Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.
|
|
- Bogna Kaźmierczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna wyłącznie przez 1 i samą siebie. Wszystkie liczby naturalne większe od 1, które można przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych, z których każda jest większa od 1, czyli takie, które posiadają więcej niż 2 dzielniki naturalne, to liczby złożone. Z definicji tych wynika, że liczby 0 oraz 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy symbolem P. Liczby pierwsze nazywane są cegłami całej arytmetyki. Zasada, zwana podstawowym twierdzeniem arytmetyki, mówi o jednoznaczności rozkładu wszystkich liczb naturalnych na czynniki pierwsze. Oznacza to, że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych na dokładnie jeden sposób. Dla przykładu, 180 = i jest to jedyny możliwy rozkład tej liczby. Dowód podstawowego twierdzenia arytmetyki przedstawiam poniżej: Dowód. Dowód tego twierdzenia składa się z dwóch części. Najpierw udowodnimy, że rozkład na czynniki pierwsze istnieje dla każdej liczby naturalnej, a następnie że jest on jednoznaczny. 1. Załóżmy, że a jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której nie istnieje rozkład na czynniki pierwsze. Wiemy, że a jest albo liczbą pierwszą, albo złożoną. Jeśli należy do zbioru tych pierwszych, to sama jest swoim jedynym czynnikiem pierwszym, czyli rozkład istnieje. Załóżmy więc, że a jest złożona. Z definicji liczb złożonych wynika, że w takim razie a = y, gdzie i y są większe od 1 mniejsze od a. Jednak z założenia, że a jest najmniejszą liczbą nie posiadającą rozkładu na czynniki pierwsze wynika, że i y taki rozkład posiadać muszą. W takim razie iloczyn ich rozkładów jest rozkładem liczby a. Uzyskujemy sprzeczność, z której wynika, że rozkład na czynniki pierwsze istnieje dla każdej liczby naturalnej. 2. Weźmy teraz liczbę naturalną i załóżmy, że ma ona dwa różne rozkłady na czynniki pierwsze. W jednym z nich występuje liczba pierwsza p. Oczywiście, przez p podzielny jest wtedy również iloczyn drugiego rozkładu, a więc także jeden z jego czynników. Ponadto, skoro jest on liczbą pierwszą, to wynosi p. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla każdej liczby z pierwszego rozkładu dochodzimy do wniosku, że oba rozkłady są takie same. Wszystkie liczby naturalne możemy rozłożyć na czynniki pierwsze na dokładnie jeden sposób. Jednym z najczęściej zadawanych pytań dotyczących liczb pierwszych jest pytanie o ich ilość. Tymczasem już w IV wieku przed naszą erą Euklides udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Oto dowód tego twierdzenia podobny do tego, jaki przedstawił on w swoim dziele Elementy :
2 Dowód. Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony. Oznaczmy wszystkie należące do niego elementy jako p 1, p 2, p 3,, p n. Rozpatrzmy liczbę: q = p 1 p 2 p 3 p n + 1. Jeśli liczba q jest pierwsza, podany wcześniej zbiór liczb pierwszych nie jest wyczerpujący, bowiem q jest większa od każdej z liczb p 1, p 2,, p n. Jeśli natomiast q jest złożona, to któraś z liczb p 1, p 2,, p n musi być jej dzielnikiem (zakładamy, że innych liczb pierwszych nie ma). Jednak liczba ta jest także dzielnikiem liczby p 1 p 2 p n i w konsekwencji także liczby q p 1 p 2 p n = 1, a nie istnieje liczba pierwsza będąca dzielnikiem jedynki. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istnieje bardzo wiele nierozstrzygniętych problemów dotyczących liczb pierwszych. Najważniejszym z nich jest znalezienie reguły (lub uzasadnienie jej braku) w rozmieszczeniu liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. Wydaje się ono bowiem całkowicie chaotyczne. Jak dotąd umiemy jedynie, w pewnym przybliżeniu, określić, ile liczb pierwszych znajduje się w danym przedziale liczb. Carl Friedrich Gauss zdefiniował funkcję, którą nazwał π(). Wyznacza ona ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych danej liczbie. Wypiszmy teraz w tabeli liczby będące potęgami dziesiątki. zaczynając od 10, a kończąc na W kolejnych kolumnach podamy: wartość π(), π() oraz. π() π() π() π() ,4 2, , , ,1299 8, , , , , , , , , ,7 Z drugiej kolumny tej tabeli odczytać możemy, ile jest liczb pierwszych w poszczególnych przedziałach od 1 do. Wiemy na przykład, że dla każdego funkcja π() przyjmuje wartość większą niż, ale mniejszą niż. Z trzeciej kolumny możemy na przykład 2 odczytać, mnożąc podaną wartość przez 100, jaki, w przybliżeniu, procent stanowią liczby pierwsze w odpowiednim przedziale. Najciekawsza jest jednak kolumna czwarta tutaj, w kolejnych wierszach, liczby rosną za każdym razem o około 2. Dziesięciokrotny wzrost zakresu badanych liczb powoduje wzrost wartości wyrażenia π() o mniej więcej 2. Jest to zależność logarytmu naturalnego. Teraz wyjaśnię zwięźle, czym jest logarytm.
