ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ. SPIN. Atom wodoru składa się z elektronu o ładunku. i masie

Transkrypt

1 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ. SPIN Ato wodou kłada ię lktonu o ładunku = C i ai 3 7 = 9 0 kg oa potonu o ładunku + i ai = 67 0 kg. Maa potonu jt około 000 ay więka od ay lktonu więc w piwy pybliżniu ożna pyjąć odl: ato wodou to niuchoy ciężki poton i pouający ię wględ nigo p ( nilatywitycni ) lkki lkton. Ni będiy ajować ię uch atou wodou jako całości ani tanai niwiąanyi lktonu i potonu. Pyjując lokaliację potonu w pocątku katjańkigo układu wpółędnych potncjał V ( ngia potncjalna oddiaływania ) dla układu lkton i oddalony od nigo o poton a potać k V() =. (3.) Py powyżych ałożniach hailtonian dla wodou pyjuj potać ˆ k H = Δ (3.) a tacjonan ównani Schӧdinga Ĥψ = Eψ dla wodou a foę k Δ ψ = Eψ ψ ψ ψ k E + ψ = 0 ψ = ψ ( xy). x y x + y + (3.3) Powyż ównani owiąuj ię w wpółędnych fycnych

2 + ϑ ϕ y x=co( ϕ)in( ϑ) y=in( ϕ)in( ϑ) = co( ϑ) x W fycny układi wpółędnych ównani (3.3) pybia potać k in( ) E 0 in( ) ϑ + + ψ + ψ + ϑ ϑ ϑ in ( ϑ) ϕ = (3.4) fagnt tgo ównania alżny od kątów ożna powiąać nany w chanic kwantowj opato kwadatu ontu pędu ˆL L ˆ in( ) in( ) ϑ = + ϑ ϑ ϑ in ( ϑ) ϕ (3.5) Z kwantowj toii ontu pędu wiadoo ż opato ˆL a dyktn watości włan ówn ll+ ( ) ( ϑ ϕ ) = + ( ) ˆ ( ) LY l l Y ϑ ϕ (3.6) gdi l = 0 licba l naywana jt obitalną (ayutalną pobocną) licbą kwantową a Y ( ϑ ϕ ) to funkcj włan opatoa L ˆ. Toia ontu pędu pwiduj takż kwantowani jdnj kładowych ontu pędu powidy L : L = = 0 ± ± l to agntycna licba kwantowa. Magntycna poniważ cęto wyóżniona oś tów wiąana jt pol agntycny diałający na ato. Funkcj włan Y ϑ ϕ opatoa ˆL alżą od licb kwantowych i - Y ϑ ϕ = Y l ϑ ϕ). ( ) l ( ) (

3 Funkcj t noą tż nawę funkcji kulitych lub haonik fycnych i ą tablayowan np. w podęcnikach chaniki kwantowj. Zatoowani opatoa ˆL powala apiać ównani Schӧdinga (3.4) w foi ( ) ˆ k ψ ϑ ϕ Lψ ( ϑ ϕ) E ψ ( ϑ ϕ) = (3.7) lub ˆ k L + ψ ( ϑ ϕ) E ψ ( ϑ ϕ) = (3.8) Potulując faktoyację funkcji falowj ψ = R( ) Y( ϑϕ ) i koytając ównania (3.6) otyujy ównani dla funkcji adialnj R () d R() dr() k l( l+ ) + + E () 0 + R = (3.9) d d Rowiąani powyżgo ównania dla pypadku E < 0 (tany wiąan lktonu poton) w powiąaniu waunkai natualnyi któ uą płniać funkcj falow powala na foułowani kilku wnioków:. Stan lktonu w atoi wodou opiany jt p funkcj falow w potaci ψ ( ϑϕ ) = ψ ( ϑϕ ) = R ( ) Y ( ϑϕ ). (3.0) nl nl l Pojawiająca ię w powyży ównaniu licba kwantowa n oż pybiać watości n = 3 i noi nawę głównj licby kwantowj. Obitalna licba kwantowa l oż pybiać watości l = 0 n. Stany cątki o óżnych watościach l pyjęto onacać wg poniżj tabli 3

4 l tan p d f g h Poniżj pdtawiono kilka funkcji falowych ( ) i Y ( ) licb kwantowych nl : R ϑϕ dla najnijych watości nl l Stan podtawowy n = l = 0 tan 0 a 0 ( ) = 0 0 ( ϑϕ ) = ψ a 00 = 0 R N Y N 4π 4π (3.) Piwy tan wbudony n = l = 0 l = 0 tan a 0 a 0 ( ) = 0 0 ( ϑϕ ) = ψ00 = 0 a 4π 4π a R N Y N l = ty tany p odpowidnio dla = 0 (3.) R ( ) = N a a 3 3 = = i ϕ a iϕ Y in ( ϑ) ψ N in ( ϑ) 8π 8π a = 0 = a Y co( ϑ) ψ N co ( ϑ) 4π 4π a 3 3 = = i ϕ a iϕ Y in ( ϑ) ψ N in ( ϑ) 8π 8π a (3.3) gdi N nl to cynniki noaliacyjn a a = = 053 Ǻ to tała onacająca poiń k piwj obity Boha. 4

5 Znajoość funkcji falowych uożliwia wynacni pawdopodobińtwa dp( ϑϕ ) nalinia lktonu w lnci o objętości ( ) nl nl nl ( ) l ( l ) dv = in( ϑ) ddϑdϕ ϑ ϕ ψ ψ ( ϑ ϕ) ( ϑ ϕ) in( ϑ) ϑ ϕ. dp = dv = R Y Y dd d (3.4) Scgóln nacni a pawdopodobińtwo nalinia dp( ) lktonu w oba iędy i + d któ uykay całkując ównani (3.4) po kątach π π nl l l 0 0 ( ) ( ) ( dp R d in( ϑ) dϑ dϕy ( ϑ ϕ) Y ( ϑ ϕ). = ) (3.5) Jżli funkcj Y l ą noaliowan to całkowani po kątach daj wynik i w ultaci na gętość pawdopodobińtwa ρ( ) uykay dp() ρ = = d () Rnl (). (3.6) Niżj pdtawiono wyky gętości pawdopodobińtwa ρ( ) dla kilku wybanych watości ni l. Odlgłość lktonu od jąda otała na wykach wyażona w jdnotkach a. - poinia piwj obity Boha. W toii Boha któa jako piwa opiywała popawni ngi lktonu w atoi wodou lkton oż pbywać wyłącni na obitach o poiniach = an. Z wyków widać ż chanika kwantowa w pdtawionych pypadkach pwiduj akiu gętości pawdopodobińtwa w ijcach gdi w toii Boha najdują ię obity. 5

6 Mchanika kwantowa w pciwińtwi do odlu Boha ni lokaliuj lktonu w ściśl pcyowanych ijcach ptni. Obay ptni gdi gętość pawdopodobińtwa nalinia lktonu w atoi pybia nacąc watości obauj ię a poocą obitali atoowych cyli funkcji falowych a właściwi kwadatów ich odułów. Wwnąt figu pokaanych na yunku pawdopodobińtwo nalinia lktonu w dany tani pkaca pwną ganicną watość typowo 09.. Engia lktonu w atoi wodou podlga kwantowaniu En = = E n = 3 (3.7) 8ε 4 0h n n gdi E = = 36 V. Jak widać ngia lktonu alży tylko od głównj licby 4 8ε 0h kwantowj kwantowj n a ni alży od obitalnj licby kwantowj l i od agntycnj licby. Taki pypadk kidy jdnj watości włanj En odpowiada więcj niż jdna funkcja falowa cyli tan kwantowy ψ nl okślony takż p licby kwantow l i naywa ię wyodnini (dgnacją). Zwyodnini wględu na licby l i ożna opiać a poocą topnia wyodninia g. Dla danj licby kwantowj n ay n óżnych watości l a dla każdj watości l ay l + watości agntycnj licby kwantowj n. l= 0 ( ) ( ) g n = l+ = n (3.8) 6

7 Zwyodnini taki oż być niion np. p pol lktycn lub agntycn. Dla pykładu w atoach wilolktonowych otaj niiona dgnacja wględu na licbę kwantową l i ngia lktonu E = E nl. Poioy ngtycn atou wodou pdtawia ię poglądowo na wyki Gotiana któy obauj takż ożliw pocy iji i abopcji światła p ato. Ato abobuj kwant światła kidy lkton pchodi niżgo poiou ngii na poio wyży. Poc odwotny to ija. Poniważ ont pędu fotonu wynoi to iana ontu pędu atou w cai tych poców wynoi ± wobc cgo achodi tw. guła wybou dla licby kwantowj l Δ l =±. Możliw lini widow w atoi wodou poądkuj ię w i widow pokaan na chaci obok. Koljno w iji: Sia Lyana: np n = 34 Sia Bala: np n p nd p n = 345 itd. W pypadku ii Bala obwuj ię lini widow w didini widialnj. 3. Watość obitalngo ontu pędu lktonu podlga kwantowaniu ( ) L= l l+ l = 0 n. (3.9) 7

8 4. Jdna kładowych wktoa obitalngo ontu pędu (powidy towa) podlga kwantowaniu L = = 0 ± ± ± l. (3.0) Wnioki tci i cwaty tanowią podtawę poglądowgo gaficngo pdtawinia obitalngo ontu pędu lktonu w atoi. Ryunk niżj pokauj ont pędu w pypadku lktonu o obitalnj licbi kwantowj l = cyli lktonu w tani d L [ ] 0 L L y L = 6 L = 0 L x Wyżj ilutowan achowani ontu pędu nayway kwantowani ptnny wktoa ontu pędu. Spin Coa dokładnij badania światła itowango p atoy acęły wykaywać itnini tw. tuktuy ubtlnj linii widowych. Niktó lini widow uważan pocątkowo a pojdync okaały ię łożon kilku linii np. chaaktytycna żółta linia odu o długości fali λ około 5893 n okaała ię dublt o kładowych λ = 589 n i λ = 5896 n. W clu wyjaśninia tuktuy ubtlnj w 95. Goudit i Uhlnbck wyunęli hipotę o włany óżny od obitalngo ontu pędu L wwnętny onci pędu lktonu pini S. Spin ógłby utawiać ię ównolgl lub antyównolgl do ontu obitalngo co by podwyżało lub obniżało ngię lktonu 8

9 powadąc do ocpinia poioów ngtycnych i w fkci do obwowanj tuktuy ubtlnj. Doświadcalni itnini pinu wykaali Stn i Glach ppucając wiąkę atoów ba p ilni nijdnoodn pol agntycn jak pokaano na yunku niżj. Ag diafagy agn kan W doświadcniu Stna - Glacha aobwowano ocpini wiąki atoów ba w obcności nijdnoodngo pola agntycngo na dwi wiąki. Na kani pojawiły ię dwa kupion ślady wiąki aiat podiwango ciągłgo oycia wiąki. Intptując wyniki doświadcnia nalży wócić uwagę na powiąani ontu pędu ont agntycny. Poty półklaycny odl Boha wiąż ont pędu lktonu w atoi L = v dipolowy on t agntycny p = IS p = IS = π = v = v = L wktoowo p = L. π v (3.) Iloa p = = L L γ nayway tounki żyoagntycny. Bioąc pod uwagę alżność L= l( l+ ) otyay p l l l l 4 = ( + ) = μb ( + ) μb = = 97 0 A agnton Boha. (3.) Engia potncjalna dipola agntycngo uicongo w polu agntycny o indukcji B jt opiana wo E p =p B aś iła diałająca na dipol najdujący ię w 9

10 nijdnoodny polu agntycny wyaża ię nany chaniki wo F = E p. W doświadcniu biguny agnu były tak uktałtowan aby ilna nijdnoodność pola wytąpiła w jdny kiunku kiunku oi tów wobc cgo B F = Ep = pb = p ( ). (3.3) Klaycni ointacj ontów agntycnych atoów dociających do agnu powinny być ołożon pypadkowo i watości p = p co( ϑ) powinny okładać ię w poób ciągły w pdial [ p p ] dając w ultaci oytą plaę na kani. Jdnak w doświadcniu aobwowano na kani dwa ślady wiąki ytycni położon wględ piwotngo kiunku bigu wiąki. Poniważ były powody aby pyjąć ż obitalny ont pędu atoów ba jt ówny u L = 0 to akładając itnini włango dodatkowgo ontu pędu lktonu walncyjngo ba S któy podlga kwantowaniu podobni jak obitalny ont pędu S = S = ( + ) (3.4) ay (pat(3.3)) B B F p γ S γ B = = =. (3.5) W ównaniach (3.4) i (3.5) wytępują dwi now licby kwantow. Licba naywana agntycną pinową licbą kwantową dla lktonu pyjuj dwi watości = i =. Jak widać ównania (3.5) pyjęci takich watości daj w ultaci dwa dyktn ślady wiąki na kani. Duga licba kwantowa naywa ię pinową licbą kwantową i dla lktonu pyjuj watość =. W doświadcniu wynacono takż 0

11 poiaów odchylnia wiąki kładową tową włango ontu pędu lktonu Uykano p. p =± μb p =± = γ S = γ γ =. (3.6) Równani (3.6) wyaża tw. anoalię pinową któa ówi ż tounk żyoagntycny dla pinu γ = p / S jt dwukotni więky niż γ = p / L dla obitalngo ontu pędu. L L Zaka Pauligo Poiadani włango ontu pędu pinu okaało ię włanością chaaktyującą cątki lntan. Spinowa licba kwantowa cątk ówna jt całkowitj wilokotności. Jśli pin cątki jt licbą całkowitą to taką cątkę nayway boon np. foton. W pciwny ai cątka jt fion np. lkton poton. Zbioy cątk kwantowych w alżności od tgo cy ą boonai cy fionai opiywan ą w óżny poób. Zbió fionów a takii ą lktony w atoi płnia aadę wyklucania (aka) Pauligo: W układi jdnakowych fionów w dany tani kwantowy oż najdować ię najwyżj jdn fion. Stan kwantowy lktonu w atoi dany jt p cty licby kwantow: Główną n = 3 opiuj powłokę lktonową i ngię lktonu E = E n Obitalną l = 0 n opiuj podpowłokę lktonową i ont pędu lktonu L= l( l+ ) Magntycną = 0 ± ± l opiuj ut obitalngo ontu pędu na wyóżnioną oś Magntycną pinową = ± opiuj ut pinowgo ontu pędu na wyóżnioną oś.

12 Zaka Pauligo powala iędy innyi objaśnić g właności piwiatków chicnych pop podani ich tuktuy lktonowj. Poday kilka pykładów: o Wodó H piwa licba onaca piwą powłokę : n = lita onaca podpowłokę l = 0 obadoną p lkton o Hl H : piwa licba onaca piwą powłokę n = lita onaca podpowłokę l = 0 obadoną p lktony dla jdngo = a dla dugigo =. Hl jt ga lachtny: a całkowici wypłnioną piwą powłokę lktonową aka Pauligo ni dopuca ożliwości obadnia tj powłoki p natępny lkton. Z wou (3.8) i aady wyklucania Pauligo wynika ż daną powłokę oż apłnić akyalni n lktonów. Mnożnik wynika uwględninia pinu. Daną podpowłokę oż apłnić akyalni ( l + ) lktonów. o Węgil 6 C: p o Sód 6 Na : p 3 o K 6 4 Si : p 3 p o Gan o Sbo G : p 3 p d 4 p Ag : p 3 p d 4 p d 5 Widiy podobińtwo tuktuy lktonowj lktonów walncyjnych takich półpwodników jak ku i ganu.