1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

Transkrypt

1 B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R 4 wynoszą [ 3, ], a wektora (, 6, 0, ) wynoszą [ 3, 4 ] Wyznaczyć tę bazę tabelkę Ponadto C 2 Suma sporządzać Zbadać liniową niezależność funkcji x,, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [, ) 2 Znaleźć macierz przejścia z bazy {( 2, 0, ), (,, ), ( 0,, )} do bazy {(,, ), (, 0, ), ( 0, 0, )} przestrzeni R 3 Odpowiedzi do zestawu B Dane wektory nie tworzą bazy 2 Szukana baza { (, 3 2, 4, ), ( 0, 2,, ) } 3 3 Funkcje są liniowo niezależne Odpowiedzi do zestawu C

2 E 2 Suma Wektory u, v, w należą do przestrzeni liniowej U Zbadać, czy wektor 5 u 3 v + 4 w jest kombinacją liniową wektorów u v + 2 w, 2 u v + w, 4 u 3 v + 5 w 2 Podać wymiary przestrzeni liniowych macierzy stopnia 4: i) symetrycznych; ii) antysymetrycznych; iii) diagonalnych; iv) trójkątnych górnych Odpowiedzi do zestawu E Dany wektor jest kombinacją liniową wskazanych wektorów 2 Wymiary wynoszą kolejno 0, 6, 4, 0 tabelkę Ponadto L 2 Suma sporządzać Uzasadnić z definicji liniową niezależność funkcji f, g, h : R R mających pochodne rzędu 2 i spełniających warunek f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) g ( ) h ( ) h ( ) h ( ) > 0 2 Wektory (, 3,,, 3 ), ( 2, 7, x, 4, 5 ), ( 3, 8, 5, 0, ) tworzą bazę przestrzeni liniowej zawierającej wektor u = (, 2, 8, y, 0 ) Podać x, y oraz znaleźć współrzędne wektora u w danej bazie Odpowiedzi do zestawu L Funkcje są liniowo niezależne 2, współrzędne x =, y = [, 3, 2 ]

3 U 2 Suma Uzasadnić, że funkcje x, x 2, x + e x, x 2 + e x są liniowo zależne w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na zbiorze R 2 Napisać macierz przejścia z bazy B do bazy B przestrzeni R 3 dla B = { ( 2,, 0 ), ( 2, 0, ), ( 2, 0, 0 ) }, B = { ( 2, 0, ), ( 0,, ), ( 2,, 0 ) } tabelkę Ponadto V 2 Suma sporządzać Uzasadnić, że funkcje 2x + 5 cos x, 5x 2 cos x, x są liniowo zależne w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 0, 2π ] 2 Napisać macierz przejścia z bazy B = { x 2 2, x 2 x, 2 + x } do bazy B = { 2 x, x 2 + 2, 2 } przestrzeni R 2 [x] Odpowiedzi do zestawu U Odpowiedzi do zestawu V

4 X 2 Suma Określić wymiar przestrzeni liniowej V utworzonej z wektorów v = ( s + 2u, s + t + 3u, 2s t + 3u, s + 2t + 4u ), gdzie s, t, u R 2 Znaleźć współrzędne wektora p = x 3 6x 2 + 3x w wybranej bazie przestrzeni liniowej U = { p R 3 [x] : p ( 3 ) = 3p ( 3 ) } tabelkę Ponadto Y 2 Suma sporządzać Podać wymiar podprzestrzeni lin { ln 3x, ln 5x, ln 7x, ln 9x } przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale (0, ) 2 Wskazać bazę przestrzeni R 3, w której wektor (, 0, 0 ) ma współrzędne [ 0,, ], zaś wektor ( 0, 0, ) współrzędne [,, 0 ] Opisać wszystkie takie bazy Odpowiedzi do zestawu X dim V = 2 2 Współrzędne [, 6, 3 ] w bazie { x , x 2 + 9, x } Odpowiedzi do zestawu Y Wymiar jest równy 2 2 Przykładowa baza { ( 0,, ), ( 0,, 0 ), (,, 0 ) }, dowolna baza { ( a, b, c ), ( a, b, c ), ( + a, b, c ) }, gdzie a, c R, b R \ {0}

5 Z 2 Suma Niech u = ( 5, 2, ) niech U = { r R3 : r u = 0 } Uzasadnić, że zbiór U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R 3 Znaleźć jej bazę i wymiar 2 Napisać macierz przejścia z bazy { 2, x 2, ( x 2 ) 2 } do bazy standardowej przestrzeni R 2 [x] Odpowiedzi do zestawu Z U = lin { ( 5, 2, ) }, dim U =