TEORIA GIER - semestr zimowy 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA GIER - semestr zimowy 2011"

Transkrypt

1 TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 Przykładowe rozwiązania 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy, czy spotka się z inną kobietą. Gracz II, żona, domyśla się tego i musi zdecydować, czy wysłać w ślad za mężem detektywa. Jeśli tego nie zrobi, nie dowie się niczego nowego i jej użyteczność wyniesie 0. Jeśli detektyw wyśledzi męża na spotkaniu z inną, użyteczność męża wyniesie 10, a żony 8. Jeśli mąż spotka się z inną, a żona nie dowie się o tym, użyteczność męża wyniesie 5. Użyteczność męża z pójścia do pracy wynosi p, przy czym 0 < p < 5. Za wynajęcie detektywa trzeba zapłacić c jednostek użyteczności. Detektyw jest lojalny wobec zleceniodawcy i na tyle sprawny, że mąż go nie zgubi. (a) Podać postać ekstensywną i normalną dwóch wersji tej gry: pierwszej z niepełną informacją i drugiej z pełną (w której mąż jest w stanie stwierdzić, czy detektyw go śledzi). (b) Przyjmując p = c = 2 wyznaczyć równowagi obu gier i podać wypłaty obu graczy w tych równowagach. (c) Jak droga musiałaby być praca detektywa, by gra z niepełną informacją miała równowagę w czystych strategiach? 5. Dwie firmy A i B konkurujące na pewnym rynku podejmują jednocześnie i niezależnie od siebie decyzję, czy rozpocząć kampanię negatywnej reklamy skierowanej przeciw konkurentowi. Obecnie każda z firm osiąga ze sprzedaży na tym rynku 10 i tak też pozostanie, jeżeli nikt nie zdecyduje się na rozpoczęcie kampanii. Prowadzenie kampanii kosztuje 15. Jeśli obie firmy prowadzą kampanię, podział rynku i dochody ze sprzedaży nie zmieniają się. Jeśli kampanię prowadzi tylko jedna firma, to jej konkurent zostaje wyeliminowany z rynku, a dochód ze sprzedaży produktu firmy, która pozostaje na rynku, wzrasta o 20 w przypadku firmy A i o r > 20 w przypadku firmy B. (a) Podać postać normalną i ekstensywną tej gry i wyznaczyć wszystkie jej równowagi Nasha. (b) Oznaczmy przez p(r) prawdopodobieństwo wyeliminowania z rynku firmy A w równowadze w strategiach mieszanych. Czy p jest rosnącą, czy malejącą funkcją zmiennej r? (c) Podać postać normalną i ekstensywną wersji tej gry z pełną informacją, w której firma A podejmuje decyzję jako pierwsza, a B decyduje znając już wybór konkurenta. (d) Czy w grze z pełną informacją korzystniej dla gracza jest decydować jako pierwszy, czy jako drugi? Uzasadnić odpowiedź.

2 Rozwiązanie 4 (a) W obu wersjach gry żona ma dwie strategie: wynająć detektywa (D) lub nie (ND). Mąż w wersji z niepełną informacją też ma 2 strategie: pójść do pracy (Pr) lub do innej (In), a w wersji z pełną informacją 4: Pr, In i dwie strategie warunkowe : (D Pr, ND In) oraz (D In, ND Pr). Pr In Postać normalna przy niepełnej informacji: Ż D c ; p 8 c ; 10 ND 0 ; p 0 ; 5 przy pełnej : Ż Pr In D Pr, ND In D In, ND Pr D c; p 8 c ; 10 c ; 5 8 c ; 10 ND 0 ; p 0 ; 5 0 ; 5 0 ; p Postać ekstensywna: Ż jako pierwsza wybiera między D a ND, następnie M wybiera między Pr a In. W wersji z niepełną informacją oba jego wierzchołki decyzyjne są w jednym zbiorze informacyjnym. Oczywiście, jak w każdym takim zadaniu, trzeba porządnie narysować drzewo, podać wypłaty, etykiety wierzchołków i łuków i zaznaczyć ew. zbiory informacyjne. (b) Z postaci normalnej gry z niepełną informacją widać od razu, że jeżeli c < 8, to żadna para czystych strategii nie jest równowagą (co od razu jest odpowiedzią na (c)). Jeśli c 8, to ND jest dominującą strategią żony i jest w równowadze z najlepszą odpowiedzią męża na ND, czyli strategią In. Równowaga w strategiach mieszanych przy c < 8: Ż wynajmuje detektywa z prawdopodobieństwem x D, M idzie do innej z prawdopodobieństwem y In gdzie y In jest tą wielkością, przy której Ż jest indyferentna między wyborem D a ND rozwiązaniem równania 8y In c = 0 ; y In = c, y 8 P r = 1 c ; 8 x D jest tą wielkością, przy której M jest indyferentny między wyborem Pr a In rozwiązaniem równania 10x D + 5(1 x D ) = p ; x D = 5 p, x 15 ND = p+10 ; 15 dla p = 2 mamy x D = 1, x 5 ND = 4. 5 Wypłaty w tej równowadze: Ż 0, M p (można darować sobie ich obliczanie, bo wiadomo, że muszą być równe (jednakowym) wypłatom każdej ze strategii czystych przeciw tym mieszanym strategiom równowagi). W grze z pełną informacją indukcja wstecz wyznacza jedyną równowagę doskonałą: (ND, (D In, ND Pr)) strategia męża w tej równowadze słabo dominuje każdą inną. Przy c < 8 nie ma innych równowag z tego samego powodu co w grze z niepełną informacją.

3 Rozwiązanie 5 (a) Postać normalna: Równowagi : A RN Nie RN 5 ; 5 15 ; 0 Nie 0 ; r 5 10 ; 10 (1) A prowadzi kampanię, B nie prowadzi z wypłatami A 15, B 0 (RN reklama negatywna). (2) A nie prowadzi kampanii, B prowadzi z wypłatami A 0, B r 5 (3) w strategiach mieszanych: A : prowadzi kampanię z prawdopodobieństwem a, B prowadzi kampanię z prawdopodobieństwem b gdzie a jest tą wielkością, przy której B jest indyferentny między prowadzeniem kampanii a nie rozwiązaniem równania 5a + (r 5)(1 a) = 0a + 10(1 a) ; a = r 15 r 10 ; b jest tą wielkością, przy której A jest indyferentny między prowadzeniem kampanii a nie rozwiązaniem równania 5b + 15(1 b) = 0b + 10(1 b) ; b = 1 2 ; wypłaty w tej równowadze: A 5, B 50 (najłatwiej je wyliczyć biorąc wypłaty r 10 strategii czystych przeciw mieszanej str. równowagi) Postać ekstensywna kolejno A i B wybierają akcje RN bądź Nie, drugi wybierający gracz ma niepełną informację oba jego wierzchołki decyzyjne są w jednym zbiorze informacyjnym. (b) p(r) jest prawdopodobieństwem, że B poprowadzi kampanię informacyjną, a A nie, a zatem p(r) = 1 (1 ) r 15 2 r 10 = 5 maleje przy rosnącym r. 2(r 10) (c) Gracz B ma teraz 4 strategie, a postać ekstensywna różni się od tej z (a) tym, że usunięto 2elementowy zbiór informacyjny. RN Nie To samo co A Inaczej niż A Postać normalna: A RN 5 ; 5 15 ; 0-5 ; ; 0 Nie 0 ; r 5 10 ; ; 10 0 ; r 5 (Strategia to samo co A gracza B jest zdominowana, a inaczej niż A słabo dominująca. W jedynej równowadze doskonałej A gra RN, a B gra inaczej niż A ). (d) W jedynej równowadze doskonałej gry z pełną informacją gracz wybierający jako pierwszy ma wyższą wypłatę niż wybierający jako drugi.

4 16. Gracz 1, napastnik, strzela karnego graczowi 2, bramkarzowi, i ma do wyboru 2 strategie: strzelać w lewy róg (bramki, widziany od strony boiska) lub w prawy. Bramkarz ma do wyboru 3 strategie: rzucić się w lewy róg (jak wyżej), rzucić się w prawy róg lub zaczekać na to, gdzie strzeli gracz 1. Napastnik na pewno trafi tam gdzie chce i wobec tego na pewno strzeli bramkę, gdy bramkarz rzuci się w przeciwny róg. Jeśli bramkarz od razu rzuci się w ten róg, w który strzela napastnik, obroni karnego z prawdopodobieństwem 0,4 przy strzale w lewy róg, a z prawdopodobieństwem 0,3 przy strzale w prawy róg. Jeżeli zaczeka, obroni strzał w każdy z rogów z prawdopodobieństwem o 0,1 mniejszym, niż gdyby od razu rzucił się w dany róg. (a) Podać macierz otrzymanej w tej sytuacji gry o sumie zerowej, w którą wypłatą gracza 1 jest prawdopodobieństwo strzelenia bramki. (b) Wyznaczyć wartość tej gry i strategie optymalne obu graczy. (c) Czy i ewentualnie jak zmieni się odpowiedź na pytanie (b), gdy gracz 1 ma dodatkowo trzecią strategię strzelania w środek bramki? (Bramkarz na pewno obroni taki strzał, gdy zaczeka, a na pewno nie obroni, gdy rzuci się w któryś z rogów). Uzasadnić odpowiedź. Roziwązanie (a) Przy ponumerowaniu strategii: gracza 1 : 1. L (strzela w lewy), 2. P (strzela w prawy) gracza 2 : 1. L (rzuca się w lewy), 2. P (rzuca się w prawy) 3. Cz (czeka) [ ] 0, 6 1 0, 7 macierzą wypłat gracza 1 jest. 1 0, 7 0, 8 (b) Gra oczywiście nie ma równowagi w strategiach czystych, a ponieważ jeden z graczy ma więcej niż 2 strategie, najprostszy algorytm szukania równowag dla gier 2 2 nie zadziała. Znajdziemy strategię optymalną gracza 1 wiemy z teorii, że w grach o sumie zerowej (bądź stałej) jest to strategia równowagi. a więc maksymalizująca (w takich grach) wypłatę gracza 1 przeciw najlepszej odpowiedzi gracza 2. Gracz 1 rozwiązuje więc (przy oznaczeniu x = x L, 1 x = x P ) problem max min(u 1((x, 1 x), L), u 1 ((x, 1 x), P), u 1 ((x, 1 x), Cz)) = x [0,1] max min(1 0, 4x, 0, 7 + 0, 3x, 0, 8 0, 1x). x [0,1] Można wyliczyć (a prościej: narysować) te obszary x, w których minimum w nawiasie jest realizowane przez pierwszą, drugą lub trzecią funkcję czyli strategie bramkarza. Rozwiązaniem jest x = 0, 25 ; wówczas [ ] 1 u 1 (x, P) = u 1 (x, Cz) = [0, 25 0, 75] = [0, 25 0, 75] 0, 7 [ ] 0, 6 u 1 (x, L) = [0, 25 0, 75] = 0, 9. 1 [ 0, 7 0, 8 ] = 0, 775, Optymalną strategią napastnika (x) jest więc strzał w lewy róg z prawdopodobieństwem 0,25, a w prawy z prawd. 0,75. Wartość gry wynosi 0,775.

5 Ponieważ najlepszymi odpowiedziami bramkarza na x są P i Cz, a L nie jest, strategia optymalna bramkarza jest tą strategią mieszaną używającą wyłącznie P i Cz, przy której napastnik jest indyferentny między strzałem w lewy a prawy róg bramki. Rozwiązaniem jest y L = 0, y P = 0, 25, y Cz = 0, 75. (Lub równoważnie: najbezpieczniejsza strategia bramkarza, przy czym wystarczy szukać wśród tych z y L = 0)., (c) Przeciw starej strategii optymalnej bramkarza, y, ta dodatkowa strategia daje napastnikowi oczekiwaną wypłatę 0,25, a więc nie obniża poziomu bezpieczeństwa bramkarza. Strategia optymalna bramkarza pozostaje bez zmian, a wobec tego strategia optymalna napastnika (jego najlepsza odpowiedź na y) i wartość gry też się nie zmienią. 12. W trzyosobowej grze konformiści gracze równocześnie podnoszą rękę. Jeśli wszyscy podniosą lewą lub wszyscy prawą, każdy otrzymuje wypłatę 0. Jeśli jeden z graczy podniesie inną rękę niż dwaj pozostali np. jako jedyny podniesie lewą to płaci po 1 zł obu pozostałym graczom. (a) Podać poziomy bezpieczeństwa wszystkich strategii czystych i mieszanych gracza 1. Jaka strategia jest najbezpieczniejsza? Czy układ, w którym wszyscy gracze używają swoich najbezpieczniejszych strategii, jest równowagą Nasha? (b) Znaleźć równowagę Nasha, w której gracze nie grają swoich najbezpieczniejszych strategii. Roziwązanie (a) Każdy z graczy ma dwie strategie czyste, L i P. Poziom bezpieczeństwa strategii to jej wypłata w najgorszym możliwym przypadku czyli wtedy, gdy obaj pozostali gracze zagrają drugą strategię czystą, czyli 2. Formalnie, poziom bezpieczeństwa dowolnej strategii x = (x L, x P ) gracza np. 1 (czystej lub mieszanej) to β(x) = min(u 1 (x, L, L), u 1 (x, L, P ), u 1 (x, P, L), u 1 (x, P, P )) czyli min(u 1 (x, L, L), u 1 (x, P, P )), bo u 1 (x, L, P ), u 1 (x, P, L) = 1 gdy dwaj gracze grają różne strategie czyste, trzeci zawsze wygrywa. Zaś u 1 (x, L, L) = 0x L 2x P, u 1 (x, P, P ) = 2x L + 0x P, a więc najbezpieczniejsza jest strategia maksymalizująca min( 2x L, 2x P ) x L = x P = 0, 5. (b) Wszyscy grają tę samą strategię czystą.

6 12. Trzy siostry dzielą między siebie trzy odziedziczone obiekty: mieszkanie, jacht i cenny obraz. Uzgodniono następującą procedurę podziału: najmłodsza siostra oznajmia, z którego obiektu rezygnuje, najstarsza zgodnie z tym przydziela jej jeden z dwóch innych obiektów, a na koniec spośród dwóch, których nie dostała najmłodsza, jeden wybiera dla siebie średnia siostra. Ostatni z obiektów zostaje dla najstarszej siostry. Każda z sióstr kieruje się tylko swą preferencją co do przypadającego jej dobra, nie interesując się tym, której przypadły inne obiekty. (a) Podać postać ekstensywną gry, w której wszystkie siostry najbardziej chciałyby dostać mieszkanie, ale najstarsza woli dostać jacht niż obraz, a obie pozostałe odwrotnie. (Można przyjąć dla każdego gracza wypłatę 2 za najbardziej preferowany obiekt, 1 za średni i 0 za najmniej preferowany). Znaleźć w tej grze dwie równowagi doskonałe, w których najmłodsza siostra rezygnuje z różnych obiektów. Która z tych dwóch jej strategii wydaje się Pani / Panu rozsądniejsza i dlaczego? (b) Pokazać, że gdy każda z sióstr najwyżej ceni sobie inny obiekt, to w równowadze doskonałej każda dostanie najbardziej preferowany. Opisać dokładnie strategie wszystkich trzech w tej równowadze. Roziwązanie (a) Opis drzewa: Zaczyna najmnłodsza siostra (Mł), wybiera jedną z 3 akcji: RM (rezygnuje z mieszkania), RJ i RO. Następnie najstarsza (St) wybiera jedną z 2 możliwych akcji: po RM są to J Mł (przydziela młodszej jacht) i O Mł, po RJ M Mł i O Mł, a po RO są to J Mł i M Mł. Następnie średnia (Śr) wybiera dla siebie jeden z 2 dostępnych obiektów np. po akcjach RM i O Mł wybiera pomiędzy J a M. Na końcu tej ścieżki Mł dostaje obraz, Śr mieszkanie, a St jacht. Gra jest z pełną informacją. Oczywiście trzeba narysować całe drzewo, poetykietować wszystkie łuki i wypisać wypłaty (lub lepiej podział obiektów) w każdym wierzchołku końcowym. Trzeba także zaznaczyć akcje wybierane w trakcie indukcji wstecz. Analiza przy preferencjach z p. (a) : Śr zawsze wybierze mieszkanie jeśli jest dostępne, a jeśli nie tj. jeśli St zagrała M Mł to obraz. Wiedząc to, St nigdy nie zagra J Mł, bo wtedy po optymalnej reakcji Śr sama zostanie z obrazem. Jeśli natomiast Mł sama zrezygnuje z jachtu, RJ, to St będzie indyferentna między przydzieleniem jej mieszkania bądź obrazu, bo w obu przypadkach zostanie jej jacht. Mł spodziewa się zatem M jeśli zagra RO, O jeśli zagra RM, a jeśli zagra RJ, to M lub O w zależności od tego, co wtedy zdecyduje St. Jeśli spodziewa się, że St po RJ wynierze M Mł, może zagrać RJ; jeśli spodziewa się O Mł, powinna zagrać RO. Są więc 3 równowagi doskonałe w czystych strategiach: (1) Mł : RO, Śr : zawsze wybiera lepszy obiekt, St: nigdy nie J Mł a po RJ O Mł ; (2) Mł : RO, Śr : zawsze wybiera lepszy obiekt, St: nigdy nie J Mł a po RJ M Mł ;

