Zastosowanie szeregu Fouriera do analizy modulacji PWM

Transkrypt

1 Mr HARTMAN Adi Mors w Gdyi, Glorg ivrsiy, Wli Zsosowi szrgu Fourir do lizy odulcji PWM Srszczi. W rfrci przdswioo podswy ycz szrgu Fourir. Podo ryri zbiżości su częściowyc szrgu Fourir w przypdu jdj i dwóc ziyc. Zsosowi szrgu Fourir dwóc ziyc przdswioo w oprciu o przszłci B dl iloczyu dwóc fucji. Opiso odulcję ipulsową PWM z zsosowi przszłci B. Ziszczoo opis odulcji szroości ipulsów pięci wyjściowgo odą porówi sygłu ośgo i odulującgo PWM.. Rozwżi ycz zilusrowo wyii syulcji i grfii opurowj. Absrc. T Micl pricipls of Fourir sris wi o d wo vribls v b prsd i is ppr. Svrl criri of pril su of Fourir sris covrgc i poi of jup fucio v b lso cosidrd. T pplicio of doubl Fourir sris proposd by B o pliud odulio s b dscribd i dils. Bsd o B proposl, puls wid odulio s b rcosidrd. So icl rsuls v b ddiiolly illusrd by copur siulio drwigs. T Fourir sris pplicio i PWM odulio lyzs. Słow luczow: Szrgi Fourir, ryri zbiżości, przszłci B, odulcj szroości ipulsów. Kywords: Fourir sris, covrgc criri, B covrsio, puls wid odulio. Szrgi rygoorycz jdj zij Nic będzi dy isończoy szrg fucyjy o posci f x f x... f x... f x f x Szrg js zbiży dl dj wrości x, jżli dl jgo su częściowyc S x f x isij sończo gric Sx zw suą szrgu 3 S x li S x Nic fucj fx w puci lwosroą x f x li f x x x< x x f x li f x x x> x x gricę orz gricę prwosroą. W puc ciągłości fucji gric lwo- i prwosro są sobi rów: fx fxo fx. Jżli x js pu iciągłości fucji fx, o gric lwosro i prwosro i są rów sobi, ogą isić lub i obydwi lub jd z ic. Jżli obydwi gric isiją, o pu x js pu iciągłości pirwszgo rodzju. Jżli cociż jd z ic i isij, o pu x js pu iciągłości drugigo rodzju. Dl puu iciągłości pirwszgo rodzju, wrość δ, ż δ fx fx, js soi fucji fx w puci x x. Nic będzi dy szrg rygooryczy o posci 4 cos x b si x w przdzil doięy [, ] Jśli współczyii orz b rówi 4 orślo są jo x 5 f x cos x dx dl,,, 3,... 6 b f x si x dx dl,,, 3... o szrg 4 zyw się szrgi rygooryczy Fourir fucji fx. Liczby orz b zdfiiow wzori 5 orz 6 są współczyii Fourir fucji fx. Jżli fucj fx js bzwzględi cłowl w pwy przdzil sończoy [, b], o b 7 li f x cos x dx orz b li f x si x dx N ocy go wirdzi wirdzi Ri - Lbsqu' [9] oż swirdzić, ż współczyii Fourir, b fucji bzwzględi cłowlj dążą do zr dl. Dl rygooryczgo szrgu Fourir fucji fx, i rozsrzygjąc wsii jgo zbiżości, oż zpisć. 8 f x ~ cos x b si x Tgo rodzju zpis ozcz ylo yl, ż fucji fx odpowid rygooryczy szrg Fourir. Z ~ oż zsąpić zi ylo wdy, gdy wyż się, ż szrg js zbiży i ż jgo su js rów fucji fx [5,4]. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

2 Su częściow szrgu rygooryczgo Cl dlszyc rozwżń js zbdi zcowi się szrgu rygooryczgo 8 w puci x x. Suę częściową szrgu rygooryczgo 8 oż zpisć w posci x 9 S x x cos x b si Podswijąc wyrżi 5 orz 6 do 9, orzyuj się: S x f x[cosxcosx sixsix ] dx f x f x dx Korzysjąc z przszłci cos x x dx si x x cos x x x x si x x gdzi: fucj orsow x-x osi zwę -go jądr Diricl [3], orz podswijąc rówi do rówi, orzyuj się si x x S x f x dx x x si Cł w rówiu zw js cłą Diricl. Dooując podswii w rówiu, ż x x, oż pisć: si 3 S x f x d si f x d [ f x f x ] d si si S x 4 [ f x f x f x ] f x ϕ x d gdzi: ϕ f x f x f x x d Aby su częściow szrgu S x rówł się wrości fucji w y sy puci, z. by S x f x, y sy Sx fx lży dowiść, ż: si 5 li ϕ x d si Wybr ryri zbiżości szrgu Fourir jdj zij Isoy zgdii sj się więc orśli wruów zbiżości szrgu rygooryczgo Fourir i wyzi, ż jgo su js rów wrości fucji w żdy jj puci. W y clu lży dowiść prwdziwości rówi 5. Probl y zjowło się wilu yów i w lirurz oż zlźć szrg wirdzń i ryriów doyczącyc go zgdii. Isoą ic js swirdzi, dl jic fucji fx szrg Fourir js zbiży. Twirdzi Ri wg [6] Zcowi się szrgu Fourir fucji fx zbiżość lub rozbiżość w puci xx zlży wyłączi od wrości przyjowyc przz fucję w bzpośrdi oocziu go puu zw. zsd lolizcji. Kryriu Diigo wg [6,3] Szrg Fourir fucji fx w puci x js zbiży do suy Sx, jżli dl dj wrości x fucj φ x / zij rówi 4 js cłowl w pwy przdzil, << z. jżli cł 6 ϕ x d js zbiż. W szczgólości, szrg Fourir fucji fx js zbiży do wrości fx w żdy puci x, w óry fucj js różiczowl. Cł w rówiu 6 osi zwę cłi Diigo. Dl fucji ciągłj cł Diigo posć 7 ois dl puu x pirwszgo rodzju f x f x f x d w óry wysępuj iciągłość Rówi 3 js wzor cłowy suę częściową szrgu Fourir. Nic fx będzi wrością fucji w puci xx. Korzysjąc z rówi 3 oż pisć, 8 f x f x f x f x d Wyrżi 7 orz 8 oż zpisć w posci osobyc cł PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

