1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

Transkrypt

1 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów, baza i wymiar przestrzeni) 1 Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 1.1 Definicja Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru G x G w zbiór G. Tradycyjnie znak funkcji będącej działaniem wewnętrznym umieszczamy pomiędzy argumentami: wynik dodawania + liczb rzeczywistych x oraz y zapisujemy jako x + y w miejsce mniej intuicyjnego +(x,y). 1.2 Przykład 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi w zbiorach N, Z, Q, oraz R podczas gdy odejmowanie jest działaniem wewnętrznym tylko w zbiorach Z, Q, R, zaś dzielenie w zbiorach Q\{0} oraz R\{0}. 2. Odejmowanie w N dzielenie w Z czy też dzielenie w Q nie są działaniami wewnętrznymi. 1.3 Definicja Działaniem zewnętrznym w zbiorze G nazywamy każdą funkcje f : K G G, gdzie K jest dowolnym niepustym zbiorem. Nazywamy go zbiorem skalarów. 1

2 1.4 Przykład G-zbiór wektorów na płaszczyznie, K = R Niech symbol oznacza działanie zewnętrzne w zbiorze. 1.5 Definicja 1. Przemiennym, jeżeli x y = y x dla każdego x, y G. 2. Łącznym, jezeli (x y) z = x (y z) dla każdego x, y, z G. 1.6 Uwaga! Dwie wymienione własności działań występują niezależnie od siebie, tzn. istnieją działania, które są łączne, ale nie są przemienne; przemienne, ale nie łaczne; występują obie własności lub żadne z tych własności. 1.7 Definicja Półgrupą nazywamy dowolny, niepusty zbiór G wraz z działaniem wewnętrznym, które jest działaniem łącznym. 1.8 Definicja Grupą nazywamy parę uporządkowaną(g, ), gdzie G jest zbiorem niepustym, zaś działaniem wewnętrznym w tym zbiorze, spełniającym warunki: (G1) a,b,c G (a b) c = a (b c) (łączność) (G2) e G a G a e = e a = a (element neutralny) (G3) a G a 1 G a a 1 = a 1 a = e (elementy odwrotne) Jeżeli ponadto spełniony jest warunek (G4) a,b G a b = b a (przemienność) to parę (G, ) nazywamy grupą abelową. 1.9 Przykład 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q\{0}, ), (R\{0}, ) są grupami abelowymi. Grupy, w których działaniem jest dodawanie nazywamy grupami addytywnymi, zaś z mnożeniem - grupami multiplikatywnymi. 2. (Z n, + n ) jest grupą abelową, zaś (Z n \{0}, n) jest grupą (także abelową) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą. 2

3 1.10 Stwierdzenie 1. Istnieje dokładnie jeden element neutralny. 2. Dla dowolnego elementu istnieje dokładnie jeden element do niego odwrotny. Dowód: Niech (G, ) bedzie grupą. 1. Jeżeli e, e są elementami neutranymi w grupie G, to z (G2) wynika, że e = ee = e. 2. Jeżeli a, a G są elementami odwrotnymi do a, to 1.11 Stwierdzenie W grupie (G, ): 1. a G (a 1 ) 1 = a 2. a,b G (ab) 1 = b 1 a 1 a G2 = ea G3 = (a a)a G1 = a (aa ) G3 = a e G2 = a Dowód: Dla dowolnych a, b G zachodzi równości: 1. (a 1 1 G2 ) = (a 1 ) 1 e G3 = (a 1 ) 1 (a 1 a) G1 = ((a 1 ) 1 a 1 )a G2 = ea G2 = a 2. (ab)(b 1 a 1 ) G1 = ((ab)b 1 1 G1 )a = (a(bb 1 1 G3 1 G2 1 G3 ))a = (ae)a = aa = e Równość (b 1 a 1 )(ab) = e sprawdzamy analogicznie Definicja Niech (G, ) będzie grupą. Niepusty podzbiór K G nazywamy podgrupą grupy G, gdy (SG) a,b K ab 1 K Piszemy wówczas K < G. Jeżeli ponadto spełniony jest warunek (NSG) k K a G aka 1 K to mówimy, że K jest dzielnikiem normalnym grupy G i piszemy K G Przykład 1. Podgrupami dowolnej grupy G jest ona sama G < G jak i jej podzbiór jednoelementowy złożony tylko z elementu neutralnego. 2. Z < (Q, +) oraz Z < (R, +) 3. Q\{0} < (R\{0}, ) 4. Każda podgrupa grupy abelowej jest jej dzielnikiem normalnym. 3

4 2 2.1 Definicja Pierścieniem nazywamy trójkę uporządkowaną (P, +, ), gdzie P jest zbiorem niepustym zaś + i są działaniami wewnętrznymi w zbiorze P, spełniającą warunki (P1) a,b,c P (a + b) + c = a + (b + c) (łączność dodawania) (P2) 0 P a P a + 0 = 0 + a = a (element neutralny dodawania) (P3) a P a P a + ( a) = ( a) + a = 0 (elementy przeciwne) (P4) a,b P a + b = b + a (przemienność dodawania) (P5) a,b,c P (a b) c = a (b c) (łączność mnożenia) (P6) a,b,c P (a (b + c)) = (a b) + (a c) (b + c) a = (b a) + (c a)) (rozdzielność mnożenia względem dodawania). Mówimy o pierścieniu przemiennym, jeżeli ponadto spełniony jest warunek (P7) a,b P a b = b a (przemienność mnożenia) zaś o pierścieniu z jednością, gdy oprócz warunków (P1)-(P6) spełniony jest warunek (P8) 1 P a P a 1 = 1 a = a (element neutralny mnożenia), Używając pojęcia grupy można krótko powiedzieć, że pierścieniem jest trójka (P, +, ),w której (P, +) jest grupą abelową, a mnożenie jest łączne i rozdzielne względem dodawania + ( jak w warunkach (P5) i (P6)). 2.2 Przykład 1. Pierścieniami przemiennymi z jednością są (Z, +, ), (Q, +, ) oraz (R, +, ). 2. Dla dowolnego naturalnego n 2 pierścieniem przemiennym z jednością jest (Z n, + n, n). 2.3 Definicja Pierścień przemienny z jednością (P, +, ) nazywamy pierścieniem całkowitym, jeżeli nie ma w nim dzielników zera, tzn. a,b P (a b = 0 (a = 0 b = 0)). 4

5 3 3.1 Definicja Ciałem nazywamy trójkę uporządkowaną (F, +, ), gdzie F jest zbiorem o co najmniej dwóch elementach zaś + i są działaniami wewnętrznymi w zbiorze F, spełniającą warunki (F1) a,b,c F (a + b) + c = a + (b + c) (łączność dodawania) (F2) 0 F a F a + 0 = 0 + a = a (element neutralny dodawania) (F3) a F a F a + ( a) = ( a) + a = 0 (elementy przeciwne) (F4) a,b F a + b = b + a (przemienność dodawania) (F5) działanie ograniczone do F \{0} jest działaniem wewnętrznym (F6) a,b,c F (a b) c = a (b c) (łączność mnożenia) (F7) 1 F \{0} a F a 1 = 1 a = a (element neutralny mnożenia) (F8) a F \{0} a 1 F \{0} a a 1 = a 1 a = 1 (elementy odwrotne) (F9) a,b F a b = b a (przemienność mnożenia) (F10) a,b F a (b+c) = (a b)+(a c) (rozdzielność mnożenia względem dodawania) Używając pojęcia grupy można krótko powiedzieć że ciałem jest trójka (F, +, ), w której (F, +) jest grupą abelową, (F \{0}, ) jest grupą abelową, a mnożenie rozdzielne względem dodawania + (jak w warunkach (R5) i (R6)). Używając pojęcia pierścienia można krótko powiedzieć że ciałem jest pierścień całkowity bez dzielników zera i taki, w którym każdy niezerowy element ma element odwrotny. 3.2 Przyklad 1. (Q, +, ) oraz (R, +, ) są ciałami 2. Jeżeli p jest liczbą piewszą, to (Z p, + p, p) jest ciałem. 3. Zbiór Q( 2) = {x + y 2; x, y Q} R z działaniami dodawania i mnożenia pochodzącymi z R jest ciałem. 3.3 Definicjia Ciałem algebraicznie domkniętym nazywamy ciało F takie, że każdy wielomian z F [x] stopnia dodatniego posiada pierwiastek należący do F. 5

6 3.4 Przykład 1. Ciało Q ani R nie są algebraicznie domknięte, bo wielomian x nie ma w nich pierwiastka 2. Zadne z ciał Z p nie jest algebraicznie domknięte, bo w ciele Z p wielomian x (x 1)... (x (p 1)) + 1 nie ma pierwiastka Definicja Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F, +, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest działaniem wewnętrznym w zbiorze V, a : F V V, spełniającą warunki (V1) u,v,w V (u+v)+w = u+(v+w) (łączność dodawania wektorów) (V2) θ V v V a + θ = θ + a = a (wektor zerowy) (V3) v V v V v + ( v) = ( v) + v = 0 (wektory przeciwne) (V4) u,v V u+v = v +u (przemienność dodawania wektorów) (V5) u,v V a F a (u + v) = (a u) + (a v) (rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów) (V6) v V a,b F (a + b) v = (a v) + (b v) (rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów) (V7) v V a,b F a (b v) = (ab) v (mieszana łączność mnożenia) (V8) v V 1 v = v Elementy zbioru V nazywami wektorami, elementy ciała F nazywamy skalarami, działanie + nazywamy dodawaniem wektorów, a działanie nosi miano mnożenia wektora przez skalar. Gdy chcemy posłużyć się tylko nazwą zbioru wektorów do oznaczenia przestrzeni liniowej, a mogą zachodzić wątpliwości nad jakim ciałem ją rozpatrujemy, piszemy V F. Przestrzeń liniową nazywamy inaczej przestrzenią wektorową. Warunki (V1)-(V4) mówią że (V, +) jest grupą abelową. Stosowanie tych samych symboli na oznaczenie działań w ciele i działań na wektorach nie prowadzi do braku jednoznaczności, gdyż działania dodawania i mnożenia w ciele przekształcają F F w F, podczas gdy dodawanie wektorów działa z V V do V, a mnożenie wektora przez skalar z F V w V. 6

7 4.2 Przykład Rozważając w jednoelementowym zbiorze V = {v} jedyne możliwe działanie jako dodawanie oraz dla dowolnego ciała F mnożenie dane wzorem F V (a, v) v V otrzymujemy jednoelementową przestrzeń liniową, zwaną przestrzenią zerową. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F. 4.3 Definicja Podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V nazywamy taki niepusty podzbiór U V, że (VS) u1,u 2 U a1,a 2 F a 1 u 1 + a 2 u 2 U. 4.4 Stwierdzenie Niepusty podzbiór U V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy (VS1) u1,u 2 U u 1 + u 2 U (VS2) u U a F a u U Dowód: ) (VS1) wynika z podstawienia a 1 = a 2 = 1 i aksjomatu (V8), zaś (VS2) z podstawienia u 2 = θ i stwierdzenia z wykładu. ) Dla u 1, u 2 U oraz a 1, a 2 F mamy na podstawie (VS2), że a 1 u 1, a 2 u 2 U. Warunek (VS1) gwarantuje, że suma dowolnych elementów ze zbioru U należy do U, czyli także a 1 u 1 + a 2 u 2 U. 5 Niech V bedzię przestrzenią liniową nad ciałem F. 5.1 Definicja Układ wektorów (v i ) i I z przestrzeni V nazywamy układem liniowo niezależnym, jeżeli jedyną kombinacją liniową układu (v i ) i I równą θ jest ta, której wszystkie współczynniki są równe 0, czyli gdy (LI) (ai ) i I ( a i v i = θ i I a i = 0), i I gdzie i I a i F oraz {i I; a i 0} < Układem liniowo zależnym nazywamy taki, który nie jest liniowo niezależny. W przypadku układu skończonego (v 1,..., v n ) warunek (LI) można zapisać w postaci a1,...,a n F (a 1 v a n v n = θ a 1 = = a n = 0). 7

8 6 6.1 Stwierdzenie Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu. 6.2 Przykład 7 1. Układ zawierający wektor θ jest liniowo zależny. Istotnie, jeżeli v k = θ dla pewnego k I to, kładąc a k = 1 oraz a i = 0 dla i k, otrzymujemy a i v i = 0 v i + 1 θ = θ, i I i I\{k} co wraz z a k = 1 0 daje zależność układu (v i ) i I 2. Układ zawierający dwa wektory równe jest liniowo zależny. Istotnie, wystarczy wybrać współczynniki 1, 1 F przy dwóch równych wektorach i 0 przy pozostałych oraz korzystać ze stwierdzenia z wykładu. 3. Dwa wektory u, v V są równoległe, co zapisujemy u v, jeżeli któryś z nich jest iloczynem drugiego przez skalar. Układ (u, v) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy u v. Istotnie, jeżeli układ jest liniowo zależny, to istnieją a, b F, nierówne jednocześnie 0, spełniające warunek a u + b v = θ. Jeżeli a 0, to u = b v, a więc u v. Analogicznie dla b 0. a Na odwrót, jeżeli istnieje c F takie, że u = c v, to ( 1) u + c v = θ oraz 1 0, skąd układ (u, v) jest liniowo zależny. 7.1 Definicja Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuje tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą tej przestrzeni, gdy (B1) (B2) B jest liniowo niezależny V = lin(b) 8

9 7.2 Przykład 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni liniowej trywialnej {θ} 2. Jeżeli v θ, to układ (v) jest bazą przestrzeni lin(v) 3. Jeżeli (v i ) i I jest bazą przestrzeni V, zaś σ : I I bijekcją, to układ (v σ(i) ) i I jest bazą przestrzeni V. 4. Układ (e 1,..., e n ) jest bazą przestrzeni F n. Nazywamy ją bazą kanoniczną przstrzeni F n. 5. Układ (1, x, x 2, x 3,... ) jest bazą przestrzeni F [x], a układ (1, x, x 2,..., x n ) jest bazą przestrzeni F [x] n. 6. Układ (1, i) jest bazą przestrzeni C R. 9