7 (3) Mł : RJ, Śr : zawsze wybiera lepszy obiekt, St: nigdy nie J Mł a po RJ M Mł i w każdej z nich wynik (podział obiektów) jest taki sam. Wszystko to widać na drzewie gry w procesie indukcji wstecz. Dla Mł bezpieczniej jest zrezygnować z obrazu, bo wtedy w jedynej równowadze doskonałej podgry następującej po jej decyzji dostaje mieszkanie. Po RJ ryzykuje że spośród równowag doskonałych podgry może zostać rozegrana ta, w której dostanie obraz. (b) Załóżmy że najmłodsza siostra preferuje obraz, średnia mieszkanie, a najstarsza jacht. Wtedy: jeżeli Mł nie zagra RO, St zagra O Mł bo wtedy gwarantuje sobie J (Śr wybierze mieszkanie). Zatem w każdej równowadze doskonałej St zagra O Mł jeśli tylko może; jeżeli Mł zagra RO HGW, ale w takim wypadku Mł nie dostanie obrazu który dostałaby rezygnując z czegokolwiek innego, Czyli RO nie jest najlepszą odpowiedzią Mł na jakiekolwiek strategie równowagi dosk. a zatem nie trzeba dokładnie badać strategii równowagi w podgrze po RO. W każdej równowadze doskonałej Mł gra RM lub RJ, a St przydziela jej obraz i sama dostaje jacht.

8 13. Dwaj gracze targują się o podział sumy 19,99 zł. Pierwszą propozycję podziału składa gracz I. Jeśli gracz II ją odrzuci, to z sumy 19,99 ubywa 6 zł i gracz II składa propozycję podziału mniejszej sumy; jeśli ta z kolei zostanie odrzucona przez gracza I, to gra się kończy i obaj gracze dostają po 5,50 zł, a resztę zabiera arbiter. Przyjęcie którejkolwiek propozycji także kończy grę i wtedy następuje uzgodniony podział. Zakładamy, że legalne są tylko takie propozycje podziału, w których oferent otrzymuje całkowitą liczbę złotówek (czyli np. pierwsza propozycja gracza I musi być postaci: n zł 99 gr dla ciebie, 19 n zł dla mnie). Gracze nie dyskontują wypłat. Narysować fragment drzewa tej gry z co najmniej jedną gałęzią każdej możliwej długości. Znaleźć jej równowagę doskonałą i podać pełny opis tworzących ją strategii oraz otrzymany podział. Roziwązanie Opis drzewa: Zaczyna gracz I, wybiera jedną z 20 propozycji: (0, 19,99),..., (19, 0,99). Każdą z nich II może zaakceptować albo odrzucić. Gdy zaakceptuje (k, 19 k zł 99 gr), gra kończy się z tymi wypłatami, Gdy odrzuci, składa jedną z 14 kontrpropozycji: (0,99, 13),..., (13,99, 0). Jeśli I ją przyjmie, gra kończy się z tymi wypłatami; jeśli odrzuci, gra kończy się z wypłatami (5,50, 5,50). Informacja jest pełna nie ma nietrywialnych zbiorów informacyjnych. Oczywiście reprezentatywny fragment drzewa trzeba narysować, najlepiej istotny dla znajdowania równowagi. Trzeba też zaznaczyć akcje wybierane w trakcie indukcji wstecz. Analiza: Pierwszy etap indukcji wstecz: Jeśli gracz I odrzuci kontrprppozycję gracza II, otrzyma 5,50, a zatem odrzuci (0,99, 13),..., (4,99, 9), a przyjmie (5,99, 8),..., (13,99, 0). Wiedząc to, II spodziewa się, że po odrzuceniu pierwszej propozycji gracza I otrzyma 8 najwyższą z wypłat po optymalnej reakcji I. Wobec tego pójdzie na tę możliwość tj. odrzuci propozycję I i sam zaproponuje (5,99, 8) jeśli I zaoferuje mu mniej niż 8. Tzn. odrzuci (19, 0,99),..., (12, 7,99), a przyjmie (11, 8,99), (0, 19,99). Wiedząc to, I spodziewa się, że po odrzuceniu swej pierwszej propozycji otrzyma 5,99. Złoży więc najlepszą dla siebie ofertę spośród tych, które będą przyjęte i zarazam dadzą mu co najmniej 6. Jest nią oczywiście (11, 8,99). Równowaga doskonała: Gracz I proponuje (11, 8,99), zgadza się na propozycje II dające mu co najmniej 5,99 i odrzuca pozostałe. Gracz II przyjmuje propozycje I wtedy i tylko wtedy, gdy proponuje mu się co najmniej 8,99, a po ew. odrzuceniu proponuje podział (5,99, 8). Wypłaty w tej rówonowadze: : 11 zł dla I, 8,99 zł dla II. Przykład równowagi niedoskonałej: Każdy z graczy składa tylko propozycje (1,99 dla ciebie, reszta dla mnie), a przyjmuje tylko takie, w których oferuje mu się co najmniej 9,99 zł.

TEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej

TEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej TEORIA GIER- semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej 1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3 LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania 1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011. ZADANIA 1. Indywidualne podejmowanie decyzji

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011. ZADANIA 1. Indywidualne podejmowanie decyzji TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 ZADANIA 1. Indywidualne podejmowanie decyzji 1. Decydent mający do zainwestowania 100 000 zł ma do wyboru trzy fundusze powiernicze, A, B i C, które w zależności od stanu

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. O czym dzisiaj?

Mikroekonomia. O czym dzisiaj? Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

Plan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha

Plan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek... Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np.

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. kula wyłożona głośnikami od wewnątrz. Popyt jest nieznany:

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier

Elementy teorii gier Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja Czym się dzisiaj zajmiemy? Rozwiązywaniem gier w postaci ekstensywnej (drzewka) Historią najnowszą Indukcją wsteczną Preferencjami

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej)

GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) Gra w postaci ekstensywnej formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry, z uwzględnieniem struktury czasowej, możliwości wielokrotnego podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań

Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem

Bardziej szczegółowo

b) [3 punkty] Jaka jest oczekiwana wartość doskonałej informacji? 0,875 (=3,625 2,75)

b) [3 punkty] Jaka jest oczekiwana wartość doskonałej informacji? 0,875 (=3,625 2,75) Imię Metody Analizy Decyzji Nazwisko II termin: 7.9. (7:) Nr indeksu Wykładowca: dr M. Lewandowski Zadanie [ punktów] Michał L. wyjeżdża na weekend do Chałup, gdzie chciałby popływać na desce windsurfingowej.

