Elementy teorii gier

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy teorii gier"

Transkrypt

1 Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia im 000 zł w spadku. Testament jest następujący: każdy z synów musi podać sumę s i jaką chciałby otrzymać. Jeśli s + s 2 000, to każdy otrzymuje to o co prosił, a reszta przechodzi na cele charytatywne. Jeśli s + s 2 > 000, to żaden z synów nic nie otrzymuje i cała kwota przekazana jest na cele charytatywne. Załóżmy, że każdy z synów troszczy się tylko o swoją cześć spadku i kwota jaką może podać musi być w wyrażona w pełnych zł. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha w tej grze. 3. Podaj wszystkie równowagi Nasha w podanych grach. Narysuj graf najlepszych odpowiedzi dla pierwszej gry. U 6,0 5,3 D 6, 0,0 L M R U 5,0 -, 2,0 D 5,3-2,3 2,3 4. Podaj wszystkie równowagi Nasha w grze: A B C D E -4,5 3,-3 2,-5 -,4, 2 3,-3-6,7 6,4 0,0 3,-2 A B C -0,2 3, 2,0 2,0 2, 0,2 5. Rozważmy następujący problem aukcji. Dwóch graczy chce nabyć wartościowy przedmiot. Każdy gracz składa swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Kwoty jakie gracze mogą podać to: 00, 200, 300, 400 i 500 zł. Przedmiot jest warty 400 zł dla gracza i 300 zł dla gracza 2. Gracz, który składa najwyższą ofertę dostaje ten przedmiot. Zwycięzca płaci cenę p. Zatem, jeśli wartość przedmiotu dla zwycięzcy wynosi x, to jego wypłata jest x-p. Dla drugiego gracza wypłata wynosi 0. Jeśli obaj podają cenę p, to zwycięzca jest losowany i płaci p. Przypadek (I): First Price Auction Cena p jest równa ofercie jaką złożył zwycięzca. Przypadek (II): Second Price Auction Cena p jest równa ofercie jaką złożył drugi gracz. Podaj macierz wypłat dla obu graczy. Zastosuj algorytm eliminacji strategii zdominowanych. Znajdź czyste równowagi Nasha.

2 6. Second Price Auction. Sprzedawca posiada wartościowy obraz i chce go sprzedać na aukcji. Do aukcji przystępuje n potencjalnych nabywców. Każdy nabywca k posiada swoją własną ocenę v k > 0. Potencjalni nabywcy składają swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Niech nabywca k składa ofertę b k (0, ). Ten kto podał najwyższą ofertę kupuje przedmiot za drugą co do wielkości ofertę. Jeśli jest więcej nabywców niż jeden z najwyższą ofertą, to kupiec jest losowany według równomiernego rozkładu i płaci za przedmiot najwyższą cenę. Reszta otrzymuje wypłatę zero. Pokaż, że profil strategii (v, v 2,..., v n ) jest równowagą Nasha w tej grze n-osobowej. 7. Rozważmy grę Skała-Nożyczki-Papier, w której 2 dzieci jednocześnie pokazuje za pomocą dłoni element tej gry. Skała (S) bije Nożyczki (N), Nożyczki biją Papier (P), and Papier bije Skałę. Jeśli dzieci grają ten sam element (obydwoje S, obydwoje N lub obydwoje P) to jest remis. Skonstruuj macierz wypłat dla tej gry, jeśli + to wygrana, - przegrana i 0 to remis. Rozwiąż tą grę. 8. Każdy z dwóch kandydatów na prezydenta musi zdecydować, o której godzinie w TVP chce wygłosić swoje godzinne przemówienie. Każdy może wybrać dzień, dwa dni lub trzy dni przed wyborami.jeśli zdecydują się na przemówienie tego samego dnia, to żaden z kandydatów nic nie zyskuje. Jeśli wybiorą inne dni, to kandydat, którego przemówienie jest bliższe dnia, w którym są wybory ma przewagę. Jeden dzień różnicy: kandydat, który wygłasza przemówienie bliżej dnia wyborów zyskuje 30% głosów osób niezdecydowanych; dwa dni różnicy-taki kandydat zyskuje 50% głosów osób niezdecydowanych. Podaj macierz wypłat oraz zdecyduj jak powinni zachować się kandydaci. Czy gra jest fair? 9. Rozważ następującą grę: A B C D 0,0 2,-2-3,3 0,0 2-2,2 0,0 0,0 3,-3 3 3,-3 0,0 0,0-4,4 4 0,0-3,3 4,-4 0,0 Sprawdź, że para strategii ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 3/5, 2/5, 0)) jest optymalna. Sprawdź, że para strategii ((0, 3/5, 2/5, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) jest także optymalna. (c) Dlaczego punkty oraz pozwalają stwierdzić, że ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) musi być także optymalna? (d) Jakie są wypłaty graczy w punkcie (c)? (e) Czy gra jest fair? Uwaga: Grę o sumie zerowej nazywamy fair jeśli wypłata oczekiwana dla strategii równowagi wynosi zero. 0. Rozważamy ciągłą grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym z funkcją wypłaty r(x, y) = 6(x y) 2. Pokaż, że optymalna strategia dla gracza A opisana jest za pomocą rozkładu { F 0 (x) = 2, 0 x <,, x =, 2

3 a gracza B Znajdź wartość gry. G 0 (y) = { 0, 0 y < 2,, 2 y.. Gracze A i B grają w grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym. Gracz A wybiera liczbę x [0, ], a gracz B, nie znając wyboru gracza A wybiera y [0, ]. Wypłata gracza A wynosi Rozwiąż tą grę. P (x, y) = 2 y2 2x 2 2xy x y. Po jakimś czasie gracz A jest znudzony ciągłym wygrywaniem i decyduje się zbić z tropu gracza B grając zrandomizowaną strategię używając gęstości 3ξ 2, tzn. że prawdopodobieństwo że gracz A wybierze x [ξ, ξ + dξ] wynosi 3ξ 2 dξ. Dlaczego nie jest to głupia strategia dla gracza A? Jak dużo gracz A może stracić grając tą strategię? 2. Gracze A i B grają grę różniczkową. Gracz A wybiera y = y(t, x), gdzie y jest ciągłą, różniczkowalną funkcją taką, że 0 y dla wszystkich wartości t i x. Gracz B wybiera z = z(t, x), gdzie znowu z jest funkcją o tych samych własnościach co y. Dane jest równanie: dx dt = (y z)2, x(0) = x 0. Gra kończy się o czasie t = T. Gracz A maksymalizuje T 0 xdt, a gracz B minimalizuje tą całkę. Sprawdź, że max y T min z 0 xdt = x 0 T oraz min z T max xdt = x 0 T + y 0 8 T 2. Zatem gra różniczkowa nie posiada czystych strategii optymalnych (L.D. Berkovitz). 3. Narysuj drzewo gry Matching Pennies, w przypadku gdy każdy z graczy rzuca monetą. Jeśli możliwe, podaj czyste strategie graczy i postać normalną gry. 4. Antek i Bartek grają w następującą grę: Antek ma prawdziwy samolot i fałszywy samolot. Bartek ma urządzenie do strącania samolotu i chce nim trafić w prawdziwy samolot. Antek kładzie na stole prawdziwy lub fałszywy samolot i zakrywa go ręką. Bartek decyduje czy użyć swojego urządzenia. Na sygnał Antek odkrywa samolot, a Bartek decyduje co zrobić. Jeśli Bartek zestrzeli samolot, to wygrywa, jeśli samolot był prawdziwy i przegrywa, jeśli jest fałszywy. Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był prawdziwy, to gra się kończy i nie ma wypłat.jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się powtarza - tym razem stawka jest podwójna. W przypadku, gdy Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się kończy i Bartek wygrywa 2. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 3