3 f x f x 9 d, orz f x f x f x f x f x f x d d, N podswi 9 i orzyuj się szrg ryriów, wyorzysując róż z ryri isii cł [4]. Kryriu Lipsciz wg [6] Szrg Fourir fucji fx js zbiży w puci x ciągłości j fucji do suy S x, jżli przy dosczi łyc wrościc spłio js irówość d f x ± f x < α L gdzi: L,α są słyi dodii α. Jżli α, o rówi posć f x ± f x L i isiją cłi opis rówii 9 i. Jżli α < o rówi posć o szrg Fourir fucji fx js zbiży w puci x do wrości fucji fx. Kryriu Jord Diricl wg [6,3] Szrg Fourir fucji fx js zbiży w żdy puci x [, b] do wrości fucji fx, jżli w pwy przdzil [x -, x ] o środu w y puci fucj fx wi ogriczo. Twirdzi Diricl wg [6,] Jżli fucj fx o orsi js przdziłi oooicz w przdzil <-, > i co jwyżj sończoą liczbę puów iciągłości pirwszgo rodzju x, o szrg Fourir suę Sx rówą wrości fucji fx w żdy puci, w óry fucj js ciągł, orz suę rówą wrości [ f x f x ] w żdy puci x, w óry fucj js iciągł. Z przyoczoyc powyżj wirdzń i ryriów powszc zsosowi zysło wirdzi Diricl i w lrocic uzj się j jo wrui Diricl rozwijlości fucji orsowj fx w szrg Fourir. W oluzji oż pisć: żd fucj orsow fx spłijąc wrui Diricl oż być zpis w posci rygooryczgo szrgu Fourir. Dl ij fucji oż pisć z rówości w rówiu 8. Ty sy prwdziw są rówi: 7 cos x b si x f x 3 f x ± f x L α i rówiż isiją cłi orślo rówii 9 i. Wru Lipsciz przy α js spłioy, gdy ' fucj fx w puci x sończoą pocodą f x lub co jij sończo pocod jdosro 4 ' f x f x f x li, ' f x f x f x li T więc ryriu Lipsciz oż sforułowć sępująco: Jżli fucj fx js różiczowl w puci x lub posid sończo pocod jdosro w puci x, o szrg Fourir js zbiży w puci x, jgo su Sx js rów wrości fucji fx. Kryriu Lbsqu wg [9] Jżli w puci x orślo js fucj fx, ż dl dl > : dl fucji ciągłj, orz 8 cos x b si x [ f x f x ] w puc x iciągłości fucji fx. Poiwż szrg Fourir js szczgóly przypdi szrgu rygooryczgo, posid o spcyficz włsości, z óryc orzys się w lrocic.. Przy zsąpiiu fucji fx sończoą suą szrgu rygooryczgo 9 S x α cos x b si x śrdi błąd wdrowy δ obliczoy z rówi T 3 δ [ f x S x ] T dx 5 li f d orz f f 6 li si d gdzi: T js ors fucji fx js jijszy, jżli współczyii α i b są współczyii Fourir dj fucji.. Dl żdj fucji fx ogriczoj i przdziłi ciągłj w przdzil <x<t szrg Fourir js zbiży przcięi z wdr do dj fucji, z.: PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

4 T 3 [ f x S x ] dx przy Z zbiżości przcięj z wdr wyi rówość Prsvl: T 3 [ ] f x dx b 4 T Wido pliudow i fzow fucji orsowj isiusoidlj W lrocic ogą wysępowć pięci lub prądy, ór są opisyw orsowyi isiusoidlyi fucji czsu. Zpisuj się j w poscic: u lub i. Fucj spłiją wrui Diricl i ją, co jwyżj iciągłość pirwszgo rodzju w sończoj liczbi puów. Dl przyłdowgo przbigu wrości cwilowj pięci u, zwirjącj soową zię wrości w cwilc zpis rygooryczgo szrgu Fourir rów. 7 orz 8 js sępujący: 33 cos b u [ u u ] si gdzi: /T js pulscją, ois T js ors fucji u. Dl przdziłów czsu, w óryc pięci js ciągłą fucją czsu, rówi 33 oż zpisć w posci Sąd oż pisć, ż dl przbigów orsowyc wido pliudow i wido fzow są widi dysryi. Przyłdow ilusrcj opisyc wid przdswioo rysuc orz. b Rys.. Ilusrcj wid pliudowgo dl pięci rójągo z syrią rzcigo rodzju: przbig czsowy, bwido pliudow 34 u cos b si si ϕ gdzi: 35 b,,,3,4... rcg b ϕ rcg b dl b > dl b < Rówi 34 osi zwę siusowgo szrgu Fourir. js pliudą ois ϕ js fzą począową -j słdowj. N podswi rówi 34 swirdz się, ż żd fucj orsow oż być zpis jo su orsowyc fucji o siusoidlj ziości w czsi. Kżdą z yc siusoidlyc słdowyc szrgu Fourir zyw się roiczą. Liczbę js rzęd roiczj. Dl orzyuj się roiczą zrową, zwą słdową słą czyli wrością śrdią fucji fx. Dl orzyuj się pirwszą roiczą, zwą roiczą podswową. Zbiór wrości pliud w fucji rzędu roiczj, czyli f dl osi zwę wid pliudowgo, ois zbiór wrości począowyc ąów fzowyc φ f js wid fzowy przbigu u. Ob wid są zbiori wrości sylyc lub ąów dl dysryc wrości. Rys.. Wido fzow pięci rójągo z syrią rzcigo rodzju Korzysjąc z rówości Prsvl 3, wrość sucz przbigu orsowgo isiusoidlgo p. pięci, oż być zpis sępująco Podobi zpisć oż wrość suczą prądu orsowgo, isiusoidlgo 37 I I I I I I Mirą odszłci dowolgo przbigu wrości cwilowj pięci/prądu od przbigu siusoidlgo js współczyi zwrości wyższyc roiczyc THD g. Tol Hroic Disorio. Js o zdfiiowy osobo dl pięci i dl prądu. Dl pięci współczyi wyrżoy js wzor: 38 THDu % % Podob dfiicj obowiązuj dl wrości suczyc prądu. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6 3

5 W pryc sygły lrycz fizyczi rlizowl są sygłi o ogriczoj rgii. Ni idlyc źródł rgii lryczj, i bzrzyscyjyc lów biryc, j rówiż i łącziów z zrowy czs dziłi. Z yc względów wilości lrycz są zdriow, odpowidjąc i fucj są ciągł i wszysi o spłiją wrui Diricl. Zpis rygooryczgo szrgu Fourir p. rówi 34 js zpis yczy oryczy. W pryc i fizyczj ożliwości suowi roiczyc dl zirzjącgo do isończoości. Opruj się jdyi sui częściowyi szrgu Fourir. Przyję zsdy poirów ogriczją suowi roiczyc do pwj wrości. Sdrdy orlizcyj przyjują wrość 4, ois przpisy orsic owrzysw lsyficyjyc przyjują wrość 5. Dlgo w pryc obowiązuj sępując posć p. pięciowgo współczyi THD u dl 4 Wyrżi z prwj sroy rówości 45 zyw się poscią zspoloą szrgu Fourir fucji f x. Współczyii C orślo wzori 43 są zspoloyi K współczyii szrgu Fourir. Posć ogól yc współczyiów orślo js wzor 46 C f dl, ±, ±, ± 3,... j d Przyłdow ilusrcj zbiorów pliud i fz zspologo współczyi szrgu Fourir przdswioo rysuc 3 orz 4: 39 THDu 4 % 4 Posć zspolo szrgu Fourir Wyorzysując ożsość Eulr, ór wyrż związ fucji rygooryczyc z zspoloą fucją wyłdiczą oż pisć 4 4 cos j si j j j j Rys.3. Ilusrcj zbioru pliud zspologo współczyi Fourir z rówi 46 Podswijąc 4 i 4 do rówi 7 orzyuj się 4 f x Dooując podswiń j jb cos b j j jb si j jb j jb jϕ 43 C ; C C ; * jb C gdzi:,,3,... j o -ą suę częściową szrgu 8 oż zpisć w posci : j * j 44 S x C C C C Dl fucji spłijącj wrui Diricl js z 45 f x C j j Rys. 4. Ilusrcj zbioru fz zspologo współczyi Fourir z rówi 46 Nlży z cisi podrślić, ż rys.3 i js wid pliudowy rys.4 wid fzowy dj fucji fx. T j i ujyc roości roiczyc i ujyc częsoliwości. Zpis yczy rówń 4 orz 4 uwzględi jdyi przyjęy uowi iru wirowi wor płszczyźi zspoloj. Rówość - - zcodzi dl,. Z ius ozcz jdyi przciwy iru wirowi wor. Szrg Fourir dwóc ziyc Rozwżi doycząc szrgu rygooryczgo jdj zij oż powórzyć szrg rygooryczy wilu ziyc. Irsujący z puu widzi lrocii js szrg rygooryczy dwóc ziyc. Podobi j o przdswioo w rozdzil oż swirdzić ż, jśli współczyii szrgu rygooryczgo są współczyii Fourir o szrg i zyw się szrgi Fourir. Jśli rygooryczy szrg Fourir doyczy dwóc j 4 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