Bardziej szczegółowo

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II

Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.

STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną. STRATEGIA PRZYBLIŻONA Ogólna strategia rozwiązywania gier NxN może być trudna obliczeniowo. Np. sprawdzenie otrzymanej mieszanej strategii wyrównującej : czy wszystkie strategie przeciwnika dają te same

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Lista zawiera kilkadziesiąt zadań dotyczących różnych gier z użyciem kart i kości, w tym tych najbardziej popularnych jak brydż, tysiąc itp. Kolejne zadania

Bardziej szczegółowo

Przykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna

Przykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Na poczatku gry dwaj gracze wkładaja do puli po 1$. Następnie, gracz 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony.

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

Opis eksperymentu. Iwona Menkiewicz Agata Łukasiewicz Beata Pluta Ewa Ropelewska

Opis eksperymentu. Iwona Menkiewicz Agata Łukasiewicz Beata Pluta Ewa Ropelewska Iwona Menkiewicz Agata Łukasiewicz Beata Pluta Ewa Ropelewska Eksperyment przygotowany na zajęcia z Mikroekonomii III u dr Tomasza Kopczewskiego. Koszty krańcowe i utopione Eksperyment aukcja Eksperyment

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna

Bardziej szczegółowo

Łyżwy - omówienie zadania

Łyżwy - omówienie zadania Komisja Regulaminowa XVI Olimpiady Informatycznej 1 UMK Toruń 12 luty 2009 1 Niniejsza prezentacja zawiera materiały dostarczone przez Komitet Główny Olimpiady Informatycznej. Treść zadania Wejście Wyjście

Bardziej szczegółowo

Propedeutyka teorii gier

Propedeutyka teorii gier Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych. Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

Drzewka gry. Teoria gier a biznes.

Drzewka gry. Teoria gier a biznes. Drzewka gry. Teoria gier a biznes. Drzewka gry Gra jest to sytuacja konfliktowa, w której gracze podejmują decyzję, co do strategii, w sposób sekwencyjny i sukcesywny, w miarę przebiegu gry poznając kolejne

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier

14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier 14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier Klasyczna teoria gier zakłada że gracze tylko interesują się swoimi wypłatami, a nie wypłatami innych graczy. W dodatku, z założenia gracze maksymalizują

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001 Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek. Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie Poznań, 1.10.2016 r. Dr Grzegorz Paluszak OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie I. Informacje ogólne 1. Nazwa modułu : Teoria gier 2. Kod modułu : 1 TGw

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Równowaga w strategiach czystych

Lista zadań. Równowaga w strategiach czystych Lista zadań Równowaga w strategiach czystych 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Podaj definicję Pareto optymalności i znajdź pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b)

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Teoria gier a wojskowość: Partyzanci, Policjanci i Rakiety. Teoria gier a filozofia: Problem Newcombe a i wolna wola Przypomnienie Strategie mieszane Kryterium wartości

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii gier

Wprowadzenie do teorii gier Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 1 1 Klasyfikacja gier 2 Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane 3 Punkty równowagi w grach o sumie zerowej 4 Gry dwuosobowe oraz n-osobowe

Bardziej szczegółowo

GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne

GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ 1. 2. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne Gdy dwuosobowa gra nie jest grą o sumie zerowej, to aby ją opisać musimy podać wypłaty obu graczy. Jak wiadomo niektóre

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie! Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:

Bardziej szczegółowo

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry

Bardziej szczegółowo

Materiały dla finalistów

Materiały dla finalistów Materiały dla finalistów Malachoviacus Informaticus 2016 11 kwietnia 2016 Wprowadzenie Poniższy dokument zawiera opisy zagadnień, które będą niezbędne do rozwiązania zadań w drugim etapie konkursu. Polecamy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną

Bardziej szczegółowo

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Empik każdego inspiruje inaczej Aleksander Puszkin (1799 1837) Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856 1922) Wśród 20 tysięcy początkowych

Bardziej szczegółowo

UCZ SIĘ, ŻYJ I GRAJ Z MŁODZIEŻĄ IHF

UCZ SIĘ, ŻYJ I GRAJ Z MŁODZIEŻĄ IHF UCZ SIĘ, ŻYJ I GRAJ Z MŁODZIEŻĄ IHF Zasady piłki ręcznej Witajcie Szczypiorniści! To wspaniale, że chcecie się nauczyć zasad piłki ręcznej! W tej broszurze wyjaśnimy wszystko, co powinniście wiedzieć bawcie

Bardziej szczegółowo

Gry w postaci normalnej

Gry w postaci normalnej Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4 dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Zadanie 1 Dwie konkurencyjne firmy X i Y są dealerami dobrze znanej marki

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 8. Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC.

LEKCJA 8. Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC. LEKCJA 8 KOSZTY WEJŚCIA NA RYNEK Miara wielkości barier wejścia na rynek = różnica między ceną dla której wejście na rynek nie następuje a min AC. Na wysokość barier wpływ mają: - korzyści skali produkcji,

Bardziej szczegółowo

Zacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym.

Zacznijmy od przypomnienia czym są i jak wyglądają gry jednoczesne oraz sekwencyjne w zapisie ekstensywnym. Oligopol Oligopol jest zagadnieniem, którego zrozumienie wymaga dobrej znajomości teorii gier. Modele Oligopolu badane przez ekonomistów koncentrują się bowiem na znalezieniu rozwiązania (równowagi) w

Bardziej szczegółowo

Złożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys

Złożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys Złożoność informacyjna Kołmogorowa Paweł Parys Serock 2012 niektóre liczby łatwiej zapamiętać niż inne... (to zależy nie tylko od wielkości liczby) 100...0 100 100... 100 100 100 25839496603316858921 31415926535897932384

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

EKSPERYMENT PRACODAWCA PRACOWNIK oparty na eksperymencie Gift Exchange Game (Fehr, Kirchsteiger and Riedl 1993)

EKSPERYMENT PRACODAWCA PRACOWNIK oparty na eksperymencie Gift Exchange Game (Fehr, Kirchsteiger and Riedl 1993) Ekonomia Eksperymentalna Dr Tomasz Kopczewski EKSPERYMENT PRACODAWCA PRACOWNIK oparty na eksperymencie Gift Exchange Game (Fehr, Kirchsteiger and Riedl 1993) SPIS TREŚCI Wstęp 3 Podstawowe informacje o

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Maksymalizacja zysku

Maksymalizacja zysku Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek

Bardziej szczegółowo

TEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa

TEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa Przykładowe zadania na kolokwium: TEST [1] Zmniejszenie przeciętnych kosztów stałych zostanie spowodowane przez: a. wzrost wielkości produkcji, b. spadek wielkości produkcji, c. wzrost kosztów zmiennych,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja decyzji

Optymalizacja decyzji Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Σ. MiNI/MatLic/AiPP/ /Kolokwium-IB (20)

Σ. MiNI/MatLic/AiPP/ /Kolokwium-IB (20) Nazwisko i imię: Nr indeksu: 1 2 3 4 Σ MiNI/MatLic/AiPP/2014 2015/Kolokwium-IB (20) Uwaga: Za każde zadanie można uzyskać tę samą liczbę punktów. Do ostatecznej oceny wliczane są punkty za 3 najlepiej

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA wykład 3 TEORIA WYBORU KONSUMENTA. Prowadzący zajęcia: dr inż. Magdalena Węglarz Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania

EKONOMIA wykład 3 TEORIA WYBORU KONSUMENTA. Prowadzący zajęcia: dr inż. Magdalena Węglarz Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania EKONOMIA wykład 3 TEORIA WYBORU KONSUMENTA Prowadzący zajęcia: dr inż. Magdalena Węglarz Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania PLAN WYKŁADU 1. Model wyboru konsumenta 1. Dochód konsumenta

Bardziej szczegółowo

Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów

Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena

Bardziej szczegółowo