4 5. Sasza i Masz kupili zestaw, który zawiera pistolet Colt 45-six shooter, jeden nabój, karton papierosów i zasady gry w rosyjską ruletkę. Każdy z graczy kładzie na stole po paczce papierosów. Sasza gra pierwszy: może dodać dwie paczki papierosów i przekazać pistolet Maszy albo dodać jedną paczkę, naładować rewolwer i strzelić sobie w głowę. Jeśli ma szczęście, to przekaże rewolwer Maszy. Masza ma te same opcje co Sasza. Gra się kończy. Każdy bierze po połowie papierosów, jeśli obaj żyją, albo ten co przeżył zabiera wszystkie paczki ze stołu. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 6. Do gry użyto trzech kart: Króla, 0 i 2. Antek wybiera jedną kartę nie pokazując Piotrowi. Piotr mówi: High lub Low. Jeśli ma rację (Król=High, 2 =Low), wygrywa 3zł od Antka. Jeśli nie ma racji traci 2zł. Jeśli kartą jest 0, to Piotr wygrywa 2zł, gdy wołał Low, ale Antek musi wybrać pomiędzy Królem a 2, gdy Piotr wołał High. Tym razem po wybraniu karty, Piotr znów woła High lub Low i wygrywa zł, gdy ma rację oraz traci 3zł, gdy nie ma racji. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 7. Antek i Bartek grają w grę z dwoma kartami oznaczonymi literami H=High i L= Low. Każdy z graczy kładzie na stół po zł. Antek losuje kartę, patrzy i zakłada się o 2zł lub 4zł. Bartek może zrezygnować lub popatrzyć. Jeśli zrezygnuje, to Antek zabiera wygraną ze stołu. Jeśli zdecyduje się popatrzyć, to musi dopasować się do Antka zakładu. W tym przypadku Antek wygra, jeśli ma kartę High, w przeciwnym wypadku wygra Bartek. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 8. Rozważmy asymetryczny model duopolu gry Cournota. Koszt produkcji dla Firmy wynosi c, a dla Firmy 2 c 2. Jeśli 0 < c i < P 0 /2 dla i =, 2, to jaka jest równowaga Nasha? Jeśli c < c 2 < P 0, ale 2c 2 > P 0 + c, to jaka jest równowaga Nasha? 9. Rozważmy model oligopolu gry Cournota: n identycznych firm (tzn. z identycznymi kosztami) produkuje ilości q, q 2,..., q n pewnego dobra. Cena na rynku opisana jest funkcją P (Q) = P 0 ( Q/Q 0 ), gdzie Q = n i= q i. Znajdź symetryczną równowagę Nasha. Do czego dąży zysk każdej firmy gdy n? 20. Przypuśćmy, że firma E ( Entrant ) rozważa wejście na pewien rynek, który obecnie jest zmonopolizowany przez inną firmę I ( Incumbent ). Cena na rynku danego dobra opisana jest przez funkcję ( P (Q) = P 0 Q ), Q 0 gdzie Q = q I + q E. Koszt produkcji jednostki tego dobra dla każdej firmy wynosi c i koszt Firmy E budowy fabryki, infrastruktury wynosi C E. Czy Firma E powinna wejść na rynek? Jeśli Firma E wejdzie na rynek, to czy Firma I powinna odkryć swoje plany produkcji czy nie? 2. Rozważmy model duopolu gry Cournota. Niech zysk Firmy i będzie dany funkcją: r i (q, q 2 ) = q i (2 q i q 2 ) q i θ i, } {{ } }{{} cena dobra koszt produkcji 4

5 gdzie q i jest wielkością produkcji Firmy i. Wiadomo, że Firma może być tylko jednego typu θ =. Firma wierzy, że θ 2 = 5 4 z prawdopodobieństwem 2 i θ 2 = 3 4 z prawdopodobieństwem 2. Zatem Firma 2 może być dwóch typów: high-cost type (θ 2 = 5 4 ) oraz low-cost type (θ 2 = 3 4 ). Znajdź czystą bayesowską równowagę Nasha w tej grze. Oblicz oczekiwane wypłaty dla graczy, gdy grają równowagę. AJ 5

Lista zadań. 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne.

Lista zadań. 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. Lista zadań 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. (a) U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b) U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Rozwiąż gry używając algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. O czym dzisiaj?

Mikroekonomia. O czym dzisiaj? Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek... Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach

Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach Informacja na rynkach konkurencyjnych Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach związanych z przeprowadzeniem

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3

Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3 LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii gier

Wprowadzenie do teorii gier Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 1 1 Klasyfikacja gier 2 Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane 3 Punkty równowagi w grach o sumie zerowej 4 Gry dwuosobowe oraz n-osobowe

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych. Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem

Bardziej szczegółowo

ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY

ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY 12355541 Rummikub ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY Dla 2 4 graczy w wieku od 7 lat Zawartość opakowania: 104 kostki do gry, ponumerowane od 1 do 13, w czterech kolorach

Bardziej szczegółowo

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A)

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A) 1. Na rynku pewnego dobra działają dwie firmy, które zachowują się zgodnie z modelem Stackelberga. Firmy ponoszą stałe koszty krańcowe równe 24. Odwrócona linia popytu na tym rynku ma postać: P = 480-0.5Q.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii

TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania 1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

&RQWHQX &RQWHQWV ,QKDOW &RQWHQLGR &RQWHQXWR ,QKRXG ,QQHK OO ,QGKROG &RQWH GR X 4 X 2 X 26

&RQWHQX &RQWHQWV ,QKDOW &RQWHQLGR &RQWHQXWR ,QKRXG ,QQHK OO ,QGKROG &RQWH GR X 4 X 2 X 26 Mamicatchmi å ú Игровой комплект X 4 X 2 X 26 å æ Сборка конструкций PL Zasady Gry 5-12 lat 2-4 10 min Mamicatchmi Zawartość: 1 drzewko, 1 buda, 1 krzesło, 1 schowek myszki, 2 kostki, 4 pionki (myszka,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4 dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Zadanie 1 Dwie konkurencyjne firmy X i Y są dealerami dobrze znanej marki

Bardziej szczegółowo

SZALONA GRA SPOSTRZEGAWCZOŚCI 2 DO 8 GRACZY OD 6 LAT.

SZALONA GRA SPOSTRZEGAWCZOŚCI 2 DO 8 GRACZY OD 6 LAT. SZALONA GRA SPOSTRZEGAWCZOŚCI 2 DO 8 GRACZY OD 6 LAT. Zasady gry Co to jest Dobble? Dobble to 50 symboli na 55 kartach, po 8 symboli na karcie. Pomiędzy dwiema dowolnymi kartami jest tylko jeden wspólny

Bardziej szczegółowo

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. Wykład 10

Mikroekonomia. Wykład 10 Mikroekonomia Wykład 10 Informacja Na rynkach doskonale konkurencyjnych nabywcy i sprzedawcy są doskonale poinformowani o jakości dóbr sprzedawanych na rynku oraz innych aspektach związanych z przeprowadzeniem

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

WZORY, KOLORY, MEMORY

WZORY, KOLORY, MEMORY gra edukacyjna w 2 wariantach - od 5 lat Gra I dla 2 4 graczy rekwizyty: 1) plastikowe elementy (żetony) - 48 szt. 2) karty wzorów - 55 szt. 3) podkłady - 2 4 szt. INSTRUKCJA WZORY, KOLORY, MEMORY Cel

Bardziej szczegółowo

Dobble? Co to takiego?

Dobble? Co to takiego? SZALONA GRA WYMAGAJĄCA REFLEKSU OD 2 DO 8 GRACZY OD 6. ROKU ŻYCIA GWIEZDNE WOJNY ZASADY GRY Dobble? Co to takiego? Gra Dobble składa się z 55 kart. Na każdej z nich znajduje się 8 różnych symboli z puli

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 Przykładowe rozwiązania 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!

Teoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie! Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:

Bardziej szczegółowo

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną

Bardziej szczegółowo

AUKCJE Interaktywne wykłady z cyklu pt. Teoria ekonomii w praktyce dr Przemysław Kusztelak dr Tomasz Kopczewski

AUKCJE Interaktywne wykłady z cyklu pt. Teoria ekonomii w praktyce dr Przemysław Kusztelak dr Tomasz Kopczewski AUKCJE Interaktywne wykłady z cyklu pt. Teoria ekonomii w praktyce dr Przemysław Kusztelak dr Tomasz Kopczewski Przemysław Kusztelak Slajd 1 /27 Aukcje Aukcja to mechanizm oparty na konkurencji używany

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy

Teoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry

Bardziej szczegółowo

WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA

WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA SZYBKI BILL 15 kart czerwonych i 15 kart czarnych na których występują trudniejsze przypadki tabliczki

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F

Bardziej szczegółowo

WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO 2 5 GRACZY W WIEKU OD 4 LAT

WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO 2 5 GRACZY W WIEKU OD 4 LAT WYMAGAJĄCA REFLEKSU GRA DLA KAŻDEGO 2 5 GRACZY W WIEKU OD 4 LAT Zasady gry Dobble Gdzie jest Dory co to takiego? Dobble Gdzie jest Dory to 30 różnych kart z symbolami pochodzącymi ze świata tego filmu.

Bardziej szczegółowo

Gra: Partnerstwo biznesowe

Gra: Partnerstwo biznesowe Gra: Partnerstwo biznesowe Opis: Gra uczy partnerstwa biznesowego. Pokazuje jakie są jego zalety i wady. Pozwala uczestnikom szkolenia odkryć główny powód, dla którego firmy tworzą partnerstwa biznesowe.

Bardziej szczegółowo

Jungle Speed to gra dla 2-10 graczy (a nawet więcej!) w wieku od 7 lat.

Jungle Speed to gra dla 2-10 graczy (a nawet więcej!) w wieku od 7 lat. Jungle Speed to gra dla 2-10 graczy (a nawet więcej!) w wieku od 7 lat. Historia Jungle Speed został wynaleziony około 3000 lat temu w subtropikalnej Szybkopotamii przez plemię Abulubulu. Abulubulu wybierali

Bardziej szczegółowo

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne 4.1 Wprowadzenie do modelowania Uwaga!!! Rzut monetą nie jest eksperymentem losowym. Znając warunki początkowe oraz wiedząc wszystko o otoczeniu, wyposażeni w znajomość zasad dynamiki jesteśmy w stanie

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek. Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Empik każdego inspiruje inaczej Aleksander Puszkin (1799 1837) Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856 1922) Wśród 20 tysięcy początkowych

Bardziej szczegółowo

MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH

MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH ZADANIE. Mamy trzech konsumentów, którzy zastanawiają się nad nabyciem trzech rożnych programów komputerowych. Właściwości popytu konsumentów przedstawiono w następującej tabeli:

Bardziej szczegółowo

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np.

Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. kula wyłożona głośnikami od wewnątrz. Popyt jest nieznany:

Bardziej szczegółowo

Odmiany Gry. Rozpoczęcie gry

Odmiany Gry. Rozpoczęcie gry Odmiany Gry Limit: każda runda ma określony wcześniej limit podbicia, Pot-Limit: w każdej rundzie gracz nie może postawić więcej niż wartość puli znajdującej się na stole, No-Limit: w każdej chwili można

Bardziej szczegółowo

Oligopol. Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj

Oligopol. Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj Oligopol Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i działaj ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj dniają istnienie pozostałych firm. Na decyzję firmy wpływaj

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE I CEL GRY ELEMENTY GRY

WPROWADZENIE I CEL GRY ELEMENTY GRY WPROWADZENIE I CEL GRY Masz nadzieję zostać ministrem handlu Maharadży. Osiągniesz swój cel, jeśli pod koniec każdego tygodnia (rundy) będziesz bogatszy od swojego przeciwnika. Fortunę zdobędziesz, zbierając

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. Gra dla 3-5 graczy w wieku lat

INSTRUKCJA. Gra dla 3-5 graczy w wieku lat INSTRUKCJA Gra dla 3-5 graczy w wieku 10-110 lat ELEMENTY GRY 55 kart pieniędzy Każdy gracz dysponuje jedenastoma kartami pieniędzy w wybranym kolorze o łącznej wartości 106 milionów dolarów. 10 płytek

Bardziej szczegółowo

Historia gigantycznej sałatki owocowej Pora na imprezę! Dzieci zbierają się wokół kuchennego stołu i przygotowują ogromną sałatkę owocową.

Historia gigantycznej sałatki owocowej Pora na imprezę! Dzieci zbierają się wokół kuchennego stołu i przygotowują ogromną sałatkę owocową. Historia gigantycznej sałatki owocowej Pora na imprezę! Dzieci zbierają się wokół kuchennego stołu i przygotowują ogromną sałatkę owocową. Każde dorzuca kilka swoich ulubionych owoców. Po chwili Arek,

Bardziej szczegółowo

Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach.

Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach. Konstruktywne metody znajdowania równowag w dużych gospodarkach. Łukasz Balbus 1 Wojewódzki Urza d Pracy w Zielonej Górze, 28 Maja 2014 1 Uniwersytet Zielonogórski. Cele teorii gier w ekonomii: próba zrozumenia

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

W pudełku. Cel gry. Mądrze inwestuj pieniądze na rynku nieruchomości i pokaż innym, że to właśnie Ty jesteś najlepszy!

W pudełku. Cel gry. Mądrze inwestuj pieniądze na rynku nieruchomości i pokaż innym, że to właśnie Ty jesteś najlepszy! zasady gry 1 Mądrze inwestuj pieniądze na rynku nieruchomości i pokaż innym, że to właśnie Ty jesteś najlepszy! W pudełku Cel gry 30 kart Nieruchomości o wartości od 1 do 30. W grze Na Sprzedaż rozgrywka

Bardziej szczegółowo

Konkurencja i kooperacja w dwuosobowych grach strategicznych. Anna Lamek

Konkurencja i kooperacja w dwuosobowych grach strategicznych. Anna Lamek Konkurencja i kooperacja w dwuosobowych grach strategicznych Anna Lamek Plan prezentacji Ujęcie kooperacji i konkurencji w teorii gier Nowe podejście CoCo value CoCo value dla gier bayesowskich Uzasadnienie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

Pojęcia podstawowe. Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier. Jak porównać dwa porządki?

Pojęcia podstawowe. Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier. Jak porównać dwa porządki? Pojęcia podstawowe Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier Decision Support Systems Mateusz Lango 5 listopada 16 problem decyzyjny decydent analityk model preferencji (3 rodzaje) zbiór wariantów/alternatyw

Bardziej szczegółowo

Strategie kwantowe w teorii gier

Strategie kwantowe w teorii gier Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników). TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące

Bardziej szczegółowo

Niezwykła przygoda dla 3-6 śmiałych podróżników w wieku od 8 do 99 lat

Niezwykła przygoda dla 3-6 śmiałych podróżników w wieku od 8 do 99 lat Niezwykła przygoda dla 3-6 śmiałych podróżników w wieku od 8 do 99 lat Autor: Hervé Marly Ilustracje i grafika: Agnieszka Rajczak-Kucińska Na odwrocie każdego zestawu czterech kart znajdują się wizerunki

Bardziej szczegółowo

IINSTRUKCJA. Gra dla 2-4 graczy w wieku 6-106 lat

IINSTRUKCJA. Gra dla 2-4 graczy w wieku 6-106 lat IINSTRUKCJ N S T R U KC J Gra dla 2-4 graczy w wieku 6-06 lat ZMEK_karty_203_cs5.indd :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0 PM :0

Bardziej szczegółowo

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne? Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

TEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa

TEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa Przykładowe zadania na kolokwium: TEST [1] Zmniejszenie przeciętnych kosztów stałych zostanie spowodowane przez: a. wzrost wielkości produkcji, b. spadek wielkości produkcji, c. wzrost kosztów zmiennych,

Bardziej szczegółowo

Analiza cen duopolu Stackelbera

Analiza cen duopolu Stackelbera Na samym początku odpowiedzmy na pytanie czym jest duopol. Jest to forma rynku w której kontrolę nad nim posiadają 2 przedsiębiorstwa, które konkurują pomiędzy sobą wielkością produkcji lub ceną. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teroia gier

Czym zajmuje się teroia gier Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych

Bardziej szczegółowo

Gry w postaci normalnej

Gry w postaci normalnej Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać

Bardziej szczegółowo

SUKNIE ŚLUBNE - MODA I MODELKI

SUKNIE ŚLUBNE - MODA I MODELKI INSTRUKCJA SUKNIE ŚLUBNE - MODA I MODELKI Zabawa układanka dla 1-4 osób rekwizyty: 96 elementów tworzących 24 modelki Umieszczone w pudełku 24 kreacje zostały stworzone na wielki pokaz mody sukni ślubnych.

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

LICZBOW Y INSTRUKCJA. zabawka i gra edukacyjna rekomendowany wiek: od lat 8. liczba graczy: 2-4

LICZBOW Y INSTRUKCJA. zabawka i gra edukacyjna rekomendowany wiek: od lat 8. liczba graczy: 2-4 INSTRUKCJA LICZBOW Y zabawka i gra edukacyjna rekomendowany wiek: od lat 8 liczba graczy: 2-4 zawartość pudełka: 1) tabliczki z numerami - 136 szt. 2) tabliczki Joker - 4 szt. 3) worek 4) instrukcja Po

Bardziej szczegółowo

PAMIĘĆ-LITERY. zawartość pudełka: 1) tabliczki z literami - 64 szt. (32 pary) 2) pionki - 4 szt. 3) plansza 4) kostka 5) instrukcja INSTRUKCJA

PAMIĘĆ-LITERY. zawartość pudełka: 1) tabliczki z literami - 64 szt. (32 pary) 2) pionki - 4 szt. 3) plansza 4) kostka 5) instrukcja INSTRUKCJA INSTRUKCJA PAMIĘĆ-LITERY gra edukacyjna dla 2 4 osób rekomendowany wiek: od lat 6 zawartość pudełka: 1) tabliczki z literami - 64 szt. (32 pary) 2) pionki - 4 szt. 3) plansza 4) kostka 5) instrukcja 1

Bardziej szczegółowo

Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej

Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej 2012 2013-01-16 1 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,-1 2013-01-16 2 Diagram przesunięć 2013-01-16

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Philippe des Pallières

Philippe des Pallières Philippe des Pallières Cel gry Reguły gry Każdy z graczy jest pasterzem. Opiekuje się stadem, złożonym z czarnych, żółtych, czerwonych lub niebieskich owiec. Celem gracza jest ogrodzenie płotem jak największej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka Biomatematyka 90...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji, dla której zachodzi prawo Hardy ego- Weinberga dla loci o dwóch allelach A i a proporcja osobników o genotypie AA wynosi

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

SAMOGŁOSKI I SPÓŁGŁOSKI

SAMOGŁOSKI I SPÓŁGŁOSKI INSTRUKCJA SAMOGŁOSKI I SPÓŁGŁOSKI gra edukacyjna w 2 wariantach Gra I dla 2 4 graczy rekwizyty: 1) tabliczki z samogłoskami - 36 szt. 2) tabliczki ze spółgłoskami - 70 szt. 3) tabliczki Joker - 2 szt.

Bardziej szczegółowo