Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Przykłady i zadania. Wydanie siódme poprawione. GiS

Transkrypt

1 ALGEBRA LINIOWA

2 Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA Przykłady i zadania Wydanie siódme poprawione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2017

3 Teresa Jurlewicz Przedsiębiorstwo Informatyczne Yuma Wrocław yumapl Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska pwredupl Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 1995, 1997, 1999, 2000, 2005, 2014, 2017 by Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza prawautorskichskładwykonanowsystemie L A TEX ISBN Wydanie VII poprawione, Wrocław 2017 Oficyna Wydawnicza GiS, sc, wwwgiswrocpl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4

4 Spis treści Wstęp 7 1 Przestrzenie liniowe 9 Przykłady 9 Podstawowedefinicje 9 Podprzestrzenieprzestrzeniliniowej 10 Liniowaniezależnośćwektorów 14 Bazaiwymiarprzestrzeniliniowej 19 Współrzędnewektorawbazie 27 Zadania 36 2 Układy równań liniowych 42 Przykłady 42 Rządmacierzy 42 TwierdzenieKroneckera-Capellego 50 Układyjednorodneiniejednorodne 60 Zadania 68 3 Przekształcenia liniowe 73 Przykłady 73 Podstawoweokreślenia 73 Obrazijądroprzekształcenialiniowego 77 Macierzprzekształcenialiniowego 82 Działanianaprzekształceniachliniowych 91 Wartościiwektorywłasneprzekształceńliniowych 94 Wartościiwektorywłasnemacierzy 105 Zadania Przestrzenie euklidesowe 116 Przykłady 116 Iloczynskalarny 116 NormawektoraOrtogonalnośćwektorów 118 Bazyortogonalne 122 5

5 Innemetodyortogonalizacji 127 Rzutortogonalny 129 Zadania 135 Odpowiedzi i wskazówki 142 Zbiory zadań 150 6

6 1 Wstęp Zbiór zadań Algebra liniowa Przykłady i zadania jest drugą częścią zestawu podręczników do Algebry liniowej Pozostałymi częściami zestawu są książki Algebra liniowa Definicje, twierdzenia, wzory oraz Algebra liniowa Kolokwia i egzaminy Podręczniki te przeznaczone są głównie dla studentów politechnik Mogą z nich korzystać także studenci wydziałów nauk ścisłych uniwersytetów Materiał zawarty w zbiorze obejmuje przestrzenie i przekształcenia liniowe, układy równań liniowych oraz przestrzenie euklidesowe Opracowanie zawiera zadania rozwiązane krok po kroku oraz podobne zadania przeznaczone do samodzielnej pracy Zadania te powinny być przerabiane przez studentów równolegle do materiału prezentowanego na wykładach Odpowiedzi i wskazówki do wszystkich zadań podane są na końcu zbioru Materiał teoretyczny niezbędny do rozwiązywania zadań można znaleźć w pierwszej części zestawu pt Algebra liniowa Definicje, twierdzenia, wzory W obecnym wydaniu poprawiono zauważone błędy i usterki Dziękujemy koleżankom i kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej oraz naszym studentom za uwagi o poprzednich wydaniach Uprzejmie prosimy czytelników o przesyłanie uwag o podręczniku oraz informacji o zauważonych błędach Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas 7

7 1 1 Przestrzenie liniowe Przykłady Podstawowe definicje Przykład11Uzasadnićzdefinicji,żezbiór R 2 [x]wszystkichwielomianówrzeczywistych stopnia nie większego niż 2 z dodawaniem wielomianów i mnożeniem ich przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią liniową RozwiązanieNiechwielomianyp,qnależądozbioru R 2 [x],przyczymp(x)=ax 2 + bx+c,q(x)=a 1 x 2 +b 1 x+c 1,gdziea,b,c,a 1,b 1,c 1 Rorazniechα RZdefinicji (p+q)(x)=p(x)+q(x)=(a+a 1 )x 2 +(b+b 1 )x+c+c 1, (αp)(x)=αp(x)=(αa)x 2 +(αb)x+αc wynika,żefunkcjep+qorazαpsątakżewielomianamizezbioru R 2 [x]sprawdzimy teraz kolejno 6 aksjomatów, które muszą spełniać działania w przestrzeniach liniowych (1) Dodawanie wielomianów jest przemienne, bowiem dla każdego x R mamy (p+q)(x)=p(x)+q(x)=q(x)+p(x)=(q+p)(x) (2)Niechdodatkowor R 2 [x]łącznośćdodawaniawielomianówwynikazwarunku [(p+q)+r](x)=(p+q)(x)+r(x) =(p(x)+q(x))+r(x) =p(x)+(q(x)+r(x))=p(x)+(q+r)(x)=[p+(q+r)](x) (3)Elementemneutralnymdodawaniawielomianówjestwielomianp 0 0także należącydozbioru R 2 [x] 9

8 10 Przestrzenie liniowe (4) Elementem przeciwnym do wielomianu p jest wielomian ( p)(x)= p(x) (5)Załóżmy,żeα,β RWtedydlakażdegox Rprawdziwesąwzory (1 p)(x)=1 p(x)=p(x), [α(βp)](x)=α(βp)(x)=α(βp(x))=(αβ)p(x)=[(αβ)p](x), awięcrzeczywiście1 p=porazα(βp)=(αβ)p (6)Ponadtoprawdziwesązwiązki(α+β)p=αp+βporazα(p+q)=αp+αq, bowiemdlax Rmamy oraz [(α+β)p](x)=(α+β)p(x)=αp(x)+βp(x)=(αp+βp)(x) [α(p+q)](x)=α[(p+q)(x)]=α[p(x)+q(x)]=αp(x)+αq(x)=(αp+αq)(x) Zauważmy, że własności(1) (6) wynikały bezpośrednio z odpowiednich własności dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych Podprzestrzenie przestrzeni liniowej Przykład12Uzasadnić,żepodanezbiory Wsąpodprzestrzeniamiliniowymi wskazanych przestrzeni liniowych V: (a) W= { (x,y) R 2 :2x=3y }, V=R 2 ; (b) W= { (x,y,z) R 3 :x+y=y+z=0 }, V=R 3 ; (c) W={p R 3 [x]:p(x)=p( x)dlakażdegox R}, V=R[x]; (d) W= { f C([0,2]):f (1)=0 }, V=C([0,2]); { } (e) W= A M 3 3 :A T =2A, V=M 3 3 Rozwiązanie Zbiór W V jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy,gdydladowolnychw 1,w 2 Worazdladowolnychα 1,α 2 Rmamyα 1 w 1 + α 2 w 2 W (a)niechw 1 =(x 1,y 1 ),w 2 =(x 2,y 2 ) Worazniechα 1,α 2 RWówczas Mamy α 1 w 1 +α 2 w 2 =(α 1 x 1 +α 2 x 2,α 1 y 1 +α 2 y 2 )=(x,y) 2x=2(α 1 x 1 +α 2 x 2 )=α 1 2x 1 +α 2 2x 2 =α 1 3y 1 +α 2 3y 2 =3(α 1 y 1 +α 2 y 2 )=3y, stądα 1 w 1 +α 2 w 2 WZatem Wjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni V

9 Przykłady 11 (b)warunekx+y=y+z=0oznacza,żex= y=z,więc W={(x, x,x):x R} Niechw 1 =(x 1, x 1,x 1 ),w 2 =(x 2, x 2,x 2 ),gdziex 1,x 2 Rorazniechα 1,α 2 R Wtedy wektor α 1 w 1 +α 2 w 2 =(α 1 x 1 +α 2 x 2,α 1 ( x 1 )+α 2 ( x 2 ),α 1 x 1 +α 2 x 2 ) mapostać(x, x,x)dlax=α 1 x 1 +α 2 x 2,więcnależydozbioru WZbiór Wjest zatem podprzestrzenią liniową przestrzeni V (c)niechp,q Worazα 1,α 2 RFunkcjaα 1 p+α 2 qjestoczywiściewielomianem stopnia mniejszego lub równego 3 Zachodzi też warunek (α 1 p+α 2 q)(x)=α 1 p(x)+α 2 q(x)=α 1 p( x)+α 2 q( x)=(α 1 p+α 2 q)( x), więcα 1 p+α 2 q WZbiór Wjestzatempodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni V (d)niechf,g Worazα 1,α 2 RFunkcjaα 1 f+α 2 gjestciągłanaprzedziale[0,2], boobiefunkcjefigsąciągłeponadtoistniejepochodnatejfunkcjiwpunkcie1,bo istniejąf (1)ig (1)oraz (α 1 f+α 2 g) (1)= ( α 1 f +α 2 g ) (1)=α 1 f (1)+α 2 g (1)=α 1 0+α 2 0=0 Otrzymana równość świadczy o tym, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C([0,2]) (e)niecha,b Worazα,β RWtedyspełnionesąwarunki:A T = 2A, B T =2BKorzystajączwłasnościtransponowaniamacierzymamy (αa+βb) T =(αa) T +(βb) T =αa T +βb T =α(2a)+β(2b)=2(αa+βb) Tooznacza,żeαA+βB WZatem Wjestpodprzestrzeniąprzestrzeniliniowej V Przykład13Opisaćwszystkiepodprzestrzenielinioweprzestrzeni R 2 RozwiązanieNiech Wbędziepodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 2 Posługującsię interpretacjąprzestrzeniliniowej R 2 jakozbiorupunktówpłaszczyznymożemywyróżnić jedynie trzy wzajemnie wykluczające się przypadki: (1) W={(0,0)}; (2)zbiór WzawierapunktA O=(0,0)iniezawierażadnegopunktuniewspółliniowegozpunktamiOiAJeżeliA=(a,b),todlakażdegot Rpunkt(at,bt) W, czylicałaprostal:x=at,y=btzawierasięwzbiorze WJednocześniezzałożenia żadenpunktspozaprostejlnienależydozbioru W,awięczbiór Wjestprostąl Ze względu na dowolność wyboru punktu A możemy stwierdzić, że wszystkie proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są podprzestrzeniami liniowymi

10 12 Przestrzenie liniowe przestrzeni R 2 ; (3)zbiór WzawieradwapunktyA=(a,b),B=(c,d)niewspółliniowezpunktem OWektory OAi OBniesąwięcrównoległe,czyliad bc 0Wtymprzypadku W=R 2 NiechbowiemC=(x,y)będziedowolnympunktempłaszczyznyIstnieją wtedystałeα 1,α 2 takie,żec=α 1 A+α 2 BWynikatozfaktu,żeukładrównań aα 1 +cα 2 =x,bα 1 +dα 2 =yjestukłademcrameraoniewiadomychα 1,α 2 Ostateczniejedynymipodprzestrzeniamiliniowymiprzestrzeni R 2 są:{(0,0)},wszystkie prosteprzechodząceprzezpoczątekukładuwspółrzędnychoraz R 2 Przykład14Określić,którezpodanychzbiorów U i, W i sąpodprzestrzeniami liniowymiprzestrzeniliniowych V i,gdzie1 i 6: (a) U 1 ={(x,y,z):yz 0}, W 1 ={(x,y,z):x+y+z=x y=0}, V 1 = R 3 ; (b) U 2 ={(2x,x+y,0,1):x,y R}, W 2 ={(x,x y,z,y):x,y,z R}, V 2 = R 4 ; { } (c) U 3 = (x n ): lim x n 0, W 3 ={(x n ):ciąg(x n )jestograniczony}, V 3 = R ; n (d) U 4 ={p:stopieńwielomianupparzysty}, W 4 ={p:p (1)=0}, V 4 = R[x]; (e) U 5 ={f:f(1)=f(2)}, W 5 ={f:funkcjafjestmonotoniczna}, V 5 = C(R); {[ ] } x y (f) U 6 = :x,y R, W x+y 2x 6 ={A M 2 2 :deta=0}, V 6 = M 2 2 Rozwiązanie Aby uzasadnić, że zbiór nie jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej wystarczy wskazać dwa wektory należące do danego zbioru, których suma nie należy dotegozbiorulubteżwektor,którypopomnożeniuprzezpewnąliczbęjużnienależy dotegozbiorumożnateżnpzauważyć,żewektorzerowyleżypozazbiorem,ato jest warunek konieczny dla podprzestrzeni liniowej I tak w naszym przykładzie zbiory U 1, U 2, U 3, U 4, W 5, W 6 niesąpodprzestrzeniamiliniowymiodpowiednichprzestrzeni liniowych, bowiem: U 1 : (0,3, 1),(0, 2,2) U 1,ale(0,3, 1)+(0, 2,2)=(0,1,1) U 1 ; U 2 : (0,0,0,0) U 2 ; U 3 : dlax n =1+1/nciąg(x n ) U 3,aleciąg( x n )= (x n ) U 3 ; U 4 : x 4 +x 3,x 4 U 4,ale ( x 4 +x 3) x 4 =x 3 U 4 ; W 5 : f(x)=max(x,0),g(x)=min(x,0) W 5,alef(x) g(x)= x W 5 ; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] W 6 :, W ,ale + = W Pozostałe zbiory są podprzestrzeniami liniowymi, co uzasadnimy niżej Niech zatem α 1,α 2 RWówczas W 1 : dlaw 1 =(x 1,y 1,z 1 ),w 2 =(x 2,y 2,z 2 ) W 1 wektor α 1 w 1 +α 2 w 2 =(α 1 x 1 +α 2 x 2,α 1 y 1 +α 2 y 2,α 1 z 1 +α 2 z 2 )

11 Przykłady 13 należydo W 1,bo (α 1 x 1 +α 2 x 2 )+(α 1 y 1 +α 2 y 2 )+(α 1 z 1 +α 2 z 2 )=α 1 (x 1 +y 1 +z 1 )+α 2 (x 2 +y 2 +z 2 )=0 oraz (α 1 x 1 +α 2 x 2 ) (α 1 y 1 +α 2 y 2 )=α 1 (x 1 y 1 )+α 2 (x 2 y 2 )=0 Inaczejmożnabyłonapisać,że W 1 ={(x,x, 2x):x R}iztejpostacizbioru uzasadnić powyższe warunki; W 2 : dlaw 1 =(x 1,x 1 y 1,z 1,y 1 ),w 2 =(x 2,x 2 y 2,z 2,y 2 ) W 2 wektor α 1 w 1 +α 2 w 2 =(α 1 x 1 +α 2 x 2,(α 1 x 1 +α 2 x 2 ) (α 1 y 1 +α 2 y 2 ),α 1 z 1 +α 2 z 2,α 1 y 1 +α 2 y 2 ) należydo W 2 ; W 3 : dlaciągówograniczonych(x n ),(y n )ciągα 1 (x n )+α 2 (y n )=(α 1 x n +α 2 y n )jest teżograniczony,bowiemjeżeli x n M 1 < i y n M 2 < dlakażdegon N, to α 1 x n +α 2 y n α 1 x n + α 2 y n α 1 M 1 + α 2 M 2 =M< ; W 4 : dlap,q W 4 mamy(α 1 p+α 2 q) (1)=α 1 p (1)+α 2 q (1)=0,przyczym α 1 p+α 2 qjestteżwielomianem,więcα 1 p+α 2 q W 4 ; U 5 : dlaf,g U 5 mamy (α 1 f+α 2 g)(1)=α 1 f(1)+α 2 g(1)=α 1 f(2)+α 2 g(2)=(α 1 f+α 2 g)(2), jednocześniezwłasnościfunkcjiciągłychwynika,żefunkcjaα 1 f+α 2 gjestciągła, więcostatecznieα 1 f+α 2 g U 5 ; [ ] [ ] x U 6 : dlaa= 1 y 1 x,b= 2 y 2 U x 1 +y 1 2x 1 x 2 +y 2 2x 6 macierz 2 [ α 1 A+α 2 B= α 1 x 1 +α 2 x 2 α 1 y 1 +α 2 y 2 (α 1 x 1 +α 2 x 2 )+(α 1 y 1 +α 2 y 2 ) 2(α 1 x 1 +α 2 x 2 ) ] U 6 Przykład15Którezpodanychzbiorówsąpodprzestrzeniamiwskazanychprzestrzeni liniowych: (a) W 1 = { (x,y,z,t) R 4 :x=zluby=t }, W 2 = { (x,y,z,t) R 4 :x=ziy=t }, V=R 4 ; (b) W 1 ={(x n ) R :ciąg(x n )jestograniczonyizbieżny}, W 2 ={(x n ) R :ciąg(x n )jestograniczonylubzbieżny}, V=R? Rozwiązanie Wykorzystamy fakt, że część wspólna dwóch podprzestrzeni liniowych jest też podprzestrzenią liniową, zaś ich suma mnogościowa jest podprzestrzenią jedyniewprzypadku,gdyjednaznichzawierasięwdrugiej (a)niechu 1 = { (x,y,z,t) R 4 :x=z } orazu 2 = { (x,y,z,t) R 4 :y=t } Zbiory U 1, U 2 sąpodprzestrzeniamiliniowymiprzestrzeni R 4 Ponadto W 1 = U 1 U 2,

12 14 Przestrzenie liniowe W 2 = U 1 U 2 Zbiór U 1 niezawierasięwu 2 aninaodwrót,npw 1 =(0,1,0,2) U 1, alew 1 U 2 orazw 2 =(1,0,2,0) U 2,alew 2 U 1 Zatemzbiór W 1 niejest,azbiór W 2 jestpodprzestrzeniąliniową R 4 (b) Niech oraz U 1 ={(x n ) R :ciąg(x n )jestograniczony} U 2 ={(x n ) R :ciąg(x n )jestzbieżny} Zbiory U 1, U 2 sąpodprzestrzeniamiliniowymiprzestrzeni R Wynikatozwłasności sum ciągów zbieżnych, ograniczonych i iloczynów tych ciągów przez liczby Zauważmy, że W 1 = U 1 U 2, W 2 = U 1 U 2,aponadto U 2 U 1,bokażdyciągzbieżnyjest ograniczonystądwynika,żeobazbiory W 1, W 2 sąpodprzestrzeniamiliniowymi R Liniowa niezależność wektorów Przykład16Wektory(1,2,3),(1,3,5)przedstawićnawszystkiemożliwesposoby jako kombinacje liniowe wektorów: (a)(2,0,6),(0,1,0),(1, 1,3); (b)(2,0,6),(0,1,0),(1,1,1) Rozwiązanie (a)zrówności(1,2,3)=a(2,0,6)+b(0,1,0)+c(1, 1,3),gdziea,b,c R,wynika układrównań2a+c=1,b c=2,6a+3c=3rozwiązanietegoukładumapostać a=(1 c)/2,b=2+c,gdziec RIstniejewięcnieskończeniewielekombinacji liniowych, mianowicie (1,2,3)= 1 c 2 (2,0,6)+(2+c)(0,1,0)+c(1, 1,3),gdziec R Niechteraz(1,3,5)=a(2,0,6)+b(0,1,0)+c(1, 1,3)Układrównań2a+c=1, b c=3,6a+3c=5jestsprzeczny,atooznacza,żewektora(1,3,5)niemożna przedstawić w postaci kombinacji liniowej danych wektorów (b)postępującpodobniemamy(1,2,3)=a(2,0,6)+b(0,1,0)+c(1,1,1),gdziea,b,c RStądwynika,że2a+c=1,b+c=2,6a+c=3Otrzymanyukładrównańjest układemcrameraposiadającymjedynerozwiązaniea=1/2,b=2,c=0wektor (1, 2, 3) ma więc tylko jedno przedstawienie, tzn (1,2,3)= 1 2 (2,0,6)+2(0,1,0) Dla wektora(1, 3, 5) także istnieje tylko jedna kombinacja liniowa mająca postać (1,3,5)=(2,0,6)+4(0,1,0) (1,1,1) Przykład17Zbadaćzdefinicjiliniowąniezależnośćpodanychukładówwektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: (a)(2,0,6),(0,1,0),(1, 1,3); (2,0,6),(0,1,0),(1,1,1), R 3 ; (b)1+x 2,1 x 2,1+2x; 1+x,2 x,3x 5, R 2 [x]; (c)1,sinx,cosx; 1,arctgx,arcctgx, C(R)

