wypicie wina przynosi o r więcej satysfakcji kierowcy niż cola Koszt prowadzenia po wypiciu wina jest a dla kierowcy i f dla miasta Występuje tylko, gdy kierowca nie jest złapany Złapany pijany kierowca płaci mandat w wysokości d

24 Pijany kierowca policja kierowca kontrola wino cola r d 0 c c brak f r a 0 0 Zakładamy, że f > c > 0 oraz d > r > a 0 Na przykład: f = 2, c = 1, d = 4, r = 2, a = 1 policja kierowca kontrola wino cola brak -2 0

25 Strategia mieszana Strategia mieszana to rozkład prawdpodobieństwa na zbiorze akcji. W równowadze strategii mieszanych każda akcja grana z dodatnim prawdopodobieństwem musi być najlepszą odpowiedzią na strategie mieszane innych graczy. W szczególności gracze muszą być obojętni pomiędzy akcjami granymi z dodatnim prawdopodobieństwem. Przykład z pijanym kierowcą: niech p będzie prawdopodobieństwem picia wina przez kierowcę a q niech będzie prawdopodobieństwem urządzenia punktu kontrolnego przez policję

26 Pijany kierowca Oczekiwana wypłata kierowcy z wypicia: wina: q ( 2) + (1 q) 1 = 1 3q coli: 0 Warunek obojętności: 0 = 1 3q, czyli q = 1 3 Oczekiwana wypłata policji z: urządzenia punktu kontrolnego: 1 nie urządzenia punktu kontrolnego: p ( 2) + (1 p) 0 = 2p Warunek obojętności: 1 = 2p, czyli p = 1 2 (p = 1/2, q = 1/3) to równowaga w strategiach mieszanych

27 Bitwa płci mąż żona balet mecz balet mecz Niech p będzie strategią żony a q będzie strategią męża (prawdopodobieństwo wyboru baletu)

28 Najlepsza odpowiedź żony: Oczekiwana wypłata z pójścia na: balet: 2q mecz: 1 q Jeśli 2q > 1 q lub q > 1/3, najlepszą odpowiedzią żony jest balet (p = 1) Jeśli 2q < 1 q lub q < 1/3, najlepszą odpowiedzią żony jest mecz (p = 0) Jeśli 2q = 1 q lub q = 1/3, żonie wszystko jedno czy balet czy mecz p [0, 1] Korespondencja najlepszej odpowiedzi żony: {1}, jeśli q > 1/3 R 1 (q) = [0, 1], jeśli q = 1/3 {0}, jeśli q < 1/3

29 Najlepsza odpowiedź męża: Oczekiwana wypłata z pójścia na: balet: p mecz: 2(1 p) Jeśli p > 2(1 p) lub p > 2/3, najlepszą odpowiedzią męża jest balet (q = 1) Jeśli p < 2(1 p) lub p < 2/3, najlepszą odpowiedzią męża jest mecz (q = 0) Jeśli p = 2(1 p) lub p = 2/3, mężowi wszystko jedno czy balet czy mecz q [0, 1] Korespondencja najlepszej odpowiedzi męża: {1}, jeśli p > 2/3 R 2 (p) = [0, 1], jeśli p = 2/3 {0}, jeśli p < 2/3

30 W samo południe

31 W samo południe Szeryf Kane oraz Miller idą naprzeciwko sobie Oboje mają tylko jedną kulę w pistolecie Im bliżej siebie są, tym większe prawdopodobieństwo, że trafią Początkowy dystans wynosi D, p i (D) = 0, p i (0) = 1. Prawdopodobieństwo p i jest ciągłą ściśle malejącą funkcją 0 = d 0 < d 1 < d 2 <... < d n = D