3 Logarytmem o podstawie a z liczby b nazwiemy taką liczbę c, że a c = b. Zapisujemy to jako log a b = c. Dla przykładu, dla a = 3 oraz b = 81 mamy: log 3 81 = 4, ponieważ 3 4 = 81. Logarytmem naturalnym nazywamy każdy logarytm o podstawie równej stałej e (e~2,71828). Zgodnie z notacją oznaczamy go jako ln. Teraz mogę wyjaśnić szerzej spostrzeżenie Gaussa. Na podstawie powyższej tabeli określił on wzór będący oszacowaniem częstości występowania liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. Wzór ten ma postać: π() ~ 1 ln Wielka zaleta tego wzoru polega na tym, że jest on tym bardziej dokładny, im większe jest. Pozwala więc bardzo dokładnie oszacować ilość liczb pierwszych w przedziałach dużych liczb. Dla przykładu, oszacujmy za jego pomocą ilości liczb pierwszych w zakresie , czyli obliczmy wartość π() dla = Stosując przedstawiony wyżej wzór mamy: Korzystając z proporcji dostajemy: π() ~ ln π() ln ~ , czyli π() ~ ln Ponieważ ~ , w przedziale od 1 do znajduje ln się około liczb pierwszych, co stanowi zaledwie 3,619 % wszystkich liczb. Jedyną, całkowicie pewną, znaną dotąd metodą wyznaczania wszystkich liczb pierwszych mniejszych od danej liczby n oraz sprawdzania pierwszości dowolnej liczby naturalnej jest pracochłonny sposób sita Eratostenesa. Metoda ta polega na wypisaniu kolejno wszystkich liczb naturalnych od 1 do n i skreślaniu tych, które podzielne są przez którąkolwiek liczbę pierwszą mniejszą lub równą n i dają z nią iloraz większy od 1. Liczby, które nie zostaną skreślone, są pierwsze. Sprawdźmy na przykład, czy liczba 179 jest pierwsza. Ponieważ 13 < 179 < 14, musimy sprawdzić, czy liczba 179 dzieli się przez którąś z liczb pierwszych znajdujących się w przedziale 1-13, czyli 2,3,5,7,11 lub 13. Sprawdzając po kolei wszystkie możliwości stwierdzamy, że 179 nie jest podzielne przez żadną z tych liczb. Zatem jest to liczba pierwsza. Inny, dość użyteczny sposób sprawdzania pierwszości liczb jest związany z Małym Twierdzeniem Fermata. Aby przedstawić jego treść, niezbędne będzie wprowadzenie pojęcia liczb względnie pierwszych.
4 Liczby a 1, a 2, a 3,, a n możemy nazwać względnie pierwszymi, gdy ich największy wspólny dzielnik wynosi 1. Inaczej mówiąc, liczby względnie pierwsze to takie liczby a 1, a 2, a 3,, a n, dla których NWD(a 1, a 2, a 3,, a n ) = 1. Teraz można przedstawić treść twierdzenia: Jeśli p jest liczbą pierwszą, natomiast a dowolną liczbą naturalną względnie pierwszą z p, to liczba a p 1 1 jest podzielna przez p. Z faktu tego bezpośrednio wynika, że wówczas p dzieli również liczbę a p a (dla tych wartości a i p nie muszą być już względnie pierwsze). Przykładowo, dla p = 5 oraz a = 6 mamy: a p a = = 7770, a liczba 7770 jest podzielna przez 5, czyli przez p. Teraz przedstawię dowód tego twierdzenia: Dowód. Rozpatrzmy koła, z których każde podzielone jest na p segmentów. Malujemy je, mając do dyspozycji maksymalnie a kolorów. Jeśli pomalowania kół takie, że drugie powstaje poprzez obrób pierwszego, a wyglądają one inaczej, liczymy jako inne, to wszystkich różnych pokolorowań mamy a p. Rozpatrzmy teraz drugi przypadek. Potraktujmy teraz pokolorowania powstałe poprzez obrót innych jako takie same, co one. Zauważmy, że w obu przypadkach koła jednokolorowe, których ilość wynosi oczywiście a, liczymy tylko raz. Natomiast wszystkich kół wielokolorowych jest w drugim przypadku p razy mniej (wszystkie z nich mają p segmentów, a obrót o każdy jeden segment daje inny obrazek). Liczba różnych kół wielokolorowych uzyskanych w pierwszym przypadku jest równa a p a (mamy a jednokolorowych). W takim razie w drugim przypadku jest ich ap a, a ich ilość jest oczywiście liczbą całkowitą. Z tego p wynika, że liczba a p a jest podzielna przez p, czyli treść twierdzenia. Teraz zobaczmy, jak za pomocą tego twierdzenia możemy sprawdzać, czy dana liczba jest pierwsza. Przyjmijmy dla przykładu, że p = 10 oraz a = 3. Wówczas liczba a p a = = nie jest podzielna przez p (czyli 10), tak więc liczba 10 nie jest pierwsza. Duża użyteczność tej metody polega na tym, że może być ona dość wygodna stosowana nawet dla dużych liczb, bez potrzeby wykonywania wielu obliczeń. Nie jest ona jednak idealna. Podzielność twierdzenia może być spełniona bowiem także wtedy, gdy p nie jest liczbą pierwszą. Weźmy dla przykładu p = 6 oraz a = 7. Wówczas a p a = = i jest podzielna przez 6, mimo, iż 6 jest liczbą złożoną. W rzeczywistości więc metoda ta pozwala wyszukiwać ze stu procentową pewnością jedynie liczby złożone (gdy podzielność nie jest spełniona). Gdy natomiast podzielność dana w twierdzeniu zachodzi, nie możemy być pewni, czy na pewno mamy do czynienia z liczbą pierwszą.
5 Zadziwiający jest fakt, iż, choć liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, istnieją też dowolnie wielkie ciągi kolejnych liczb naturalnych, spośród których żadna nie jest pierwsza. Bowiem dla dowolnej liczby naturalnej n można wskazać ciąg n kolejnych liczb naturalnych, z których każda jest złożona. Aby udowodnić to twierdzenie, posłużyć się należy pojęciem silni. Silne liczby n definiujemy jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Zapisujemy to jako n! = n. Przykładowo, 5! = = 120. Teraz można już udowodnić powyższe twierdzenie. Dowód. Rozpatrzmy liczby: (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,, (n + 1)! + (n + 1). Zauważmy teraz, że wypisane powyżej liczby to kolejne liczby naturalne oraz: (n + 1)! + 2 jest podzielne przez 2, (n + 1)! + 3 jest podzielne przez 3,, (n + 1)! + n jest podzielne przez n, (n + 1)! + (n + 1) jest podzielne przez n+1. Ponieważ liczba (n + 1)! jest na pewno większa od 0 (n jest liczbą naturalną), więc każda z wymienionych liczb jest większa od tej, przez którą z całą pewnością jest podzielna. Wynika z tego, iż znaleźliśmy ciąg n kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest pierwsza. Innymi nierozwiązanym do dziś zagadnieniami dotyczącym liczb pierwszych są między innymi: *hipoteza Goldbacha, stawiająca pytanie: czy każda liczba parzysta większa od 2 może zostać przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych? Jak dotąd wiadomo, że jest ona prawdziwa dla wszystkich liczb mniejszych niż 2 biliony. *problem bliźniaczych liczb pierwszych. Polega on na zbadaniu, czy istniej nieskończenie wiele takich liczb pierwszych p, że liczba p + 2 także jest pierwsza (bliźniacze liczby pierwsze to właśnie para liczb pierwszych różniących się o 2). *hipoteza nieskończonej ilości liczb pierwszych postaci n 2 + 1, gdzie n należy do zbioru liczb całkowitych. Problem polega na zbadaniu jej prawdziwości. Powyższe teoretyczne rozważania zakończę kilkoma wskazówkami dotyczącymi rozwiązywania zadań związanymi z liczbami pierwszymi. W wielu zadaniach, w których znaleźć należy wszystkie liczby pierwsze spełniające dany warunek, przewodnim krokiem jest rozłożenie liczby pierwszej na iloczyn dwóch liczb. Czasami okazuje się to jedyną trudnością zadania. Zawsze warto szukać takiego rozkładu, przedstawionego chociażby za pomocą dwóch innych niewiadomych. Wiemy wtedy bowiem, że jeden z jego czynników musi wynosić jeden, dzięki czemu obliczyć możemy wartość niewiadomej.
6 Bardzo często również kluczowe okazuje się spostrzeżenie, że jedna z poszukiwanych liczb pierwszych jest parzysta, podzielna przez 3 itd. Daje nam to pewność, że jest ona równa 2, 3 lub, w przypadkach innych podzielności, innej liczbie. Równe przydatne okazuje się nierzadko spostrzeżenie, że iloczyn dwóch liczb pierwszych pq można rozłożyć na dwa czynniki na jedynie dwa sposoby jako 1 pq lub p q. W rozwiązywaniu zadań dotyczących liczb pierwszych niewątpliwie ważne jest doświadczenie. Musimy rozwiązać wiele zadań, aby nie mieć problemu z określeniem, jakiego narzędzia należy użyć w konkretnym przypadku. Na zakończenie podaję kilka przykładów związanych z liczbami pierwszymi. Przykład 1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których p + 36 jest kwadratem liczby naturalnej. Rozwiązanie. Daną w treści zadania równość zapisujemy jako: p + 36 = n 2. Przekształcając: p = n 2 36 p = (n 6)(n + 6) Ponieważ p jest liczbą pierwszą, jeden ze składników powyższego iloczynu wynosi 1. Skoro n jest liczbą naturalną, to 1 = n 6. Stąd wynika, że n = 7, czyli p = 13. Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba p = 13. Przykład 2. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których p jest sześcianem liczby naturalnej. Rozwiązanie. Daną w treści zadania równość zapisujemy jako: p = n 3. Przekształcając: p = n Ze wzoru a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) mamy: p = (n 6)(n 2 + 6n + 36) Ponieważ p jest liczbą pierwszą, jeden ze składników powyższego iloczynu wynosi 1. Skoro n jest liczbą naturalną, to 1 = n 6. Stąd wynika, że n = 7, czyli p = 127. Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba p = 127. Przykład 3. Za pomocą sita Eratostenesa sprawdź, czy liczba 247 jest pierwsza. Rozwiązanie.
7 Zauważmy, że 15 < 247 < 16. Musimy więc sprawdzić, czy liczba 247 jest podzielna przez którąkolwiek liczbę pierwszą z przedziału Wykonując obliczenia stwierdzamy, że 247 nie dzieli się przez 2,3,5,7ani 11. Okazuje się natomiast, że jest to liczba podzielna przez 13. W takim razie, zgodnie z definicją liczb pierwszych, 247 nie jest liczbą pierwszą.
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoLista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz.
Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz. Na początek wypiszmy elementy obu zbiorów: A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych, które podniesione
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoWrocław, Wstęp do informatyki i programowania: liczby pierwsze. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej.
Wrocław, 28.11.2017 Wstęp do informatyki i programowania: liczby pierwsze Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Andrzej Giniewicz Dzisiaj na zajęciach... Zajmiemy się liczbami pierwszymi... liczby
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych
Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoElementy teorii liczb. Matematyka dyskretna
Elementy teorii liczb Matematyka dyskretna Teoria liczb dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb (początkowo tylko naturalnych). Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowoLiczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji
Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoLICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.
Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoJednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoI) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Bardziej szczegółowoPodzielność liczb przez liczby od 2 do 13 WSTĘP CO TO ZNACZY, ŻE LICZBA JEST PODZIELNA PRZEZ INNĄ LICZBĘ? ZASADY PODZIELNOŚCI PRZEZ LICZBY OD 2 DO 10
Podzielność liczb przez liczby od 2 do 13 WSTĘP W lekcji zajmiemy się podzielnością liczb. Na pewno wiesz, że cyfra 4 dzieli się przez 2, cyfra 6 dzieli się przez 3, liczba 12 dzieli się przez 4, ale co
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoChen Prime Liczby pierwsze Chena
Chen Prime Liczby pierwsze Chena Chen Jingrun Data urodzenia: 22 maj 1933 Data śmierci: 19 marzec 1996 Pochodzi z wielodzietnej rodziny z Fuzhou, Fujian, Chiny. W 1953 roku skończył wydział matematyki
Bardziej szczegółowoXV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI
XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH W SZKOŁACH INNEGO TYPU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 ETAP
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoPodzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoTeoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne to technika pozwalająca na przeszukanie jakiegoś posortowanego zbioru danych w czasie logarytmicznie zależnym od jego wielkości (co to dokładnie znaczy dowiecie
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoRozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS
Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowo