Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
|
|
|
- Zbigniew Czajka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
3 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu. Udowodnienie oszacowań dolnych jest łatwiejsze dla algorytmów deterministycznych niż losowych, dlatego spróbujemy wyprowadzić zwiazek pomiędzy tymi wielkościami korzystajac z twierdzeń teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
4 Gra w unikanie trójkata Dwaj gracze dodaja na zmianę krawędzie do pustego grafu. Przegrywa ten, kto pierwszy utworzy trójkat. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.3
5 Gra w unikanie trójkata I wygrana I gracza 0 przegrana I gracza ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.3
6 Definicja drzewa gry pełne drzewo binarne z ustalonym korzeniem ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.4
7 Definicja drzewa gry pełne drzewo binarne z ustalonym korzeniem wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości parzystej od korzenia otrzymuja etykietę AND ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.4
8 Definicja drzewa gry pełne drzewo binarne z ustalonym korzeniem wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości parzystej od korzenia otrzymuja etykietę AND wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości nieparzystej od korzenia otrzymuja etykietę OR ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.4
9 Definicja drzewa gry pełne drzewo binarne z ustalonym korzeniem wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości parzystej od korzenia otrzymuja etykietę AND wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości nieparzystej od korzenia otrzymuja etykietę OR liście otrzymuja etykiety 1 lub 0; 1 oznacza wygrana dla pierwszego gracza, 0 przegrana dla pierwszego gracza. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.4
10 Definicja drzewa gry pełne drzewo binarne z ustalonym korzeniem wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości parzystej od korzenia otrzymuja etykietę AND wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości nieparzystej od korzenia otrzymuja etykietę OR liście otrzymuja etykiety 1 lub 0; 1 oznacza wygrana dla pierwszego gracza, 0 przegrana dla pierwszego gracza. ogólnie: dowolne wartości rzeczywiste, pierwszy gracz chce zmaksymalizować (MAX zamiast OR), a drugi zminimalizować (MIN zamiast AND) wartość gry ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.4
11 Definicja drzewa gry pełne drzewo binarne z ustalonym korzeniem wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości parzystej od korzenia otrzymuja etykietę AND wierzchołki wewnętrzne drzewa w odległości nieparzystej od korzenia otrzymuja etykietę OR liście otrzymuja etykiety 1 lub 0; 1 oznacza wygrana dla pierwszego gracza, 0 przegrana dla pierwszego gracza. ogólnie: dowolne wartości rzeczywiste, pierwszy gracz chce zmaksymalizować (MAX zamiast OR), a drugi zminimalizować (MIN zamiast AND) wartość gry jeśli danych jest k możliwości w każdym ruchu, to drzewo ma stopień k. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.4
12 Przykład drzewa gry? AND OR AND OR ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.5
13 Przykład drzewa gry? AND OR AND OR CEL: majac dane wartości dla liści oblicz drzewo gry, tzn. oblicz wartość etykiety dla korzenia. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.5
14 Przykład drzewa gry AND OR AND OR CEL: majac dane wartości dla liści oblicz drzewo gry, tzn. oblicz wartość etykiety dla korzenia. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.5
15 Przykład drzewa gry AND OR AND OR CEL: majac dane wartości dla liści oblicz drzewo gry, tzn. oblicz wartość etykiety dla korzenia. Inaczej: Oblicz wartość funkcji boolowskiej postaci (((x 1 x 2 ) (x 3 x 4 )) ((x 5 x 6 ) (x 7 x 8 ))) (((x 9 x 10 ) (x 11 x 12 )) ((x 13 x 14 ) (x 15 x 16 ))). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.5
16 Analiza drzewa gry Pytanie: Jaka jest maksymalna liczba odczytanych liści niezbędna do obliczenia drzewa gry (wyznaczenia wartości dla korzenia)? ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.6
17 Analiza drzewa gry Pytanie: Jaka jest maksymalna liczba odczytanych liści niezbędna do obliczenia drzewa gry (wyznaczenia wartości dla korzenia)? Rozważmy drzewo T 2,k (drzewo binarne, każdy liść w odległości 2k od korzenia). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.6
18 Analiza drzewa gry Pytanie: Jaka jest maksymalna liczba odczytanych liści niezbędna do obliczenia drzewa gry (wyznaczenia wartości dla korzenia)? Rozważmy drzewo T 2,k (drzewo binarne, każdy liść w odległości 2k od korzenia). Dowolny algorytm deterministyczny wymaga w najgorszym przypadku odczytania wszystkich 2 2k = 4 k liści. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.6
19 Analiza drzewa gry Pytanie: Jaka jest maksymalna liczba odczytanych liści niezbędna do obliczenia drzewa gry (wyznaczenia wartości dla korzenia)? Rozważmy drzewo T 2,k (drzewo binarne, każdy liść w odległości 2k od korzenia). Dowolny algorytm deterministyczny wymaga w najgorszym przypadku odczytania wszystkich 2 2k = 4 k liści. Zadanie. Znajdź przykład ciagu wartości dla liści drzewa gry T 2,k, dla którego dowolny algorytm deterministyczny wymaga odczytania wszystkich 4 k liści w celu wyznaczenia wartości dla korzenia. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.6
20 Losowo? Obserwacja. Rozważmy wierzchołek AND i jego dwa liście. Jeśli wartość dla tego wierzchołka będzie 0, to co najmniej jeden z jego potomków musi zawierać 0. W najgorszym przypadku dla alg. deterministycznego ( który przeglada liście w ustalonym porzadku) 0 może wystapić na drugim miejscu, co wymaga 2 kroków ( odczytania 2 liści). 0 AND 1 0 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.7
21 Losowo? Jak przechytrzyć przeciwnika? 0 AND 1 0 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.7
22 Losowo? Jak przechytrzyć przeciwnika? Przegladać te 2 liście w losowym porzadku (z pr. 2 1) 0 AND 1 0 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.7
23 Losowo? Jak przechytrzyć przeciwnika? Przegladać te 2 liście w losowym porzadku (z pr. 2 1) Wartość oczekiwana liczby kroków dla ciagu 0 AND 1 0 : = 3 2 < ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.7
24 Losowo? Jak przechytrzyć przeciwnika? Przegladać te 2 liście w losowym porzadku (z pr. 2 1) Wartość oczekiwana liczby kroków dla ciagu 0 AND 1 0 : = 3 2 < Brak zysku dla ciagu 1 1, ale jeśli jakieś drzewo osiaga wartość 1 dla korzenia, to każdy wew. wierzchołek AND musi mieć obu potomków OR o wartościach 1, a wtedy zyskujemy. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.7
25 Algorytm A obliczania drzewa gry 1. Rozpocznij od korzenia. 2. Wybierz jednego z jego potomków losowo ( z prawd. 1 2 ) i postępuj rekurencyjnie. 3. Jeśli poddrzewo wierzchołka AND zwraca 1, to przejdź do drugiego poddrzewa. 4. Jeśli poddrzewo wierzchołka AND zwraca 0, to zwróć 0 w tym wierzchołku. (Analogicznie dla OR.) ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.8
26 Algorytm A obliczania drzewa gry 1. Rozpocznij od korzenia. 2. Wybierz jednego z jego potomków losowo ( z prawd. 1 2 ) i postępuj rekurencyjnie. 3. Jeśli poddrzewo wierzchołka AND zwraca 1, to przejdź do drugiego poddrzewa. 4. Jeśli poddrzewo wierzchołka AND zwraca 0, to zwróć 0 w tym wierzchołku. (Analogicznie dla OR.) Twierdzenie. Dla dowolnego drzewa T 2,k wartość oczekiwana liczby kroków algorytmu losowego A jest równa co najwyżej 3 k. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.8
27 Analiza algorytmu A - indukcja Niech N k -liczba kroków algorytmu (liczba odczytanych liści) dla drzewa T 2,k ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.9
28 Analiza algorytmu A - indukcja Niech N k -liczba kroków algorytmu (liczba odczytanych liści) dla drzewa T 2,k k = 1 zadanie na ćwiczenia ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.9
29 Analiza algorytmu A - indukcja Niech N k -liczba kroków algorytmu (liczba odczytanych liści) dla drzewa T 2,k k = 1 zadanie na ćwiczenia Założenie dla k 1 : EN k 1 3 k 1. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.9
30 Analiza algorytmu A - indukcja Niech N k -liczba kroków algorytmu (liczba odczytanych liści) dla drzewa T 2,k k = 1 zadanie na ćwiczenia Założenie dla k 1 : EN k 1 3 k 1. Teza dla k : EN k 3 k. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.9
31 Analiza algorytmu A - indukcja Teza dla k : EN k 3 k. T T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.9
32 Indukcja -cd. Rozpatrzmy drzewo T, którego poddrzewami sa dwie kopie drzewa T 2,k 1 (potomkami korzenia T sa korzenie drzew T 2,k 1 ). T T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.10
33 Indukcja -cd. Rozpatrzmy drzewo T, którego poddrzewami sa dwie kopie drzewa T 2,k 1 (potomkami korzenia T sa korzenie drzew T 2,k 1 ). Niech k(t) oznacza wartość obliczona w korzeniu drzewa T. Możliwe sa następujace przypadki: T T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.10
34 Indukcja -cd. Rozpatrzmy drzewo T, którego poddrzewami sa dwie kopie drzewa T 2,k 1 (potomkami korzenia T sa korzenie drzew T 2,k 1 ). Niech k(t) oznacza wartość obliczona w korzeniu drzewa T. Możliwe sa następujace przypadki: k(t) = 1 k(t) = 0 T T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 T 2,k 1 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.10
35 Indukcja -cd. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.11
36 Indukcja -cd. k(t) = 1: co najmniej jedno z poddrzew k(t 2,k 1 ) = 1 i wartość oczekiwana liczby kroków jest równa co najwyżej 1 2 3k k 1 = 3 2 3k 1 (dla 01 i 10) lub 3 k 1 (dla 11). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.11
37 Indukcja -cd. k(t) = 1: co najmniej jedno z poddrzew k(t 2,k 1 ) = 1 i wartość oczekiwana liczby kroków jest równa co najwyżej 1 2 3k k 1 = 3 2 3k 1 (dla 01 i 10) lub 3 k 1 (dla 11). k(t) = 0: dla obu poddrzew k(t 2,k 1 ) = 0, i wartość oczekiwana wynosi co najwyżej 2 3 k 1. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.11
38 Indukcja -cd. Teraz jesteśmy gotowi do analizy drzewa T 2,k. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.12
39 Indukcja -cd. Teraz jesteśmy gotowi do analizy drzewa T 2,k. k(t 2,k ) = 1: dla obu poddrzew k(t) = 1 i EN k k 1 = 3 k. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.12
40 Indukcja -cd. Teraz jesteśmy gotowi do analizy drzewa T 2,k. k(t 2,k ) = 1: dla obu poddrzew k(t) = 1 i EN k k 1 = 3 k. k(t 2,k ) = 0: w co najmniej jednym poddrzewie musiało wystapić 0. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.12
41 Indukcja -cd. Teraz jesteśmy gotowi do analizy drzewa T 2,k. k(t 2,k ) = 1: dla obu poddrzew k(t) = 1 i EN k k 1 = 3 k. k(t 2,k ) = 0: w co najmniej jednym poddrzewie musiało wystapić 0. Niech p będzie prawdopodobieństwem wyboru 0. Wtedy EN k 2p 3 k 1 + (1 p)( 3 2 3k k 1 ) 3 k, ponieważ p 1 2. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.12
42 Indukcja -cd. Teraz jesteśmy gotowi do analizy drzewa T 2,k. k(t 2,k ) = 1: dla obu poddrzew k(t) = 1 i EN k k 1 = 3 k. k(t 2,k ) = 0: w co najmniej jednym poddrzewie musiało wystapić 0. Niech p będzie prawdopodobieństwem wyboru 0. Wtedy EN k 2p 3 k 1 + (1 p)( 3 2 3k k 1 ) 3 k, ponieważ p 1 2. Wniosek. Powyższy algorytm losowy ma średni czas ograniczony przez n log 4 3 n ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.12
43 Teoria gier jeszcze raz ale inaczej Cel: Metoda dowodzenia ograniczeń dolnych dla algorytmów losowych. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.13
44 Teoria gier jeszcze raz ale inaczej Cel: Metoda dowodzenia ograniczeń dolnych dla algorytmów losowych. Gra w kamień, papier i nożyczki. Gracze: K (grajacy kolumnami) i W (grajacy wierszami). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.13
45 Teoria gier jeszcze raz ale inaczej Cel: Metoda dowodzenia ograniczeń dolnych dla algorytmów losowych. Gra w kamień, papier i nożyczki. Gracze: K (grajacy kolumnami) i W (grajacy wierszami). Nożyczki Papier Kamień Nożyczki Papier Kamień ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.13
46 Teoria gier jeszcze raz ale inaczej Cel: Metoda dowodzenia ograniczeń dolnych dla algorytmów losowych. Gra w kamień, papier i nożyczki. Gracze: K (grajacy kolumnami) i W (grajacy wierszami). Nożyczki Papier Kamień Nożyczki Papier Kamień M macierz wypłat M ij wartość, jaka gracz K płaci graczowi W, jeśli W wybierze strategię i, a K strategię j. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.13
47 Teoria gier jeszcze raz ale inaczej Cel: Metoda dowodzenia ograniczeń dolnych dla algorytmów losowych. Gra w kamień, papier i nożyczki. Gracze: K (grajacy kolumnami) i W (grajacy wierszami). Nożyczki Papier Kamień Nożyczki Papier Kamień M macierz wypłat M ij wartość, jaka gracz K płaci graczowi W, jeśli W wybierze strategię i, a K strategię j. Jest to przykład gry dwuosobowej o sumie zerowej ( suma wypłat =0). Gracz W chce zmaksymalizować wygrana, a gracz K chce ja zminimalizować. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.13
48 Wygrana w grze Jeśli jest to gra o zerowej informacji ( gracze nie znaja swoich strategii), to jeśli W wybiera strategię i, to gwarantowana wygrana wynosi min j M ij, niezależnie od strategii K. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.14
49 Wygrana w grze Jeśli jest to gra o zerowej informacji ( gracze nie znaja swoich strategii), to jeśli W wybiera strategię i, to gwarantowana wygrana wynosi min j M ij, niezależnie od strategii K. jeśli W wybierze optymalna strategię, to jego wygrana wynosi co najmniej U W = max i min j M ij. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.14
50 Wygrana w grze Jeśli jest to gra o zerowej informacji ( gracze nie znaja swoich strategii), to jeśli W wybiera strategię i, to gwarantowana wygrana wynosi min j M ij, niezależnie od strategii K. jeśli W wybierze optymalna strategię, to jego wygrana wynosi co najmniej U W = max i min j M ij. Analogicznie dla K, wygrana wynosi co najwyżej U K = min j max i M ij. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.14
51 Wygrana w grze Jeśli jest to gra o zerowej informacji ( gracze nie znaja swoich strategii), to jeśli W wybiera strategię i, to gwarantowana wygrana wynosi min j M ij, niezależnie od strategii K. jeśli W wybierze optymalna strategię, to jego wygrana wynosi co najmniej U W = max i min j M ij. Analogicznie dla K, wygrana wynosi co najwyżej U K = min j max i M ij. U W = 1, U K = 1 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.14
52 Wygrane i strategie Fakt. max i min j M ij min j max i M ij ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.15
53 Wygrane i strategie Fakt. max i min j M ij min j max i M ij Dowód. Niech i 0 : max i min j M ij = min j M i0 j min j max i M ij, ponieważ M i0 j max i M ij. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.15
54 Wygrane i strategie Fakt. max i min j M ij min j max i M ij Dowód. Niech i 0 : max i min j M ij = min j M i0 j min j max i M ij, ponieważ M i0 j max i M ij. Jeśli U W = U K = U, to gra ma punkt siodłowy (rozwiazanie). Odpowiadajace mu strategie graczy nazywamy strategiami czystymi (polegajacymi na wyborze konkretnego wiersza lub, odpowiednio, kolumny). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.15
55 Wygrane i strategie Fakt. max i min j M ij min j max i M ij Dowód. Niech i 0 : max i min j M ij = min j M i0 j min j max i M ij, ponieważ M i0 j max i M ij. Jeśli U W = U K = U, to gra ma punkt siodłowy (rozwiazanie). Odpowiadajace mu strategie graczy nazywamy strategiami czystymi (polegajacymi na wyborze konkretnego wiersza lub, odpowiednio, kolumny). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.15
56 Inny przykład Nożyczki Papier Kamień Nożyczki Papier Kamień ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.16
57 Inny przykład Nożyczki Papier Kamień Nożyczki Papier Kamień Oblicz U W i U K. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.16
58 Strategie losowe (mieszane). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
59 Strategie losowe (mieszane). Gracz W wybiera rozkład prawdopodobieństwa (schemat losowy) p = (p 1,p 2,...,p n ), gdzie p i to prawdopodobieństwo wyboru strategii (wiersza) i. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
60 Strategie losowe (mieszane). Gracz W wybiera rozkład prawdopodobieństwa (schemat losowy) p = (p 1,p 2,...,p n ), gdzie p i to prawdopodobieństwo wyboru strategii (wiersza) i. Gracz K wybiera rozkład prawdopodobieństwa (schemat losowy) q = (q 1,q 2,...,q n ), gdzie q i to prawdopodobieństwo wyboru strategii (kolumny) i. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
61 Strategie losowe (mieszane). Gracz W wybiera rozkład prawdopodobieństwa (schemat losowy) p = (p 1,p 2,...,p n ), gdzie p i to prawdopodobieństwo wyboru strategii (wiersza) i. Gracz K wybiera rozkład prawdopodobieństwa (schemat losowy) q = (q 1,q 2,...,q n ), gdzie q i to prawdopodobieństwo wyboru strategii (kolumny) i. Wygrana jest zmienna losowa o wartości oczekiwanej: E[ wygranej ] = p T Mq = n n p i M ij q j. i=1 j=1 ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
62 Strategie losowe (mieszane). Niech V W i V K oznaczaja gwarantowane średnie wypłaty dla graczy W i K. Wtedy zachodzi znane w teorii gier twierdzenie: ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
63 Strategie losowe (mieszane). Niech V W i V K oznaczaja gwarantowane średnie wypłaty dla graczy W i K. Wtedy zachodzi znane w teorii gier twierdzenie: Twierdzenie (von Neumann 1928). W dowolnej grze dwuosobowej o zerowej sumie i macierzy wypłat M V W = max p min q p T Mq = min q max p p T Mq = V K. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
64 Strategie losowe (mieszane). Niech V W i V K oznaczaja gwarantowane średnie wypłaty dla graczy W i K. Wtedy zachodzi znane w teorii gier twierdzenie: Twierdzenie (von Neumann 1928). W dowolnej grze dwuosobowej o zerowej sumie i macierzy wypłat M V W = max p min q p T Mq = min q max p p T Mq = V K. Dowód. Nietrywialny: używa twierdzenia o punkcie stałym lub twierdzeń o separacji z geometrii analitycznej. Jest to też szczególny przypadek twierdzenia dualnego w zagadnieniu programowania liniowego. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
65 Strategie losowe (mieszane). Niech V W i V K oznaczaja gwarantowane średnie wypłaty dla graczy W i K. Wtedy zachodzi znane w teorii gier twierdzenie: Twierdzenie (von Neumann 1928). W dowolnej grze dwuosobowej o zerowej sumie i macierzy wypłat M V W = max p min q p T Mq = min q max p p T Mq = V K. Dowód. Nietrywialny: używa twierdzenia o punkcie stałym lub twierdzeń o separacji z geometrii analitycznej. Jest to też szczególny przypadek twierdzenia dualnego w zagadnieniu programowania liniowego. Wniosek. Gra ma punkt siodłowy (istnieja optymalne strategie mieszane lub czyste dla obu graczy). ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.17
66 Twierdzenie Loomisa ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.18
67 Twierdzenie Loomisa Jeśli p jest ustalone, to p T Mq jest funkcja liniowa zależna od q, która przyjmuje wartość minimalna dla q j = 1, gdzie j odpowiada najmniejszemu współczynnikowi (analogicznie dla q). Wtedy prawdziwa jest uproszczona wersja powyższego twierdzenia: ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.18
68 Twierdzenie Loomisa Jeśli p jest ustalone, to p T Mq jest funkcja liniowa zależna od q, która przyjmuje wartość minimalna dla q j = 1, gdzie j odpowiada najmniejszemu współczynnikowi (analogicznie dla q). Wtedy prawdziwa jest uproszczona wersja powyższego twierdzenia: Twierdzenie (Loomisa). W dowolnej grze dwuosobowej o zerowej sumie i macierzy M max p min j p T Me j = min q max i e T i Mq, gdzie e j jest wektorem jednostkowym z 1 na pozycji j. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.18
69 Metoda Yao ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.19
70 Metoda Yao Zastosowanie twierdzeń minimaksowych do oszacowania złożoności algorytmów losowych. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.19
71 Metoda Yao Zastosowanie twierdzeń minimaksowych do oszacowania złożoności algorytmów losowych. Gracz K - projektant algorytmów Las Vegas. Gracz W - malkontent wybierajacy najgorszy zbiór danych wejściowych. Wypłata K dla W miara złożoności algorytmu (czas działania). K chce zminimalizować czas działania, W daży do zmaksymalizowania wypłaty. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.19
72 Metoda Yao Zastosowanie twierdzeń minimaksowych do oszacowania złożoności algorytmów losowych. Gracz K - projektant algorytmów Las Vegas. Gracz W - malkontent wybierajacy najgorszy zbiór danych wejściowych. Wypłata K dla W miara złożoności algorytmu (czas działania). K chce zminimalizować czas działania, W daży do zmaksymalizowania wypłaty. Twierdzenia von Neumanna i Loomisa w języku algorytmów losowych. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.19
73 Metoda Yao Zastosowanie twierdzeń minimaksowych do oszacowania złożoności algorytmów losowych. Gracz K - projektant algorytmów Las Vegas. Gracz W - malkontent wybierajacy najgorszy zbiór danych wejściowych. Wypłata K dla W miara złożoności algorytmu (czas działania). K chce zminimalizować czas działania, W daży do zmaksymalizowania wypłaty. Twierdzenia von Neumanna i Loomisa w języku algorytmów losowych. Π problem o sk. zb. danych wejściowych I (ustalonego rozmiaru) i sk. zb. algorytmów deterministycznych A. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.19
74 Metoda Yao I I, A A, zbiorze I. C(I,A) czas działania algorytmu A na ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.20
75 Metoda Yao I I, A A, zbiorze I. C(I,A) czas działania algorytmu A na p rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze I, q rozkład prawd. na zbiorze A (algorytm losowy LV) I p losowy zbiór danych wejściowych odpowiadajacy p i A q losowy algorytm odpowiadajacy q. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.20
76 Metoda Yao I I, A A, zbiorze I. C(I,A) czas działania algorytmu A na p rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze I, q rozkład prawd. na zbiorze A (algorytm losowy LV) I p losowy zbiór danych wejściowych odpowiadajacy p i A q losowy algorytm odpowiadajacy q. Wniosek (z tw. vn. i L.). max p min q E[C(I p, A q )] = min q max p E[C(I p, A q )] C DIST = max p min q min E[C(I p, A)] = A A max I I E[C(I, A q)] = C RAND. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.20
77 Metoda Yao I I, A A, zbiorze I. C(I,A) czas działania algorytmu A na p rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze I, q rozkład prawd. na zbiorze A (algorytm losowy LV) I p losowy zbiór danych wejściowych odpowiadajacy p i A q losowy algorytm odpowiadajacy q. Wniosek (z tw. vn. i L.). max p min q E[C(I p, A q )] = min q max p E[C(I p, A q )] C DIST = max p min q C DIST złożoność średniego przypadku C RAND złożoność losowa min E[C(I p, A)] = A A max I I E[C(I, A q)] = C RAND. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.20
78 Metoda Yao I I, A A, zbiorze I. C(I,A) czas działania algorytmu A na p rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze I, q rozkład prawd. na zbiorze A (algorytm losowy LV) I p losowy zbiór danych wejściowych odpowiadajacy p i A q losowy algorytm odpowiadajacy q. Wniosek (z tw. vn. i L.). max p min q E[C(I p, A q )] = min q max p E[C(I p, A q )] C DIST = max p min q C DIST złożoność średniego przypadku C RAND złożoność losowa min E[C(I p, A)] = A A max I I E[C(I, A q)] = C RAND. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.20
79 Zasada minimaksowa Yao Zasada (Minimaksowa Yao). Dla każdego rozkładu p nad I i q nad A, min E[C(I p,a)] max E[C(I,A q)]. A A I I ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.21
80 Zasada minimaksowa Yao Zasada (Minimaksowa Yao). Dla każdego rozkładu p nad I i q nad A, Interpretacja: min E[C(I p,a)] max E[C(I,A q)]. A A I I Średni czas najlepszego algorytmu deterministycznego (najszybszego w odniesieniu do danego rozkładu p na zbiorze danych wejściowych I) jest ograniczeniem dolnym na oczekiwany czas działania najlepszego algorytmu losowego dla ustalonego problemu. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.21
81 Zastosowanie zasady minimaksowej Yao Cel: udowodnić ograniczenie dolne na C RAND problemu Π ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.22
82 Zastosowanie zasady minimaksowej Yao Cel: udowodnić ograniczenie dolne na C RAND problemu Π wybrać dowolny rozkład prawdopodobieństwa p na zbiorze danych wejściowych ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.22
83 Zastosowanie zasady minimaksowej Yao Cel: udowodnić ograniczenie dolne na C RAND problemu Π wybrać dowolny rozkład prawdopodobieństwa p na zbiorze danych wejściowych udowodnić ograniczenie dolne na średni czas działania każdego algorytmu deterministycznego dla tego problemu i rozkładu p ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.22
Wyznaczanie strategii w grach
Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Elementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Tworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Badania operacyjne egzamin
Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!
Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:
Algorytmy zrandomizowane
Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik
Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy
Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Sprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40
Sprzedaż online Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa 18.04.2013 - p. 1/40 Plan wykładu Problem skojarzeń online Algorytm zachłanny Algorytm losowo rankujacy Dolne ograniczenie Problem aukcji
Gry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Typy algorytmów losowych. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Typy algorytmów losowych ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Typy algorytmów losowych Las Vegas - zawsze daje prawidłowa odpowiedź (różny czas działania). Przykład: RandQuicksort ALP520
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w
TEORIA GIER GRA DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) Gra składa się z zestawu reguł określających możliwości wyboru postępowania jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kodowanie i bezpieczeństwo informacji - Wykład 10 29 kwietnia 2013 Teoria informacji Jeśli P(A) jest prawdopodobieństwem wystapienia informacji A to niech i(a)
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.
mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w
Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Problem straŝaka w drzewach. Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS
Problem straŝaka w drzewach Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem
10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie
Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5
Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 11.03.2009 Czym będziemy się zajomwać? Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
LGORTM I STRUKTUR DNH Temat 6: Drzewa ST, VL Wykładowca: dr inż. bigniew TRPT e-mail: bigniew.tarapata@isi.wat.edu.pl http://www.tarapata.strefa.pl/p_algorytmy_i_struktury_danych/ Współautorami wykładu
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Przykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna
Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Na poczatku gry dwaj gracze wkładaja do puli po 1$. Następnie, gracz 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony.
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Mixed-UCT: Zastosowanie metod symulacyjnych do poszukiwania równowagi Stackelberga w grach wielokrokowych
Mixed-UCT: Zastosowanie metod symulacyjnych do poszukiwania równowagi Stackelberga w grach wielokrokowych Jan Karwowski Zakład Sztucznej Inteligencji i Metod Obliczeniowych Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych
Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10,
1 Kwantyzacja wektorowa Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10, 28.04.2006 Kwantyzacja wektorowa: dane dzielone na bloki (wektory), każdy blok kwantyzowany jako jeden element danych. Ogólny
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round
Gry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe
Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4
Wykład Drzewa zbalansowane AVL i -3-4 Drzewa AVL Wprowadzenie Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Drzewa -3-4 Definicja drzewa -3-4 Operacje wstawiania
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.
Poprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n
PDczęść4 8. Zagadnienia załadunku 8.1 Klasyczne zagadnienia załadunku (ozn. N = {1, 2,..., n} Binarny problem ( (Z v(z =max c j x j : a j x j b; x j binarne (j N zakładamy, że wszystkie dane sa całkowitoliczbowe;
Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy
zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w
Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie
Optymalizacja decyzji
Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Zagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału.
Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału Wiktor Miszuris 2 czerwca 2004 Przepustowość kanału Zacznijmy od wprowadzenia równości IA, B HB HB A HA HA B Można ją intuicyjnie
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/
Podstawy Informatyki. Metody dostępu do danych
Podstawy Informatyki c.d. alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Bazy danych Struktury danych Średni czas odszukania rekordu Drzewa binarne w pamięci dyskowej 2 Sformułowanie
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Programowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Gry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie
Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki Joanna Sujka Nr albumu: 314325 Gry dwuosobowe o sumie zerowej i ich zastosowanie Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie TEORII GIER Praca
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Procesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Elementy teorii informacji i kodowania
i kodowania Entropia, nierówność Krafta, kodowanie optymalne Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 17 kwietnia 2015 M. Jenczmyk Spotkanie KNM i kodowania 1 / 20 Niech S = {x 1,..., x q } oznacza alfabet,
Algorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Podstawy Informatyki. Wykład 6. Struktury danych
Podstawy Informatyki Wykład 6 Struktury danych Stałe i zmienne Podstawowymi obiektami występującymi w programie są stałe i zmienne. Ich znaczenie jest takie samo jak w matematyce. Stałe i zmienne muszą