Strategie kwantowe w teorii gier

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński 18 stycznia 2015

2 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci 4

3 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Zasady gry Gracze Q i P nie znają bieżącej orientacji monety ani ruchów przeciwnika. Początkowo moneta jest ustawiona reszką do góry. Ruch każdego z graczy polega na odwróceniu monety lub pozostawieniu jej stanu bez zmian. Kolejność ruchów jest następująca: pierwszy ruch gracza Q, ruch gracza P, kończący rozgrywkę ruch gracza Q. Jeżeli końcowy stan monety to reszka, wygrywa Q, jeżeli orzeł wygrywa P. NN NF FN FF N F Tabela : Tabela wypłat gracza P

4 Kwantowanie gry w odwracanie monety ψ >= a R > +b O > aa + bb = 1 ( ) 1 R > O > 0 ( ) 0 1 Strategie klasyczne Liniowa kombinacja odwrócenia monety z prawdopodobieństwem p i pozostawienia jej stanu bez zmian z pr-stwem (1 p): U P = p ( ) ( ) (1 p) Strategie kwantowe Operacje unitarne: ( ) c d U Q = d c gdzie c 2 + d 2 = 1.,

5 Przewaga strategii kwantowych ( ) ( ψ 1 >= U Q R >= ψ 2 >= U P ψ 1 >= 1 2 (p ) = 1 2 ( 1 1 ( ) (1 p) 1 0 ) ( = 1 2 ( R > + O >) (1) )) ( ) 1 1 = 1 2 ( 1 1 ) (2) ( ) ( ) ( ) ψ 3 >= U Q ψ 2 >= = = R > (3)

6 Wojna płci Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci α > β > γ Rysunek : Macierz wypłat (źródło obrazka [2]).

7 Definicje i pojęcia (cz. 1) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci Statyczna gra o pełnej informacji Każdy z graczy zna dostępne strategie innych i wynikające z nich wypłaty, ale poznają wybrane przez nich strategie dopiero wraz z końcem gry. Należy określić: liczbę graczy i = 1, 2,..., N; zbiory strategii dla każdego gracza {s α i }; funkcje wypłaty $ i = $ i (s 1, s 2,..., s N ), które przypisują i temu graczowi liczbę rzeczywistą (wypłatę) w zależności od strategii wybranych przez wszystkich graczy. W przypadku Wojny płci i = 2, zbiór strategii Alicji (Boba) to {O, T }, zaś funkcje wypłaty $ 1 (s 1, s 2 ) oraz $ 2 (s 1, s 2 ) są określone przez macierz wypłaty, np. $ 1 (O, O) = $ 2 (T, T ) = α.

8 Definicje i pojęcia (cz. 2) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci Mocna dominacja strategii Strategię i tego gracza s i nazywamy ściśle zdominowaną przez strategię s i, jeżeli: $ i (s 1,..., s i,..., s N ) < $ i (s 1,..., s i,..., s N ) dla każdego wyboru (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s N ). Równowaga Nasha Zespół strategii (s1, s 2,..., s N ) stanowi równowagę Nasha, jeżeli dla każdego gracza i zachodzi: $ i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s N) $ i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s N) dla każdej strategii s i dostępnej dla i tego gracza.

9 Definicje i pojęcia (cz. 3) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci Strategie mieszane Strategia mieszana dla i tego gracza to rozkład prawdopodobieństwa, który przypisuje pr-stwo pi α każdej czystej strategii si α ze zbioru strategii i tego gracza. Wówczas $ i (s 1, s 2,..., s N ) jest zastępowane przez funkcję oczekiwanej wypłaty: $ i ({p 1 }, {p 2 },..., {p N }) = p α 1 1 pα pα N N $ i(s α 1 1, sα 2 2,..., sα N N ) α 1,α 2,...,α N

10 Równowagi Nasha w Wojnie płci Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci p prawdopodobieństwo, że Alicja wybierze operę, p [0, 1] q prawdopodobieństwo, że Bob wybierze operę, q [0, 1] $ A (p, q) = p[q(α 2γ + β) + γ β] + β + q(γ β) (4) $ B (p, q) = q[p(α 2γ + β) + γ α] + α + p(γ α) (5) { $A (p, q ) $ A (p, q ) = (p p)[q (α + β 2γ) β + γ] 0 $ B (p, q ) $ B (p, q) = (q q)[p (α + β 2γ) α + γ] 0 (6) p (1) = 1, q (1) = 1 p (2) = 0, q (2) = 0 p (3) = α γ α+β 2γ $ A (1, 1) = α $ B (1, 1) = β $ A (0, 0) = β $ B (0, 0) = α q (3) = β γ α+β 2γ $ A = $ B = αβ γ2 α+β 2γ

11 Kwantowanie gry (cz. 1) Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Reguła 1 Przestrzeń strategii Alicji S A (Boba S B ) jest dwuwymiarową przestrzenią Hilberta: ψ >= a O > +b T >, a 2 + b 2 = 1. Na początku gry ustala się dowolny początkowy stan ψ in > z przestrzeni S = S A S B = ( OO >, OT >, TO >, TT >). Reguła 2 Ruch Alicji (Boba) polega na wykonaniu operacji unitarnej A S A (B S B ) na jej (jego) kubicie stanu ψ in >. Końcowy stan wynosi ψ fin >= A B ψ in >.

12 Kwantowanie gry (cz. 2) Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Reguła 3 Wartości $ A i $ B znajduje się obliczając kwadraty modułów rzutów stanu ψ fin > na wektory bazowe OO >, OT >, TO >, TT >, a następnie dodając uzyskane liczby przemnożone przez odpowiednie współczynniki z macierzy wypłat. Reguła 4 Ostatecznie Alicja musi zagrać klasyczną strategię, która wynika z pomiaru na końcowym stanie kwantowym, tzn. z rzutowania ψ fin > na wektory bazowe S A. Podobnie Bob.

13 Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Równowagi Nasha faktoryzowalne stany ψ in > (cz. 1) Skoro ψ in > jest faktoryzowalny, można przyjąć bez straty ogólności ψ in >= OO >. W bazie { O >, T >} operacje Alicji i Boba mają postać: A = ( ) a b b a gdzie a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1. Stan końcowy wynosi zatem: ψ fin >= A B ψ in >= ( ) c d B = d c, = ac OO > ad OT > b c TO > +b d TT >

14 Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Równowagi Nasha faktoryzowalne stany ψ in > (cz. 2) Zgodnie z Regułą 3 znajdujemy więc: $ A = a 2 [(α + β 2γ) c 2 β + γ] + β + (γ β) c 2 (7) $ B = c 2 [(α + β 2γ) a 2 α + γ] + α + (γ α) a 2 (8) Wynik ten jest identyczny jak uzyskany w klasycznej teorii gier, jeżeli p = a 2 oraz q = c 2. Równowagi Nasha: ( a 2 = 0, c 2 = 0) ψ fin >= TT > $A = β $ B = α ( a 2 = 1, c 2 = 1) ψ fin >= OO > $ A = α $ B = β ( ) a 2 = α γ α+β 2γ, c 2 = β γ α+β 2γ $ A = $ B = αβ γ2 α+β 2γ ψ fin >= ( α γ O> β γ T >) ( β γ O> α γ T >) α+β 2γ

15 Nowe równowagi Nasha stany splątane Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci ρ A(B) fin ψ in >= a OO > +b TT >, a 2 + b 2 = 1 = pi ρ A(B) in I +(1 p)cρ A(B) in C (C O >= T, C T >= O) 1 p (1) = q (1) = 1 $ A (1, 1) = α a 2 + β b 2 $B (1, 1) = β a 2 + α b 2 2 p (2) = q (2) = 0 $ A (0, 0) = β a 2 + α b 2 $B (0, 0) = α a 2 + β b 2 3 p(3) = (α γ) a 2 +(β γ) b 2 α+β 2γ q(3) = (α γ) b 2 +(β γ) a 2 α+β 2γ $ A (p (3), q (3) ) = $ B (p (3), q (3) ) = αβ + (α β)2 a 2 b 2 γ 2 α + β 2γ

16 Ostateczny kompromis Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci 1. Brak samotnych wieczorów $ A (1, 1) + $ B (1, 1) = $ A (0, 0) + $ B (0, 0) = α + β 2. Równowagi Nasha 1 i 2 można połączyć { $A (1, 1) $ A (0, 0) = (α β)( a 2 b 2 ) $ B (1, 1) $ B (0, 0) = (α β)( b 2 a 2 ) kompromis = a = b = Najlepsza strategia ψ in >= 1 2 ( OO > + TT >) = ψ fin > (p = 0, q = 0) albo (p = 1, q = 1) $ A = $ B = α + β 2

17 Paradoks więźnia klasyczne i kwantowe sformułowanie Bob: C Bob: D Alice: C (3,3) (0,5) Alice: D (5,0) (1,1) ψ f >= J (U A U B )J CC > (9) ( ) e U(θ, φ) = cos θ/2 sin θ/2 sin θ/2 e iφ cos θ/2 (10) ( ) ( ) U(0, 0) = C = U(π, 0) = D = U ( ( ) 0, π ) i = Q = 0 i [ ] iγd D J = exp 2 γ [0, π/2] wsp. splątania (11)

18 Paradoks więźnia - gra separowalna (γ = 0) Rysunek : Wypłata Alicji w grze separowalnej. Na wykresie wybrano specjalną parametryzację, w której U A i U B zależą tylko od jednego parametru t [ 1, 1]: przyjmujemy U A = U(tπ, 0) dla t [0, 1] oraz U A = U(0, tπ/2) dla t [ 1, 0) (podobnie dla Boba). Zdrada D odpowiada t = 1, współpraca C to t = 0, a strategia Q jest reprezentowana przez t = 1 (źródło obrazka [3]).

19 Paradoks więźnia - maksymalne splątanie (γ = π/2) Rysunek : Wypłata Alicji w grze o maksymalnym splątaniu (źródło obrazka [3]).

20 Podsumowanie Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Poszerzenie przestrzeni dostępnych strategii o strategie kwantowe może prowadzić do powstawania nowych równowag Nasha i znikania dotychczasowych. Zastosowanie strategii kwantowych może prowadzić do rozwiązań korzystniejszych dla obu graczy, klasycznie niedostępnych. Szczególną rolę w grach kwantowych spełnia splątanie stanu, na krórym operacje mogą wykonywać gracze. Gracz dysponujący strategią kwantową grający przeciwko graczowi korzystającemu wyłącznie ze strategii klasycznych na ogół będzie posiadać przewagę.

21 Literatura Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) [1] David A. Meyer (1999) Quantum strategies Physical Review Letters 82 (5), [2] L. Marinatto, T. Weber (2000) A quantum approach to static games of complete information Physics Letters A 272, [3] J. Eisert, M. Wilkens, M. Lewenstein (1999) Quantum games and quantum strategies Physical Review Letters 83 (15), [4] quantum-coin-flipping-game-theory/