Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki"

Transkrypt

1 Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń Wykazać, że liczba jest podzielna przez Wykazać, że liczba jest podzielna przez Jeśli x i y są takimi liczbami naturalnymi, że xy = , to 1996 x + y n n+2 dla n N n + 2 2n + 1 dla n N n n n dla n N n n+1 dla n N n n+1 dla n N. 11. Oznaczmy: a(n) = n n + (n + 1) n+1, gdzie n N. Niech m będzie liczbą naturalną. Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że a(n) jest podzielne przez m, to takich liczb naturalnych n istnieje nieskończenie wiele. 12. Jeśli x, y Z, to 29 10x + y 29 x + 3y x + 3y 17 9x + 5y x + 3y 41 3x + 2y x + 4y + 5z 17 3x + 6y z x 4y 19z 25 4x + 9y z. 17. Liczba 1001 (2n 1) (2n) jest podzielna przez n=1 n=1 18. Liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeśli suma cyfr jedności i podwojonej cyfry dziesiątek, jest podzielna przez Czy można z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, wykorzystując każdą tylko raz, utworzyć liczbę sześciocyfrową podzielną przez 11? 20. Niech A = a 1 a 2... a n 1 a n oraz B = a 1 a 2... a n 1 + 4a n, gdzie a 1,..., a n są cyframi. Wówczas: 13 A 13 B.

2 2 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Dla jakich n N istnieje n-cyfrowa liczba naturalna podzielna przez 13, której suma cyfr jest równa 4? 22. Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę dwukrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 19 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę trzykrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez Znaleźć reszty z dzielenia liczb , , odpowiednio przez 3, 4 i Znaleźć resztę z dzielenia przez 3 liczby ( )( ) ( ). 26. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) będą permutacjami zbioru {1,..., n}. Jeśli n jest liczbą parzystą, to co najmniej dwie liczby spośród a 1 + b 1,..., a n + b n mają jednakowe reszty z dzielenia przez n. 27. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 1981 jest 35. Resztą z dzielenia tej liczby przez 1982 jest również 35. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 14? 28. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 2007 jest 113. Resztą z dzielenia tej liczby przez 2008 jest również 113. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 72? 29. Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie, niektóre z otrzymanych znowu dzielimy na 5 części, itd... Czy można w ten sposób otrzymać 1982 kartki? 30. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych takich, że a b+1, b a+1 oraz a b. 31. Jeśli a i b są liczbami całkowitymi takimi, że b a + 1 i a b + 1, to ab a + b Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych spełniających warunki: a b + 2, b a + 2 oraz a b. W poniższych równościach przez a, b, c, d oraz n, m oznaczamy dowolne liczby naturalne. 33. ((a, b), c) = (a, (b, c)) = (a, b, c), [[a, b], c] = [a, [b, c]] = [a, b, c]. 34. (a, b)(c, d) = (ac, ad, bc, bd), [a, b][c, d] = [ac, ad, bc, bd]. 35. (ca, cb) = c(a, b), [ca, cb] = c[a, b]. 36. (a, b)[a, b] = ab. 37. (a, b, c)[ab, bc, ca] = abc, [a, b, c](ab, bc, ca) = abc. 38. (a, b, c, d)[bcd, acd, abd, abc] = abcd, [a, b, c, d](bcd, acd, abd, abc) = abcd.

3 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Niech a 1,..., a n Z {0} i niech b = a 1 a 2 a n. Wtedy: [ ] ( ) (a 1,..., a n ) b a 1,..., b a n = b, [a 1,..., a n ] b a 1,..., b a n = b. 40. (a, b)(b, c)(c, a) = (a, b, c)(ab, bc, ca), [a, b][b, c][c, a] = [a, b, c][ab, bc, ca]. 41. [a, b, c] = abc(a,b,c) (a,b)(b,c)(c,a). 42. [a,b,c] 2 [a,b][b,c][c,a] = (a,b,c)2 (a,b)(b,c)(c,a). 43. [(a, b), c] = ([a, c], [b, c]), ([a, b], c) = [(a, c), (b, c)]. 44. ([a, b], [b, c], [c, a]) = [(a, b), (b, c), (c, a)]. 45. (a, b) n = (a n, b n ), [a, b] n = [a n, b n ]. 46. (a 2, b 2 ) = (a 2, ab, b 2 ). 47. (5a + 3b, 13a + 8b) = (a, b). 48. (a, b) = (a + b, [a, b]). 49. Jeżeli (a, b) = 1, to (a + b, ab) = (ab, c) (a, c)(b, c). W szczególności, jeśli c ab, to c (a, c)(b, c). 51. (a, bc) = (a, (a, b)c). 52. (a, bc) = (a, (a, b)(a, c)). 53. (a, c)(b, c) (ab, c 2 ). 54. c ab c b(a, c). 55. ab = cd (a, c)(a, d) = a(a, b, c, d). 56. Jeśli ab + bc = ca, to (a, b) = (b, c) = (c, a). 57. Jeżeli a, b, c są liczbami nieparzystymi, to (a, b, c) = 58. a + b (a, b) + [a, b], dla a, b N. ( ) a+b 2, b+c 2, c+a Niech d, w N. Wykazać, że istnieją liczby naturalne a, b takie, że (a, b) = d i [a, b] = w wtedy i tylko wtedy, gdy d w. 60. Znaleźć wszystkie liczby naturalne a i b takie, że (a, b) = 6 i [a, b] = Znaleźć wszystkie liczby naturalne a i b takie, że (a, b) = 15 i [a, b] = Niech n, m, a, b Z. Jeśli (n, m) = 1, (a, n) = 1 i (b, m) = 1, to (am + bn, mn) = 1.

4 4 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Niech m, n, u Z. Niech (m, n) = 1. Jeśli (u, mn) = 1, to istnieją liczby całkowite a, b takie, że (a, n) = 1, (b, m) = 1 oraz u = am + bn. 64. Ułamek (12n + 1)/(30n + 2) jest nieskracalny. 65. Ułamek (21n + 4)/(14n + 3) jest nieskracalny. 66. Niech a, b, 0 c Z. Istnieją wtedy liczby x, y Z takie, że (x, y) = 1 oraz c ax + by. 67. Niech f(x) Z[x], f(0) = f(1) = 1. Definiujemy ciąg (a n ) przyjmując za a 0 dowolną liczbę całkowitą oraz a n = f(a n 1 ) dla dla n N. Udowodnić, że dwa wyrazy a n i a m, gdzie n m, są względnie pierwsze. 68. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorami: a 1 = 2, a n+1 = a 2 n a n + 1, dla n N. Wykazać, że każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze. 69. Niech b N i niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorami: a 1 = b + 1, a n+1 = a 2 n ba n + b, dla n N. Udowodnić, że każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze. 70. Dla dowolnych dwóch różnych liczb całkowitych a, b istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że (a + n, b + n) = Niech a 1,..., a s będą różnymi parami względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczby a 1 + n, a 2 + n,..., a s + n są parami względnie pierwsze. 72. Jeżeli a b (mod m), to (a, m) = (b, m). 73. Niech f Z[x], a, b Z, 2 m N. Jeśli a b (mod m), to f(a) f(b) (mod m). 74. Niech f Z[x], a, b Z, b > 1. Wtedy f(a + b) f(a) + bf (a) (mod b 2 ), gdzie f oznacza pochodną wielomianu f (mod 100) (mod 9). 77. Rozwiązać układ dwóch kongruencji: x a 1 (mod 13), x a 2 (mod 17). 78. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x spełniające jednocześnie następujące trzy kongruencje: x 2 (mod 5), x 9 (mod 11), x 4 (mod 14). 79. Rozwiązać układ kongruencji: x a 1 (mod 4), x a 2 (mod 5), x a 3 (mod 7) n 3 + 5n dla n N n 5 + 5n 3 + 4n dla n N n 2 + 3n + 5 dla n N.

5 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, n 2 + 2n + 12 dla n N n 2 + n + 10 dla n N. 85. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x 3 takie, że x 3 x Niech f Z[x]. Jeżeli liczby f(0) i f(1) są nieparzyste, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków. 87. Niech f Z[x]. Jeżeli liczby f(2008) i f( ) są nieparzyste, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków. 88. Niech f Z[x]. Jeżeli wielomian f posiada całkowity pierwiastek, to co najmniej jedna z liczb f(0), f(1), f(2) jest podzielna przez Niech f Z[x]. Wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu f przez x 2 12x + 11 jest równa 990x 889. Wykazać, że wielomian ten nie ma całkowitych pierwiastków. 90. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(1) = 19 i f(19) = 85? 91. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(7) = 11 i f(11) = 13? 92. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(0) = 19, f(1) = 85 i f(2) = 1985? 93. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(0) = 19, f(1) = 97 i f(2) = 1997? 94. Niech f Z[x], 5 f(2) oraz 2 f(5). Wtedy 10 f(7). 95. Niech f(x) Z[x] Z będzie wielomianem o nieujemnych współczynnikach i niech n N. Liczba f(f(n) + 1) jest podzielna przez f(n) wtedy i tylko wtedy, gdy n = Niech a, b, c Z, b 1, (a, b) = 1. Niech x = ca ϕ(b) 1, y = c b (x, y) jest całkowitym rozwiązaniem równania ax + by = c. 97. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 3x + 7y = Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 17x + 19y = ( 1 a ϕ(b)). Wtedy para 99. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 445x + 446y = Niech a, b N, (a, b) = 1. Każdą liczbę naturalną większą od ab a b można przedstawić w postaci ax + by, gdzie x, y są pewnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Liczba ab a b takiego przedstawienia nie ma Udowodnić, że jeśli a, b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to równanie ax + by = ab nie ma naturalnych rozwiązań Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 36x + 48y 53z = Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 16x + 25y + 9z = 1.

6 6 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Udowodnić, że każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci n = a 1 1! + a 2 2! + + a s s!, gdzie 0 a i i dla i = 1,..., s oraz a s Dany jest ciąg cyfr: Jaka cyfra stoi na 2000 miejscu? 106. Dana jest liczba Mnożymy tę liczbę przez jedną z liczb od 1 do 9 i w iloczynie skreślamy wszystkie jedynki. Z otrzymaną nową liczbą postępujemy podobnie, itd. Jaką najmniejszą liczbę można w ten sposób otrzymać? 107. Na długiej tablicy napisano 450-cyfrową liczbę (50 razy powtarza się grupa cyfr ). Usunięto z tej tablicy wszystkie cyfry stojące na nieparzystych miejscach. Z otrzymaną nową liczbą zrobiono to samo, usunięto wszystkie cyfry na nieparzystych miejscach, i.t.d. Jaka cyfra pozostanie na końcu? 108. Naturalną liczbę można pomnożyć przez dowolną liczbę naturalną lub można skreślić zera w jej zapisie dziesiętnym. Wykazać, że przy pomocy tych operacji można z dowolnej liczby naturalnej otrzymać liczbę jednocyfrową Niech c 1,..., c s będzie dowolnym ciągiem cyfr układu dziesiętnego. W każdym ciągu arytmetycznym (a n ) o wyrazach naturalnych i różnicy r względnie pierwszej z 10 istnieje nieskończenie wiele wyrazów, których s końcowymi cyframi są odpowiednio cyfry c 1,..., c s Znaleźć trzy ostatnie cyfry liczby Czy jeśli n jest sześciocyfrową liczbą naturalną, to co najmniej jedna z liczb n, 2n,..., n ma na końcu sześć identycznych cyfr? Przykład: liczba n = spełnia ten warunek, gdyż = Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną podzielną przez 111, której ostatnimi cyframi są 2, 0, 0, Każda liczba naturalna posiada wielokrotność, w której występują wszystkie cyfry systemu dziesiętnego Dziesięciocyfrowa liczba naturalna ma wszystkie cyfry 0, 1, 2,..., 9. Wykazać, że ona nie dzieli się przez Żadna liczba sześciocyfrowa o różnych cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} nie jest podzielna przez Jeśli w zapisie w miejsce gwiazdek wstawimy w dowolnej kolejności cyfry 0, 1, 2,..., 9 (każdą jeden raz), to otrzymana liczba będzie podzielna przez Żadna liczba postaci nie dzieli się przez Jeśli liczba 11 }.{{.. 11} 2 } 11.{{.. 11} jest podzielna przez 11, to jest podzielna przez 121. n n 119. Znaleźć liczbę siedmiocyfrową, której wszystkie cyfry są różne i która jest podzielna przez wszystkie te cyfry.

7 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną mającą dzielniki kończące się każdą cyfrą ze zbioru {0, 1, 2,..., 9} Każda liczba naturalna k ma wielokrotność, która jest mniejsza od k 4 i w której zapisie dziesiętnym występują tylko co najwyżej cztery różne cyfry Ile jest liczb naturalnych n takich, że 4 n 1023, których zapis dwójkowy nie posiada trzech kolejnych jedynek? 123. Ile wynosi suma wszystkich 10-cyfrowych liczb naturalnych o nieparzystych cyfrach? 124. Ile wynosi suma wszystkich 20-cyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr ze zbioru {2, 4, 6, 8}? 125. Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną, to jedna z cyfr 1, 2 lub 9 występuje w zapisach dziesiętnych liczb n lub 3n Znaleźć liczbę dziesięciocyfrową, której pierwsza cyfra jest zarazem liczbą zer w jej zapisie dziesiętnym, druga liczbą jedynek, trzecia liczbą dwójek i tak aż do ostatniej cyfry, która jest liczbą dziewiątek. Przez n oznaczamy liczbę otrzymaną z liczby naturalnej n przez przestawienie jej pierwszej cyfry na koniec, natomiast przez n oznaczamy liczbę otrzymaną z liczby n przez przestawienie jej ostatniej cyfry na początek. Udowodnić: 127. Jeśli n jest liczbą trzycyfrową podzielną przez 37, to liczba n również jest podzielna przez Jeśli n jest liczbą pięciocyfrową podzielną przez 41, to liczba n również jest podzielna przez Niech n będzie liczbą sześciocyfrową. Jeśli 7 n, to 7 n Niech n będzie liczbą dziesięciocyfrową. Jeśli 41 n, to 41 n Jeśli 333 n, to 333 n W rozwinięciu dziesiętnym występują cyfry 1, 3, 7 i 9. Udowodnić, że przez permutację cyfr tego rozwinięcia można otrzymać rozwinięcie dziesiętne liczby podzielnej przez Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 utworzono wszystkie możliwe liczby siedmiocyfrowe, w których nie występują dwie jednakowe cyfry. Wykazać, że suma wszystkich takich liczb jest podzielna przez Permutując cyfry danej liczby a otrzymano liczbę b równą 3a. Wykazać, że 27 b. Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez s(n) oznaczamy sumę jej cyfr. Przykłady: s(1234) = 10, s(25571) = 20, s( ) = 21.

8 8 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Niech a będzie liczbą naturalną i niech s(a) = n. Istnieje wtedy liczba naturalna b taka, że a < b < 10a oraz s(b) = n Niech a = Znaleźć sss(a) Niech a = Znaleźć sss(a) s(n + m) = s(n) 9 m Niech a, k N. Jeśli s(a + 1 9) = s(a + 2 9) = = s(a + k 9), to k Dla każdego a N istnieje nieskończenie wiele bezzerowych liczb n N takich, że s(n) = s(an) s(n) = s(2n) 9 n s(n) = s(3n) 9 n n s(n) (mod 9) dla n N s(a) + s(b) s(a + b) (mod 9) dla a, b N Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n + s(n) = 1984? 146. Z dwóch kolejnych liczb naturalnych co najmniej jedna jest postaci n + s(n) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że n = 11s(n) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że n = 13s(n) Jeśli 20 n, to 2 n 76 (mod 100) Jeśli 100 n, to 2 n 376 (mod 1000) Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby Cztery ostatnie cyfry liczby postaci 2 n nie są jednakowe Wykazać, że ciąg reszt z dzielenia przez 100 kolejnych liczb postaci 2 n jest okresowy Wykazać, że ciąg reszt z dzielenia przez 1000 kolejnych liczb postaci 2 n jest okresowy s(2 n+1 ) s(2 n ), dla wszystkich n N Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że s(2 n ) > s(2 n+1 ) Istnieje liczba naturalna q taka, że wszystkie cyfry liczby q2 100 są różne od zera Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba podzielna przez 2 n, której wszystkie cyfry są jedynkami lub dwójkami.

9 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Istnieje liczba 100-cyfrowa podzielna przez 2 100, której wszystkie cyfry są jedynkami lub dwójkami Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba n-cyfrowa podzielna przez 2 n, której wszystkie cyfry są jedynkami lub dwójkami Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby Iloma zerami kończy się liczba ? 163. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że s(3 n ) s(3 n+1 ) Nie istnieje żadna liczba pierwsza postaci Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba p n jest 20-cyfrowa. Wykazać, że co najmniej trzy cyfry są jednakowe Istnieje taka liczba pierwsza, która na końcu ma 100 siódemek Niech c 1, c 2,..., c n będzie skończonym ciągiem cyfr układu dziesiętnego i niech c będzie jedną z cyfr 1, 3, 7 lub 9. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb pierwszych, których ostatnie cyfry są odpowiednio równe c 1,..., c n, c Jeżeli n > 2, to pomiędzy n i n! istnieje zawsze liczba pierwsza Jeżeli p > 3 jest liczbą pierwszą, to 24 p Jeśli p i q są liczbami pierwszymi > 3, to 24 p 2 q Jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to 240 p Liczby naturalne a 1,..., a n są parami względnie pierwsze oraz 1 < a i < (2n 1) 2, dla i = 1, 2,..., n. Wykazać, że co najmniej jedna z tych liczb jest pierwsza Niech n N. Liczba 2n + 1 nie jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby naturalne a i b takie, że n = 2ab + a + b Jeśli liczby p > 3 i p + 2 są pierwsze, to 6 p Istnieje liczba pierwsza mająca dokładnie 1000 cyfr Dla każdej liczby naturalnej n istnieją co najmniej trzy liczby pierwsze n-cyfrowe p, p + 10, p + 14 P p = p, 4p 2 + 1, 6p P p = p, 8p P 8p 2 1 P p, 5p 2 2 P 5p 2 4, 5p P p, 2p P 2p 2 + 1, 2p P.

10 10 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, n 10, n + 10, n + 60 P n + 90 P. Przez p n oznaczamy n-tą liczbę pierwszą. Przykłady: p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11, p 6 = 13, p 7 = 17, p 8 = 19, p 9 = 23, p 10 = Następujące dwa warunki są równoważne. (1) p n+1 < 2p n, dla wszystkich n N. (2) (Twierdzenie Czebyszewa) Dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że m < p < 2m n + 1 p n, dla wszystkich n N. Ponadto, 2n + 1 < p n, dla n > p n < 2 n, dla n p n < p 1 p 2 p n 1 + 1, dla n p 1 p 2 p n > p 2 n+1, dla n Dla każdej liczby naturalnej k istnieje n takie, że p n+1 p n > k Liczba postaci 4k 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy k nie jest postaci 4ab+a b, gdzie a, b N Liczba postaci 6n 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy n nie jest postaci 6ab+a b, gdzie a, b N Udowodnić, że liczb pierwszych postaci 3k + 2 jest nieskończenie wiele Udowodnić, że liczb pierwszych postaci 6k + 5 jest nieskończenie wiele Niech p P, n N, a Z, p a. Wtedy liczba a p(p 1) 1 jest podzielna przez pr Niech p P, n N, a Z, p a. Wtedy liczba a pn 1 (p 1) 1 jest podzielna przez p n Setna potęga każdej liczby całkowitej niepodzielnej przez 5 jest postaci 125k Jeśli 17 n, to 17 n lub 17 n Niech a n = 2 n + 3 n + 6 n 1. Dla każdej liczby pierwszej p istnieje liczba naturalna n taka, że p a n Wykazać, że liczby 121, 10201, , ,... są kwadratowe Wykazać, że liczby 729, 71289, , ,... są kwadratowe Żaden wyraz ciągu 11, 111, 1111, 11111,... nie jest liczbą kwadratową Żadna liczba postaci nie jest kwadratowa.

11 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Każda liczba postaci 11 }.{{.. 11} 22 }.{{.. 22} jest kwadratowa. 2n n 203. Każda liczba kwadratowa większa od 9 ma co najmniej jedną cyfrę parzystą Liczba s(n 2 ) jest postaci 9k lub 3k Niech n N. Istnieje liczba kwadratowa, której suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1, 4 lub Liczba postaci s(2n 2 + 3) nigdy nie jest kwadratowa Jeżeli przedostatnia cyfra liczby kwadratowej jest nieparzysta, to ostatnią cyfrą jest Każda liczba postaci (2n 1) (gdzie n N) jest kwadratowa Każda liczba postaci n 3 (gdzie n N) jest kwadratowa Jeśli a + b + c = 0, a, b, c Z, to 2(a 4 + b 4 + c 4 ) jest liczbą kwadratową Dla każdej liczby naturalnej n > 4 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jedna liczba kwadratowa Istnieje 10 parami różnych liczb całkowitych takich, że suma każdych dziewięciu z nich jest liczbą kwadratową Jeśli w nieskończonym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych istnieje liczba kwadratowa, to istnieje ich nieskończenie wiele Jeśli a i b są liczbami całkowitymi, o różnej parzystości, to istnieje liczba całkowita c taka, że liczby a + c, b + c, ab + c są kwadratowe. Mówimy, że liczba naturalna jest bezkwadratowa jeśli nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby naturalnej > Liczba naturalna n 2 jest bezkwadratowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem parami różnych liczb pierwszych Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie postaci n = kb, gdzie k jest liczbą kwadratową i b jest liczbą bezkwadratową Każda liczba naturalna 2 jest sumą dwóch liczb bezkwadratowych Każda liczba naturalna postaci 4k + 3 nie jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych Każda liczba naturalna postaci 9k + 3 nie jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych Jeśli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 2n również jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

12 12 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Jeśli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 17n również jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych Dla każdej liczby naturalnej n równania x 2 + y 2 = n oraz x 2 + y 2 = 2n mają jednakowe liczby całkowitych rozwiązań Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczby n, n + 1, n + 2 są sumami dwóch kwadratów liczb całkowitych Jeśli każda z liczb n, n + 1 i n + 2 jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych, to własność tę posiadają również liczby m, m + 1 i m + 2, dla m = n(n + 2) Niech a, b Z. Jeżeli 3 a 2 + b 2, to 3 a i 3 b Niech a, b Z. Jeżeli 7 a 2 + b 2, to 7 a i 7 b Czy istnieje nieskończony ciąg liczb kwadratowych, w którym każdy wyraz, począwszy od trzeciego, jest sumą dwóch wyrazów poprzednich? 228. Żadna liczba naturalna postaci 8b + 7, gdzie b Z, nie jest sumą kwadratów trzech liczb całkowitych Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, których nie można przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów liczb całkowitych Jeśli liczba naturalna nie jest sumą kwadratów trzech liczb całkowitych, to nie jest sumą kwadratów trzech liczb wymiernych Istnieje nieskończony ciąg (a n ) liczb naturalnych taki, że każda liczba postaci a a a 2 n jest kwadratowa Dla każdej liczby naturalnej a 1 istnieje rosnący ciąg a 1, a 2, a 3,... liczb naturalnych taki, że dla dowolnego n N liczba a a a2 n jest podzielna przez a 1 + a a n Niech p 1 < p 2 < < p 17 będą liczbami pierwszymi. Jeśli p p2 17 kwadratową, to p 1 p 2 17 p2 16. jest liczbą 234. Dla każdej liczby całkowitej a istnieje liczba naturalna m taka, że a = ±1 2 +±2 2 + ± m Jeśli jeden z kątów trójkąta o bokach a, b, c jest równy 60 o, to a 2 = b 2 + c 2 bc Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania xy = 2x + 2y Istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych p, że równanie x 2 + x + 1 = py ma rozwiązanie w liczbach całkowitych Niech A = {a 2 5b 2 ; a, b Z}. Wykazać, że jeśli x, y A, to xy A Niech A = {a 2 + ab + b 2 ; a, b Z}. Wykazać, że jeśli x, y A, to xy A.

13 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Każdy wyraz ciągu 1331, , ,... jest sześcianem liczby naturalnej Liczby 729, , , ,... są sześcianami liczb naturalnych Niech n N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1 lub Liczby n = 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają równość s(n 3 ) = n. Udowodnić, są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne Niech (c p, c p 1,..., c 1, c 0 ) (gdzie p 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego przy czym nwd(c 0, 10) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n 3 są odpowiednio cyfry c p, c p 1,..., c Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych Każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej Każda dodatnia liczba wymierna jest postaci a3 +b 3 c 3 +d 3, gdzie a, b, c, d N Jeżeli m > 2, to ϕ(m) jest liczbą parzystą ϕ(ab) = (a, b)ϕ([a, b]) dla a, b N ϕ(2m) = ϕ(m) lub ϕ(2m) = 2ϕ(m) ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1). { 2ϕ(n), gdy n nieparzyste, 255. ϕ(4n) = 4ϕ(n), gdy n parzyste Jeśli liczby p > 2 i 2p 1 są pierwsze, to ϕ(4p 2) = ϕ(4p) Jeśli liczby p > 2 i 2p + 1 są pierwsze, to ϕ(4p + 2) = ϕ(4p) ϕ(n k ) = n k 1 ϕ(n) dla n, k N Niech m, n N. Istnieje liczba naturalna a taka, że wszystkie liczby ϕ(a + 1), ϕ(a + 2),..., ϕ(a + n) są podzielne przez m Funkcja τ jest multyplikatywna.

14 14 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Liczba τ(n) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą kwadratową Jeśli τ(n) jest liczbą pierwszą, to n jest potęgą liczby pierwszej Jeśli τ(n) = 2 i τ(n + 1) = 3, to n = Jeśli τ(n) = 2 i τ(n 1) = 3, to n = Jeśli n 3, to 2 τ(n) < n τ(n) 3 4n, dla n > Dla dowolnej liczby naturalnej n 2 wszystkie wyrazy ciągu τ(n), ττ(n), τττ(n),..., poczynając od pewnego miejsca są równe Niech c będzie ustaloną liczbą naturalną. Ciąg (a n ) określony jest przez warunki: a 1 = 1, a n+1 = τ(a n ) + cdla n N. Wykazać, że ciąg ten jest od pewnego miejsca okresowy Jeśli n N, to ( 2 τ(k) 3 = τ(k)). k n k n 270. Jeśli n jest liczbą złożoną, to σ(n) > n + n Niech k N. Jeśli n jest liczbą pierwszą taką, że liczba n + k jest również pierwsza, to σ(n + k) = σ(n) + k Jeśli n, k są liczbami naturalnymi takimi, że σ(n + k) = σ(n) + k, to n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy n + k jest liczbą pierwszą Istnieje nieskończenie wiele nieparzystych liczb naturalnych k takich, że σ(2 + k) = σ(2) + k σ(3k + 2) dla k N σ(4k + 3) dla k N 0. Przez u n oznaczamy n-tą liczbę Fibonacciego; u 1 = u 2 = 1 oraz u n+2 = u n+1 + u n dla n N. Udowodnić: 276. u 1 + u u n = u n+2 1 dla n N u 1 + u 3 + u u 2n 1 = u 2n dla n N u 2 + u 4 + u u 2n = u 2n+1 1 dla n N u 2 n = u n 1 u n+1 + ( 1) n 1 dla n N u u u2 n = u n u n+1 dla n N Niech (m 1, m 2,..., m s ) będzie skończonym ciągiem liczb naturalnych takim, że m 1 < m 2,..., m s i m j+1 m j 2 dla j = 1, 2,..., s 1 (tzn. w tym ciągu nie ma żadnych dwóch kolejnych liczb naturalnych). Wtedy u m1 + u m2 + + u ms < u ms+1.

15 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci n = u m1 + u m2 + + u ms, gdzie m 1 < m 2 < < m s oraz m j+1 m j 2 dla j = 1, 2,..., s 1, tzn. w ciągu (m 1,..., m s ) nie ma żadnych dwóch kolejnych liczb naturalnych Niech A = [ ] [ ]. Wtedy A n un+1 u = n dla n N. u n u n Prostokąt 1 n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 1 i 1 2. Ile jest różnych sposobów takiego zapełnienia? 285. Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi równość u n+m = u n+1 u m + u n u m u 4n dla n N u 5n dla n N Jeśli n m, to u n u m Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego są względnie pierwsze Dla dowolnych liczb naturalnych n, m zachodzi równość (u n, u m ) = u (n,m) Istnieje taka liczba Fibonacciego, która na końcu ma 5 zer Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że m u n Dla każdego n w ciągu u 1, u 2,..., u n 2 istnieje liczba podzielna przez n Ile jest liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z cyfr 2 i 5, w których dwie dwójki nie stoją obok siebie? 295. Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, w których nie występują żadne dwie kolejne liczby? 296. Niech a 0 = 1, a 1 = b N, a n+2 = 2a n+1 a n. Wtedy każda liczba postaci a n a m jest wyrazem tego ciągu Niech f(x) Z[x], a n+1 = f(a n ). Wiadomo że a 1 = 1999, a 2000 = Wykazać, że a 1 a 2 + a 2 a a 1999 a 1 = Niech a 1 {0, 1,..., 9} oraz niech a n+1 będzie ostatnią cyfrą liczby 19a n +98. Wykazać, że ciąg (a n ) jest od pewnego miejsca okresowy. Każdą liczbę postaci M n = 2 n 1, gdzie n 0, nazywamy liczbą Mersenne a Ciąg (M n ) można zdefiniować rekurencyjnie: M 1 = 1, M n+1 = 2M n + 1 dla n Każda liczba naturalna nieparzysta jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne a Niech m, n N. Jeśli resztą z dzielenia m przez n jest r, to resztą z dzielenia M m przez M n jest M r.

16 16 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi równość (M n, M m ) = M (n,m) (M n, M m ) = 1 (n, m) = M m M n m n Jeśli M n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna s taka, że wszystkie liczby M s+1, M s+2,..., M s+n są złożone Liczba Mersenne a M n jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy 3 n M n 89 M n 11 n Dla każdej liczby naturalnej s istnieje liczba naturalna n taka, że liczba M n ma co najmniej s parami różnych dzielników pierwszych Udowodnić, że jedyną liczbą pierwszą postaci a n = 1 3 (4n 1) jest a 2 = 5. Przez e n oznaczamy n-cyfrową liczbę naturalną, której cyframi są same jedynki: Udowodnić: 311. (e n, e m ) = e (n,m) dla n, m N n m e n e m (e n, e m ) = 1 (n, m) = 1. e n = 10n 1 9 = } 11 {{... 1} W ciągu (e n ) istnieje nieskończony podciąg składający się z liczb parami względnie pierwszych Znaleźć największy wspólny dzielnik liczb e 9 i e e n 41 e n e Liczba e 3 n jest podzielna przez 3 n. n 319. Niech a, b, n N, nwd(a, b) = 1, a + b > 2. Wtedy (a + b) a n + b n n jest liczbą nieparzystą Jeśli n N jest liczbą nieparzystą i a, b Z, to a n + b n nb n 1 (a + b) (mod (a + b) 2 ) Niech n będzie naturalną liczbą nieparzystą i niech a, b będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. Udowodnić, że (a + b) 2 a n + b n (a + b) n.

17 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci F n = 2 2n + 1, n 0. Udowodnić: 322. Jeśli 2 n + 1 jest liczbą pierwszą, to n jest potęgą dwójki Jeżeli n 3, to ostatnią cyfrą liczby Fermata F n jest F n+1 2 = F 0 F 1 F n dla n N Każde dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze Wykorzystując poprzednie zadanie udowodnić, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele F n 2 Fn 2 dla n N 0. Liczbami trójkątnymi nazywamy liczby postaci t n = n = 1 2n(n + 1), gdzie n N Każdy wyraz ciągu 55, 5050, , ,... jest liczbą trójkątną Każdy wyraz ciągu 21, 2211, , ,... jest liczbą trójkątną t 3k + t 4k+1 = t 5k+1, t 5k+4 + t 12k+9 = t 13k+10, t 8k+4 + t 15k+9 = t 17k t 3k+2 + t 4k+2 = t 5k+3, t 3k + t 4k+1 = t 5k t 4k+2 + t 4k 2 +5k = t 4k 2 +5k t n + t n 1 = t 2n, 3t n + t n+1 = t 2n t 3k = t 2k + t 2k + t k 1, t 3k+1 = t 2k + t 2k+1 + t k, t 3k+2 = t 2k+1 + t 2k+1 + t k Ile prostokątów widać na poniższym rysunku? 336. Niech a, b N. Prostokąt a b podzielono na ab kwadratów wymiaru 1 1. Ile prostokątów powstaje w wyniku tego podziału? 337. Niech a, b, c N. Prostopadłościan a b c podzielono na abc sześcianów wymiaru Ile prostopadłościanów powstaje w wyniku tego podziału? 338. t n = ( 1) n n ( 1) i i 2. i= t n + t n+1 = (n + 1) 2, t 2 n + t 2 n+1 = t (n+1) 2, t2 n+1 t2 n = (n + 1) t 1 + t 2 + t t 2n 1 = (2n 1) 2.

18 18 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Liczba 4t n t n jest kwadratowa t 1 + t t n = n(n+1)(n+2) Ile zer ma na końcu liczba 2011!? 344. Wykazać, że (2n 1) < n n, dla n Jeśli p = 4k + 3 jest liczbą pierwszą, to jedna z liczb (2k + 1)! 1 lub (2k + 1)! + 1 jest podzielna przez p Niech p 3 będzie liczbą pierwszą. Niech (a 1, a 2,..., a p ) i (b 1, b 2,..., b p ) będą permutacjami zbioru {1, 2,..., p}. Wówczas wśród liczb a 1 b 1, a 2 b 2,..., a p b p istnieją dwie liczby mające tę samą resztę z dzielenia przez p Dla każdej liczby pierwszej p postaci 4k + 1, istnieje taka liczba naturalna n, że liczba n jest podzielna przez p Ile dzielników naturalnych ma liczba 10!? 349. Liczba n!, dla n 3, jest sumą n parami różnych swoich dzielników naturalnych ! ! ! Udowodnić, że 712! + 1 jest liczbą złożoną Niech s będzie ustaloną liczbą naturalną. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie postaci n = ( m s ) ( s + ms 1 ) ( s mj ) j, gdzie 1 j s oraz ms > m s 1 > > m j j ( k k 356. n k=1 ) + ( k+1 k ) + + ( k+n 1 k ) = ( k+n ( n ) k ka k b n k = na(a + b) n ( a+b) ( k = a )( b ) i j. i+j=k 358. Jeśli n 5, to ( 2n n ) < 4 n 1. k+1) ( 2n) n 2 2n 2n Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to każda z liczb ( p ( 1), p ) ( 2,..., p p 1) jest podzielna przez p Niech p P, n N. Wtedy każda z liczb ( p n ) ( 1, p n) ( 2,..., p n p 1) jest podzielna przez p. n

19 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Niech n, k N 0, p P. Jeśli p k, to p ( pn) k Niech n, k N. Dla każdej liczby naturalnej m 2, co najmniej jedna z liczb ( n k), ) (,..., n+k ) k nie jest podzielna przez m. ( n+1 k 364. Jeśli n N i p P, to ( np 1 p Jeżeli (n, k) = 1, to n ( n k) Jeżeli (n, k) = 1, to k ( n 1 k 1). ) 1 (mod p) Dla każdej liczby naturalnej n liczba (2n)! n!(n+1)! jest naturalna Jeżeli (n, m) = 1, to (n+m 1)! n!m! jest liczbą całkowitą Jeżeli (n, 6) = 1, to (2n 4)! n!(n 2)! jest liczbą całkowitą Liczba (2n)!(2m)! m!n!(m+n)! jest całkowita Jeżeli n, m N, p P, to ( pn pm) ( n m) (mod p) Niech m, n będą liczbami naturalnymi oraz p liczbą pierwszą. Niech n = ap + r, m = bp + s, gdzie a, b, r, s Z, 0 r < p i 0 s < p. Wtedy ( n m) ( a b)( r s) (mod p) Niech n = n 0 + n 1 p + n 2 p n d p d i m = m 0 + m 1 p + + m d p d będą przedstawieniami liczb naturalnych n, m w systemie numeracji przy podstawie p P. Wtedy ( n ) ( m n0 )( n1 ) ( m 0 m 1 nd ) m d 374. ( [ ] n p) n p (mod p). dla n N, p P ( n p k ) [ n p k ] (mod p) dla n, k N, p P Czy liczba ( ) jest podzielna przez 101? 377. Znaleźć resztę z dzielenia liczby ( ) przez 5. (mod p) Jeśli (a 1, a 2,..., a n ) jest permutacją zbioru {1, 2, 3,..., n}, to (a 1 1) 2 + (a 2 2) (a n n) 2 jest liczbą parzystą Niech (a 1,..., a n ) będzie ciągiem liczb całkowitych niekoniecznie różnych i niech ciąg (b 1,..., b n ) będzie permutacją tego ciągu. Wtedy (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) (a n b n ) 2 jest liczbą parzystą Niech n będzie liczbą nieparzystą i niech (a 1,..., a n ) będzie ciągiem liczb całkowitych niekoniecznie różnych. Niech (b 1,..., b n ) będzie permutacją ciągu (a 1,..., a n ). Wtedy liczba (a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) (a n b n ) jest parzysta.

20 20 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, W każdej permutacji (a 1, a 2,..., a 2000 ) zbioru {1, 2,..., 2000} istnieją dwie takie różne liczby a n i a m, że a n + n a m + m (mod 2000). Udowodnić: = = = = = = = = = = = = = = = = = Niech a, b Q. Jeśli a + b Z i ab Z, to a, b Z Niech a, b, c Q. Jeśli a + b + c Z, ab + bc + ca Z i abc Z, to a, b, c Z Znaleźć takie trójki dodatnich liczb wymiernych (x, y, z), dla których wszystkie liczby 1 x + y + z, x + 1 y + 1 z, xyz są naturalne Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ab+1 a+b, gdzie a, b są liczbami naturalnymi Niech n N. Znaleźć liczbę wszystkich par (x, y) liczb naturalnych takich, że n = xy x+y. Przykłady: 1 = , 2 = = = Jeśli x, y są liczbami naturalnymi takimi, że 1 x + 1 y < 1, to 1 x + 1 y Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) liczb naturalnych takich, że x y z oraz 1 x + 1 y + 1 z = Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że 1 x + 1 y + 1 z < 1, to 1 x + 1 y + 1 z 394. Znaleźć wszystkie trójki x y z liczb naturalnych, dla których 1 x + 1 y + 1 z naturalną jest liczbą 395. Niech s N i niech x 1,..., x s będą takimi liczbami naturalnymi, dla których spełniona jest równość 1 x x s = 1. Jeśli liczba s jest parzysta, to co najmniej jedna z liczb x 1,..., x s jest również parzysta Istnieją parami różne liczby naturalne a 1,..., a 1974 takie, że 1 a a 1974 = Znaleźć wszystkie liczby naturalne x y z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = Znaleźć wszystkie liczby naturalne x y z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = Liczba 8 11 nie jest sumą trzech ułamków prostych Żadna liczba wymierna z przedziału ( 41 42, 1) nie jest sumą trzech ułamków prostych.

21 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Liczba n, dla n 2, nigdy nie jest całkowita Liczba 1 n + 1 n n+k, gdzie n, k N, nigdy nie jest całkowita Niech a 1,..., a n, gdzie n 2, będą parami różnymi liczbami naturalnymi. Załóżmy, że dokładnie jedna z nich jest liczbą parzystą, a pozostałe są liczbami nieparzystymi. Wtedy liczba 1 a a a s nie jest całkowita n n n > 3 5 dla n Na tablicy wypisano liczby 1 1, 1 2, 1 3,..., , Wybierzmy dwie z nich, powiedzmy a i b, i zamiast nich napiszmy liczbę a + b + ab. Powtarzamy to tak długo, aż otrzymamy tylko jedną liczbę na tablicy. Czy jest możliwe by tą jedyną liczbą była liczba 2000? 406. Nie istnieją parami różne liczby pierwsze p 1,..., p n takie, że 1 p całkowitą. p n jest liczbą 407. Jeśli p 5 jest liczbą pierwszą, to licznik ułamka a b = podzielny przez p. p 1 jest 408. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) względnie pierwszych liczb naturalnych takich, że x y z oraz x y + y z + z x = Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) względnie pierwszych liczb naturalnych takich, że x y z oraz x y + y z + z x = Wykazać, że liczba 0, jest niewymierna Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby pierwsze. Powstała liczba 0, Wykazać, że liczba ta jest niewymierna Niech x 1, x 2, x 3 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) jest liczbą całkowitą Niech z 1, z 2,..., z n, będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu monicznego g(x) Z[x] stopnia n. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to liczba f(z 1 ) + f(z 2 ) + + f(z n ) jest całkowita Nie ma takich liczb wymiernych x, y, z, t, że (x + y 2) 2 + (z + t 2) 2 = Nie ma takich liczb naturalnych m, n, że ( ) m = ( ) n Wykazać, że 417. Wykazać, że = = Wykazać, że = 2.

22 22 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Jeśli n 2, to liczba n 2 jest niewymierna Jeśli liczba naturalna n nie jest k-tą potęgą liczby naturalnej, to k n jest liczbą niewymierną Jeśli n > 1 jest bezkwadratową liczbą naturalną i k 2 jest liczbą naturalną, to k n jest liczbą niewymierną Niech a, b, c, d N. Jeśli postępy arytmetyczne (a+nb) i (c+dn) mają co najmniej jeden wyraz wspólny, to wszystkie ich wyrazy wspólne tworzą nieskończony postęp arytmetyczny W postępie geometrycznym o wyrazach rzeczywistych mogą występować co najwyżej dwie liczby pierwsze Z każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego o wyrazach naturalnych można wybrać nieskończony ciąg geometryczny. Przez [x] oznaczamy część całkowitą liczby rzeczywistej x Niech a, b będą liczbami całkowitymi i niech d > 1 będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli 0 < a b d < 1, to dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość [ (a + b d) n] = (a + b d) n + (a b d) n Niech a, b będą liczbami całkowitymi i niech d > 1 będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli 1 < a b d < 0, to dla n N zachodzą równości [ (a + b d) n] (a + b d) n + (a b d) n 1, gdy n jest parzyste, = (a + b d) n + (a b d) n, gdy n jest nieparzyste Dla każdej liczby naturalnej n liczba [ (2 + 3) n] jest nieparzysta Niech a, b Z i niech d > 1 będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli 0 < a b [ d < 1, to dla każdej liczby naturalnej n, liczba (a + b d) n] jest nieparzysta Liczba [ (5 + 17) n] + 1 jest podzielna przez 2 n [2x] + [2y] [x + y] + [x] + [y] dla x, y R, 431. [(n + 1)x] + [(n + 1)y] n[x] + n[y] + [x + y], dla x, y R oraz n N Jeśli [ n 1 ] + [ n 2 ] + + [ n n ] [ ] = 2 + n 1 1 [ ] + n 1 2 [ ] + + n 1 n 1, to n jest liczbą pierwszą Niech 0 < r Q Z. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczba [nr] jest pierwsza Rozwiązać równanie [x/2] + [x/3] + [x/5] = x Niech a, b Z. Rozwiązać układ równań: 2y + [x] = a, 2x + [y] = b.

23 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość 4x 2 40[x] + 51 = Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość x 2 7[x] + 6 = Udowodnić, że jeśli λ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to równanie x 2 = λ[x] posiada co najwyżej 4 rozwiązania Rozwiązać równanie 2[x] 2 x + 1 = Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość 3[x] 2 + 6x 4 = Wykazać, że równanie [x] 2 + 9x + 12 = 0 posiada dokładnie 6 rozwiązań Jeśli a, b, c są niezerowymi liczbami rzeczywistymi, to co najmniej jeden z trójmianów ax 2 + 2bx + c, bx 2 + 2cx + a, cx 2 + 2ax + b ma pierwiastek rzeczywisty Niech f(x) = ax 2 + bx + c Z[x], a 0. Załóżmy, że b jest nieparzyste oraz istnieje takie u N, że f(u) jest liczbą parzystą. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, że liczba f(m) jest podzielna przez 2 n Dane są trzy trójmiany kwadratowe z parami różnymi współczynnikami wiodącymi. Wykresy każdych dwóch z tych trójmianów mają dokładnie jeden punkt wspólny. Wykazać, że wszystkie trzy wykresy mają punkt wspólny Niech f(x) Z[x]. Jeśli wielomian f(x) s, gdzie s Z, ma co najmniej trzy parami różne całkowite pierwiastki, to wielomian f(x) (s + 1) nie ma całkowitych pierwiastków Jeśli liczba wymierna u jest pierwiastkiem wielomianu f(x) Z[x], to f(x) = (x u)g(x), gdzie g(x) jest wielomianem należącym do Z[x] Niech f(x) = a n x n + a n 3 x n 3 + a n 4 x n a 1 x 1 + a 0, gdzie n 3, a n 0. Jeśli wielomian ten posiada n pierwiastków rzeczywistych (niekoniecznie różnych), to wszystkie pierwiastki są równe zero Istnieje nieskończony ciąg a 0, a 1, a 2,... takich niezerowych liczb rzeczywistych, że dla każdego n wielomian f n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n posiada n parami różnych pierwiastków rzeczywistych Dla każdej liczby naturalnej n istnieje nierozkładalny wielomian f(x) Z[x] posiadający n parami różnych pierwiastków rzeczywistych Niech f(x) R[x]. Jeśli wielomian f(x) x nie ma pierwiastków rzeczywistych, to nie ma ich również wielomian f(f(x)) x Niech a 1,..., a n, b Z. Rozpatrzmy równanie a 1 x a n x n = b. Równanie to ma całkowite rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie w każdym pierścieniu Z m, gdzie m N Wielomian (2x 1)(3x 1) nie ma całkowitych pierwiastków. Ma natomiast pierwiastki w każdym pierścieniu Z m.

24 24 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Jeśli a 1,..., a n są parami różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian h(x) = (x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) 1 jest nierozkładalny w Z[x] Niech a, b Z. Wielomian (x a) 2 (x b) jest nierozkładalny w Z[x] Jeśli a 1,..., a n są parami różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian (x a 1 ) 2 (x a 2 ) 2 (x a n ) jest nierozkładalny w Z[x] Dla dowolnej liczby naturalnej n, wielomian x n+2 + (x + 1) 2n+1 jest rozkładalny w Z[x]. Posiada on czynnik x 2 + x Jeżeli A jest takim podzbiorem zbioru N, że 1, 2 A oraz z tego, że n A wynika, że n + 2 A, to A = N Jeżeli A jest takim podzbiorem zbioru N, że 1, 2, 3 A oraz z tego, że n A wynika, że n + 3 A, to A = N Niech a(n) = n 2 + n + 1 i niech S = {a(n); n N}. Wykazać, że a(n)a(n + 1) S dla wszystkich n N Niech X i Y będą skończonymi zbiorami i niech f : X Y będzie funkcją. Jeśli X > Y, to funkcja f nie jest różnowarościowa W klasie jest 37 osób. Wykazać, że istnieją co najmniej cztery osoby w tej klasie, które urodziły się w tym samym miesiącu chłopców zebrało 100 orzechów. Wykazać, że co najmniej dwóch chłopców zebrało tę samą liczbę orzechów Udowodnić, że istnieje potęga liczby 29 kończąca się cyframi W sali znajduje się n osób (n 2). Wykazać, że co najmniej dwie z tych osób mają wśród obecnych tę samą liczbę znajomych. Zakładamy, że jeśli osoba A zna osobę B, to B zna A Jest n drużyn piłkarskich. Każde dwie mają rozegrać jeden mecz. Wykazać, że w dowolnym momencie rozgrywek istnieją co najmniej dwie drużyny, które rozegrały już tę samą liczbę meczów W sali znajduje się 225 osób. Wykazać, że w tej sali istnieje osoba, która zna parzystą liczbę osób będących w tej sali Danych jest 8 różnych liczb naturalnych mniejszych od 16. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe Danych jest 6 różnych liczb naturalnych mniejszych od 10. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe Danych jest 2n różnych liczb naturalnych mniejszych od n Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe.

25 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, Danych jest 12 parami różnych liczb dwucyfrowych. Wykazać, że można spośród nich wybrać dwie, których różnica jest liczbą zapisaną przy pomocy jednakowych cyfr Wśród 9 parami różnych liczb naturalnych, których wszystkie dzielniki pierwsze należą do zbioru {3, 7, 11}, istnieją dwie takie liczby, których iloczyn jest liczbą kwadratową Dany jest zbiór dziesięciu dwucyfrowych liczb naturalnych. Dowieść, że w tym zbiorze istnieją dwa niepuste podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów są równe Dany jest zbiór złożony z 16 trzycyfrowych liczb naturalnych. Dowieść, że w tym zbiorze istnieje pięć parami różnych takich podzbiorów, że suma liczb każdego z tych podzbiorów jest jednakowa Z ciągu 1, 2,..., 200 wybrano 101 liczb. Wykazać, że wśród wybranych liczb są takie dwie, że jedna dzieli drugą Z ciągu 1, 2,..., 2n wybrano n + 1 liczb. Wykazać, że wśród wybranych liczb są takie dwie, że jedna dzieli drugą Znaleźć wszystkie liczby naturalne a b c spełniające równość a + b + c = abc Znaleźć wszystkie liczby naturalne a b c d spełniające równość a+b+c+d = abcd Znaleźć wszystkie liczby naturalne a b c d e spełniające równość a + b + c + d + e = abcde Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x + 1)(2y + 1), gdzie x, y Z Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x 1)(2y 1), gdzie x, y Z Każdą nieujemną liczbę całkowitą można jednoznacznie przedstawić w postaci (x+y) 2 +3x+y 2, gdzie x, y Z Każdą nieujemną liczbę całkowitą parzystą można jednoznacznie przedstawić w postaci (x + y) 2 + 3x + y, gdzie x, y N W wiadrze jest 12 litrów mleka. W jaki sposób, korzystając tylko z dwóch garnków 5-cio i 7-mio litrowych, można rozdzielić mleko na dwie równe części? 484. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, którą trzema różnymi sposobami można przedstawić w postaci 13x + 17y, gdzie x, y N Niech a, b, c N, a+b+c = 407. Ile maksymalnie zer na końcu może mieć iloczyn abc? 486. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się Dana jest lista zawierająca 1975 ponumerowanych zdań. Zdanie o numerze n brzmi: Na niniejszej liście jest dokładnie n zdań fałszywych. Które z tych zdań są prawdziwe?

26 26 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 Każdy punkt na płaszczyźnie, którego współrzędne są liczbami całkowitymi, nazywamy punktem kratowym. Mówimy, że dany punkt jest wymierny, jeśli wszystkie jego współrzędne są liczbami wymiernymi Istnieje na płaszczyźnie prosta, na której leży tylko jeden punkt kratowy Jeśli prosta ma co najmniej dwa punkty kratowe, to ma ich nieskończenie wiele Na płaszczyźnie danych jest 5 punktów kratowych. Udowodnić, że środek co najmniej jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym Na odcinku łączącym punkty kratowe (a, b) i (c, d) leży dokładnie nwd(c a, d b) + 1 punktów kratowych Dwa wierzchołki kwadratu są wymierne. Wykazać, że pozostałe wierzchołki również są wymierne Podwojone pole każdego wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych jest liczbą naturalną Pole trójkąta o wierzchołkach w punktach kratowych (0, 0), (u n 1, u n ), (u n, u n+1 ), gdzie (u n ) jest ciągiem Fibonacciego, jest równe Ile punktów kratowych leży wewnątrz koła o promieniu 13/2 i środku w punkcie (0, 0)? 496. Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie n punktów kratowych Na okręgu x 2 + y 2 = 3 nie leży żaden punkt wymierny Na okręgu (x 2) 2 + (y 2) 2 = 4 leży dokładnie jeden punkt wymierny Ile punktów wymiernych leży na okręgu x 2 + (y 2) 2 = 3? 500. Ile punktów wymiernych leży na okręgu x 2 + y 2 = 1? Toruń, 14 lutego 2012 r. Przedstawione zadania wybrano z różnych książek i artykułów. Informacje o ich źródłach oraz rozwiązania podane są w serii książek Podróże po Imperium Liczb

Zadania z arytmetyki i teorii liczb

Zadania z arytmetyki i teorii liczb Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

I) Reszta z dzielenia

I) Reszta z dzielenia Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)

Bardziej szczegółowo

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV LICZBY POWTÓRKA ZADANIE (3 PKT) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 0 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E)

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

XV Olimpiada Matematyczna Juniorów

XV Olimpiada Matematyczna Juniorów XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A

XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych zestaw A 1. Istnieje liczba rzeczywista x dla której istnieją jednocześnie wartości rzeczywiste pierwiastków:

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11 Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Wersja testu A 25 września 2011

Wersja testu A 25 września 2011 1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017 STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log ) ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY

KONKURS MATEMATYCZNY PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W CHEŁMIE INSTYTUT MATEMATYKI i INFORMATYKI 22-100 Chełm, ul. Pocztowa 54 tel./fax. (082) 562 11 24 KONKURS MATEMATYCZNY im. Samuela Chróścikowskiego 10 kwiecień 2015r.

Bardziej szczegółowo

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: 1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 2018r.

Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 2018r. Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 018r. XVI POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POD PATRONATEM STAROSTY POWIATU WODZISŁAWSKIEGO ORGANIZOWANY PRZEZ POWIATOWY OŚRODEK

Bardziej szczegółowo