6 ziyc x orz y, o js o zw. podwójy szrg Fourir g. Doubl Fourir Sris. Podwójy szrg Fourir Nic będzi d fucj dwóc ziyc fx,y dl wszysic rzczywisyc wrości x i y. Nic fucj fx,y będzi orsow o orsi dl ziyc x i y orz ic będzi cłowl w wdrci <, ;, >. Posługując się poscią zspoloą szrgu Fourir, oż pisć 47 j x y y ~ C gdzi: 48 j x y C y jb 4 dl, ; ± ; ±.. Trygooryczy podwójy szrg Fourir fucji fx,y oż być zpisy sępująco: 49 y ~ c,, cosxcosy b cosxsi y d,, si xcosy si xsi y gdzi współczyii Fourir dl,,,,3...są zdfiiow w posci 5, ycosxcosy 5 b, y si x cos y 5 c, y cos x si y 53 d, y si x si y Iy zpis posci rygooryczj podwójgo szrgu Fourir zpropoowo w prcy [6] y ~,, cosxcosy b 54, λ c cosxsiy d sixsiy gdzi: 55, λ, dl 4 dl dl,, >, > orz, sixcosy >, Twirdzi Ri -Lbsqu' js rówiż prwdziw dl podwójgo szrgu Fourir. Jżli fucj fx,y js bzwzględi cłowl o współczyii Fourir, b c, d dążą do zr dl i,,,, 56 li, ; li b, ; li c, ; li d, Wzór cłowy suę częściową podwójgo szrgu rygooryczgo Fourir Nic fucj fx,y ors z względu zią x i zią y. Jżli fx,y js orślo ylo w wdrci <, ;, >, o oż ją przdłużyć orsowo z względu zi x i y cłą płszczyzę O xy. Nic fucj fx,y js rozwiię w podwójy szrg Fourir w puci x, y i w y puci posid suę częściową S KM 57 S KM b x, y [6,4] x, y λ,, six K cosy gdzi:,,,... M c [,, cosx cosx siy cosy d, six siy ] Korzysjąc z rówń 5 53 wyrżi 57 oż przszłcić do posci 58 S KM 4 x, y [si x][si f x x y y, si si y] Rówi 58 js wzor cłowy suę częściową podwójgo szrgu Fourir. Prw sro go rówi js cłą Diricl dl dwóc ziyc. Z zgdii zbiżości szrgu 58 sprowdz się do zbdi zbiżości suy częściowj S KM x, y w puci x, y. Podobi j dl szrgu Fourir jdj zij, lży udowodić, ż zcodzi rówość 59 li S KM x, y f x, y czyli Sx,y fx,y. Kryriu zbiżości podwójgo szrgu Fourir Kryriu zbiżości podwójgo szrgu Fourir podł Loid Tolli. W swojj prcy [5] wyzł o, ż ryri dl fucji jdj zij, oż rozszrzyć fucję dwóc ziyc. Kryriu zbiżości podwójgo szrgu Fourir, zw ryriu Tolli, oż sforułowć sępująco: Jżli fucj orsow dwóc ziyc fx,y ors dl zij x i dl zij y, js cłowl płszczyźi xy podo spłi PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6 5

7 wirdzi Ri Lbsqu b ryriu Diigo w przdzil, <<, w oocziu puu x, y c ryriu Diricl lub Diricl -Jord o:. su częściow podwójgo szrgu Fourir S KM x,y js zbiż do fucji fx,y w żdy puci x,y w przdzil ciągłości fucji,. Su częściow x, y w puci iciągłości S KM pirwszgo rodzju x, y fucji fx,y js zbiż do wrości fucji orśloj wzor 6 li S KM, f x, y x, y f x [ f x 4, y ], y f x, y Kryriu Tolli oż sforułowć rówiż w ij fori [4]. Jżli fucj fx,y d w wdrci js ciągł i ogriczo pocod cząsow f/ x orz f/ y, o w żdy wwęrzy puci wdru, w órgo oocziu isij ciągł pocod isz f/ x y, szrg podwójy Fourir js zbiży i su jgo js rów wrości fucji fx,y. Dl fucji dwóc ziyc fx,y cłowlj względ x i y w wdrci xy zcodzi rówość Prsvl 6 λ,, b, c, d, y, gdzi λ są orślo wzori, ;, ; b, ; c, ; d, 55 orz Szrg Fourir fucji o różyc orsc względ ziyc x orz y. Porójy szrg Fourir W pryc częso powsj zgdii rozwiięci w podwójy szrg rygooryczy fucji fx,y orśloj w prosoąci P l x l; y lub fucji fx,y orśloj przy wszysic x,y o orsi l dl zij x i orsi z względu zią y. Zgdii o oż rozwiązć przz podswii 6 63 x u l y v Posć podwójgo szrgu Fourir js sępując y ~ c, gdzi:, λ,, x y cos si d l x y cos cos b l,, x y si si l x y si cos l x x 64, y cos cos l l P W podoby sposób oblicz się współczyii b,, c,, d,. Podwójy szrg Fourir fucji fx,y posć zspoloą 65 x y C j l y ~,, gdzi: x y j 66 l C, y 4l dl ; ± ; ±,... orz ; ± ; ±,... W podoby sposób oż zdfiiowć szrg Fourir rzc ziyc, zwy porójy szrgi Fourir. Nic fucj fx,y,z róż orsy z względu zi x,y,z orślo w bryl B l x l; y ; s z s. Wprowdzjąc ozczi 67 x u l y v w z s posć zspoloą rozwiięci fucji fx,y,z w porójy szrg Fourir oż zpisć w sposób podoby do rówi f x, y ~ C,, σ,, u gdzi: 69 C,, p f x, y, z 8ls x j l x y j l B y pz s pz s dz Przszłci B podwójgo szrgu Fourir Podwójy szrg Fourir js wyorzysywy do lizy fucji dwóc ziyc fx,y będący iloczy dwóc fucji f xf y. Ti przypd zy js w lroic pod zwą odulcji pliudy. T rodzj odulcji i js wyorzysywy w rgolroic służy jdyi do przdswii pwyc pojęć związyc z wid pliudowy fucji dwóc ziyc. W rou 933 B przdswił wyii swoic prc doyczącyc zgdiń związyc z różyi odi odulcji sygłów porzby louicji []. Wyii zosły upowszcio przz Blc w prcy []. W rgolroic podwójy szrg Fourir zbiży js brdzo przydy do lizy odulcji ipulsowj będącj wyii suowi dwóc sygłów. Nic będzi d fucj dwóc ziyc fx,y, w óryc jd f x js fucją odulową g. crrir wv, drug zś f y js fucją odulującą g. odulig wv. Obi fucj są fucji orsowyi o różyc ziościc w czsi. Njczęścij fucj odulow f x js przbigi isiusoidly o szłci rójąy, piłoszły id., ois fucj f y oż być o siusoidlj ziości w czsi. W ogóly przypdu obi fucj osobo j i fucj fx,y spłiją wrui Diricl lub ryriu Tolli więc ogą być rozwiię w szrg Fourir lub podwójy szrg Fourir. 6 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

