Drzewka gry. Teoria gier a biznes.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Drzewka gry. Teoria gier a biznes."

Transkrypt

1 Drzewka gry. Teoria gier a biznes.

2 Drzewka gry Gra jest to sytuacja konfliktowa, w której gracze podejmują decyzję, co do strategii, w sposób sekwencyjny i sukcesywny, w miarę przebiegu gry poznając kolejne ruchy przeciwnika. Takie sytuacje możemy właśnie przedstawić za pomocą drzewek gry. Taką grę, którą da się przedstawić w postaci drzewka, można łatwo sprowadzić również do poznanej wcześniej postaci gry macierzowej.

3 Przykład 1 (uproszczony poker) Gra odbywa się przy użyciu talii ograniczonej do asów i króli.pan Wiersz i Pani Kolumna dostają po jednej karcie i wkładają do puli po 1$. Po otrzymaniu swojej karty Pani Kolumna ma do wyboru dwie opcje: podnieść stawkę o 2$ lub spasować. Jeżeli spasuje, Pan Wiersz zgarnia całą pulę, jeśli jednak podniesie stawkę, wówczas Pan Wiersz może sprawdzić (tzn. zaakceptować grę o wyższą stawkę) lub spasować. Jeżeli Pan Wiersz spasuje, wówczas Pani Kolumna zgarnia pulę, zaś jeśli zdecyduje się sprawdzać, to gracze porównują swoje karty i wygrywa ten, który ma wyższą; jeśli oboje mają taką samą, pula dzielona jest pomiędzy graczy po równo.

4 Aby zbudować model tej gry, musimy opisać ją najpierw jako sekwencję ruchów. Pierwszy ruch, rozdając karty, wykonuje Los. Ma on cztery możliwości: 1. przydzielić obojgu graczom asa (A,A) 2. dać asa Panu Wierszowi i króla Pani Kolumnie (A,K) 3. dać króla Panu Wierszowi i asa Pani Kolumnie (K,A) 4. przydzielić obojgu graczom króla (K,K). Zakładamy przy tym, że prawdopodobieństwo każdego z tych rozdań jest takie samo i wynosi ¼. Po ruchu wykonanym przez Los, kolejny ruch należy do Pani Kolumny, która wybiera pomiędzy podniesieniem stawki a spasowaniem; jeśli podniosła, wówczas Pan Wiersz wybiera pomiędzy sprawdzeniem a spasowaniem. Na koniec obojgu graczom przydzielane są ich wypłaty.

5

6 Drzewka gry mogą być wykorzystywane do opisu sytuacji, w której gracze (min. dwóch) wykonują sekwencyjnie szereg ruchów, jednak każde z nich charakteryzuje się tym samym, tzn.: każdy wewnętrzny węzeł przypisany jest któremuś z graczy (włączając Los), wykonującemu z niego ruch każda z gałęzi wyprowadzona w dół z danego węzła reprezentuje możliwy ruch gracza każdej z gałęzi, odpowiadającej ruchowi Losu przypisane jest p-stwo, z jakim Los wykona odpowiedni ruch każdemu węzłowi końcowemu przypisane są wypłaty obu graczy węzły należące do każdego gracza podzielone są na zbiory informacyjne; wykonując ruch gracz wie, w którym zbiorze informacyjnym się aktualnie znajduje, nie wie jednak, w którym z jego węzłów z każdego z węzłów należących do tego samego zbioru informacyjnego wyprowadzona jest taka sama liczba gałęzi, oznaczanych w taki sam sposób

7 Każda dwuosobowa gra, którą da się przedstawić za pomocą drzewka gry, może być również przedstawiona jako gra macierzowa. To, co łączy ze sobą oba te przedstawienia to idea strategii. W przypadku gry przedstawionej w postaci drzewka, strategią gracza jest dokładny spis ruchów, jakie wykonałby w razie znalezienia się w każdym ze zbiorów informacyjnych, w których mógłby się w przebiegu gry znaleźć.

8 Biorąc pod uwagę wspomniany już przykład, łatwo możemy zauważyć, że każdy z graczy, zarówno Pani Kolumna, jak i Pan Wiersz, mają 4 możliwe strategie w tej grze. Jeżeli wiemy, jakie strategie wybiorą gracze, możemy, z dokładnością do ruchów Losu, wyznaczyć na drzewku gry cały jej przebieg, a dodatkowo ponieważ znamy prawdopodobieństwa poszczególnych ruchów Losu, możemy zatem wyznaczyć oczekiwane wartości wypłat dla obu graczy. Jeśli przypiszemy wierszom i kolumnom macierzy poszczególne strategie Pana Wiersza i Pani Kolumny, a w odpowiednie komórki macierzy wpiszemy wypłaty dla każdej pary strategii, uzyskamy wówczas grę macierzową odpowiadającą grze pierwotnie przedstawionej w postaci drzewka.

9

10 Zadanie 1) Odtwórz rachunki, które dla gry z przykładu 1 pozwoliły wyznaczyć: a) Wypłatę 5/4 b) wypłatę -1/2

11 Przykład 2 (model kubańskiego kryzysu rakietowego) W grze biorą udział: Stany Zjednoczone pod prezydenturą Kennedy ego i ZSRR pod przywództwem Chruszczowa. Rozpoczyna Chruszczow, decydując, czy zainstalować na Kubie pociski rakietowe, mogące razić terytorium USA. Jeżeli zdecyduje się na ich rozmieszczenie, wówczas Kennedy ma trzy możliwości postępowania: nie zrobić nic, ogłosić blokadę Kuby lub zniszczyć rakiety za pomocą precyzyjnego uderzenia z powietrza. Jeśli Kennedy zdecyduje się na działania agresywne, czyli blokadę wyspy lub zniszczenie rakiet, wówczas Chruszczow może albo ustąpić, albo zastosować kroki odwetowe, co mogłoby ostatecznie doprowadzić do wojny nuklearnej.

12

13 W przedstawionej sytuacji Kennedy ma do wyboru trzy strategie, odpowiadające trzem ruchom możliwym do wykonania z jego jedynego węzła: A) nie robić nic, B) zastosować blokadę, C) zniszczyć rakiety, natomiast kwestia strategii Chruszczowa jest bardziej skomplikowana, gdyż ma on do wyboru aż pięć różnych strategii: A)nie rozmieszczać rakiet, B)rozmieścić rakiety; w przypadku jakiejkolwiek agresywnej reakcji Kennedy ego ustąpić, C)rozmieścić rakiety; w przypadku blokady ustąpić, zaś w przypadku zniszczenia rakiet zastosować odwet, D)rozmieścić rakiety; w przypadku blokady zastosować odwet, zaś w przypadku zniszczenia- ustąpić, E)rozmieścić rakiety; w przypadku agresywnej reakcji Kennedy ego zastosować odwet. Ponieważ każdy z graczy zna uprzednie ruchy przeciwnika, zatem wszystkie zbiory informacyjne zawierają tylko po jednym węźle.

14

15 Gra o pełnej informacji O grze o pełnej informacji mówimy wtedy, gdy: żaden z węzłów nie jest przypisany ruchowi Losu każdy węzeł należy do osobnego zbioru informacyjnego o Inaczej mówiąc, w grze nic nie zależy od przypadku- wszyscy gracze znają obowiązujące reguły gry, wszystkie dotychczas wykonane w grze ruchy, a także wypłaty przeciwnika. o Ten rodzaj gry może być analizowany techniką przycinania drzewka, czyli indukcji wstecznej.

16

17 Opis: Mamy tu do czynienia z grą o sumie zerowej. Analizując drzewko metodą przycinania, należy na początku zastanowić się nad ostatnim ruchem Pani Kolumny w grze przedstawionej na pierwszym drzewku. Pani Kolumna zawsze wybierze tę gałąź, która prowadzi do wyniku gorszego dla Pana Wiersza, a zatem możemy przyciąć ostatnie gałązki drzewka, a każdemu spośród powstałych w ten sposób węzłów końcowych gry przypisać najniższą ze znajdujących się pierwotnie poniżej danego węzła wypłatę Pana Wiersza, w ten sposób uzyskując drugie drzewko. Teraz ostatni ruch wykonuje Pan Wiersz, który zawsze wybierze gałąź prowadzącą do najwyższej dla siebie wypłaty, można zatem po raz kolejny zredukować ostatni poziom gałązek i uzyskać w ten sposób ostatnie drzewo gry. Znów teraz decyzję podejmuje Pani Kolumna, zgodnie z opisanymi wcześniej zasadami. W tym przypadku powinna ona wybrać prawą gałąź, a racjonalnym wynikiem gry jest wypłata -2 dla Pana Wiersza. Posuwając się śladem uprzednio odciętych gałęzi, możemy teraz odtworzyć sekwencję prowadzących do tego wyniku ruchów.

18 Zadanie 2) Załóżmy, że w kryzysie kubańskim gracze w następujący sposób porządkują wyniki od najlepszego dla danego gracza do najgorszego: Kennedy: w, y, u, v, x, z Chruszczow: v, u, w, y, z, x Zastosuj technikę indukcji wstecznej ( przycinania ) do drzewka gry z rysunku 7.2, aby znaleźć jej racjonalne rozwiązanie.

19 Zadanie 3) Dla gry z rysunku: a) znajdź rozwiązanie techniką indukcji wstecznej ( przycinania ) b) wypisz wszystkie strategie Pani Kolumny c) wypisz wszystkie strategie Pana Wiersza d) zapisz macierz gry e) Rozwiąż grę macierzową i sprawdź, czy uzyskane rozwiązanie jest takie samo jak w podpunkcie a

20 Teoria gier a biznes: podejmowanie decyzji w warunkach konkurencji

21 W świecie biznesu przedsiębiorstwa często podejmują decyzje w warunkach strategicznej niepewności co do działań, które podejmują inne firmy. Dodatkowymi czynnikami niepewności mogą być przy tym przyszła koniunktura gospodarcza, wielkość rynku dla nowego produktu, koszty oraz wiele innych zmiennych. Możemy więc powiedzieć, że przedsiębiorstwa biorą udział w grach z udziałem zarówno innych graczy, jak i losu. W tego typu grach szczególnego znaczenia nabiera informacja, zarówno dotycząca działań konkurentów, jak i czynników ogólnie określanych mianem losu.

22 Przykład Rozważmy dwie firmy: Zeus Music, będącą liderem w produkcji nowoczesnego sprzętu audio oraz Atena Acoustics, będącą firmą mniejszą, lecz cenioną ze względu na innowacyjność i wysoką jakość produktów. Obie firmy opracowały nowy, obiecujący heksafoniczny system dźwiękowy, polegający na zawieszeniu słuchacza na pewnej wysokości, tak aby z każdej strony był otoczony muzyką i mógł słuchać jej z sześciu głośników, umieszczonych z przodu, tyłu, lewej, prawej, góry i dołu. Czynnikiem niepewności jest tutaj wielkość rynku na tego typu urządzenia: mały (zysk około 24 mln $) lub duży (zysk około 40 mln $)szanse istnienia obu są takie same i wynoszą 50%. Obie firmy muszą zatem zdecydować, jakiego typu produkt wypuścić najlepiej na rynek: najwyższej jakości system adresowany do audiofilów (NJ) czy też system tańszy, skierowany do odbiorców poszukujących nowości, ale o mniejszych wymaganiach co do jakości dźwięku (T) Jeżeli rynek jest mały, lepiej będzie się sprzedawać system wyższej jakości, jeżeli jednak byłby duży, wówczas większym powodzeniem cieszyłby się system tańszy.

23 Uwzględniając wszystkie czynniki, analitycy Zeusa oszacowali udziały w rynku obu firm w różnych sytuacjach (zakładamy, że analitycy Ateny ocenili sytuację podobnie, bowiem do obliczeń wykorzystano informacje powszechnie dostępne):

24 Przypadek 1 Obie firmy trzymają w tajemnicy swoje decyzje co do kierunku produkcji- żadna nie zna decyzji drugiej; nie zna także decyzji Losu. Obie firmy mają tu po dwie strategie: produkować sprzęt najwyższej jakości (NJ), bądź też tańszy (T).

25 Przypadek 2 Zeus, jako firma wiodąca na rynku, musi podjąć decyzję co do wyboru produktu wcześniej, a Atena- firma mniejsza i bardziej elastyczna- może zdecydować się na tyle późno, by poznać najpierw decyzję podjętą przez konkurenta. Firma Zeusa ma w tym przypadku dwie możliwości strategii, zaś firma Ateny- cztery.

26 Przypadek 3 Zeus wykonuje ruch jako pierwszy, ale zanim go wykona, przeprowadza dokładne badania rynku, które pozwolą mu określić, czy rynek jest duży, czy też mały. Atena nie będzie znać wyniku badań, będzie jednak wiedzieć, że miały one miejsce. Obie firmy mają tu po cztery strategie.

27 Przypadek 4 Obie firmy, zarówno Zeus, jak i Atena przeprowadzają badania rynku, pozwalające określić czy rynek jest mały, czy duży; Atena wykonuje swój ruch znając już decyzje zarówno Zeusa, jak i Losu. Firma Zeusa ma w tym przypadku cztery strategie, zaś firma Ateny- aż szesnaście.

28 Przypadek 5 Zeus wykonuje badania rynku, ale ukrywa ten fakt przed Ateną, stąd też ma ona błędne wyobrażenie o grzegrze- według niej mamy do czynienia z grą z przypadku 2, dlatego będzie grać strategią optymalną dla tego przypadku, czyli NJ/T. Zeus wiedząc o tym, jak zagra Atena i wiedząc, że ma do czynienia z grą z przypadku 3, zagra więc strategią optymalną dla tego też przypadku, czyli NJ/T, dzięki czemu uzyska wypłatę 24 (zysk o 2, w porównaniu z przypadkiem 3) Wniosek: posiadanie informacji może pozwolić graczowi na zapewnienie sobie lepszego wyniku gry gry-- dotyczy to także informacji o tym, co który z graczy wie o informacjach posiadanych przez drugiego, a więc o tym, jaka gra jest w rzeczywistości rozgrywana.

29 Ćwiczenie Załóżmy, że obaj gracze wykonują ruchy jednocześnie, ale uprzednio Zeus przeprowadza badania rynku, o czym Atena wie, ale nie zna ich wyników. Wskaż zbiory informacyjne w tej grze. Zapisz i rozwiąż odpowiednią grę 4x2. Co by się zmieniło, gdyby Atena nie wiedziała o przeprowadzonych badaniach rynku?

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja Czym się dzisiaj zajmiemy? Rozwiązywaniem gier w postaci ekstensywnej (drzewka) Historią najnowszą Indukcją wsteczną Preferencjami

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np.

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. kula wyłożona głośnikami od wewnątrz. Popyt jest nieznany:

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer

Bardziej szczegółowo

Nie przyznawać się wsypać kompana Nie przyznawać się 1 rok 1 rok 10 lat 0 lat Wsypać kompana 0 lat 10 lat 5 lat 5 lat

Nie przyznawać się wsypać kompana Nie przyznawać się 1 rok 1 rok 10 lat 0 lat Wsypać kompana 0 lat 10 lat 5 lat 5 lat TEORIA GIER Teoria gier definiowana jako teoria podejmowania decyzji w warunkach interaktywnych (gry strategicznej) lub inaczej matematyczna teoria sytuacji konfliktowych - została stworzona przez J. von

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3 LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4 dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Zadanie 1 Dwie konkurencyjne firmy X i Y są dealerami dobrze znanej marki

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania 1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

Uszereguj dla obydwu firm powyższe sytuacje od najkorzystniejszej do najgorszej. Uszereguj powyższe sytuacje z punktu widzenia konsumentów.

Uszereguj dla obydwu firm powyższe sytuacje od najkorzystniejszej do najgorszej. Uszereguj powyższe sytuacje z punktu widzenia konsumentów. Strategie konkurencji w oligopolu: modele Bertranda, Stackelberga i lidera cenowego. Wojna cenowa. Kartele i inne zachowania strategiczne zadania wraz z rozwiązaniami Zadanie 1 Na rynku działają dwie firmy.

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. O czym dzisiaj?

Mikroekonomia. O czym dzisiaj? Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...

Bardziej szczegółowo

Na poniższym rysunku widać fragment planszy. Pozycja pionka jest oznaczona przez. Pola, na które może dojść (w jednym ruchu), oznaczone są.

Na poniższym rysunku widać fragment planszy. Pozycja pionka jest oznaczona przez. Pola, na które może dojść (w jednym ruchu), oznaczone są. Dwuwymiarowy Nim VII OIG zawody indywidualne, etap I. 8 XI 0-7 I 0 Dostępna pamięć: 6 MB. Jaś i Małgosia grają w nietypową grę. Odbywa się ona na planszy ograniczonej z dołu i z lewej, a nieskończonej

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie! Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek... Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Analiza cen duopolu Stackelbera

Analiza cen duopolu Stackelbera Na samym początku odpowiedzmy na pytanie czym jest duopol. Jest to forma rynku w której kontrolę nad nim posiadają 2 przedsiębiorstwa, które konkurują pomiędzy sobą wielkością produkcji lub ceną. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja decyzji

Optymalizacja decyzji Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 8. Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC.

LEKCJA 8. Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC. LEKCJA 8 KOSZTY WEJŚCIA NA RYNEK Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC. Na wysokość barier wpływ mają: - korzyści skali produkcji,

Bardziej szczegółowo

Odmiany Gry. Rozpoczęcie gry

Odmiany Gry. Rozpoczęcie gry Odmiany Gry Limit: każda runda ma określony wcześniej limit podbicia, Pot-Limit: w każdej rundzie gracz nie może postawić więcej niż wartość puli znajdującej się na stole, No-Limit: w każdej chwili można

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Katarzyna Koman Maria Koman. Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Teoria gier. Katarzyna Koman Maria Koman. Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Teoria gier Katarzyna Koman Maria Koman Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej GRA NIM HISTORIA Pochodzenie gry NIM nie jest do końca znane. Najprawdopodobniej powstała

Bardziej szczegółowo

STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.

STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną. STRATEGIA PRZYBLIŻONA Ogólna strategia rozwiązywania gier NxN może być trudna obliczeniowo. Np. sprawdzenie otrzymanej mieszanej strategii wyrównującej : czy wszystkie strategie przeciwnika dają te same

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier

Elementy teorii gier Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Teoria gier a wojskowość: Partyzanci, Policjanci i Rakiety. Teoria gier a filozofia: Problem Newcombe a i wolna wola Przypomnienie Strategie mieszane Kryterium wartości

Bardziej szczegółowo

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja A

Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja A Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja A Zadanie. (3 pkt.) Rozwiąż równanie:. Zadanie 2. (3 pkt.) Zadanie 3. (3 pkt.) Obok, na wykresie kołowym, przedstawiono procentowy udział

Bardziej szczegółowo

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie Poznań, 1.10.2016 r. Dr Grzegorz Paluszak OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie I. Informacje ogólne 1. Nazwa modułu : Teoria gier 2. Kod modułu : 1 TGw

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s]. Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania Poniższy dokument zawiera przykładowe rozwiązania zadań z I etapu I edycji konkursu (2014 r.). Rozwiązania w formie takiej jak przedstawiona niżej uzyskałyby pełną liczbę punktów

Bardziej szczegółowo

W skrócie... Zawartość

W skrócie... Zawartość W skrócie... --W trakcie swojej tury podejmujesz próbę umieszczenia jednej ze swoich kart w odpowiednim miejscu na osi czasu. --Jeśli Ci się powiedzie, będziesz posiadał przed sobą o 1 kartę mniej. --Jeśli

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne przedmiotu: Ekonomia w praktyce Temat Wymagania - ocena dopuszczająca

Wymagania edukacyjne przedmiotu: Ekonomia w praktyce Temat Wymagania - ocena dopuszczająca Wymagania edukacyjne przedmiotu: Ekonomia w praktyce Temat Wymagania - ocena dopuszczająca 1.1. Etapy projektu 1.2. Projekt badawczy, przedsięwzięcie wie na czym polega metoda projektu? wymienia etapy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE 1 GIMNAZJUM

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE 1 GIMNAZJUM SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE GIMNAZJUM Temat: Ćwiczenia w dodawaniu i odejmowaniu liczb wymiernych Cele ogólne: - utrwalenie reguł dodawania i odejmowania liczb wymiernych, - wyrabianie sprawności

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Łyżwy - omówienie zadania

Łyżwy - omówienie zadania Komisja Regulaminowa XVI Olimpiady Informatycznej 1 UMK Toruń 12 luty 2009 1 Niniejsza prezentacja zawiera materiały dostarczone przez Komitet Główny Olimpiady Informatycznej. Treść zadania Wejście Wyjście

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne przedmiotu uzupełniającego: Ekonomia w praktyce

Wymagania edukacyjne przedmiotu uzupełniającego: Ekonomia w praktyce Wymagania edukacyjne przedmiotu uzupełniającego: Ekonomia w praktyce Temat (rozumiany jako lekcja) 1. Etapy projektu 2. Projekt badawczy, przedsięwzięcie Wymagania konieczne (ocena dopuszczająca) wie na

Bardziej szczegółowo

Ekonometria, lista zadań nr 6 Zadanie 5 H X 1, X 2, X 3

Ekonometria, lista zadań nr 6 Zadanie 5 H X 1, X 2, X 3 Ekonometria, lista zadań nr 6 Zadanie 5 Poniższy diagram przedstawia porządek między rozważanymi modelami oparty na relacji zawierania pomiędzy podzbiorami zbioru zmiennych objaśniających: H, X 2, X 3

Bardziej szczegółowo

Zachowanie monopolistyczne - dyskryminacja cenowa

Zachowanie monopolistyczne - dyskryminacja cenowa Zachowanie monopolistyczne - dyskryminacja cenowa Dotychczas analizowaliśmy monopolistę, który dyktował wspólną cenę dla wszystkich konsumentów Z dyskryminacją cenową mamy do czynienia wtedy, gdy różne

Bardziej szczegółowo

Wymagania podstawowe (ocena dostateczne) Wymagania rozszerzające (ocena dobra) Dział 1. Metoda projektu zasady pracy Uczeń: określa założenia

Wymagania podstawowe (ocena dostateczne) Wymagania rozszerzające (ocena dobra) Dział 1. Metoda projektu zasady pracy Uczeń: określa założenia Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi przedmiotu uzupełniającego: Ekonomia w praktyce dla klas szkół ponadgimnazjalnych autor mgr inż. Jolanta Kijakowska ROK SZKOLNY 2014/15 (klasa II d) Temat (rozumiany

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj! Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,

Bardziej szczegółowo

WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA

WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA SZYBKI BILL 15 kart czerwonych i 15 kart czarnych na których występują trudniejsze przypadki tabliczki

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z przedmiotu uzupełniającego : ekonomia w praktyce dla klasy II

Wymagania edukacyjne z przedmiotu uzupełniającego : ekonomia w praktyce dla klasy II Wymagania edukacyjne z przedmiotu uzupełniającego : ekonomia w praktyce dla klasy II Zagadnienia 1.1. Etapy projektu 1.2. Projekt badawczy, przedsięwzięcie Konieczny (2) wie na czym polega metoda projektu?

Bardziej szczegółowo

Uproszczony opis obsługi ruchu w węźle IP. Trasa routingu. Warunek:

Uproszczony opis obsługi ruchu w węźle IP. Trasa routingu. Warunek: Uproszczony opis obsługi ruchu w węźle IP Poniższa procedura jest dokonywana dla każdego pakietu IP pojawiającego się w węźle z osobna. W routingu IP nie wyróżniamy połączeń. Te pojawiają się warstwę wyżej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Program EWIDENCJA ODZIEŻY ROBOCZEJ INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA Przejdź do strony producenta programu

Program EWIDENCJA ODZIEŻY ROBOCZEJ INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA Przejdź do strony producenta programu Program EWIDENCJA ODZIEŻY ROBOCZEJ INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA Przejdź do strony producenta programu http://www.jarsoft.poznan.pl/ 1. STRUKTURA PROGRAMU Program EWIDENCJA ODZIEŻY ROBOCZEJ jest aplikacją pracującą

Bardziej szczegółowo

Metryczka Justyna Płonka Szkoła Podstawowa nr 1 z Oddziałami Integracyjnymi im. Jana III Sobieskiego w Kozach

Metryczka Justyna Płonka Szkoła Podstawowa nr 1 z Oddziałami Integracyjnymi im. Jana III Sobieskiego w Kozach Metryczka Justyna Płonka Szkoła Podstawowa nr 1 z Oddziałami Integracyjnymi im. Jana III Sobieskiego w Kozach Temat: Dzielenie z resztą Dział: Liczby i działania Klasa: IV szkoły podstawowej Czas realizacji:

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w

TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w TEORIA GIER GRA DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) Gra składa się z zestawu reguł określających możliwości wyboru postępowania jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w

Bardziej szczegółowo

b) [3 punkty] Jaka jest oczekiwana wartość doskonałej informacji? 0,875 (=3,625 2,75)

b) [3 punkty] Jaka jest oczekiwana wartość doskonałej informacji? 0,875 (=3,625 2,75) Imię Metody Analizy Decyzji Nazwisko II termin: 7.9. (7:) Nr indeksu Wykładowca: dr M. Lewandowski Zadanie [ punktów] Michał L. wyjeżdża na weekend do Chałup, gdzie chciałby popływać na desce windsurfingowej.

Bardziej szczegółowo

GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne

GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ 1. 2. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne Gdy dwuosobowa gra nie jest grą o sumie zerowej, to aby ją opisać musimy podać wypłaty obu graczy. Jak wiadomo niektóre

Bardziej szczegółowo

Zacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym.

Zacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym. Oligopol Oligopol jest zagadnieniem, którego zrozumienie wymaga dobrej znajomości teorii gier. Modele Oligopolu badane przez ekonomistów koncentrują się bowiem na znalezieniu rozwiązania (równowagi) w

Bardziej szczegółowo

Wynalazki TIMELINE 1 - rulebook - PL.indd 1 23/06/ :26:16 TIMELINE 1 - box - UK.indd 1 05/06/ :48:38

Wynalazki TIMELINE 1 - rulebook - PL.indd 1 23/06/ :26:16 TIMELINE 1 - box - UK.indd 1 05/06/ :48:38 Wynalazki W skrócie... - W trakcie swojej tury podejmujesz próbę umieszczenia jednej ze swoich kart w odpowiednim miejscu na osi czasu. - Jeśli Ci się powiedzie, będziesz posiadał o jedną kartę mniej przed

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

PROJEKT FIRMY BUDOWLANEJ

PROJEKT FIRMY BUDOWLANEJ PROJEKT FIRMY BUDOWLANEJ Grupa osób zastanawia się czy otworzenie spółdzielni socjalnej w ich mieście jest dobrym pomysłem na prowadzenie interesu. Spółdzielnia A chciałaby się zająć pracami remontowo

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 5, grupa zaawansowana (7..009) Gry matematyczne.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 Przykładowe rozwiązania 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy,

Bardziej szczegółowo