Gry w postaci normalnej

Transkrypt

1 Gry w postaci normalnej

2 Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać prawdę, zostana obaj skazani na 5 lat. Jeżeli obaj będa w zeznaniach kłamać, to sad będzie im w stanie udowodnić jedynie pomoc w organizacji napadu i wymierzy im karę 1 roku więzienia. Jeżeli tylko jeden z nich zezna prawdziwie, to jako świadek koronny nie zostanie skazany, a jego kolega dostanie 10 lat.

3 Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać prawdę, zostana obaj skazani na 5 lat. Jeżeli obaj będa w zeznaniach kłamać, to sad będzie im w stanie udowodnić jedynie pomoc w organizacji napadu i wymierzy im karę 1 roku więzienia. Jeżeli tylko jeden z nich zezna prawdziwie, to jako świadek koronny nie zostanie skazany, a jego kolega dostanie 10 lat. P F P -5,-5 0,-10 F -10,0-1,-1

4 Rozgrzewka Przykład 2. (Gra w 2/3 średniej) {0,1,2,...,100} Cel: jak najbliżej 2/3 średniej.

5 Rozgrzewka Przykład 3. A B C X 1,0 0,2 3,1 Y 2,3 1,2 0,1 Z 1,-4 0,-2-1,4

6 Rozgrzewka Przykład 4. P N P -5,-2 0,0 N -10,0 2,-2

7 Rozgrzewka Przykład 5. Papier-nożyczki-kamień P N K P 0,0-1,1 1,-1 N 1,-1 0,0-1,1 K -1,1 1,-1 0,0

8 Postać normalna (strategiczna) gry

9 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1)

10 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych

11 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarow a macierz wypłat W i W i : S 1... S n R

12 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia:

13 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna

14 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna cel: wygrać jak najwięcej (każdy myśli tylko o sobie)

15 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna cel: wygrać jak najwięcej (każdy myśli tylko o sobie) brak kooperacji (do odwołania)

16 Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna cel: wygrać jak najwięcej (każdy myśli tylko o sobie) brak kooperacji (do odwołania) Gra dwumacierzowa gra dwuosobowa w postaci normalnej

17 S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategie mieszane

18 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i

19 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1

20 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1

21 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1

22 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1 supp(σ i ) = {s S i : σ i (s) > 0} nośnik strategii σ i

23 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), supp(σ i ) = {s S i : σ i (s) > 0} t j=1 p j = 1 nośnik strategii σ i M i zbiór wszystkich strategii mieszanych gracza i

24 Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), supp(σ i ) = {s S i : σ i (s) > 0} t j=1 p j = 1 nośnik strategii σ i M i zbiór wszystkich strategii mieszanych gracza i S i M i

25 Mieszanie strategii mieszanych

26 Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1

27 Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t p j τ j M i j=1

28 Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t j=1 p j τ j M i kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii

29 Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t j=1 p j τ j M i kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii powłoka wypukła zbioru A = {a 1,...,a t }: conva = { t t j=1 p ja j : p 1,...,p t 0, p j = 1} j=1

30 Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t j=1 p j τ j M i kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii powłoka wypukła zbioru A = {a 1,...,a t }: conva = { t t j=1 p ja j : p 1,...,p t 0, p j = 1} convs i = M i j=1

31 n graczy Układy strategii

32 Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) układ strategii

33 Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) układ strategii

34 Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii

35 Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii σ i = (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...,σ n ) układ strategii przeciwników i

36 Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii σ i = (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...,σ n ) układ strategii przeciwników i M i = j im j

37 Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii σ i = (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...,σ n ) układ strategii przeciwników i M i = j im j σ i M i

38 Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii:

39 Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s)

40 Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n )

41 Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n ) Inny sposób zapisu w i ( σ):

42 Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n ) Inny sposób zapisu w i ( σ): w i ( σ j ;σ j ) wypłata gracza i, gdy j stosuje σ j, a przeciwnicy gracza j stosuj a układ σ j

43 Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n ) Inny sposób zapisu w i ( σ): w i ( σ j ;σ j ) wypłata gracza i, gdy j stosuje σ j, a przeciwnicy gracza j stosuj a układ σ j Domyślnie: gracze chc a zmaksymalizować zysk w sensie średniej (wartości oczekiwanej)

44 Podstawowa własność wypłaty

45 Podstawowa własność wypłaty Własność. Dla τ 1,...,τ t M i i dowolnej kombinacji wypukłej p 1 τ p n τ n zachodzi w j ( σ i ;p 1 τ p n τ n ) = p 1 w j ( σ i ;τ 1 )+...+p n w j ( σ i ;τ n ).