8 Nic będzi d fucj dwóc ziyc fx,y f xf y, żd o orsi. Względ jdj zij x su częściow x, y js zbiż do fucji fx,y i S fucję ę oż rozwiąć w szrg Fourir 7 y y [ y cos x b y si x gdzi: ] 7 y ycos xdx,,... 7 b y ysi xdx,,... Współczyii y orz b y są cłi zlżyi od zij y. Poiwż współczyii są fucji orsowyi o orsi i spłiją wrui Diricl, o współczyii y orz b y oż rozwiąć w szrg Fourir względ zij y. W sposób orzyuj się: 73 y c [ c cos y d si y] 74 c 75 d ycosydy gdzi:,,,3.. ysi ydy ycosxcosy ycosxsi y W podoby sposób zpisuj się współczyi b y 76 b y cos y f si y 77 b ycosydy ysi xcosy 78 f b ysi ydy ysi xsi y gdzi:,,,3... Dooując szrgu przszłcń rygooryczyc orz wyzując, ż zcodzi rówość d -d - orz f - f -, słdii szrgu Fourir będąc fucji x-y oż orzyć drogą suowi słdiów będącyc fucji xy dl ujyc [ A [ A cos x y B cos x y B si x y] si x y] B [] przdswił podwójy szrg Fourir fucji fx,y w posci: 79 gdzi: y A A cos x B [ A A si x cos x y B cos y B 8 y cos x A y f x y x y 8, si B si y si x y] Posć zspoloą podwójgo szrgu Fourir z rówi 79 oż zpisć sępująco 8 f x, y C gdzi:, j x y j 83 C A jb y x y Z lizy rówi 79 wyi, ż podwójy szrg Fourir słd się z czrc słdiów:. Słdi A js słdową słą,. Słdi [ A cos y B si y js rozwiięci ] fucji odulującj fy w szrg Fourir. Zwir o roiczą podswową o pliudzi orz roicz rzędu wyższgo dl >. A B 3. Słdi [ A cos x B si x js ] rozwiięci fucji odulowj ośj fx w szrg Fourir. Zwir o roiczą podswową o wrości szczyowj wyższgo dl >. 4. Słdi A orz roicz rzędu B [ A cos x y B si x y] js podwójy szrgi Fourir zwirjący słdii rzędu ±. Tworzą o zbiór zwy zbior pliud wsęg boczyc. Apliudy położo są woół roiczyc fucji odulowj ośj. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6 7

9 Posć B podwójgo szrgu Fourir oż zsosowć do lizy przbigu będącgo wyii odulcji pliudy. Modulcj pliudy sowi iloczy dwóc sygłów o różyc częsoliwościc 84 f, f f gdzi: f js fucją odulową ośą, f js fucją odulującą. Nic fucj odulując f będzi pięci orsowy o posci 85 f cos θ gdzi: - pliud pięci odulującgo; pulscj pięci odulującgo; θ ą fzy począowj pięci odulującgodl prosoy przyjuj się θ Rys.6. Wido pliudow fucji odulowj Fucję f, f f jo ziość czsową dwóc fucji o różyc częsoliwościc ilusruj rysu 7. Poiwż fucj odulując js fucją siusoidlą, w widi pliudowy będzi ylo jd prąż rprzujący pliudę dl roiczj podswowj. W widi pliudowy i będzi roiczj zrowj słdowj słj, gdyż fucj odulując js fucją przysą. Nic fucj odulow oś będzi pięci orsowy o szłci róją rys.5, opis rlcją 86 f dl dl T < T < gdzi: - js wrością szczyową fucji odulowj; - pulscj fucji odulowj; T ors fucji odulowj / Rys.7. Ilusrcj przbigu czsowgo fucji opisj rówi 84 jo przyłd odulcji pliudy Wyorzysując posć B podwójgo szrgu Fourir, orz złdjąc fzy począow obu fucji jo rów zru, fucję f, f f oż zpisć w posci 88 f, A A cos B si A cos B si [ A cos B si ] Poiwż fucj f ylo roiczą podswową, rówi 88 przybir posć Rys.5. Ilusrcj przbigu czsowgo fucji odulowj rówi 86 Nic częsoliwość pięci odulowgo f będzi dzisięć rzy więsz od częsoliwości pięci odulującgo f, czyli f f. Sosu pliud pięci odulującgo do pliudy pięci odulowgo js współczyii głęboości odulcji M 87 M Poiwż fucj odulow rys.5 js fucją przysą z syrią rzcigo rodzju, wido pliudow zwirć będzi jdyi iprzys roicz wysępując dl, 3, 5, 7, 9 id. rys f, A A cos B si A cos B si [ A cos B si ] A A cos B si A cos B si [ A cos ± B si ± ] 8 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

10 W przdswioy przyłdzi i osczi rówi 89 oż zpisć jo 9 f, A A cos B si gdzi:,, 3,... A cos B si [ A cos ± B si ± ] Ilusrcję czwrgo słdi rówi 9, czyli zw. wsęg boczyc, przdswioo rysuu 8. Rys. 8. Zbiór pliud wsęg boczyc wb z rówi 9 Rys.8 ilusruj syucję, z órj wyi, ż woół roiczyc fucji odulowj, 3, 5,..porówj rys.6 powsją roicz rzędu ±, czyli roicz rzędu 9,, 9, 3, 49, 5 id. W sosuu do częsoliwości odulującj są o roicz rząd roiczj js liczbą cłowią, rzczywisą. W sosuu do częsoliwości odulowj są o zw. irroicz rząd dj roiczj i js liczbą cłowią rzędu,;,9; 3,; 4,9; 5, id. Pirwszą pliudę rzędu,9 zyw się subroiczą. W ogólości, gdy fucj odulując i fucj odulow są przbigi isiusoidlyi, wsęgi bocz ogą słdć się z wilu irroiczyc. W przypdu, gdy p. 3 orz 5 wysępuj pią pso bocz w grupi roiczyc uloowyc woół rzcij roiczj odulowj ośj. Rys.9. Wido pliudow fucji f, z rówi 9 dl Poiwż w podwójy szrgu Fourir rówi 9 wysępuj su czrc słdiów, wido pliudow fucji f, będzi suą wid pliudowgo fucji odulującj orz wid przdswioyc rys. 6 orz 8, co ilusruj rys. 9. Modulcj szroości ipulsów pięci wyjściowgo od porówi sygłu ośgo i odulującgo PWM W odzi j procs srowi przpływ prądu przz obciążi odbyw się zsdzi odulcji szroości ipulsów pięci wyjściowgo, zw. PWM. W clu uzysi ożliwi j jwięszgo łuii roiczyc związyc z sygł odulowy wyg się, by częsoliwość sygłu odulowgo f częsoliwość złączi łącziów był dużo więsz od częsoliwości sygłu odulującgo f, czyli od wygj częsoliwości podswowj roiczj przbigu przigo wyjściu flowi. Wygi o i js spłio w flowic brdzo dużj ocy p. z yrysori GTO, gdzi wzros częsoliwości przłączi łącziów js powod dużyc sr przłączi. Sąd w ułdc z yrysori GTO sosuj się zzwyczj iższ częsoliwości, by f /f przy f x Hz. Dl srowi flowiów odą PWM przy izby dużyc wrościc idsu odulcji wyg się spłii sępującyc ryriów [7]:. Sycroizu sygłu odulowgo f z sygł odulujący f. Spłii go wruu ozcz, ż częsoliwość odulow oś f js cłowi wiloroością częsoliwości odulującj f. Ty sy ilość ipulsów prosoąyc N w orsi przbigu wyjściowgo N f /f usi być liczbą cłowią. Ty sy wido pliudow sygłu wyjściowgo z PWM zwirć będzi roicz o częsoliwościc będącyc wiloroością sygłu odulującgo, czyli f.. Syrii połówowj i ćwirowj zodulowgo sygłu wyjściowgo. Zpwii ij syrii ozcz, ż w widi sygłu zodulowgo i będzi przysyc roiczyc. Syrię ą osiąg się wybirjąc wrość N jo liczbę cłowią iprzysą, p. N 7, 9,, 3,5,...id. Lirur doycząc szłowi przbigów odą PWM js brdzo bog [3,4,7,8,,,8]. Podswowy ułd flowi, ji srowy js ą odą, js ułd lsyczy dwupozioowy. W przypdu flowiów wilopozioowyc obszrą lizę zjdzi czyli w prcc [7,,7]. Isij il sposobów szłowi szroości ipulsów prosoąyc w zlżości od szłu sygłu odulowgo ośgo. Njbrdzij populrą odą js od sius-róją, w órj sygł odulujący js przbigi siusoidly, ois sygł odulowy szł syryczgo róją rys.. W wyiu porówi obu sygłów orzyuj się przbig prosoąy o zij szroości. Tę zią szroość uzysuj się w wyiu odulcji obu zboczy ipulsu g. doubl dg odulio. Poiwż porówi obu sygłów odbyw się w sposób urly, cię ę zyw się urly próbowi PWM g. urlly spld PWM. Szroość ipulsów prosoąyc powsłyc w wyiu odulcji js zi w fucji czsu. T więc w odulcji PWM y do czyii z fucją dwóc ziyc zlżyc od częsoliwości odulowj f orz odulującj f. Modulcję ipulsową PWM zpisć oż jo fucję Ff,f zlżą od zu suy dwóc przbigów fucji Sig{f [- f ]}. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6 9

11 9 f M cos θ gdzi: M - pliud przbigu, zw rówiż ids lub głęboością odulcji; pulscj; θ ą fzy począowj, ois fucj odulow f js przbigi rójąy o wrości szczyowj rówj jdości orz częsoliwości f f. Rys.. Ilusrcj odulcji obu zboczy ipulsu w PWM Przyłd przbigu powsłgo w wyiu urlj odulcji obu zboczy i SPWM podo w prcy [7]. Njprosszy ułd rlizujący i yp odulcji pozo rysuu. Rys.. Jdofzowy półosowy ułd przszłi DC/AC z odulcją ipulsową PWM N rysuu dw sygły: siusoidly sygł odulujący f orz rójąy sygł odulowy f pod są suor. Su obu sygłów pod js opror, óry rguj z Sig { f [- f ]}. Jżli f f o wyjściu opror orzyuj się logiczą jdyę ois, jżli f < f o wyjściu opror wysępuj logicz zro. Orzy wyjściu opror ipulsy wyorzysyw są do srowi łączii S orz S w ułdzi półosowgo przszłi. W syucji, idy ipuls wyjściu opror logiczy s, wrości fucji sów prcy łącziów wyoszą H S, H S i złączy js łączi S. Npięci biguow u odisio do ujgo puu zsili js rów pięciu zsili D. W syucji przciwj, gdy wyjściu opror wysępuj logicz zro, wrości fucji sów prcy łącziów wyoszą H S, H S, złączy js łączi S i pięci biguow js rów zro. T więc fucję opisującą odulcję ipulsową F[f, f ], będącą pięci biguowy u oż opisć rówi: 9 jżli D - i r io b d O F[ f, f ] u f f S S u f < f Przbigi czsow pięć wysępującyc w j ocpcji odulcji zosły przdswio rys., gdzi przbig odulujący js ozczoy olor czrwoy, przbig odulowy olor ibisi, sygł z wyjści opror lub pięci biguow przszłi ozczoy js olor czry. Nic fucj odulując js opis rówi: - D f f Rys.. Ilusrcj S PWM z odulcją obu zboczy dl M.9 Poiwż przbig wyjściowy z opror zlży od dwóc ziyc w fucji czsu, liyczy sposób obliczi zwrości roiczyc w ipulsowy przbigu pięci wyjściowgo biguowgo z odulcją PWM js dość sopliowy i wyg zsosowi podwójgo szrgu Fourir. Modę lizy fucji orsowj, isiusoidlj dwóc ziyc f orz f opisą w rozdzil doyczący przszłci B zsosowł po rz pirwszy do lizy flowi wilopozioowgo Bows i Bird w prcy [4]. Aliz zosł rozszrzo w prcy Wood [8]. Wyorzysi j lizy zjdzi czyli w prcc [7,,7]. b y Rys. 3. Ilusrcj suowi dwóc fucji x orz y w sli, w órj orsy fucji odulowj i odulującj są rów T T, dl pojdyczgo orsu, b dl 5 orsów W lizi [9] złd się, ż dwi izlż zi czsu opis są rówii: x 3 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

12 93 x θ orz y θ gdzi: - pulscj fucji odulującj; θ - fz począow fucji odulującj; - pulscj fucji odulowj; θ - fz począow fucji odulowj Suowi dwóc fucji x orz y oż przdswić w przsrzi rójwyirowj x,y,z, j o pozo rysuu 3. Rówość dwóc fucji odulującj i odulowj orślo js rwędzią wyzczjącą pwi obszr j o pozo rysuu 4. N zwąrz go obszru siusoidl fucj odulując js więsz od rójąj fucji odulowj, wwąrz go obszru syucj js odwro. Podjąc suę dwóc fucji p. wjści opror z rys. oż y dwo obszro przypisć dw sy logicz: orz. S logiczy opror odpowid wrości pięci D odbioriu, ois s wrości zro. Rysu 4 ilusruj brdzo wżą zlżość orśljącą obszr, w óry fucj Fx,y przybir wrości rów D, czyli gric obszru, po ji lży ją cłowć. Dl rozwżj syucji obszr js ogriczoy sępującyi przdziłi: 95 - M cos y < x < M cos y orz < y < T więc w lizi przbigu wyjściowgo Fx,y lży obliczyć współczyii Fourir A orz B cłując fucję Fx,y w przdziłc orśloyc irówościi 95. Współczyii podwójgo szrgu Fourir oblicz się sępująco: M cos y 96 A cos D x y M cos y M cos y 97 B D M cos y si x y Z lizy B wyi, ż w podwójy szrgu Fourir oż wyodrębić czry słdii jgo suy, więc zodulowy przbig wyjściowy Fx,y zwir sępując słdii: Rys. 4. Ilusrcj obszru rówości fucji odulującj i odulowj Przbig ipulsowy pięci biguowgo obciążiu js przbigi o dwóc pozioc D orz. Zi su logiczgo opror y sy zi poziou pięci wyjściowgo przszłi sępuj w cwilc zrówi się dwóc sygłów odulującgo i odulowgo. Wyzcz się j w sępujący sposób. Jżli w rówiu 93 przyji się fzy począow obu fucji jo rów zro, o wyliczjąc czs orzyuj się 94 y x Js o rówi prosj płszczyźi x,y. Wzdłuż j prosj worzy się płszczyzę prosopdłą do płszczyzy x,y o wysoości D j o pozo rysuu 5. Płszczyz przci rwędź orśljącą rówość x y wyzczjąc rwędzi ipulsów prosoąyc. W sposób spłio js zsd orśljącą odulcję ipulsową PWM wdług órj fucj Fx,y js zlż od wrości Sig{y [- x ]}. Rys.6. Wrość zrowj roiczj. Słdow sł rów pięciu / D dl wyosi o rys.6 A jb 98 M cos y D [ cos ] D M y dy 4 M cos y. Słdi będący rozwiięci fucji odulującj dl, >, zwir jdyi roiczą podswową o pliudzi A B rówj pliudzi fucji o D odulowj M D rys. 7, przy czy Rys. 5. Ilusrcj powswi odulcji ipulsowj PWM dl y/x / M cos y 99 A D cos y M D M cos y M cos y B si D y M cos y PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6 3

13 H C.6..4., H3, H Rys. 7. Wido pliudow pirwszj roiczj 3. Słdi będący rozwiięci fucji odulowj ośj dl >, w szrg Fourir. Zwir o roiczą podswową o pliudzi A B orz roicz rzędu wyższgo dl >. Rozwiązi rówi dl fucji odulowj orz dl wsęg boczyc js brdzij sopliow iż poprzdi przypdi. Podswijąc gric cłowi M cos y orz M cos y do rówń 7. orz 7.3 orzyujy sępując posci cł: Rys. 9. Wido pliudow wsęg boczyc Suę wszysic słdiów wid pliudowgo przbigu wyjściowgo Fx,y przdswioo rys.. Ilusruj o pł wido sygłu z odulcją szroości ipulsów obu zboczy dl fucji odulującj jącj częsoliwość rzy więszą od częsoliwości fucji odulowj orz dl idsu odulcji M M cos y A D cos x M cos y D [si M cos y si M cos y] dy D M cos y D M cos y W rówic orz wyrżi podcłow js fucją Bssl pirwszgo rodzju, zij y. Wido pliudow fucji odulowj o szłci rójąy przdswioo rys Rys.. Wido pliudow przbigu wyjściowgo z odulcją PWM B si x W clu ilusrcji poprwości przprowdzoj lizy rys.. przdswioo przbigi czsow rozwiięci wszysic słdiów przbigu Fx,y. Kolor ibisi zzczoo pirwszy słdi, fiolowy drugi, ziloy [ cos M cos y cos M cos y] dyprzbig czsowy wsęg boczyc olor czrwoy C.3.. suę wszysic słdiów, czyli fucję Fx,y. Rysu. ilusruj.i. spodziwą odulcję szroości ipulsów PWM ją js przbig czsowy fucji Fx,y - pięci biguowgo u. W przbigu y oż zuwżyć zjwiso Wilbr Gibbs wyijąc z sończoj suy częściowj podwójgo szrgu Fourir C. f f.4 f.5 f. 3 f Rys.8. Wido pliudow fucji odulowj 4. Osi słdi js podwójy szrgi Fourir zwirjący słdii dl >,, worzący zbiór pliud wsęg boczyc. Apliudy położo są woół roiczyc fucji odulowj ośj. Wido pliudow go słdi przdswioo rys Rys.. Przbigi czsow czrc słdiów rozłdu fucji Fx,y orz ic suy, z uwzględii pirwszyc roiczyc żdgo z słdiów 3 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6

14 LITERATRA [] B W.R. Nw Rsuls i Collcio of Modulio Producs. T Bll Sys Tcicl Jourl, Nw Yor, vol., April 933, pp.8-43 [] Blc H.S. Modulio Tory, D.v Nosrd Copy, 953 [3] Boos M.A., Ziogs P.D. S of r crrir PWMciqus: criicl vluio. IEEE Trscios o Idusry Applicio, vol.ia-4o., 988, pp.7-79 [4] Bows S.R., Bird B.M. Novl pproc o lysis d sysis of odulio procsss i powr covrrs. Proc. IEE, vol., o.5, My 975, pp [5] Broszj I.N, Siidijw K.A, My. Pordi Ecylopdyczy. PWN, Wrszw 976 [6] Ficolz G.M. Rcu różiczowy i cłowy,.iii, PWN, Wrszw 963 [7] Hols D.G., Lipo T.A. Puls wid odulio for powr covrrs. Pricipl d prcic. IEEE Prss. A Jo Wily& Sos, Ic., 3, SA [8] Holz J. Puls wid odulio survy. IEEE Trscios o Idusril Elcroics, vol.39, o.5, Dcbr 99, pp.4-4 [9] Lbsqu H. Rcrcs sur l covrgc ds sris d Fourir, M.Al, Bd.6 95, pp. 5-8 [] Mc Gr B.P. Topologiclly idpd odulio of ulilvl ivrrs. Rozprw doors. Mos ivrsiy, Ausrli, [] Nowci Z. Modulcj szroości ipulsów w pędc przszłiowyc prądu przigo. PWN Wrszw 99 [] Roowsi P.T. Szrgi Fourir, PWN, Wrszw 963 [3] Siorsi R. Fucj rzczywis..ii, PWN, Wrszw 959 [4] Tołsow G. Szrgi Fourir. PWN, Wrszw 954 [5] Tolli L. Sri rigooric. Bolog, Nicol Ziclli,98 [6] Zygu A. Trigooricl sris. Wrszw-Lwów 935 [7] Wlr G.R. Modulio d corol of ulilvl covrrs. Rozprw doors, T ivrsiy of usld, Dpr of Copur Scic d Elcricl Egirig, Ausrli, Novbr 999 [8] Wood P. Swicig powr covrrs. V Nosrd Riold, Nw Yor 98 Auor: Mr Hr, Adi Mors w Gdyi, Glorg ivrsiy, Wli, E-il: r@.gdyi.pl PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 33-97, R. 8 NR 6/6 33