11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
|
|
- Barbara Wiśniewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy nie ma doskonałej informacji (np. gdy ruchy są symultaniczne, np. kamień-nożyczki-papier ), intuicyjnie czasami opłaca się graczowi być nieprzewidywalnym (czyli wybrać akcję losowo) Gdy strategia określa że pewien ruch ma zostać wybrany w sposób losowy jest to strategia mieszana. 1 / 32
2 Strategie Czyste i Mieszane Gra kamień-nożyczki-papier można przedstawić w następującej postaci macierzowej: K N P K (0,0) (1,-1) (-1,1) N (-1,1) (0,0) (1,-1) P (1,-1) (-1,1) (0,0) Intuicyjnie, w równowadze, obaj gracze wybierają dowolną akcję z prawdopodobieństwem 1/3. 2 / 32
3 Strategie Czyste i Mieszane Gdy strategia określa że gracz ma zawsze podjąć tę samą akcję w grze macierzowej, jest to strategia czysta. Zakładamy że gracze wybierają swoje akcje niezależnie od siebie (czyli nie ma komunikacji). 3 / 32
4 Strategie Czyste i Mieszane Zakładamy że w grze kamień-nożyczki-papier, gracz 1 wybiera kamień, nożyczki a papier z prawdopodobieństwami p K, p N a p P, odpowiednio. Gracz 2 wybiera kamień, nożyczki a papier z prawdopodobieństwami q K, q N a q P, odpowiednio. Rozkład pary podjętych akcji jest K N P K p K q K p K q N p K q P N p N q K p N q N p N q P P p P q K p P q N p P q P 4 / 32
5 Strategie Czyste i Mieszane Gdy gracze używają strategii mieszanych, oczekiwaną wypłatę się oblicza względem tego rozkładu łącznego. Więc np. R 1 (M 1, M 2 )=p K q K R 1 (K, K) + p K q N R 1 (K, N) + p K q P R 1 (K, P) + +p N q K R 1 (N, K) + p N q N R 1 (N, N) + p N q P R 1 (N, P) + +p P q K R 1 (P, K) + p P q N R 1 (P, N) + p P q P R 1 (P, P) =p K q N + p N q P + p P q K p N q K p P q N p K q P. 5 / 32
6 Czysta Równowaga Nasha Para akcji (A, B ) stanowi czystą równowagę Nasha gdy R 1 (A, B ) R 1 (A, B ); R 2 (A, B ) R 2 (A, B). dla dowolnej akcji A gracza 1 i dowolnej akcji B gracza 2. Więc para akcji stanowi czystą równowagę Nasha gdy nie opłaca się żadnemu graczowi jednostronnie zmienić akcję. Wartością gry odpowiadającą danej równowadze czystej jest wektor wypłat otrzymanych przy tych akcjach. 6 / 32
7 Mocna Równowaga Nasha Para akcja (A, B ) stanowi mocną równowagę Nasha gdy R 1 (A, B ) > R 1 (A, B ); R 2 (A, B ) > R 2 (A, B). dla dowolnej akcji A A gracza 1 i dowolnej akcji B B gracza 2. czyli para akcji stanowi mocną równowagę Nasha gdy każdy gracz tylko by stracił przy jednostronnej zmianie akcji. Każda równowaga Nasha, która nie jest mocna jest zwana słabą. 7 / 32
8 Mieszana Równowaga Nasha Para mieszanych strategii (M 1, M 2 ) stanowi mieszaną równowagę Nasha gdy R 1 (M 1, M 2 ) R 1 (A, M 2 ); R 2 (M 1, M 2 ) R 2 (M 1, B) dla dowolnej akcji (strategii czystej) A gracza 1 i dowolnej akcji (strategii czystej) B gracza 2. Należy zauważyć że gdy gracz 1 używa mieszanej strategii M przeciwko strategii mieszanej M 2 gracza 2, jego wypłata oczekiwana jest średnią ważoną z wartości oczekiwanych dla różnych akcji (R 1 (A, M 2 )), gdzie wagi są równe prawdopodbieństwu tego że dana akcja zostanie wybrana. 8 / 32
9 Mieszana Równowaga Nasha Wynika z tego że optymalną strategią przeciwko M 2 jest akcja (strategia czysta), która zapewnia największą wypłatę przeciwko M 2, czyli gdy nie opłaca graczowi zmienić strategię na żadną dowolną strategię czystą, wtedy nie opłaca graczowi zmienić strategię na żadną dowolną strategię mieszaną. 9 / 32
10 Twierdzenie Bishopa-Canningsa Nośnikiem strategii mieszanej M 1 jest zbiór akcji wybranych z dodatnim prawdopodobieństwem przy strategii M 1. Niech (M 1, M 2 ) będzie mieszaną równowagą Nasha gdzie nośnikiem strategii M 1 jest zbiór S. Wtedy R 1 (A, M 2 ) = R 1 (M 1, M 2 ), A S; R 1 (B, M 2 ) < R 1 (M 1, M 2 ), B / S. Jest to intuicyjne, bo gdy w równowadze gracz używa akcji A 1 i A 2, wypłaty oczekiwane z tych akcji muszą być sobie równe, bo inaczej gracz wybrałby jedną akcję, a nie drugą. Więc w równowadze każda akcja z nośnika strategii M 1 musi przynieść tę samą wypłatę oczekiwaną, która jest równa oczekiwanej wypłacie dla M 1 w równowadze. Więc każda równowaga mieszana jest słaba. 10 / 32
11 Równowagi Nasha - Wyniki Każda gra macierzowa posiada przynajmniej jedną równowagę Nasha. Gdy istnieje dokładnie jedna czysta równowaga Nasha gry macierzowe o wymiarze 2 2 (czyli gra, w której obaj gracze mają tylko 2 możliwe akcje), wtedy jest to jedyna równowaga Nasha. Gdy nie ma czystej równowagi Nasha lub istnieją dwie czyste równowagi Nasha takiej gry, wtedy zawsze istnieje równowaga mieszana. Można wyznaczyć mieszaną równowagę Nasha za pomocą twierdzenia Bishopa-Canningsa. 11 / 32
12 Gry Symetryczne Gra jest symetryczna gdy 1. Wszyscy gracze wybierają z tego samego zbioru strategii. 2. R 1 (A, B) = R 2 (B, A). Należy zauważyć że symetryczna gra Jastrząb-Gołąb spełnia te warunki. 12 / 32
13 Gry Symetryczne Jeżeli para strategii (A, B) jest czystą równowagą Nasha gry symetrycznej, wtedy (B, A) jest też czystą równowagą Nasha. Przy równowadze mieszanej gry symetrycznej wymiaru 2 2, obaj gracze korzystają z tej samej strategii. 13 / 32
14 Równowaga Nasha - Przykład 11.1 Wyznaczyć wszystkie równowagi Nasha oraz wartości następującej gry. J G J (-2,-3) (4,0) G (0,4) (3,1) 14 / 32
15 Przykład / 32
16 Przykład / 32
17 Przykład / 32
18 Zalety Pojęcia Równowagi Nasha 1. Założenie że obaj gracze chcą zmaksymalizować swoją wypłatę (a nie przeskadzać drugiemu) wydaje się rozsądne. 2. Zwykle, się zakłada że gracze znają jakie są wypłaty drugiego gracza. Natomiast, aby wyznaczyć czyste równowagi Nasha, wystarczy znać preferencje drugiego gracza (czyli ranking wypłat, a nie dokładne wypłaty). 18 / 32
19 Wady Pojęcia Równowagi Nasha 1. Może istnieć kilka równowag Nasha i czasami trudno powiedzieć, która równowaga jest właściwa. 2. Aby wyznaczyć mieszaną równowagę Nasha, nie wystarczy znać same preferencje drugiego gracza. 3. Przy równowadze Nasha, każdy maksymalizuje swoją wypłatę przy strategii drugiego gracza, ale strategia drugiego gracza jest a priori (przed grą) nieznana. 19 / 32
20 Akcje Zdominowane przez Strategie Czyste Niech gracz 1 zawsze dostaje co najmniej tę samą wypłatę przy wyborze akcji A i co przy wyborze akcji A j, niezależnie od akcji wybranej przez gracza 2, oraz niech wypłata ta będzie ściśle większa przy jednej akcji gracza 2. Wtedy akcja A i dominuje akcję A j. czyli akcja A i dominuje akcję A j gdy R 1 (A i, B k ) R 1 (A j, B k ), k = 1, 2,..., n oraz dla pewnego k 0, R 1 (A i, B k0 ) > R 1 (A j, B k0 ). 20 / 32
21 Akcje Zdominowane przez Strategie Czyste Analogicznie, akcja B i dominuje akcję B j gdy R 2 (A k, B i ) R 2 (A k, B j ), k = 1, 2,..., m oraz dla pewnego k 0 R 2 (A k0, B i ) > R 2 (A k0, B j ). 21 / 32
22 Sukcesywne Usunięcie Akcji Zdominowanych Intuicyjnie, gracz nie powinien korzystać z akcji zdominowanej. Więc możemy usunąć akcję zdominowaną z macierzy opisującej grę bez wpływu na zbiór równowag Nasha. Należy zauważyć że akcja, która wcześniej nie była zdominowana, może zostać zdominowana po usunięciu strategii zdominowanych. Więc, usuwamy zdominowane strategie po kolei, aż nie ma już żadnych strategii zdominowanych w grze zredukowanej (zob. następny przykład). Należy zauważyć że gdy pewna akcja jest najlepszą odpowiedzią na pewną akcję drugiego gracza, wtedy nie może być ona zdominowana (aż gra zostanie zredukowana w jakiś sposób). 22 / 32
23 Dominacja w Sensie Wypłat Wektor wypłat (v 1, v 2 ) dominuje wektor wypłat (x 1, x 2 ) w sensie Pareto, gdy v 1 x 1, v 2 x 2 oraz przynajmniej jedna z tych nierówności jest ścisła. Równowaga Nasha 1 dominuje równowagę 2 w sensie Pareto, gdy żaden gracz nie woli równowagi 2 od równowagi 1 oraz przynajmniej jeden gracz woli równowagę 1 od równowagi 2. Równowaga Nasha pewnej gry jest dominująca w sensie wypłat, gdy ona dominuje wszystkie inne równowagi tej gry w sensie Pareto. 23 / 32
24 Przykład Rozważamy następującą grę A B A (4,4) (0,0) B (0,0) (2,2) Takie gry są zwane grami koordinacji, skoro każdy gracz chce wybrać tę samą strategię co drugi gracz. 24 / 32
25 Przykład Istnieją 3 równowagi Nasha 1. (A, A) - wartość (4,4). 2. (B, B) - wartość (2,2). 3. (1/3A + 2/3B, 1/3A + 2/3B) - wartość ( 4 3, 4 3 ). Pierwsza równowaga dominuje pozostałe dwie, a druga równowaga dominuje trzecią. (A, A) jest dominującą równowagą Nasha w sensie wypłat. 25 / 32
26 Dominacja w Sensie Ryzyka Zakładamy że istnieją dwie czyste równowagi Nasha (A 1, A 2 ) i (B 1, B 2 ) oraz równowaga mieszana (pa 1 + (1 p)b 1, qa 2 + (1 q)b 2 ). Wtedy miary ryzyka związane z akcjami A 1 i B 1 (akcje gracza 1) są q i 1 q (prawdopodobieństwa związane z strategią mieszaną gracza 2), odpowiednio. Miary ryzyka związane z akcjami A 2 i B 2 (akcje gracza 2) są p i 1 p (prawdopodobieństwa związane z strategią mieszaną gracza 1), odpowiednio. 26 / 32
27 Dominacja w Sensie Ryzyka Należy zauważyć że aby gracz wolał A 1 od B 1, wtedy gracz Player 2 musi grać A 2 z prawdopodobieństwem co najmniej q. Więc, im większe q, tym większa jest niepewność gracza 1 wobec zasadności wyboru A 1. Czyli można używać q jako miary ryzyka związanego z akcją A / 32
28 Dominacja w Sensie Ryzyka Równowaga Nasha (A 1, A 2 ) dominuje równowagę Nasha (B 1, B 2 ) w sensie ryzyka gdy q 0.5 i p 0.5, oraz przynajmniej jedna z tych nierówności jest ścisła. czyli ryzyko związane z akcją A 1 jest mniejsze niż ryzyko związane z B 1 oraz ryzyko związane z akcją A 2 jest mniejsze niż ryzyko związane z B 2. Analogicznie, równowaga Nasha (B 1, B 2 ) dominuje równowagę Nasha (A 1, A 2 ) w sensie ryzyka gdy q 0.5 i p 0.5, oraz przynajmniej jedna z tych nierówności jest ścisła. Gdy równowaga Nasha (A 1, A 2 ) dominuje równowagę Nasha (B 1, B 2 ) zarówno w sensie wypłat jak i w sensie ryzyka, wtedy oczekujemy że racjonalni gracze wybierają równowagę Nasha (A 1, A 2 ). 28 / 32
29 Przykład 11.2 Rozważamy następującą grę A B C A (4,4) (-10,0) (5,-2) B (0,-10) (2,2) (4,1) C (-2,5) (1,4) (7,2) i) Usunąć strategie zdominowane z tej gry. Wyznaczyć wszystkie równowagi Nasha tej gry. ii) Która równowaga jest dominująca w sensie wypłat? Która równowaga jest dominująca w sensie ryzyka? 29 / 32
30 Przykład / 32
31 Przykład / 32
32 Przykład / 32
10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowo1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania
1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoLEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.
LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowo9 Funkcje Użyteczności
9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność
Bardziej szczegółowo14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier
14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier Klasyczna teoria gier zakłada że gracze tylko interesują się swoimi wypłatami, a nie wypłatami innych graczy. W dodatku, z założenia gracze maksymalizują
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoPropedeutyka teorii gier
Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier
Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia
Bardziej szczegółowoTeoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowo-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
Bardziej szczegółowoPlan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha
Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej
Bardziej szczegółowo13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej
13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoTeoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1 John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2 Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3
LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,
Bardziej szczegółowoEgzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje
Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer
Bardziej szczegółowoStochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych
Stochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 10 listopada 2016 Proseminarium licencjackie
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowo8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności
8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności Wcześniej, losowość (niepewność) nie była brana pod uwagę (poza przypadkiem ubezpieczenia życiowego). Na przykład, aby brać pod uwagę ryzyko że pożyczka nie zostanie
Bardziej szczegółowoAukcje groszowe. Podejście teoriogrowe
Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].
Bardziej szczegółowoGRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils
GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J 5 0
Bardziej szczegółowoTeoria Gier. Piotr Kuszewski 2018L
Teoria Gier Piotr Kuszewski 2018L Tematyka wykładów plan akcji Wykład I John von Neumann Trochę historii Czym jest gra i strategia Użyteczność Jak wyeliminować niektóre strategie Wykład II John Nash Równowaga
Bardziej szczegółowoLista zadań. Równowaga w strategiach czystych
Lista zadań Równowaga w strategiach czystych 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Podaj definicję Pareto optymalności i znajdź pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b)
Bardziej szczegółowoDaria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.
Bardziej szczegółowoStrategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Bardziej szczegółowoGry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej
Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej 2012 2013-01-16 1 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,-1 2013-01-16 2 Diagram przesunięć 2013-01-16
Bardziej szczegółowoDłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np.
Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. kula wyłożona głośnikami od wewnątrz. Popyt jest nieznany:
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoStochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów
Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14
Bardziej szczegółowoModelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?
Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny
Bardziej szczegółowoGry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać
Bardziej szczegółowo6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne
6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne
Bardziej szczegółowo1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2
1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowo1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.
Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem
Bardziej szczegółowoSTRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.
STRATEGIA PRZYBLIŻONA Ogólna strategia rozwiązywania gier NxN może być trudna obliczeniowo. Np. sprawdzenie otrzymanej mieszanej strategii wyrównującej : czy wszystkie strategie przeciwnika dają te same
Bardziej szczegółowoSchemat sprawdzianu. 25 maja 2010
Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoHyper-resolution. Śmieciarki w Manncheim
Hyper-resolution Hyper-resolution Algorytm repeat NGi NGi NGj NGi nowe Nogoods, które da się wywieść z NGi if NGi then NGi NGi NGi roześlij NGi do wszystkich sąsiadów if NGi then stop end until NGi nie
Bardziej szczegółowoPrzykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna
Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Na poczatku gry dwaj gracze wkładaja do puli po 1$. Następnie, gracz 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony.
Bardziej szczegółowoRozwiązania gier o charakterze kooperacyjnym
13 października 2008 Część 1 Część 1: Kooperacja Kooperacja Postać normalna gry Definicja gry Grą w postaci normalnej nazywamy układ (S 1, S 2, W 1, W 2 ), gdzie S i zbiór strategii i-tego gracza (i =
Bardziej szczegółowoOptymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1
1 Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1,x 2,,x k ], który spełnia warunki ograniczające: g i (x) 0 (i = 1 m), h i (x) = 0 (i = 1 p) oraz optymalizuje
Bardziej szczegółowoTeoria gier w ekonomii - opis przedmiotu
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki
Bardziej szczegółowoGRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne
GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ 1. 2. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne Gdy dwuosobowa gra nie jest grą o sumie zerowej, to aby ją opisać musimy podać wypłaty obu graczy. Jak wiadomo niektóre
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowoLista zadań. 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne.
Lista zadań 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. (a) U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b) U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Rozwiąż gry używając algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoPojęcia podstawowe. Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier. Jak porównać dwa porządki?
Pojęcia podstawowe Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier Decision Support Systems Mateusz Lango 5 listopada 16 problem decyzyjny decydent analityk model preferencji (3 rodzaje) zbiór wariantów/alternatyw
Bardziej szczegółowoOligopol. dobra są homogeniczne Istnieją bariery wejścia na rynek (rynek zamknięty) konsumenci są cenobiorcami firmy posiadają siłę rynkową (P>MC)
Oligopol Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób strategiczny i działają niezależnie od siebie, ale uwzględniają istnienie pozostałych firm. Na decyzję firmy wpływają decyzje
Bardziej szczegółowoCzym jest użyteczność?
Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej
TEORIA GIER- semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej 1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER - semestr zimowy 2011
TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 Przykładowe rozwiązania 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy,
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Bardziej szczegółowoMateriał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Bardziej szczegółowoModel Bertranda. np. dwóch graczy (firmy), ustalają ceny (strategie) p 1 i p 2 jednocześnie
Model Bertranda Firmy konkurują cenowo np. dwóch graczy (firmy), ustalają ceny (strategie) p 1 i p jednocześnie Jeśli produkt homogeniczny, konsumenci kupują tam gdzie taniej zawsze firmie o wyższej cenie
Bardziej szczegółowoDane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:
Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań
Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoJestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy)
MATEMATYKA STOSOWANA 5, 2004 Bolesław Kopociński (Wrocław) Jestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy) 1. Wprowadzenie. Przytoczone wyżej powiedzenie prezydenta
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM. cz. 6. dr BOŻENA STARUCH
PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM cz. 6 dr BOŻENA STARUCH bostar@matman.uwm.edu.pl Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoGry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie
Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki Joanna Sujka Nr albumu: 314325 Gry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie TEORII GIER Praca
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II: Kolokwium, grupa II
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,
Bardziej szczegółowoCzym zajmuje się teroia gier
Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych
Bardziej szczegółowoModele lokalizacyjne
Modele lokalizacyjne Model Hotelling a Konsumenci jednostajnie rozłożeni wzdłuż ulicy Firmy konkurują cenowo Jak powinny ulokować się firmy? N=1 N=2 N=3 Model Salop a Konsumenci jednostajnie rozłożeni
Bardziej szczegółowoGRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej)
GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) Gra w postaci ekstensywnej formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry, z uwzględnieniem struktury czasowej, możliwości wielokrotnego podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoAlgorytm memetyczny w grach wielokryterialnych z odroczoną preferencją celów. Adam Żychowski
Algorytm memetyczny w grach wielokryterialnych z odroczoną preferencją celów Adam Żychowski Definicja problemu dwóch graczy: P 1 (minimalizator) oraz P 2 (maksymalizator) S 1, S 2 zbiory strategii graczy
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja metodą Bayesa
Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik
Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji
Bardziej szczegółowoTematy prac magisterskich i doktorskich
Tematy prac magisterskich i doktorskich Stochastyczna dynamika z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).
TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące
Bardziej szczegółowoPrzyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do
Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER WNE UW, jesień 2011 PLAN PRZEDMIOTU
TEORIA GIER WNE UW, jesień 2011 PLAN PRZEDMIOTU 1. Indywidualne podejmowanie decyzji 2. Gry niekooperacyjne w postaci normalnej w postaci ekstensywnej 3. Gry z niekompletną informacją (w miarę możliwości).
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.
Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Lista zawiera kilkadziesiąt zadań dotyczących różnych gier z użyciem kart i kości, w tym tych najbardziej popularnych jak brydż, tysiąc itp. Kolejne zadania
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoKonstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach.
Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach. Łukasz Balbus 1 Wojewódzki Urza d Pracy w Zielonej Górze, 28 Maja 2014 1 Uniwersytet Zielonogórski. Cele teorii gier w ekonomii: próba zrozumenia
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowo