Atom wodoru w mechanice kwantowej

Transkrypt

1 0-05- Fika II la Elktotchniki, lato 0 Tójwmiaowa stunia potncjału atomu woou jst baij łożona niż stuni skutowan wcśnij np. postokątna stunia. Engia potncjalna U jst wnikim oiałwania kulombowskigo pomię pojncm lktonm i potonm w ją. U Engia potncjalna jst funkcją olgłości o jąa. Jst to pol cntaln. Rowiąując ównani Schöinga la atomu woou, otmuj się watości ngii gon wnikami molu Boha. n =0.059 n [nm] E n =-3.6/n [V] Fika II la Elktotchniki, lato 0

2 0-05- Zmian ngii spowoowan misją i absopcją światła oa ługości fali sii Balma, Paschna, mana, bęą pawiłowo opisan p taki sam ważnia jak w molu Boha. Różnica ngii pomię poiomami: ΔE=3.6/n f -/n i Pkła, pjści pomię: n i = i n f = jak na sunku Initial stat, n f E=0. V E=3.6/n f -/n i =3.6/ -/ =0. V final stat, n i Fika II la Elktotchniki, lato 0 3 W fic klascnj siła cntalna ma ważną własność: Momnt sił cntalnj wglęm cntum wnosi o, stą momnt pęu ni minia się w casi. Spoiwam się, ż w mchanic W pct that in quantum mchanics, momnt pęu tż bęi achowan. Równani Schöinga la takigo potncjału ma postać: m o E Ab owiąać to ównani tba pjść ukłau katjańskigo współęnch,, o ukłau sfcngo,θ,φ gi θ jst kątm bigunowm i opowiaa sokości gogaficnj a φ jst kątm amutalnm i opowiaa ługości. Fika II la Elktotchniki, lato 0

3 0-05- W współęnch sfcnch ównani Schöinga pjmuj bao łożoną postać!: m sin sin sin o E aplasjan w współęnch sfcnch θ To łożon ównani óżnickow można spowaić o ukłau ównań jnowmiaowch w minnch θ i φ, któ można owiąać bpośnio b wpowaania potncjału kulombowskigo, któ ni alż o ointacji. φ Fika II la Elktotchniki, lato 0 5 Stosujm mtoę spaacji minnch: R Y, poponowan owiąani Funkcję R nawam aialną funkcją falową a Yθ,φ jst nana jako hamonika sfcna. Dalj można oilić θ i φ akłaając: Y, Fika II la Elktotchniki, lato 0 6 3

4 0-05- Ostatcni nalż owiąać t ównania: m R R R o R ER wcajn ównani óżnickow ównani własn la funkcji aialnj R watością własną ngii E ctg m m l m l i λ są stałmi spaacji wiąanmi licbami kwantowmi Fika II la Elktotchniki, lato 0 7 icb kwantow la atomu woou Mimo, ż ngi mogą bć opisan jną licbą kwantową n, funkcj falow opisując t stan wmagają tch licb kwantowch, opowiaając tm wmiaom pstni, w któj lkton się pousa. Zstaw tch licb kwantowch n, l, m l intfikuj funkcj falow okślonch stanów kwantowch. Fika II la Elktotchniki, lato 0 8

5 0-05- Rowiąani ównań na R, Θθ, Φφ Można spawić p óżnickowani, ż to najposts tch ównań ma owiąani scgóln: Tba uwglęnić w sposób jawn wmagani ab funkcj własn bł jnonacn cli ab: 0 m l im l Jst to spłnion g: im l im 0 l Fika II la Elktotchniki, lato 0 9 Po opisaniu waunku: im 0 im l l otmujm: cos ml isin ml Waunk tn jst spłnion tlko wówcas, g: m l 0,,,3,... icba kwantowa m l moż bć tlko licbą całkowitą i jst stosowana jako wskaźnik intfikując okśloną postać opuscalngo owiąania: m l im l Fika II la Elktotchniki, lato 0 0 5

6 0-05- Rowiąani ównania na Θθ ctg m Popawn ficni poostając wsęi skońcon owiąania powżsgo ównania otmuj się tlko wówcas g stała l ówna jst jnj licb całkowitch: l ml, ml, ml, ml 3,... Dopuscaln ficni owiąania można apisać w postaci: l m sin m l F l m l cos Fika II la Elktotchniki, lato 0 icba kwantowa n, nawana główną licbą kwantową pojawia się w ważniu na ngię ukłau. icba kwantowa l, nawana obitalna licbą kwantową, jst miaą wilkości momntu pęu wiąango stanm kwantowm. icba kwantowa m l, nawana magntcną licbą kwantową, jst wiąana ointacją w pstni wktoa momntu pęu. Jżli atom najuj się w wnętnm polu magntcnm, to jgo ngia alż o tj licb. Fika II la Elktotchniki, lato 0 6

7 0-05- icb kwantow Z owiąwania ównania Schöinga la atomu woou wnika, ż istniją t licb kwantow, opowiaając tm wmiaom pstni, w któj pousa się lkton. Zstaw tch licb n, l, m l finiuj funkcj falow każgo konktngo sstmu kwantowo-mchanicngo. Smbol Nawa Dowolon watości n Główna licba kwantowa,,3... l Obitalna licba kwantowa 0,,,3,...,n- m l Magntcna licba kwantowa -l,-l-,..., +l-, +l Istnij ówniż wwnętn momnt pęu S spin i wiąan nim magntcna m s i spinowa licba kwantowa s Fika II la Elktotchniki, lato 0 3 Rowiąania nialżngo o casu ównania Schöinga - funkcj falow la atomu woou Hamoniki sfcn Y lm Y 00 3 Y sin p i 8 Y 0 3 cos Y 5 sin pi 3 R Funkcj aialn R nl R 0 a a 3/ / a a pomiń Boha a 0 3/ R 3 a 3/ a stan postawow / a / a a m T funkcj ni mają snsu ficngo. Sukam gęstości pawopoobiństwa nalinia lktonu tj. Fika II la Elktotchniki, lato 0 7

8 0-05- Mol Boha akłaając, ż lkton w atomi pousają się po ob finiowanch obitach jak plant wokół Słońca ni jst pawiłow. Oba kopkow oaj lpij pobabilistcn chaakt funkcji falowj i pstawia atom woou w óżnch stanach. obital s, objętościowa gęstość pawopoobiństwa la stanu postawowgo atomu woou R0 n R n = pawopoobiństwo nalinia lktonu w obsa o sokości wokół punktów olgłch o o jąa Y m, sin = pawopoobiństwo nalinia lktonu w obsa θφ wokół położnia kątowgo θ,φ Fika II la Elktotchniki, lato 0 5 Stan atomu woou la n= Są ct stan atomu woou la n=. n l m l Wsstki stan la l=0 mają sfcni smtcn funkcj falow. Jżli l=0, momnt pęu wnosi 0, co onaca, ż ni ma wóżnionj osi smtii la gęstości pawopoobiństwa obital s, objętościowa gęstość pawopoobiństwa la atomu woou w stani kwantowm n=, l=0, m l =0; aialna funkcja falowa pjmuj watości ow w obsa o owj gęstości kopk Fika II la Elktotchniki, lato 0 6 8

9 0-05- T stan atomu woou la n=, l=. n l m l T wks są smtcn wokół osi al ni są sfcni smtcn. Gęstości pawopoobiństwa la tch tch stanów są funkcjami i współęnj kątowj θ Jaka własność atomu woou jst opowiialna na wstępowani tj osi smtii? obital p, objętościowa gęstość pawopoobiństwa la atomu woou w stani kwantowm o n=, l= i tch óżnch m l Gęstość pawopoobiństwa jst smtcna wglęm osi Fika II la Elktotchniki, lato 0 7 Watości własn ngii Dopuscaln watości ngii watości własn wnikając aialnj cęści ównania Schöinga m R R R Z R o ER an są jako: E m Z n o Z-licba atomowa Z= la woou gi n jst nową aialną licbą kwantową, n =0,,.. Główna licba kwantowa n finiowana jako: n n jst aws całkowitą licbą oatnią Fika II la Elktotchniki, lato 0 8 9

10 0-05- Watości własn ngii ważon a pomocą głównj licb n: mc Z gi jst stałą stuktu subtlnj oc 37 Jst to okłani tn sam wó, któ wnika molu Boha la ngii owolonch stanów wiąanch. Z wglęu na to, ż ngia alż tlko o n, stanów, któ mają tę samą ngię jst n ; nawam to n -kotną gnacją lkton mają spin co onaca, ż gnacja n -kotna Pkła: la n=3 pięć stanów R 3 Y m θ,φ m=,,0,-,- Stą mam 5+3+=9=3 stanów gnowanch la n=3 E t stan R 3 Y m θ,φ m=,0,- n jn stan R 30 Y 00 θ,φ Fika II la Elktotchniki, lato 0 9 Stan atomu woou la n= Z wglęu na to, ż ngia alż tlko o głównj licb n i jst nialżna o l i m l la iolowango atomu woou oświacalni oóżnić tch stanów pokaanch na sunku poniżj. T t stan la l= są gnowan Stan la l=0 ma tż taką samą ngię; jst to -kotna gnacja Można taktować wsstki ct stan, pokaan w tabli, jako twoąc sfcni smtcną powłokę opisaną pojncą licbą kwantową. n l m l Fika II la Elktotchniki, lato 0 0 0

11 0-05- Stan atomu woou la n= Jżli oam gęstości pawopoobiństwa la tch stanów n= i l=, łącna gęstość stanów bęi miała smtię sfcną żana oś ni bęi wóżniona. Można potaktować lkton tak jakb spęał /3 casu w każm tch stanów. Suma ważona tch nialżnch funkcji falowch finiuj sfcni smtcną popowłokę okśloną p licb kwantow n= i l = Znisini gnacji cli oóżnini stanów popowłoki jst możliw, g umiści się atom woou w wnętnm polu lktcnm lub magntcnm. Efkt oscpinia stanów w wnętnm polu magntcnm nosi nawę jawiska Zmana. Fika II la Elktotchniki, lato 0 Momnt pęu i magntcn momnt ipolow Rowiąania cęści kątowj ównania Schöinga hamoniki sfcn Y nl θ,φ są wiąan momntm pęu. Klascna finicja wktoa momntu pęu cąstki w onisiniu o punktu O mówi: p p jst pęm cąstki jst wktom położnia cąstki wglęm ustalongo punktu P Katjański współęn wktoa momntu pęu mają postać: p p p p p p Fika II la Elktotchniki, lato 0

12 0-05- Momnt pęu i magntcn momnt ipolow Opato pęu w mchanic ma postać: p i i Zatm opato momntu pęu waża się jako: p p i i i i Opato kwaatu momntu pęu: Fika II la Elktotchniki, lato 0 3 Momnt pęu i magntcn momnt ipolow W współęnch sfcnch: ctg sin Wstępują tu tlko kąt i ni ma alżności o olgłości współęnj aialnj W współęnch sfcnch skłaowa -owa wktoa momntu pęu pjmuj scgólni postą postać: i Znan są funkcj własn i owolon watości własn opatoów i Równani własn la opatoa : Y m, Y m, hamoniki sfcn są funkcjami własnmi opatoa watości własn opatoa Fika II la Elktotchniki, lato 0

13 0-05- Obitaln momnt pęu l amutalna licba kwantowa Rut wktoa momntu pęu na oś OZ tż jst skwantowan: m magntcna licba kwantowa Fika II la Elktotchniki, lato 0 5 Obitaln momnt pęu i jgo ut Rsunk pokauj pięć skwantowanch skłaowch obitalngo momntu pęu lktonu la l= i óżn możliw ointacj wktoa momntu pęu wsstki możliw stan la tj licb. W każm stani m wkto wkonuj ppakową pcsję wokół osi OZ utmując stałą ługość i stałą wilkość skłaowj Fika II la Elktotchniki, lato 0 6 3

14 0-05- Momnt pęu i magntcn momnt ipolow Dipol magntcn ma obitaln magntcn momnt ipolow wiąan momntm pęu lacją: μob m Ani μ ob ani ni moż ostać mion Możm jnak mić skłaow tch wktoów włuż anj osi ut na wbaną oś. Możm, la pkłau, mić skłaow -ow wktoów: obitalngo magntcngo momntu ipolowgo i momntu pęu włuż osi, któą wnaca kiunk wnętngo pola magntcngo B. Skłaowa μ ob, jst skwantowana i ana wom: ob, m B magnton Boh a B J / T m Fika II la Elktotchniki, lato 0 7 Spin lktonu Nialżni o tgo c lkton jst swobon c wiąan w atomi, to posiaa spinow momnt pęu Watość spinu jst skwantowana i alż o spinowj licb s, któa wnosi ½ la lktonów, potonów i nutonów. Skłaowa spinu włuż wóżnionj osi jst ówniż skwantowana i alżu o spinowj magntcnj licb m s, któa moż mić jni watości +½ o ½. Fika II la Elktotchniki, lato 0 8

15 0-05- Spin lktonu Wwnętn magntcn momnt pęu S, wan spinm: S ss spinowa licba kwantowa, s=/ la fmionów S m s magntcna spinowa licba kwantowa m s = +½ lub ½. Fika II la Elktotchniki, lato 0 9 Posumowani icba kwantowa Smbol Dowolon watości Zwiąana : Główna n,, 3, olgłoscią o jąa Obitalna l 0,,,, n- obitalnm momntm pęu Obitalna magntcna m l 0,,,, l skłaową -ową momntu pęu Spinowa s ½ spinowm momntm pęu Magntcna spinowa m s ½ skłaową -ową spinowgo momntu pęu Fika II la Elktotchniki, lato

16 0-05- NMR nucla magntic sonanc magntcn onans jąow Wskutk absopcji fotonu o ngii hf poton w polu magntcnm minia kiunk spinu stanu spin-up o stanu spin-own, tw. spinflipping hf B Wil substancji ma swoj chaaktstcn wimo NMR, ta tchnika jst stosowana o intfikacji np. w kminalistc Obaowani p pomoc onansu magntcngo ang. magntic sonanc imaging MRI jst stosowan jako mtoa iagnostki mcnj. Poton w óżnch tkankach lukigo oganimu najują się w óżnch otocniach magntcnch. W silnch wnętnch polach magntcnch achoi miana wotu spinu. Fika II la Elktotchniki, lato 0 3 6