13 Przykłady 15 RozwiązanieWektoryv 1,v 2,,v n Vsąliniowoniezależne,jeżelidladowolnychα 1,α 2,,α n Rzwarunkuα 1 v 1 +α 2 v 2 ++α n v n =0wynika,że α 1 =α 2 ==α n =0Gdytakniejest,wektorysąliniowozależne (a)warunekα 1 (2,0,6)+α 2 (0,1,0)+α 3 (1, 1,3)=0=(0,0,0)prowadzidoukładu równań2α 1 +α 3 =0,α 2 α 3 =0,6α 1 +3α 3 =0Rozwiązanietegoukładuma postaćα 2 =α 3 = 2α 1,gdzieα 1 RPrzyjmującnpα 1 =1możemynapisać, że(2,0,6) 2(0,1,0) 2(1, 1,3)=(0,0,0),atooznaczaliniowązależnośćdanych wektorówdlawektorów(2,0,6),(0,1,0),(1,1,1)zwarunkuα 1 (2,0,6)+α 2 (0,1,0)+ α 3 (1,1,1)=(0,0,0),otrzymamyukładrównańCramera2α 1 +α 3 =0,α 2 +α 3 =0, 6α 1 +α 3 =0ijegojedynerozwiązanieα 1 =α 2 =α 3 =0Wektory(2,0,6),(0,1,0), (1, 1, 1) są więc liniowo niezależne (b)załóżmy,żeα 1 ( 1+x 2 ) +α 2 ( 1 x 2 ) +α 3 (1+2x)=0 0Wielomian(α 1 α 2 )x 2 + 2α 3 x+α 1 +α 2 +α 3 jestwięcwielomianemzerowymstądwynika,żeα 1 α 2 =0, 2α 3 =0,α 1 +α 2 +α 3 =0,awięcα 1 =0,α 2 =0,α 3 =0TooznaczaliniowąniezależnośćpierwszejtrójkiwielomianówDladrugiejtrójkizwarunkuα 1 (1+x)+α 2 (2 x)+α 3 (3x 5) 0odczytujemy,żeα 1 α 2 +3α 3 =0iα 1 +2α 2 5α 3 =0Tenjednorodnyukładrównańposiadaniezerowerozwiązania,bowiemα 2 = 8α 1,α 3 = 3α 1, gdzieα 1 RDlaα 1 =1otrzymujemyrówność(1+x) 8(2 x) 3(3x 5) 0 oznaczającą liniową zależność danych wielomianów (c)niechα 1 +α 2 sinx+α 3 cosx=0 0Funkcjawystępującapolewejstronierównościwkażdympunkciex Rprzyjmujewartość0Dlax=0otrzymujemyrówność α 1 +α 3 =0,dlax=π/2warunekα 1 +α 2 =0,adlax=πmamyα 1 α 3 =0Stąd wynika,żeα 1 =α 2 =α 3 =0,więcdanefunkcjesąliniowoniezależneZauważmy, żedobieraliśmytutakiewartościx,abyotrzymaćukładcramerazmiennychα 1, α 2,α 3 Dlafunkcji1,arctgx,arcctgxwstawienieróżnychwartościxdowarunku α 1 +α 2 arctgx+α 3 arcctgx=0nieprowadziniestetydoukładucrameranależy więc podejrzewać, że funkcje te są liniowo zależne Aby to ściśle uzasadnić, wystarczy powołać się na znaną tożsamość dla funkcji cyklometrycznych: arctgx+arcctgx π 2 dlax RPrzepisująctenwarunekwpostaci π 2 1 arctgx arcctgx 0 wnioskujemy, że dane funkcje są rzeczywiście liniowo zależne Przykład18Uzasadnićliniowązależnośćpodanychwektorówwewskazanych przestrzeniach liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinację liniową pozostałych: (a)(1,2),(2,3),(3,4), R 2 ; (b)sinx,sin2x,sin 2 x,cosx,cos2x,cos 2 x, C(R); [ ] [ ] [ ] (c)(2x 3) 2,x 2,3x, 1, R 2 [x]; (d),,, M

14 16 Przestrzenie liniowe Rozwiązanie (a)nietrudnozauważyć,że(1,2)+(3,4)=(4,6)=2 (2,3)Ztejrównościwynika, że każdy z podanych wektorów jest kombinacją liniową pozostałych, np(1, 2) = 2(2, 3) (3, 4) To oznacza liniową zależność tych wektorów, bowiem zgodnie z definicją (1,2) 2 (2,3)+(3,4)=0 (b)tuwystarczyzastosowaćwzórcos2x=cos 2 x sin 2 xiwtedy 0 sinx+0 sin2x+1 sin 2 x+0 cosx+1 cos2x 1 cos 2 x=0, co tłumaczy liniową zależność danych funkcji (c) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy otrzymamy (2x 3) 2 =4x 2 12x+9=4 x 2 +( 4) (3x)+( 9) ( 1), co oznacza liniową zależność podanych funkcji (d) Zachodzi łatwa do sprawdzenia równość [ ] [ = ] +2 [ ] Tooznaczaliniowązależnośćpodanychwektorówzprzestrzeni M 2 2 Przykład19NiechVbędzieprzestrzeniąliniową,au,v,w,xwektoramiliniowo niezależnymi w tej przestrzeni Zbadać z definicji liniową niezależność podanych układów wektorów: (a)u+2v+w,v 3w+x,u x; (b)u x,v x,w x,u v+w x Rozwiązanie (a)niechα 1 (u+2v+w)+α 2 (v 3w+x)+α 3 (u x)=0,gdzieα 1,α 2,α 3 R Po uporządkowaniu wyrazów otrzymamy równość (α 1 +α 3 )u+(2α 1 +α 2 )v+(α 1 3α 2 )w+(α 2 α 3 )x=0 Z liniowej niezależności wektorów u, v, w, x wynika, że α 1 +α 3 =2α 1 +α 2 =α 1 3α 2 =α 2 α 3 =0 Stądα 1 =α 2 =α 3 =0Danewektorysąliniowoniezależne (b) Postępując podobnie załóżmy, że Wtedy α 1 (u x)+α 2 (v x)+α 3 (w x)+α 4 (u v+w x)=0 (α 1 +α 4 )u+(α 2 α 4 )v+(α 3 +α 4 )w (α 1 +α 2 +α 3 +α 4 )x=0,

15 Przykłady 17 zatem z liniowej niezależności wektorów u, v, w, x otrzymujemy układ równań α 1 +α 4 =α 2 α 4 =α 3 +α 4 =α 1 +α 2 +α 3 +α 4 =0 Rozwiązanietegoukładumapostaćα 1 = α 2 =α 3 = α 4,gdzieα 1 RPrzyjmując npα 1 =1możemynapisać,że (u x) (v x)+(w x) (u v+w x)=0 Badane wektory są więc liniowo zależne Przykład110 Niech Vbędzieprzestrzeniąliniową,au,v,w,xwektoramiztej przestrzeni Uzasadnić, że jeżeli: (a)wektoryu,v,w,x,sąliniowoniezależne,towektoryu,v,wteż; (b)wśródwektorówu,v,w,xjestwektorzerowy,towektorytesąliniowozależne RozwiązanieWektoryv 1,v 2,,v n Vsąliniowoniezależnewtedyitylkowtedy, gdy jedyną kombinacją liniową tych wektorów będącą wektorem zerowym jest kombinacja o wszystkich współczynnikach zerowych W przeciwym przypadku mówimy, że wektory te są liniowe zależne (a)niechα 1 u+α 2 v+α 3 w=0,gdzieα 1,α 2,α 3 RWówczasmamy α 1 u+α 2 v+α 3 w+0 x=0 Otrzymaliśmy liniową kombinacją wektorów u, v, w, x, która jest wektorem zerowym Zliniowejniezależnościtychwektorówwynika,żeα 1 =α 2 =α 3 =0Tooczywiście oznacza liniową niezależność wektorów u, v, w (b) Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że x = 0 Wówczas mamy 0 u+0 v+0 w+1 x=0 Tooznacza,żewektor0jestkombinacjąliniowąwektorówu,v,w,x,którejnie wszystkie współczynniki są zerowe Wektory te są więc liniowo zależne Przykład111*Uzasadnić,żefunkcjesinx,sin2x,sin3x,sąliniowoniezależnewprzestrzeniliniowej C(R) Rozwiązanie Nieskończony układ wektorów jest liniowo niezależny, jeżeli każdy jego skończony podzbiór jest liniowo niezależny Z kolei każdy podzbiór układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny Wykorzystując oba te stwierdzenia wystarczy uzasadnićliniowąniezależnośćfunkcjisinx,sin2x,,sinnxdladowolnegon N Niech zatem α 1 sinx+α 2 sin2x++α n sinnx 0, dlapewnychα 1,α 2,,α n RObliczającpoobustronachtejrównościkolejne pochodne d dx, d 2 dx 2,, d 2n 1 dx 2n 1

16 18 Przestrzenie liniowe otrzymamy zależności: α 1 cosx + 2α 2 cos2x + + nα n cosnx 0, α 1 sinx 2 2 α 2 sin2x n 2 α n sinnx 0, α 1 cosx 2 3 α 2 cos2x n 3 α n cosnx 0, α 1 sinx α 2 sin2x + + n 4 α n sinnx 0, ±(α 1 cosx + 2 2n 1 α 2 cos2x + + n 2n 1 α n cosnx ) 0 Wstawiając punkt x = 0 do wszystkich równości zawierających kosinusy(tzn do wszystkich nieparzystych pochodnych wyjściowej równości) otrzymujemy układ równań postaci n α n 3 α n n 1 3 2n 1 n 2n 1 α 3 α n = 0 0 Wyznacznik tego układu jest równy n n n n 1 9 n 1 n 2n 2 Ostatni wyznacznik jest niezerowym wyznacznikiem Vandermonde a, układ równań jestwięcukłademcrameratooznacza,żejedynymjegorozwiązaniemjestα 1 = =α n =0Stądwynika,żebadanefunkcjesąliniowoniezależne Przykład112 Uzasadnić,żedwawektorywprzestrzeni R 2 sąliniowoniezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są niewspółliniowe RozwiązanieNiechx=(x 1,x 2 ),y =(y 1,y 2 )będąwektoramizprzestrzeni R 2 Prawdziwa jest zależność î ĵ ˆk x y sin<)(x,y)= x 1 x 2 0 y 1 y 2 0 = x 1y 2 x 2 y 1 Wektoryx,ysązatemwspółliniowewtedyitylkowtedy,gdyx 1 y 2 =x 2 y 1 Załóżmy najpierw, że wektory x, y są liniowo niezależne oraz załóżmy nie wprost, że

17 Przykłady 19 x 1 y 2 =x 2 y 1 Wtedyalbox 1 =x 2 =y 1 =y 2 =0,czylix=y=0,albonpx 1 0 iwtedyx=αydlaα=y 1 /x 1,atowobuprzypadkachdajesprzecznośćzliniową niezależnością wektorów x, y Uzasadniliśmy zatem, że z liniowej niezależności wektorów x, y wynika ich niewspółliniowość Załóżmy z drugiej strony, że wektory x, y sąniewspółliniowe,tznżex 1 y 2 x 2 y 1 Niechα 1 x+α 2 y=0,gdzieα 1,α 2 R Równość tę możemy zapisać w postaci [ ][ ] [ x1 y 1 α1 0 = x 2 y 2 α 2 0 Zzałożeniawynika,żejesttoukładCramera,więcα 1 =α 2 =0Tooznaczaliniową niezależność wektorów x, y Baza i wymiar przestrzeni liniowej Przykład113 Opisać(geometrycznielubsłownie)zbiorylinA,jeżeli: (a)a={(1,3,1),(0,5,2)} R 3 ; (b)a= { x,x 3,x 5,x 7} R[x]; {[ ] [ ] [ ]} (c)a=,, M Rozwiązanie (a) Mamy lina={s(1,3,1)+t(0,5,2):s,t R}={(s,3s+5t,s+2t):s,t R} Ponieważwektory(1,3,1),(0,5,2)sąniewspółliniowe,więczbiórlinAjestpłaszczyznąwR 3 orównaniuparametrycznymx=s,y=3s+5t,z=s+2t(lubogólnym x 2y+5z=0) (b) Tutaj ] lina= { ax+bx 3 +cx 5 +dx 7 :a,b,c,d R } Niechwielomianp linawówczasp( x)= p(x)niechterazp 1 będziewielomianemstopnianiewiększegoniż7owłasnościp 1 ( x)= p 1 (x),czyli p 1 (x)=a 7 x 7 +a 6 x 6 +a 5 x 5 +a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0,a i R, gdzie0 i 7Zwarunkup 1 ( x)+p 1 (x) 0wynika,żea 6 =a 4 =a 2 =a 0 =0 Zatemp 1 linaoznaczato,żezbiórlinaskładasięzewszystkichwielomianów stopnia nie większego niż 7 będących jednocześnie funkcjami nieparzystymi (c) W tym przykładzie { [ ] 10 lina= a +b 00 [ ] 00 +c 02 [ ] } 03 :a,b,c R = 30 {[ ] } a3c :a,b,c R 3c2b Otrzymaliśmy zatem zbiór wszystkich macierzy symetrycznych stopnia 2