GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej)
|
|
- Ludwika Marszałek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) Gra w postaci ekstensywnej formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry, z uwzględnieniem struktury czasowej, możliwości wielokrotnego podejmowania decyzji przez gracza. Podobnie jak dla gier w postaci normalnej, zakładamy wspólnąwiedzęgraczyogrze(=ozasadachgryiwypąatach), racjonalność graczy i wspólną wiedzę o racjonalności, DEFINICJA: (N,W,(W 1,...,W n,w 0,W K ),I,(u 1,...,u n ),P) przy czym N={1,2,...,n} zbiórgraczy, W=(W,E) drzewogry(grafskierowanyspójnybezcykli); W wierzchołki(sytuacje w grze), E łuki(przejściamiędzynimi), W 1,W 2,...,W n rozbiciezbioruwnazbiorydecyzyjnegraczy: W=W 1... W n W 0 W K. W j zbiórwierzchołkówwktórychdecyzję(owyborzeakcji)podejmuje gracz j, W K zbiórwierzchołkówkońcowych(liści), W 0 zbiórwierzchołkówwktórychnastępujeposunięcielosowe Oznaczmyponadto:A zbiórakcji nazwłuków, A(w) zbiór akcji odpowiadających łukom wychodzącym z wierzch. w, I strukturainformacyjna rozbiciekażdegozezbioróww 1,...,W n na zbioryinformacyjne (W j =I j,1... I j,kj ), u 1,u 2,...,u n funkcjewypłaty; u i :W K R funkcjawypłatygraczai.
2 P rodzina rozkładów prawdopodobieństwa wyników posunięć losowych: dlakażdegow W 0 P w rozkładnaa(w) ( a AP w (a) 0, P w (a)=1). a A(w) Znaczenie struktury informacyjnej modelowanie niewiedzy gracza: podejmując decyzję w wierzchołkach należących do zbioru informacyjnego J W j graczjwietylko,żeznajdujesięwktórymśzpunktówzbioruj, aleniewie,wktórym. Wobec tego musi zachodzić: W grach z pełną informacją w,w I j,k A(w)=A(w )(=A(I j,k )). w każdej chwili każdy gracz zna cały dotychczasowy przebieg gry = są to gry, w których wszystkie zbiory inf. są jednoelementowe (szachy, Go, inne gry planszowe, gry typu NIM,...) W grach z niepełną informacją możliwe są sytuacje, w których aktualnie decydujący gracz nie zna całej dotychczasowej historii gry = są to gry z co najmniej jednym nietrywialnym zbiorem informacyjnym (większość gier karcianych, gry z równoczesnymi decyzjami,...). Uwaga. Postać ekstensywna z niepełną informacją nadaje się także do modelowania gier z jednoczesnymi decyzjami graczy. Gryzpełnąpamięcią: Jeżelipewienciągakcjia 1,...a l graczajpoprzedza pewienwierzchołekw I j,k,topoprzedzateżkażdyinnywierzchołekz I j,k. Strategiawgrzewpostaciekstensywnej funkcjas j :W j Atakaże (1) w W j s j (w) A(w), (2)w,w I j,k s j (w)=s j (w ). = kompletny plan rozegrania całej gry. (Uwaga:musibyćokreślonanawszystkichwierzchołkachzW j!) Strategiełączne jakwpostacinormalnej,s=(s 1,s 2,...,s n ).
3 Stwierdzenie: 1.Wgrzeekstensywnejbezposunięćlosowych(W 0 = )każdastrategia łącznas=(s 1,s 2,...,s n )wyznaczajednoznaczniewierzchołekkońcowy w(s)wktórymgranapewnosięskończygdygraczeużyjątychstrategii s 1,s 2,...,s n. 2.Wgrzeekstensywnejzposunięciamilosowymi(W 0 )każdastrategia łącznaswyznaczaloterięl(s)nazbiorzew K wierzchołkówkońcowych; P s (w) Pzakończeniagrywwgdyużytesąstrategiezs. 3. Można zatem określić wypłaty każdego gracza: u j (s)=u j (w(s))wgrzebezposunięćlosowych, u j (s)=e P(s) u j (w)wgrzezposunięciamilosowymi i w ten sposób uzyskać postać normalną dowolnej gry w postaci ekstensywnej. Wobec tego dla gier w postaci ekstensywnej można określić pojęcia: dominacji i słabej dominacji poziomu bezpieczeństwa najlepszej odpowiedzi równowagi Nasha jako odpowiednie obiekty z postaci normalnej danej gry. Podgra gry w postaci ekstensywnej todowolnepoddrzewow =(W,E )drzewaw (=dowolnywierzchołekwicałaczęśćdrzewawnastępującapow)onastępującej własności: j,k I j,k I(W) (I j,k W (I j,k W = )) (tzn.w nieprzecina zbiorówinformacyjnychwyjściowejgry) przy czym wypłaty i prawdopodobieństwa w podgrze oraz jej struktura informacyjna są odziedziczone z wyjściowej gry. Uwaga. Każda strategia(czysta lub mieszana) w grze wyznacza strategię w dowolnej jej podgrze(przez obcięcie).
4 Równowaga doskonała: RównowagaNasha(s 1,s 2,...,s n )wgrzewpostaciekstensywnejjestdoskonała, jeśli po obcięciu do dowolnej podgry wyznacza w tej podgrze równowagę. ANALIZA GIER EKSTENSYWNYCH Stwierdzenie: Niech T będzie dowolnym podzbiorem zbioru wierzchołków końcowychw K wpewnejdwuosobowejgrzeskończonejzpełnąinformacjąibez posunięć losowych. Wtedy albo gracz1mastrategięs 1 gwarantującąmu,żegrazakończysięwzbiorzet ( s 2 w(s 1,s 2 ) T),albo gracz2mastrategięs 2 gwarantującąmu,żegraniezakończysięwt ( s 1 w(s 1,s 2 ) T). Dowód przez indukcję względem długości najkrótszej ścieżki. (Drugi krok indukcyjny: gracz decydujący jako pierwszy, np. 1, albo ma decyzję prowadzącą do podgry w której ma strategię gwarantującą zakończenie w T, albonie). Dowód efektywny przez indukcję wstecz: każdemu wierzchołkowi drzewa, w kolejności rosnącej długości najdłuższej ścieżki wychodzącej z danego wierzchołka, przypisujemy etykietę: tjeżelinależydot, albo wszystkie jego bezpośrednie następniki mają etykietę t, lubjeślinależydow 1 imabezpośredninastępnikzetykietąt; tjeżelinależydow K \T, albo wszystkie jego bezpośrednie następniki mają etykietę t, lubjeślinależydow 2 imabezpośredninastępnikzetykietą t. Strategiagracza1(2):ZkażdegowierzchołkawW 1 (ww 2 )przechodźdo wierzchołkazetykietąt(z t)jeślitylkosięda;jeślisięnieda,przechodź dokądkolwiek. Wniosek(Klasyczne twierdzenie Zermelo): W dwuosobowej grze skończonej z pełną informacją bez posunięć losowych, której jedynymi wynikami mogą być wygrana gracza 1 lub wygrana gracza 2, któryś z graczy ma strategię wygrywającą.
5 (dowód wziąć jako T zbiór wierzchołków w których wygrywa gracz 1). Jeżeli zaś jedynymi wynikami mogą być wygrana gracza 1, wygrana gracza 2 lubremis,to: albo któryś z graczy ma strategię wygrywającą, albo obaj gracze mają strategie zapewniające im co najmniej remis. Współczesne twierdzenie Zermelo: W każdej grze skończonej z pełną informacją istnieje równowaga doskonała w czystych strategiach. Jeżeli dodatkowo w grze nie ma posunięć losowych, a funkcja wypłaty każdego gracza jest różnowartościowa, to ta równowaga jest wyznaczona jednoznacznie. Dowód przez indukcję wstecz która pozwala ją od razu znaleźć. Krok algorytmu: Każdemu wierzchołkowi v po którym następują tylko liście, przypisujemy: łuk prowadzący do liścia z największą wypłatą gracza(j) decydującego w tym wierzchołku(jeśli jest więcej do dowolnego wybranego), wypłaty graczy w tym najlepszym liściu jeśliv W j, oczekiwanewypłatygraczywnastępującychpovliściach jeśliv W 0, po czym przycinamy drzewo w wierzchołku v. PozakończeniuprzebiegukażdemuwierzchołkowispozaW 0 przypisanyjest wychodzący z niego łuk, a więc każdemu graczowi strategia. Przypisane są też wypłaty jakich należy się spodziewać jeżeli gracze będą dalej grać racjonalnie(= strategie w równowadze doskonałej podgry startującej z tego wierzchołka). Tu korzysta się ze wspólnej wiedzy o racjonalności(podobnie jak w IESD). Strategie mieszane w grach w postaci ekstensywnej TwierdzenieKuhna:Każdastrategiamieszanaσ i graczaiwgrzewpostaci ekstensywnej jest równoważna pewnej strategii postępowania postaci τ i :W i R takiejżeτ(w i ) (A(w i )), tzn. przy każdej strategii łącznej pozostałych graczy prowadzi do tych samych wierzchołkówcoτ i : σ j w W k P (σj,σ j )(w)=p (τj,σ j )(w)
6 PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA W ORGANIZACJI RYNKU limitcapacity rozbudowa mocy produkcyjnych dla przeciwdziałania wejścia konkurencji sekwencyjne wejście na rynek monopolistyczny duopol von Stackelberga. DUOPOL v. STACKELBERGA Jak w duopolu Cournota: gracze=producencitegosamegowyrobu,q 1,q 2 [0,M] wielkościprodukcji, u i (q 1,q 2 )=(p(q) C i )q i =zysk,gdzie: Q=q 1 +q 2 łącznaprodukcja,c i kosztjednostkowygraczai, p(q) cena wyznaczona przez odwrotną funkcję popytu Różnica w stosunku do duopolu Counota: gra jest z pełną informacją najpierwwielkośćprodukcjiq 1 wybieragracz1( lider ), potemgracz2( naśladowca )wybieraq 2 znającq 1. Strategie: gracza1 [0,M],gracza2 funkcjef:[0,m] [0,M]. Równowaga Stackelberga równowaga doskonała tej gry: f(q 1 ) = NO 2 (q 1 )=argmax q2 [0,M]u 2 (q 1,q 2 ), q 1 = argmax q1 [0,M]u 1 (q 1,NO 2 (q 1 )). Przykład:liniowekosztyiodwrotnafunkcjapopytu,p=60 Q: (jakwduopolucournota)no 2 (q 1 )= 0 jeśliq 1 60 C 2 60 C 2 2 q 1 2 jeśliq 1 60 C 2 inaścieżcerównowagidoskonałejdostajemynp.przyc 1 =24 dlac 2 =C 1 =24: 0 q NO 2 (q 1 )= q 1 2 q 1 36,q 1 =18,q 2 =NO 2 (q 1 )=9; dlac 2 =32: q 1 =22, q 2 =3; dlac 2 =40: q 1 =20, q 2 =0 (wtychdwóchprzypadkachliderprodukujewięcejniżjegoq mon =18aby zmusić gracza 2 do ograniczenia lub zaprzestania produkcji); przyc 1 =24,C 2 42: q 1 =q mon =18(optimummonopolisty), q 2 =0.
7 GRY PRZETARGU (targowania się) Dwaj gracze dzielą pomiędzy siebie dobro( ciasto ) początkowej wielkości 1, naprzemiennieskładającpropozycjepodziału:(k 1,k 2 )gdziek 1 +k 2 =1; gracz odrzucający propozycję musi następnie złożyć własną. Pierwsza przyjęta propozycja kończy grę. Wynikgry:(a,b,t);t N czas,a,b otrzymaneczęściciasta (wstosunkudojegoaktualnejwielkości zawszea+b=1). Założenia: ciasto jest pożądane: u 1 (k 1,k 2,t)>u 1 (k 1 ǫ,k 2 +ǫ,t) oraz u 2 (k 1,k 2,t)<u 2 (k 1 ǫ,k 2 +ǫ,t) dladowolnychk 1,k 2 itorazǫ>0 czasjestcenny: u i (k 1,k 2,t)>u i (k 1,k 2,t+1). Modelowanie tego: np. u i (k 1,k 2,t)=w t k i gdzie(w t ) ciągmalejący,w 1 =1( ciastaubywazczasem ); u i (k 1,k 2,t)=δ t 1 i k i gdzieδ 1,δ 2 ]0,1[ współczynnikidyskontagraczy1i2 miaryniecierpliwości ( ciasto się starzeje ). Przetarg Stahla ograniczony w czasie: w zadanym z góry momencie T przy braku porozumienia pozostałe ciasto zostajepodzielonewustalonychzgóryproporcjachk 1,K 2,K 1 +K 2 =1. Ta gra jest skończona i rozwiązuje się ją stosując zwykłą indukcję wstecz.
8 Przetarg Rubinsteina bez ograniczenia czasu trwania: możliwe są nieskończone ścieżki wieczna niezgoda z wynikiem (0, 0, ) takimżeu i (0,0, )=0. Oznaczamy: x (t) =(x (t) 1,x (t) 2) propozycjagracza1złożonawnieparzystejchwilit y (t) =(y (t) 1,y (t) 2) propozycjagracza1złożonawparzystejchwilit Wynik gry: (x (t) 2 =1 x (t) 1,y (t) 2 =1 y (t) 1). W(s 1,s 2 )=(k 1,k 2,t) gdzie:t numerpierwszejprzyjętejpropozycji,(k 1,k 2 ) tapropozycja(gracza 1lub2),albo(0,0, )gdytakiejpropozycjiniema. W modelu Rubinsteina: każdypodziałciasta(a,1 a)jestpodziałemwrównowadzenasha strategie prowadzące do tego podziału: gracz1 s 1 :Zawszeproponuję(a,1 a),na(y (t) wtedyitylkogdyy (t) 1 a gracz2 s 2 :Zawszeproponuję(a,1 a),na(x (t) wtedyitylkogdyx (t) 2 1 a. 1,y (t) 1,x (t) 2)zgadzamsię 2)zgadzamsię żadnazpowyższychrównowagniejestdoskonała wmodeluzdyskontem: jeślib>0,tos 2 niejestnajlepsząodp.gracza2nas 1 wpodgrzenastępującejpopropozycjix (1) =(x (1) 1,x (1) 2)gdziex (t) 2 ]δ 2 b,b[(dlaczego?) jeślib=0,tos 1 niejestnajlepsząodp.gracza1nas 2 wpodgrzenastępującejpoodrzuceniuprzezgracza2propozycjix (1) =(x (1) 1,x (1) 2)i zaproponowaniu(y (2) 1,y (2) 2 )takiegożegdziey (2) 1 ]δ 1,1[. jedyną równowagą doskonałą modelu z dyskontem jest para strategii: s 1 :Zawszeproponujępodział(x 1,x 2 ), Zgadzamsięnapropozycje(y 1,y 2 ) y 1 δ 1 x 1 ; s 2 :Zawszeproponujępodział(y 1,y 2 ), Zgadzamsięnapropozycje(x 1,x 2 ) x 2 δ 2 y 2 gdzie:y 1 =δ 1 x 1,x 2 =δ 2 y 2.
9 Rozwiązanie tego układu równań: Np.przyδ 1 = 5 6,δ 2= 4 5 x 1 = 1 δ 2 1 δ 1 δ 2, x 2 = δ 2(1 δ 1 ) 1 δ 1 δ 2, y 1 = δ 1(1 δ 2 ) 1 δ 1 δ 2, y 2 = 1 δ 1 1 δ 1 δ 2. x 1 = 3 5,x 2= 2 5,y 1=y 2 = 1 2 iwgrzewktórejpierwsząpropozycjęskładagracz1,dostanieon60%ciasta. Statyka porównawcza: Przyustalonymδ 1 :gdyδ 2 rośnie,y 2 ix 2 rosną cierpliwośćjestopłacalna.
10 GRY Z NIEKOMPLETNĄ INFORMACJĄ (gry bayesowskie ) Niekompletna informacja (nie mylić z niepełną informacją!) niepewność jednego lub więcej graczy dotycząca gry. Można zawsze sprowadzić ją do niepewności funkcji wypłat innych graczy. Przykład: Gracze = { Monopolista, Konkurent } Strategie: M: buduje nową dużą linię produkcyjną lub nie, K:wchodzinarynekmonopolistylubnie. Jeśli M nie buduje, K wchodząc odbierze mu część zysków; jeślibuduje,zarabianatym7 c(gdziec kosztbudowy)iwraziewejścia konkurenta obniża jego zyski o 4. Wojna cenowa kosztuje go dodatkowo 2. Monopolistaznaswój typ c,konkurentgoniezna i stąd gra jest z niekompletną informacją. Przyjmiemyżemonopolistamożemiećalboniski,albowysokikoszt:c n <c w. KnieznakosztówM;wieżegra(jakogracz2)jednązgier: M K W NW B 9 c w ; 2 13 c w ;0 NB 4;2 6;0 M K W NW B 9 c n ; 2 13 c n ;0 NB 4;2 6;0 aleniewie,którą. Wersjanajprostsza:c n =4,c w =9: każdy typ monopolisty ma strategię dominującą( słaby NB, mocny B)
11 i wobec tego przy założeniu racjonalności gracza M strategia W skutkuje dla gracza K loterią ( 2,p NK ;2,p WK ) p K prawdopodobieństwożekosztymsąniskie/wysokie. TęloterięgraczKporównujezpewnąwypłatą0dlastrategiiNWiwybierze strategięwzależnościodswejocenyp NK ip WK, stąd równowaga: M mocny B,M słaby NB, KWjeżelip NK <0,5,Nwpp. Wersjaniecotrudniejsza:c n =6,c w =9. Teraz tylko słaby M ma strategię dominującą i wobec tego K ocenia prawdopodobieństwo nadziania się na strategię B tak: stąd równowagi: przykażdymp NK : (NB,NB,W) przyp NK 1 2 : (B,NB,NW) p B =p NK y NK,B, (( 1 przyp NK 1 2 :,1 1 ) ( 1,NB, 2p NK 2p NK 2 2)),1 (kolejno strategie: mocnego monopolisty, słabego monopolisty, konkurenta). Przy tych strategiach łącznych: strategia każdego typu M jest jego najlepszą odpowiedzią na strategię K, strategia K jest jego najlepszą odpowiedzią na loterię na strategiach M z P wyliczonymi na podstawie prawdopodobieństw wystąpienia poszczególnych typów M i strategii(być może mieszanych) tych typów i to jest ogólne pojęcie równowagi w grach z niekompletną informacją.
12 DEFINICJA. Gra w postaci normalnej z niekompletną informacją: gdzie (N,A 1,...,A n,θ 1,...,Θ n,u 1,...,u n,p 1,...,p n ) N={1,2,...,n} zbiórgraczy, A i zbiórdostępnychakcjigraczai, Θ i zbiórmożliwychtypówgraczai, u i :Θ i A R funkcjawypłatygraczai,zależnatakżeodjegotypu, p i rozkładprawdopodobieństwanaθ i ; p i (θ i ) ocenagraczaiprawdopodobieństwawystępowaniaukładutypów θ i.(możezależećodθ i ). Strategia(czysta)graczai:dowolnafunkcjas i :Θ i A i. DEFINICJA.Strategiałączna(s 1,s 2,...s n )jest bayesowską równowagąnashatakiejgry,jeżeli i θ i Θ i a i A i E pi u i (θ i,s 1,...s i (θ i ),...s n ) E pi u i (θ i,s 1,...a i,...s n ). Równowaga w grze z niekompletną informacją jest rozdzielającajeżeli i=1,2,...n θ i,θ i Θ is i θi s i θ i (różne typy tego samego gracza wybierają różne strategie), grupującajeżeli i=1,2,...n θ i,θ i Θ i s i θi =s i θ i (wszystkie typy tego samego gracza wybierają tę samą strategie). (Oczywiście możliwe są też przypadki pośrednie).
13 Gry w postaci ekstensywnej z niekompletną informacją Podobnie jak gry w postaci normalnej z niekompletną informacją: każdyzgraczy(i)możebyćjednegoztypówθ i,1,...θ i,k Θ i, każdytypθ i maswójrozkładprawdopodobieństwaq i naθ i zbiorze możliwych typów pozostałych graczy. Strategia(czysta)graczaj dowolnafunkcjas j :W j Θ j Atakaże 1. w W j s j (w,θ j ) A(w), 2.w,w I j,k s j (w,θ j )=s j (w,θ j ). Podejście Harsányi ego Grę z niekompletną informacją(czy to w postaci normalnej, czy ekstensywnej) przekształcamy do postaci ekstensywnej z niepełną, ale kompletną informacją, która rozpoczyna się posunięciem losowym obsadzeniem ról, czyli wyznaczeniem typów wszystkich graczy. Jesttomożliwezawszegdyrozkładyp 1,p 2,...,p n sązgodne,tzn.istniejetaki rozkładpnaθ 1... Θ n żedlakażdegoip i jestjegorozkładembrzegowym naθ i : p i (θ i =(t 1,...,t i 1,t i+1,...t n ))=P((θ i =(t 1,...,t i 1,t i+1,...t n ) (θ i =t i )), i wtedy rozkładem wyników tego posunięcia losowego jest P. DEFINICJA.Strategiałączna(s 1,s 2,...s n )orazukładocenprawdopodobieństw(q 1,q 2,...q n )sąbayesowskąrównowagądoskonałągryekstensywnej, jeżelidlakażdegograczaiikażdegojegozbioruinformacyjnegoj W i 1.rozkładq i (J)nawierzchołkachwzbiorzeJjestwyznaczonyprzezrozkład początkowyp i istrategiegraczy(s 1,s 2,...s n )zgodniezwzorembayesa ( bayesowskie uaktualnianie ocen ), 2.strategias i prowadzidowyboruwtymzbiorzeakcjis i (J),któraprzy ocenieprawdopodobieństwq i nazbiorzejjestnajlepsząodpowiedziąna strategie(s 1,...,s i 1,s i+1,...s n )(sekwencyjnaracjonalność).
14 Przykład- prosty wariant modelu Spence a rynku pracy Gracze={1-Pracownik,2-Pracodawca } Typygracza1:Θ 1 = {Wybitny,Przeciętny }; P(θ 1 =W)=µ W, P(θ 1 =P)=µ P =1 µ W. Strategie: 1: zdobywa dyplom uniwersytecki(d) lub nie(nd), 2: zatrudnia gracza 1 na stanowisku szeregowym(sz) lub kierowniczym(k). Koszt zdobycia dyplomu: c P dlagracza1typup,c W <c P dlagraczatypuw. Płaca:p K nastanowiskukierowniczym,p Sz <p K naszeregowym. LOS P µ P W µ W 1 1 ND ND 2 D Sz K Sz K D p Sz p K p Sz p K z Sz p Sz z K,P p K z Sz p Sz z K,W p K Sz K 2 Sz K p Sz c P z Sz p Sz p K c P z K,P p K p Sz c W z Sz p Sz p K c W z K,W p K Wartość(brutto) pracownika dla pracodawcy: nastanowiskuszniezależnieodtypupracownikaz Sz, nakierowniczymz K,W jeślipracownikjesttypuw,z K,P jeślijesttypup, z K,P p K <z Sz p Sz <z K,W p K.
15 Możliwe równowagi w tym przykładzie: 1. Rozdzielająca w której dyplom uzyskują tylko pracownicy typu W: 1:W D,P ND ; 2:D K,ND Sz. Tarównowagawystępujegdyp K c W p Sz p K c P, iwtedywgórnymzbiorzeinf.(nd)q 2 (W)=0,q 2 (P)=1 awdolnym(d)q 2 (W)=1,q 2 (P)=0. 2. Grupująca w której żaden typ gracza 1 nie zdobywa dyplomu: 1:zawszeND ; 2:D cokolwiek,nd Sz występujegdyp K c W p Sz iz Sz p Sz µ P z K,P +µ W z K,W p K (tzn. pracownika losowo wybranego z całej populacji lepiej zatrudnić jako SzniżjakoK).Wzbiorzeinf.NDmamyq 2 (W)=µ W,q 2 (P)=µ P,w D dowolneprzyktórychakcja2wtymzbiorzejestsekwencyjnieracj. 3. Grupująca w której żaden typ gracza 1 nie zdobywa dyplomu: 1:zawszeND ; 2:D cokolwiek,nd K występujegdyp K c W p Sz iz Sz p Sz µ P z K,P +µ W z K,W p K (pracownika losowo wybranego z całej populacji lepiej zatrudnić jako K). Oceny jak w równowadze(2) 4. Grupująca w której każdy typ gracza 1 zdobywa dyplom: 1:zawszeD ; 2:D K,ND Sz występujegdyp K c P p Sz iz Sz p Sz µ P z K,P +µ W z K,W p K. Ocenygracza2:wzbiorzeinf.Dq 2 (W)=µ W,q 2 (P)=µ P, wnd dowolneprzyktórychakcjaszwtymzbiorzejestsekwencyjnie racjonalna. W tym modelu w równowadze rozdzielającej uzyskanie dyplomu stanowi sygnał wysokiej wartości dla pracodawcy.
16 GRY POWTARZANE Idea: Gry powtarzane modelują długotrwałą interakcję tych samych graczy. Polegają na wielokrotnym rozgrywaniu przez nich tej samej gry w postaci normalnej(gry etapowej). Przed każdą rozgrywką, oprócz pierwszej, gracze znają całą dotychczasową historię gry. Oznaczmy:G=(A 1,A 2,u 1,u 2 ) graetapowa (wprzypadku2-osobowym). Wówczas:historiawchwilit Ntodowolnyciąg: h t =((a (1) 1,a (1) 2 ),...,(a (t 1) 1,a (t 1) 2 )) par użytych dotychczas akcji(= strategii w grze etapowej), H t zbiórwszystkichmożliwychhistoriiwchwilit. Graskończeniepowtarzana(Trazy)G T tograwktórej strategiegraczytodowolnefunkcjes i : T t=1 H t A i, każdaparastrategiiwyznaczawkażdymmomencietakcjegraczya (t) (lubloterienazbiorzeakcjijeżelis i (h t ) A i \A i), 1,a (t) 2 wypłata gracza to średnia jego wypłat ze wszystkich etapów rozgrywki: u i (s 1,s 2 )= 1 T T t=1 u i (a (t) 1,a (t) 2). GranieskończeniepowtarzanaG δ tograwktórej strategiegraczytodowolnefunkcjes i : t=1 H t A i, każdaparastrategiiwyznaczawkażdymmomencietakcjegraczy jakw grach skończenie powtarzanych, wypłata gracza to suma zdyskontowanych wypłat z etapów rozgrywki: u i (s 1,s 2 )=(1 δ) t=1 δ t 1 u i (a (t) 1,a (t) 2)] gdzie δ ]0, 1[ czynnik dyskontujący(wspólny dla obu graczy). 16
LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.
LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3
LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Bardziej szczegółowoTeoria Gier. Piotr Kuszewski 2018L
Teoria Gier Piotr Kuszewski 2018L Tematyka wykładów plan akcji Wykład I John von Neumann Trochę historii Czym jest gra i strategia Użyteczność Jak wyeliminować niektóre strategie Wykład II John Nash Równowaga
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoCzym zajmuje się teroia gier
Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych
Bardziej szczegółowo13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej
13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca
Bardziej szczegółowoPropedeutyka teorii gier
Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej
TEORIA GIER- semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej 1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER - semestr zimowy 2011
TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 Przykładowe rozwiązania 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy,
Bardziej szczegółowoCzym zajmuje się teroia gier
Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 7
LEKCJA 7 ZDOLNOŚCI PRODUKCYJNE Inwestując w kapitał trwały zwiększamy pojemność produkcyjną (czyli maksymalną wielkość produkcji) i tym samym możemy próbować wpływać na decyzje konkurencyjnych firm. W
Bardziej szczegółowoTeoria gier w ekonomii - opis przedmiotu
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoStochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych
Stochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 10 listopada 2016 Proseminarium licencjackie
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 9
LEKCJA 9 Oligopol równoczesnej konkurencji cenowej przy wyborze zdolności produkcyjnych (model Kreps a) Jeżeli zdolności produkcyjne co najmniej jednej z firm są ograniczone, to na rynku będziemy obserwować
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii gier
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 1 1 Klasyfikacja gier 2 Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane 3 Punkty równowagi w grach o sumie zerowej 4 Gry dwuosobowe oraz n-osobowe
Bardziej szczegółowoOligopol. Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj
Oligopol Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i działaj ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj dniają istnienie pozostałych firm. Na decyzję firmy wpływaj
Bardziej szczegółowoMateriał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Bardziej szczegółowo1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2
1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2
Bardziej szczegółowoPrzykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna
Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Na poczatku gry dwaj gracze wkładaja do puli po 1$. Następnie, gracz 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony.
Bardziej szczegółowoEgzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje
Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoOligopol. dobra są homogeniczne Istnieją bariery wejścia na rynek (rynek zamknięty) konsumenci są cenobiorcami firmy posiadają siłę rynkową (P>MC)
Oligopol Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób strategiczny i działają niezależnie od siebie, ale uwzględniają istnienie pozostałych firm. Na decyzję firmy wpływają decyzje
Bardziej szczegółowoWyznaczanie strategii w grach
Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych
Bardziej szczegółowoModele lokalizacyjne
Modele lokalizacyjne Model Hotelling a Konsumenci jednostajnie rozłożeni wzdłuż ulicy Firmy konkurują cenowo Jak powinny ulokować się firmy? N=1 N=2 N=3 Model Salop a Konsumenci jednostajnie rozłożeni
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia
Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F
Bardziej szczegółowoAukcje groszowe. Podejście teoriogrowe
Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoModel Bertranda. np. dwóch graczy (firmy), ustalają ceny (strategie) p 1 i p 2 jednocześnie
Model Bertranda Firmy konkurują cenowo np. dwóch graczy (firmy), ustalają ceny (strategie) p 1 i p jednocześnie Jeśli produkt homogeniczny, konsumenci kupują tam gdzie taniej zawsze firmie o wyższej cenie
Bardziej szczegółowoStochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów
Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14
Bardziej szczegółowoStrategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowoAnaliza cen duopolu Stackelbera
Na samym początku odpowiedzmy na pytanie czym jest duopol. Jest to forma rynku w której kontrolę nad nim posiadają 2 przedsiębiorstwa, które konkurują pomiędzy sobą wielkością produkcji lub ceną. Ze względu
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II: Kolokwium, grupa II
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowo1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania
1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,
Bardziej szczegółowoGRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils
GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J 5 0
Bardziej szczegółowo5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A)
1. Na rynku pewnego dobra działają dwie firmy, które zachowują się zgodnie z modelem Stackelberga. Firmy ponoszą stałe koszty krańcowe równe 24. Odwrócona linia popytu na tym rynku ma postać: P = 480-0.5Q.
Bardziej szczegółowoHyper-resolution. Śmieciarki w Manncheim
Hyper-resolution Hyper-resolution Algorytm repeat NGi NGi NGj NGi nowe Nogoods, które da się wywieść z NGi if NGi then NGi NGi NGi roześlij NGi do wszystkich sąsiadów if NGi then stop end until NGi nie
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań
Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).
TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier
Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoLEKCJA 8. Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC.
LEKCJA 8 KOSZTY WEJŚCIA NA RYNEK Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC. Na wysokość barier wpływ mają: - korzyści skali produkcji,
Bardziej szczegółowoPlan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha
Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!
Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:
Bardziej szczegółowoSchemat sprawdzianu. 25 maja 2010
Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,
Bardziej szczegółowo6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne
6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne
Bardziej szczegółowoLista zadań. Równowaga w strategiach czystych
Lista zadań Równowaga w strategiach czystych 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Podaj definicję Pareto optymalności i znajdź pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b)
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy
Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoGry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać
Bardziej szczegółowoTeoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoZacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym.
Oligopol Oligopol jest zagadnieniem, którego zrozumienie wymaga dobrej znajomości teorii gier. Modele Oligopolu badane przez ekonomistów koncentrują się bowiem na znalezieniu rozwiązania (równowagi) w
Bardziej szczegółowoTeoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
Bardziej szczegółowoBisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoLEKCJA 11. Koszty wejścia na rynek Model Spence a. Czy monopolista może zyskownie zamknąć rynek przy wykorzystaniu zdolności produkcyjnych?
LEKCJA 11 Koszty wejścia na rynek Model Spence a Czy monopolista może zyskownie zamknąć rynek przy wykorzystaniu zdolności produkcyjnych? Dwa okresy: t=1, 2 Dwie firmy (i=1, 2) wytwarzają homogeniczny
Bardziej szczegółowo12. Funkcja popytu jest liniowa. Poniższa tabela przedstawia cztery punkty na krzywej popytu:
1. Dla której z poniższych funkcji popytu elastyczność cenowa popytu jest równa -1 i jest stała na całej długości krzywej popytu? A) Q = -5 + 10 B) Q = 40-4 C) Q = 30000-1 D) Q = 2000-2 E) Q = 100-3 F)
Bardziej szczegółowo5. Jeśli funkcja popytu na bilety do kina ma postać: q = 122-7P, to całkowity utarg ze sprzedaży biletów jest maksymalny, gdy cena wynosi:
1. Na oligopolistycznym rynku istnieje 8 firm, które zachowują się zgodnie z modelem Cournota (jednoczesne ustalanie ilości). Wszystkie firmy ponoszą takie same koszty krańcowe, równe 12 zł od jednostki
Bardziej szczegółowo4. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A)
1. Rozważmy rynek doskonale konkurencyjny w długim okresie. Funkcja kosztu całkowitego pojedynczej firmy jest następująca: TC = 1296q 2 + 1369 dla q > 0 oraz TC = 0 dla q = 0. Wszystkie firmy są identyczne.
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMODELE STRUKTUR RYNKOWYCH
MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH ZADANIE. Mamy trzech konsumentów, którzy zastanawiają się nad nabyciem trzech rożnych programów komputerowych. Właściwości popytu konsumentów przedstawiono w następującej tabeli:
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 11 Teoria gier Spis treści Wstęp Postać ekstensywna Strategie Postać normalna Równowaga Nasha Wstęp W sporcie i grach towarzyskich najczęściej mamy do czynienia
Bardziej szczegółowo-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
Bardziej szczegółowo8. Jeśli funkcja popytu na bilety do kina ma postać: q = 356-3P, to całkowity utarg ze sprzedaży biletów jest maksymalny, gdy cena wynosi:
1. rzedsiębiorstwo posiada dwa zakłady. Funkcja popytu rynkowego dana jest równaniem: = 46080-4Q, gdzie Q - produkcja całego rynku. Funkcja kosztu całkowitego pierwszego i drugiego zakładu jest następująca:
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoRyszard Rapacki, Piotr Maszczyk, Mariusz Próchniak
Struktury rynku a optymalne decyzje w przedsiębiorstwie Ryszard Rapacki, Piotr Maszczyk, Mariusz Próchniak Program MBA-SGH VI edycja PORÓWNANIE STRUKTUR RYNKU Cecha Struktura rynku Konkurencja doskonała
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoKażde pytanie zawiera postawienie problemu/pytanie i cztery warianty odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa.
Każde pytanie zawiera postawienie problemu/pytanie i cztery warianty odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa. 1. Możliwości finansowe konsumenta opisuje równanie: 2x + 4y = 1. Jeżeli dochód konsumenta
Bardziej szczegółowoModelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?
Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny
Bardziej szczegółowoOligopol wieloproduktowy
Oligopol wieloproduktowy Do tej pory zakładali adaliśmy, że e produkty sąs identyczne (homogeniczne) W rzeczywistości ci produkty sprzedawane przez firmy nie są doskonałymi substytutami. W większo kszości
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:
Bardziej szczegółowo1. S³owo wstêpne Geologia gospodarcza g³ówne aspekty problematyki badawczej Zakres, treœæ i cel rozprawy...
Spis treœci Streszczenie... 11 Summary... 13 1. S³owo wstêpne... 15 1.1. Geologia gospodarcza g³ówne aspekty problematyki badawczej... 16 1.2. Zakres, treœæ i cel rozprawy... 17 2. Zarys teorii decyzji...
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Łańcuchy Markowa: zagadnienia graniczne. Ukryte modele Markowa. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ KLASYFIKACJA STANÓW Stan i jest osiągalny
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowo