TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w"

Transkrypt

1 TEORIA GIER GRA DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) Gra składa się z zestawu reguł określających możliwości wyboru postępowania jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w której każda z jednostek stara się maksymalizować swój własny zysk i jednocześnie zminimalizować zysk pozostałych jednostek. Reguły gry określają ilość informacji dostępnych jednostkom oraz wysokość wygranych i przegranych.

2 ELEMENTY CHARAKTERYZUJĄCE GRĘ gracze: co najmniej dwóch (np. ludzie, firmy, państwa, gatunki) strategie: każdy z graczy ma do wyboru pewną określoną liczbę sposobów rozgrywania przez niego gry wynik gry: determinowany przez kombinację strategii wybranych przez graczy wypłaty: odpowiednie do wyniku przypadające każdemu graczowi zasady: ustalone i niezmienne w trakcie całej gry 2

3 PODZIAŁ GIER W ZALEZNOŚCI OD PRZYJĘTEGO KRYTERIUM () ze względu na liczbę graczy: bezosobowe (ang. zero-player games) gra w życie Convay s life, jednoosobowe (ang. one-player games) puzzle, pasjans, dwuosobowe (ang. two-player games) warcaby, szachy, backgammon, wieloosobowe (ang. multi-player games) brydż, poker, chińczyk ze względu na liczbę ruchów: jednochodowe papier-kamień-nożyce, wielochodowe szachy, warcaby, domino, brydż 3

4 PODZIAŁ GIER W ZALEZNOŚCI OD PRZYJĘTEGO KRYTERIUM (2) ze względu na zainteresowanie graczy wynikiem gry: antagonistyczne cele graczy są przeciwstawne; dążą oni do maksymalizowania swojej wygranej i, co za tym idzie, do minimalizowania wygranej przeciwnika, nieantagonistyczne (czasem nazywane grami z przyrodą) gracze, przynajmniej jeden, nie dąży do maksymalizowania swojej wygranej [teoria gier nieantagonistycznych wchodzi w zakres teorii podejmowania decyzji] 4

5 PODZIAŁ GIER W ZALEZNOŚCI OD PRZYJĘTEGO KRYTERIUM (3) ze względu na wygraną i przegraną: gry o sumie zerowej (ang. zero-sum games) wygrana jednego gracza oznacza przegraną drugiego [szachy, poker], gry o sumie niezerowej (ang. non-zero-sum games) ze względu na rodzaj współpracy graczy: kooperacyjne (ang. cooperative) gracze współpracują ze sobą (gry ekonomiczne), niekooperacyjne (ang. non-cooperative) 5

6 PODZIAŁ GIER W ZALEZNOŚCI OD PRZYJĘTEGO KRYTERIUM (4) ze względu na posiadaną informację: o pełnej informacji każdy gracz wybierając swój kolejny ruch posiada pełną informację o aktualnej sytuacji oraz o możliwościach przeciwnika [szachy, chińczyk], o niepełnej informacji każdy gracz wybierając swój kolejny ruch pozbawiony jest pełnej informacji o aktualnej sytuacji i możliwościach przeciwnika [domino, scrabble, brydż] 6

7 PODZIAŁ GIER W ZALEZNOŚCI OD PRZYJĘTEGO KRYTERIUM (5) ze względu na występowanie elementu losowości: całkowicie losowe ruletka, lotto, częściowo losowe brydż, scrabble, domino, zdeterminowane warcaby, szachy, go Każdą grę można scharakteryzować za pomocą kryteriów klasyfikacji: szachy: dwuosobowa, wielochodowa, antagonistyczna, o sumie zerowej, niekooperacyjna, o pełnej informacji, zdeterminowana ruletka: jednoosobowa, jednochodowa, nieantagonistyczna, o sumie zerowej, niekooperacyjna, o niepełnej informacji, całkowicie losowa 7

8 KOMPLETNA TEORIA RACJONALNEGO ROZGRYWANIA GIER w ogólnym ujęciu, możliwe jest opisywanie za pomocą pojęć z zakresu teorii gier, sytuacji społecznych: strategie korporacyjne, kampanie wyborcze, natura powinien zatem istnieć sposób właściwego postępowania w każdej sytuacji konfliktu i kooperacji czy istnieje? niestety nie, ponieważ:. nie zawsze znana jest: liczba graczy, ich strategie, wyniki i odpowiadające im wypłaty 2. nie zawsze spełnione jest założenie teorii gier o racjonalnym zachowaniu się graczy 3. trudno przewidzieć przebieg gry, w której interesy graczy nie są dokładnie przeciwstawne i takich, w których bierze udział więcej niż dwóch graczy 8

9 *GRA N-OSOBOWA[5] Załóżmy, że zadany jest pewien zbiór ruchów M = {m, m2,, mk}. W zbiorze M można wyróżnić n podzbiorów M, M2,, Mn, które w ogólnym przypadku nie muszą być rozłączne. Zbiór Mi jest zbiorem dopuszczalnych ruchów gracza Gi (i =, 2,, n). Gra polega na dowolnym wyborze przez graczy ruchów należących do zbioru ruchów dopuszczalnych dla danego gracza. Możliwe są dwa rodzaje ruchów: określone gracz wybiera w danym posunięciu ruch według określonych kryteriów, losowe wybór ruchu następuje według jakiegokolwiek mechanizmu losowego. Zespół ruchów wykonywanych od początku gry określa sytuację/stan gry bj B, B = {b, b2,, bl}. W zbiorze B można wydzielić podzbiór B B, którego elementami są sytuacje/stany końcowe. Wykonanie ruchu doprowadzają- 9

10 ce do sytuacji końcowej jest równoznaczne z zakończeniem gry. Każda sytuacja końcowa określa jednoznacznie wygrane i przegrane graczy oraz odpowiadają jej wypłaty pomiędzy graczami. Przyporządkowanie to wyznacza funkcję wypłat f, określoną na zbiorze sytuacji/stanów końcowych. Ruch gracza w każdym stanie jest przyporządkowany pewnym regułom (zależnym od sytuacji/stanu) oraz od możliwości gracza. Reguły te wyznaczają w zbiorze ruchów gracza Gi wydzielenie podzbioru M i M ruchów dozwolonych w danej sytuacji. Aby gra była określona, zadane powinny być: zbiory Mi, funkcja f, reguły wydzielania podzbiorów Mi w dowolnej sytuacji bj z uwzględnieniem możliwości gracza Gi. [porównaj z ELEMENTY CHARAKTERYZUJĄCE GRĘ] W tę definicję wpisują się wszystkie podziały gier poczynione wcześniej. 0

11 *GRAFICZNE PRZEDSTAWIENIE GRY i i i i i i i i i i i i i i 2 Rys.. Drzewo gry [5]

12 Węzłom drzewa odpowiadają sytuacje/stany. Krawędzie opisane są elementami zbioru M i. Przy węzłach kolorowych podane są wartości wypłat im odpowiadających. Dowolna droga w drzewie gry reprezentuje partię gry (ciąg ruchów wykonywanych przez graczy). Liczba możliwych partii jest równa liczbie sytuacji/stanów końcowych [na rys.. jest ich osiem 8]. *STRATEGIA RUCHU I STRATEGIA PEŁNA GRY Strategia ruchu (np.: i, i 2 ; góra numer gracza; dół numer strategii ruchu w zbiorze strategii) gracza Gi to wybór jednego z możliwych w danej sytuacji/stanie ruchów. Strategia gry (strategia pełna gry) gracza Gi to zespół wytycznych, na podstawie których wybiera on ruchy w dowolnej sytuacji/stanie lub dokładniej niezależnie od posiadanej informacji o grze. 2

13 Wybór strategii gry dokonywany jest w oparciu o pewną funkcję decyzyjną określoną na zbiorze strategii, a opartą o informację, jaką gracz Gi posiada o grze. W przypadku gier jednochodowych strategie ruchu pokrywają się ze strategiami pełnymi. 3

14 *OBJETOŚĆ INFORMACYJNA I ZBIORY INFORMACYJNE Objętość informacyjna, jaką wykorzystuje gracz, wybierając kolejny ruch, to liczba sytuacji/stanów, w których dana gra może aktualnie się znajdować i i i i i i i i i i i i i i 2 Rys.2. Drzewo gry z zaznaczonym zbiorem informacyjnym 4

15 Jeżeli gracz G wykonując ruch trzeci nie zna ruchu gracza G2 w poprzednim posunięciu, nie może stwierdzić, w której z dwóch sytuacji (zaznaczone linią przerywaną na rys.2.) znajduje się aktualnie gra. Zbiorem informacyjnym nazywamy wszystkie sytuacje/stany wewnątrz zakreślonego (rys.2.) obszaru. Jeżeli gra jest gra o pełnej informacji, wtedy wszystkie zbiory informacyjne na drzewie gry składałyby się z jednej sytuacji. *MACIERZ GRY Rozpatrzmy grę, której drzewo gry pokazane jest na rys.2. Zgodnie z zasadami gry ruch gracza G2 nie jest znany graczowi G zanim wykona on drugie posunięcie. Liczba strategii ruchu gracza G = 2 w każdym posunięciu, Liczba strategii ruchu gracza G2 = 2 w każdym posunięciu, Liczba strategii pełnych dla gracza G = 4, Liczba strategii pełnych dla gracza G2 = 4, 5

16 Jeżeli oznaczymy przez Sij j-ty ciąg ruchów gracza Gi w danej partii, to dla gry dwuosobowej można zbudować macierz gry o wymiarach S x S 2, gdzie S i S 2 to liczby różnych ciągów ruchów gracza G i G2, możliwych do wykonania w danej grze. Elementami macierzy niech będą wartości wypłat. Każda partia kończy się po trzech ruchach. W każdym posunięciu gracze może wybrać jeden z dwóch możliwych ruchów. Gracz G dysponuje czterema różnymi ciągami ruchów: S = i, i ; S 2 = i, i 2; S 3 = i 2, i ; S4 = i 2, i 2. Gracz G2 dysponuje dwoma różnymi ciągami ruchów: S2 = i 2 ; S22 = i

17 Macierz gry S ma następującą postać: S = S2 S22 S S S S

18 *WYBÓR STRATEGII STATEGIE MAKSYMINOWA I MINIMAKSOWA Gracz G zainteresowany jest/dąży do znalezienia takiej strategii, która zapewni mu maksymalną wygraną (tu: wartości wypłat ze znakiem +) i jest to równoważne ze znalezieniem w macierzy takiego wiersza, którego najmniejszy element jest największy w porównaniu ze wszystkimi najmniejszymi elementami pozostałych wierszy w macierzy. Zatem, 8

19 strategia optymalna dla gracza G osiągnięta zostanie gdy: α* = max min aij i j gdzie: aij element macierzy gry; i =, 2,, l; j =, 2,, m; l liczba strategii pełnych gracza G; m liczba strategii pełnych gracza G2. Znaleziona w ten sposób strategia nazywa się strategią maksyminową [tu: S; α* = +2]. 9

20 Gracz G2 również zainteresowany jest/dąży do znalezienia takiej strategii, która zapewni mu maksymalną wygraną (tu: wartości wypłat ze znakiem -) i jest to równoważne ze znalezieniem w macierzy takiej kolumny, której największy element jest najmniejszym w porównaniu ze wszystkimi największymi elementami pozostałych wierszy w macierzy. Zatem, strategia optymalna dla gracza G2 osiągnięta zostanie gdy: β* = min max aij j i Znaleziona w ten sposób strategia nazywa się strategią minimaksową [tu: S22; β* = +2]. *PUNKT SIODŁOWY I WARTOŚĆ GRY 20

21 Jeżeli α* = max min aij = min max aij = β* i j j i wtedy, gra posiada punkt siodłowy, a element wyznaczony na podstawie powyższej równości nazywa się wartością gry [tu: α* = β* = +2]. Gry posiadające punkt siodłowy [tu: +2] są grami o pełnej informacji. 2

22 *STRATEGIE MIESZANE W przypadku, gdy gra nie posiada punktu siodłowego gracze wybierają swoje strategii gry w sposób losowy, aby przeciwnik nie był w stanie odkryć prawidłowości przy wyborze strategii. Wybór taki może być dokonywany za pomocą prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej ξ. Zmienna losowa ξ przyjmuje wartości całkowite odpowiadające numerom strategii pełnych, którymi dysponuje gracz (pl oznaczają prawdopodobieństwa wyboru w danym posunięciu strategii i). Strategia określona jako ciąg wyborów strategii pełnych na podstawie powyższego zestawienia nazywa się strategią mieszaną. 22

23 WYZNACZANIE STRATEGII MIESZANYCH Dla danych: macierz gry S2 S22 S +0-5 S prawdopodobieństwa wyboru strategii pełnych gracza G: p i p2, prawdopodobieństwa wyboru strategii pełnych gracza G2: q i q2. 23

24 Wartość oczekiwana wygranej G wynosi dla wyboru przez G2: S: +0p 0p2, S2: -5p + 5p2. zatem, wartość oczekiwana wygranej G wynosi: (+0p 0p2)q + (-5p + 5p2)q2 Wyznaczane są wartości p, p2, q i q2, dla których wartość oczekiwana wygranej gracza G osiągnie maksimum. W celu znalezienia maksimum warunkowego określana jest funkcja Lagrange a: L(p, p2, q, q2, λ, λ2) = (+0p 0p2)q + (-5p + 5p2)q2 + λ(p + p2 -) + λ2(q + q2 -) Aby znaleźć maksimum tej funkcji przyrównywane są do zera jej pochodne cząstkowe i po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymywane są wartości: p = /2 p2 = /2 q = /3 q2 = 2/3. 24

25 Następnie budowana jest funkcja Lagrange a dla gracza G2 i poszukiwane są wartości p, p2, q i q2, dla których funkcja ta osiąga minimum [tu: wartości te są takie same jak dla G]. 25

26 *TWIERDZENIE MINIMAKSOWE W teorii gier dowodzi się, że zawsze istnieje możliwość znalezienia minimaksowych i maksyminowych strategii mieszanych dla graczy w grze. Stanowi to podstawowe twierdzenie teorii gier twierdzenie minimaksowe. TW MINIMAKSOWE. W grze dwuosobowej określonej za pomocą macierzy gry zawsze istnieją optymalne strategie mieszane graczy G i G2, przy czym strategią optymalną gracza G jest jego maksyminowa strategia mieszana, zaś strategią optymalną gracza G2 jest jego minimaksowa strategia mieszana. 26

27 ROZWINIĘCIE ALGORYTMU MINIMAKSOWEGO[4] algorytm cięć αβ - opracowany przez Knutha i Moore a w 975r. [3] (polega na ograniczeniu przeszukiwania do najbardziej obiecującej części drzewa; stanowił podstawę dla ProbCut), ProbCut (wartości funkcji heurystycznej dla kolejnych węzłów nie są niezależne od siebie (są wysoce skorelowane []); idea działania ProbCut polega na dokonywaniu przybliżeń wartości węzłów leżących niżej w drzewie poprzez wartości węzłów leżących wyżej (na mniejszej głębokości), Multi-ProbCut [2] (rozszerzona wersja ProbCut, w której usunięto część wad ProbCut: zbyt radykalny w działaniu). 27

28 Literatura [] BURO M., ProbCut: An Effective Selective Extension of Alpha-Beta Algorithm. ICCA Journal 8(2), 995, pp [2] BURO M., Experiments with Multi-ProbCut and a New High-Quality Evaluation Function for Othello. Workshop on Game Tree Search, NEC Research Institute, 997. [3] KNUTH D.E., MOORE R.W., An Analisys of Alpha-Beta Pruning. Artificial Intelligence. Vol. 6, 975, pp [4] KWAŚNICKA H., SPIRYDOWICZ A., Uczący się Komputer Programowanie Gier Logicznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, [5] POSPIEŁOW D.A., Gry i Automaty. WNT,

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

Tworzenie gier na urządzenia mobilne

Tworzenie gier na urządzenia mobilne Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie! Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii gier

Wprowadzenie do teorii gier Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 1 1 Klasyfikacja gier 2 Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane 3 Punkty równowagi w grach o sumie zerowej 4 Gry dwuosobowe oraz n-osobowe

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy dla gier dwuosobowych

Algorytmy dla gier dwuosobowych Algorytmy dla gier dwuosobowych Wojciech Dudek Seminarium Nowości Komputerowe 5 czerwca 2008 Plan prezentacji Pojęcia wstępne (gry dwuosobowe, stan gry, drzewo gry) Algorytm MiniMax Funkcje oceniające

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Tworzenie gier na urządzenia mobilne

Tworzenie gier na urządzenia mobilne Katedra Inżynierii Wiedzy Wykład 8 Przekształcenia wiedzy generalizacja/specjalizacja; abstrakcja/konkretyzacja; podobieństwo/kontrastowanie; wyjaśnianie/predykcja. Przetwarzanie danych Przetwarzanie wstępne

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA MEL WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI NS 586 Dr inż. Franciszek Dul 6. GRY POSZUKIWANIA W OBECNOŚCI PRZECIWNIKA Gry Pokażemy, w jaki

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2

Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2 Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka Zajęcia 2 Reguły podejmowania decyzji w warunkach niepewności Wybór spośród A1, A2,, Am alternatyw (decyzji dopuszczalnych, opcji, działań), gdzie relatywna użyteczność

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM. cz. 6. dr BOŻENA STARUCH

PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM. cz. 6. dr BOŻENA STARUCH PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM cz. 6 dr BOŻENA STARUCH bostar@matman.uwm.edu.pl Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników). TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja decyzji

Optymalizacja decyzji Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Konkurencja i kooperacja w dwuosobowych grach strategicznych. Anna Lamek

Konkurencja i kooperacja w dwuosobowych grach strategicznych. Anna Lamek Konkurencja i kooperacja w dwuosobowych grach strategicznych Anna Lamek Plan prezentacji Ujęcie kooperacji i konkurencji w teorii gier Nowe podejście CoCo value CoCo value dla gier bayesowskich Uzasadnienie

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 i 8. Przeszukiwanie z adwersarzem. w oparciu o: S. Russel, P. Norvig. Artificial Intelligence. A Modern Approach

Wykład 7 i 8. Przeszukiwanie z adwersarzem. w oparciu o: S. Russel, P. Norvig. Artificial Intelligence. A Modern Approach (4g) Wykład 7 i 8 w oparciu o: S. Russel, P. Norvig. Artificial Intelligence. A Modern Approach P. Kobylański Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji 177 / 226 (4g) gry optymalne decyzje w grach algorytm

Bardziej szczegółowo

Propedeutyka teorii gier

Propedeutyka teorii gier Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych e-mail: tpisula@prz.edu.pl 1 Literatura podstawowa wykorzystywana podczas zajęć wykładowych: 1. Gajda J.,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER WPROWADZENIE. Czesław Mesjasz

TEORIA GIER WPROWADZENIE. Czesław Mesjasz TEORIA GIER WPROWADZENIE Czesław Mesjasz 2010 1 GENEZA TEORII GIER Próby budowy matematycznych modeli konfliktów i negocjacji podejmowane były już przez A. Cournota, F. Edgewortha i F. Zeuthena. Koncepcje

Bardziej szczegółowo

Partition Search i gry z niezupełną informacją

Partition Search i gry z niezupełną informacją MIMUW 21 stycznia 2010 1 Co to jest gra? Proste algorytmy 2 Pomysł Algorytm Przykład użycia 3 Monte Carlo Inne spojrzenie Definicja Co to jest gra? Proste algorytmy Grą o wartościach w przedziale [0, 1]

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik

Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji

Bardziej szczegółowo

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1

Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1 1 Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1,x 2,,x k ], który spełnia warunki ograniczające: g i (x) 0 (i = 1 m), h i (x) = 0 (i = 1 p) oraz optymalizuje

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska. SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska INFORMACJE WSTĘPNE Hipotezy do uczenia się lub tworzenia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI

PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 5 PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI 5.2. Ćwiczenia komputerowe

Bardziej szczegółowo

Sztuczna Inteligencja i Systemy Doradcze

Sztuczna Inteligencja i Systemy Doradcze Sztuczna Inteligencja i Systemy Doradcze Przeszukiwanie przestrzeni stanów gry Przeszukiwanie przestrzeni stanów gry 1 Gry a problemy przeszukiwania Nieprzewidywalny przeciwnik rozwiązanie jest strategią

Bardziej szczegółowo

Projekt 4: Programowanie w logice

Projekt 4: Programowanie w logice Języki Programowania Projekt 4: Programowanie w logice Środowisko ECL i PS e W projekcie wykorzystane będzie środowisko ECL i PS e. Dostępne jest ono pod adresem http://eclipseclp.org/. Po zainstalowaniu

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań

Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner. SZTUCZNA INTELIGENCJA Gry dwuosobowe

Adam Meissner. SZTUCZNA INTELIGENCJA Gry dwuosobowe Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Gry dwuosobowe Literatura [1] Sterling

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001 Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne egzamin

Badania operacyjne egzamin Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica

Bardziej szczegółowo

3. MINIMAX. Rysunek 1: Drzewo obrazujące przebieg gry.

3. MINIMAX. Rysunek 1: Drzewo obrazujące przebieg gry. 3. MINIMAX. Bardzo wygodną strukturą danych pozwalającą reprezentować stan i przebieg gry (szczególnie gier dwuosobowych) jest drzewo. Węzły drzewa reprezentują stan gry po wykonaniu ruchu przez jednego

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska DRZEWO REGRESYJNE Sposób konstrukcji i przycinania

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization

SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Wrocław University of Technology SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Jakub M. Tomczak Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 4.1.213 Klasteryzacja Zmienne

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo