Wersja wstępna 22 listopada 2017
|
|
- Urszula Skiba
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Notati do wyładu Algebra liniowa (urs zaawansowany) Instytut Matematyi Uniwersytetu Jagiellońsiego zimowy 2017/2018 Sławomir Cyn
2 ROZDZIAŁ I Podstawowe strutury algebraiczne 1. Strutury algebraiczne Definicja I.1. Działaniem wewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie h : A A A iloczynu artezjańsiego A A w zbiór A, czyli odwzorowanie przyporządowujące parze elementów zbioru A element tego zbioru. Poniższa tabela zawiera przyłady działań znanych z arytmetyi N N + Z Q Q + Q R R + R x + y x y x y x/y x y Definicja I.2. Działanie wewnętrzne h : A A A nazywamy przemiennym, jeżeli dla dowolnych elementów a, b A mamy h(a, b) = h(b, a). Działanie h nazywamy łącznym, jeżeli dla dowolnych elementów a, b, c A mamy h(a, h(b, c) = h(h(a, b), c). Element o A nazywamy elementem neutralnym działania h, jeżeli dla dowolnego a A zachodzi h(e, a) = h(a, e) = a. Element a A nazywamy elementem odwrotnym do a ze względu na działanie h z elementem neutralnym o, jeżeli h(a, a ) = h(a, a) = o. 1
3 2 1. Strutury algebraiczne Uwaga. Zwyle działanie oznaczamy symbolem mnożenia (zapis multipliatywny), i wtedy element neutralny oznaczamy przez 1, a element odwrotny przez a 1, jeżeli działanie jest przemienne, to często (dla podreślenia) używa sie znau dodwania (zapis addydtwny), wtedy element neutralny oznacza się przez 0, a element odwrotny (przeciwny), przez a. Łączność działania oznacza, że wyni mnożenia trzech elementów nie zależy od olejności w jaiej wyonujemy mnożenie (olejność działań) natomiast przemienność oznacza, że wyni nie zależy od olejności czynniów. Jeśli działanie jest łączne to dla dowolnych elementów a 1,..., a n A mamy dobrze oreślony iloczyn a 1 a n, przyjmując więc a 1 = = a n = a otrzymujemy (dobrze oreśloną) potęgę a n = a } {{ a }. n razy Lemat I.1. (a) Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny. (b) Jeżeli działanie h jest łączne to dowolny element a A ma co najwyżej jeden element odwrotny. (c) Jeżeli a 1 jest elementem odwrotnym do a, a jest elementem odwrotnym do a 1. (d) Jeżeli działanie jest łączne to iloczyn dowolnych dwóch elementów odwracalnych a, b jest odwracalny oraz (ab) 1 = b 1 a 1. Dowód. (a) Załóżmy, że e 1 i e 2 są elementami neutralnymi, wtedy e 1 = e 1 e 2 = e 2. (b) Załóżmy, że a i a są elementami odwrotnymi do a. Wtedy (c) Oczywiste. a = a e = a (aa ) = (a a)a = a. (d) Musimy poazać, że (ab)(b 1 a 1 ) = (b 1 a 1 )(ab) = e. Na mocy łącznosści drugiej równości dowodzimy identycznie. (ab)(b 1 a 1 ) = a(bb 1 )a 1 = (ae)a 1 = aa 1 = e, Przyład I.2. Niech X będzie dowolnym zbiorem, przyładem działania lącznego w zbiorze A = X X = Func(X, X) = {f : X X} jest operacja sładania odwzorowań. Jeżeli X jest zbiorem z dodatową struturą, to zamiast zbioru eszystich odwzorowań możemy wziąć podzbiór złożony z odwzorowań zachowujących tę struturę. Przyłady, izometrie podzbioru płaszczyzny. Przyładami naturalnego działania, tóre nie jest łączne są potęgowanie, iloczyn wwetorowy w R 3. Przyładami działań, tóre są łączne i przemienne są iloczyn i suma mnogościowa oraz różnica symetryczna (ćwiczenia). Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
4 Rozdział I. Podstawowe strutury algebraiczne 3 Definicja I.3. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie g : F A A iloczynu artezjańsiego F A w zbiór A, elementy zbioru F nazywamy operatorami. Przyład I.3. Przyładem działania zewnętrznego jest mnożenie wetora przez salar, inny przyład to mnożenie funcji o wartościach rzeczywistych zadanych na danym zbiorze X przez liczby rzeczywiste R Func(X, R) (r, f) r f Func(X, R). Definicja I.4. Działanie zewnętrzne g : F A A nazywamy rozdzielnym względem działania wewnętrznego h : A A A jeżeli dla dowolnych elementów a, b A i dowolnego p F mamy g(p, (h(a, b)) = h(g(p, a), g(p, b)) Działanie zewnętrzne g : F A A nazywamy łącznym względem lącznego działania wewnętrznego h : F F F jeżeli dla dowolnych elementów p, q F i dowolnego a A mamy g(h(p, q), a) = g(p, g(q, a)). Działanie zewnętrzne g 1 : F 1 A A i g 2 : F 2 A A nazywamy przemiennymi, jeżeli dla dowolnych p F 1, q F 2, a A mamy g 1 (p, g 2 (q, a)) = g 2 (q, g 1 (p, a)) Grupy, pierścienie i ciała. Definicja I.5. Grupą nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym tai, że istnieje element neutralny działania dowolny element posiada element odwrotny. Jeżeli działanie jest ponadto przemienne, to grupę nazywamy grupą przemienną (abelową). Czyli grupa to para (G, ), gdzie G jest (niepustym) zbiorem : G G G działaniem wewnętrznym taim, że dla dowolnych elementów a, b, c G zachodzi a(bc) = (ab)c, istnieje (jedyny) element e G tai, że dla dowolnego g G zachodzi eg = ge = g, dla dowolnego elementu a G istnieje a 1 G tai, że aa 1 = a 1 a = e. Grupa G jest grupą abelową jeśli ponadto dla dowolnych a, b G zachoszi ab = ba. Definicja I.6. Pierścieniem nazywamy uład (R, +, ) złożony ze zbioru R i dwóch działań wewnetrznych w R (zwanych dodawaniem i mnożeniem) spełniający następujące waruni (R, +) jest grupą abelową (element neutralny oznaczamy 0), x(yz) = (xy)z dla dowolnych x, y, z R, Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
5 4 2. Liczby zespolone x(y + z) = xy + xz dla dowolnych x, y, z R, (x + y)z = xz + yz dla dowolnych x, y, z R. Pierścień (R, +, ) nazywamy pierścieniem całowitym jeżeli mnożenie jest przemienne, istnieje element neutralny mnożenia (zwany jedyną) tai, że 1 0, zachodzi impliacja xy = 0 = x = 0 lub y = 0. Lemat I.4. Jeżeli R jest pierścieniem, to 0x = x0 = 0, ( x)y = x( y) = (xy). ( x)( y) = (xy). Definicja I.7. Pierścień całowity R nazywamy ciałem jeżeli zbiór R \ {0} jest grupą abelową. Przyład I.5. Następujące zbiory (z naturalnymi) działaniami są pierścieniami Z, Z n, 2Z, Z[X], Q[X], R[X], C[X]. Z[ 2] = {a + b 2, a, b Z} Z[i] = {a + bi, a, b Z} Następujące zbiory sa z naturalnymi działaniami ciałem R, C, Q, Z p (p liczba pierwsza), Q[ 2] = {a + b 2, a, b Q} Q[ 3 2] = {a + b c 3 4, a, b, c Q} Q[ 2, 3] = {a + b 2 + c 3 + d 6, a, b, c, d Q} 2. Liczby zespolone W zbiorze liczb rzeczywistych nie można rozwiązać równań wadratowych z ujemnym wyróżniiem. Problem ten stał się szczególnie dotliwy po odryciu przez Tartaglię w 1535 rou wzorów Cardano na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia. Tzw. przypade nieprzywiedlny (casus irreducibilis) czyli przypade rozwiązania równania stopnia 3 mającego trzy pierwiasti rzeczywiste (a więc np. gdybyśmy chcieli rozwiązać stosując wzory Cardano równanie x 3 x = 0, x = 1, 0, 1) wymaga rozwiązania równania wadratowego o ujemnym wyróżniu. Aby temu zaradzić wprowadzono liczby zespolone przez dołączenie tzw. jednosti urojonej (i 2 = 1, potocznie pierwiaste wadratowy z 1), pierwszy systematyczny wyłąd liczb zespolonych podał Raphaelo Bombelli w tratacie L Algebra ( ), a więc w czasie gdy liczby ujemne nie były jeszcze powszechnie aceptowane przez matematyów. Definicja I.8. Zbiór liczb zespolonych C to zbiór par liczb rzeczywistych R 2 z następującymi działaniami + : ((a, b), (c, d)) (a + c, b + d) : ((a, b), (c, d)) (ab cd, ad + bc) Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
6 Rozdział I. Podstawowe strutury algebraiczne 5 Propozycja I.6. Zbiór liczb zespolonych z wyżej oreślonymi działaniami jest ciałem. Dowód. Ćwiczenia. Propozycja I.7. Odwzorowanie j : R a (a, 0) C jest iniecją taą, że j(a + b) = j(a) + j(b) oraz j(ab) = j(a)j(b). Korzystając z powyższej iniecji będziemy utożsamiać zbiór liczb rzeczywistych z podzbiorem zbioru liczb zespolonych (zamiast (a, 0) będziemy pisać a). Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostą urojoną (łac. imaginarius) i oznaczamy i, spełnia ona warune i 2 = 1. Propozycja I.8. Dla dowolnej liczby zespolonej (a, b) C mamy (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. Definicja I.9. Częścią rzeczywistą (łac. pars realis) liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą Re z := a. Częścią urojoną (łac. pars imaginaria) liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą Im z := b. Definicja I.10. Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę z := (a, b). Modułem liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą z = a 2 + b 2 Propozycja I.9. (1) z z = a 2 + b 2 = z 2, dla z = a + bi C, (2) z 1 + z 2 = z 1 + z 2, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) z 1 z 2 = z 1 z 2, (5) z 1 + z 2 z 1 + z 2, (6) z 1 z 2 z 1 z 2, (7) 1 z = 1 z 2 z. Dowód. Ćwiczenia. Jeśli z C\{0}, to a+bi := z z spełnia warune a2 +b 2 = 1, a zatem istnieje φ R t.że a = cos φ, b = sin φ. Mamy więc z = z (cos φ + i sin φ). Liczba φ jest wyznaczona z doładnością do wielorotności 2π. Definicja I.11. Dowolną liczbę rzeczywistą φ taą, że z = z (cos φ + i sin φ) nazywamy argumentem z. Zbiór argumentów liczby z oznaczamy przez arg(z). Argumentem głównym liczby z C \ {0} nazywamy jedyną liczbę rzeczywistą Arg(z) [0, 2π) arg(z). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
7 6 2. Liczby zespolone Propozycja I.10 (Wzór de Moivre a). Dla dowolnych liczb zespolonych w, z C zachodzi arg(wz) = arg(w) arg(z). Jeżeli z = z (cos φ + i sin φ), w = w (cos ψ + i sin ψ) to zw = z w (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)). Wniose I.11. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos φ + i sin φ) oraz dowolnej liczby całowitej n Z mamy z n = z n (cos nφ + i sin nφ). Wniose I.12. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos φ + i sin φ) 0 i dowolnej liczby całowitej n 1 istnieje doładnie n różnych rozwiązań równania w n = z danych wzorem w = n ( z cos φ + 2π + i sin φ + 2π ). n n Twierdzenie I.13 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Wielomian f C[X] dodatniego stopnia posiada pierwiaste zespolony. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
8 Definicja II.1. Uładem równań liniowych nad pierścieniem przemiennym R nazywamy dowolny uład postaci (1) ROZDZIAŁ II Ułady równań liniowych, macierze 1. Ułady równań gdzie a ij, b i R, i = 1,..., m, j = 1,..., n. a 1,1 X 1 + a 1,2 X 2 + +a 1n X n =b 1 a 2,1 X 1 + a 2,2 X 2 + +a 2n X n =b a m,1 X 1 +a m,2 X 2 + +a mn X n =b m Element (w 1,..., w n ) R n nazywamy rozwiązaniem uładu (1) jeśli po wstawieniu w i w miejsce zmiennej X i otrzymamy prawdziwe równości (w R), tzn. jeśli a 1,1 w 1 + a 1,2 w 2 + +a 1n w n =b 1 a 2,1 w 1 + a 2,2 w 2 + +a 2n w n =b 2 (2) a m,1 w 1 +a m,2 w 2 + +a mn w n =b m Uład (1) nazywamy jednorodnym gdy b = (b 1,..., b m ) = 0, to znaczy gdy jest postaci a 1,1 X 1 + a 1,2 X 2 + +a 1n X n =0 a 2,1 X 1 + a 2,2 X 2 + +a 2n X n = a m,1 X 1 +a m,2 X 2 + +a mn X n =0 oraz niejednorodnym w przeciwnym przypadu. Elementy a ij nazywamy współczynniami, a uład (b 1,..., b m ) prawą stroną równania. Liczby n i m nazywamy odpowiednio liczbą niewiadomych i równań uładu. Propozycja II.1. (1) Jeśli (w 1,..., w m), (w 1,..., w m) są rozwiązaniami uładu jednorodnego, to (w 1 + w 1,..., w m + w m), również jest jego rozwiązaniem, (2) Jeśli (w 1,..., w m ) jest rozwiązaniem uładu jednorodnego, r R jest elementem pierścienia współczynniów, to (rw 1,..., rw m ) również jest jego rozwiązaniem. Dowód. Jeśli (w 1,..., w m), (w 1,..., w m) są rozwiązaniami uładu jednorodnego (II.1) to a ij w j = 0 oraz a ij w j = 0, dla i = 1,..., m. 7
9 8 2. Macierze Dodając powyższe dwie równości stronami i orzystając z rodzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy a ij (w j + w j ) = (a ij w j + a ij w j ) = a ij w j + a ij w j = 0, dla i = 1,..., m. Podobnie jeśli (w 1,..., w m ) jest rozwiązaniem uładu (II.1), to a ij w j = 0 dla i = 1,..., m. Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz łączności i przemienności mnożenia otrzymujemy dla dowolnego elementu r R r a ij w j = r(a ij w j ) = (ra ij )w j = (a ij r)w j = a ij (rw j ) = 0 dla i = 1,..., m. Definicja II.2. Uładem liniowym jednorodnym sojarzonym z uładem (1) nazywamy uład jednorodny o tych samych współczynniach a ij ale prawej stronie równej 0, to znaczy postaci (II.1). Propozycja II.2. Niech v = v 1,..., v m R n będzie rozwiązanie uładu niejednorodnego (1). Wtedy w R n jest rozwiązaniem uładu (1) wtedy i tylo wtedy gdy w v := (w 1 v 1,..., w n v n ) jest rozwiązaniem stowarzyszonego uładu jednorodnego. Dowód. Jeśli v jest rozwiązaniem uładu niejednorodnego (1), to a ij v j = b i dla więc dla dowolnego w = (w 1,..., w n ) M n mamy a ij w j = a ij (w j v j ) + i = 1,..., m a ij v j = a ij (w j v j ) + b. Uwaga. Uwaga, łatwo zauważyć, że elementów b 1,..., b m, w 1,..., w n nie musimy mnożyć między sobą. A zatem równanie o współczynniach w pierścieniu R możemy rozwiązywać w zbiorze M, tórego elemeny możemy dodawać do siebie i mnożyć przez elementy pierścienia, czyli tzw. module nad pierścieniem R. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
10 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 9 2. Macierze Definicja II.3. Macierzą nad zbiorem X wymiaru m n nazywamy dowolną funcję {1,..., m} {1,..., n} X. Macierz wymiaru m 1 nazywamy wetorem, natomiast macierz wymiaru 1 n nazywamy owetorem. Zwyle macierz zapisujemy jao tablicę a 11 a a 1n a 21 a a 2n (3) A = a m1 a m2... a mn Tai zapis uzasadnia następującą definicję Definicja II.4. j tą olumną macierzy (3) nazywamy wetor A j := owetor A i := (a i,1, a i,2,..., a i,n ). Wyraz (i, j) macierzy A oznaczamy symbolem A j i. a 1,j a 2,j... a m,j natomiast i tym wierszem Od tej pory będziemy rozpatrywać wyłącznie macierze nad pierścieniem przemiennym R, zbiór macierzy m n nad pierścieniem R oznaczamy symbolem R m n lub Mat m n (R). Definicja II.5. Jeżeli A = (a ij )...n i=1...m, B = (b ij)...n i=1...m Mat m n(r) są macierzami m n o wspólczynniach w pierścieniu R, to sumą macierzy A i B nazywamy macierz A + B = (a ij + b ij )...n i=1...m. Jeżeli A = (a ij )...m i=1...l Mat l m (R), B = (b j ) =1...n...m Mat m n(r) są macierzami o wspólczynniach w pierścieniu R, to iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz AB = (c ij )...n i=1... Mat l n, gdzie c i = m a il b l. l=1 Jeżeli A = (a ij )...n i=1...m Mat m n(r) natomiast r R jest elemenetem pierścienia, to iloczynem macierzy A przez salar r nazywamy macierz ra = (ra ij )...n i=1...m b i a i1 a i2... a im b = b m i... c i..... Propozycja II.3. Jeżeli A Mat l (R), B Mat l m (R), C Mat m n (R) to (AB)C = A(BC). Jeżeli A Mat m (R), B Mat m (R), C Mat m n (R) to (A + B)C = AC + BC. Jeżeli A Mat m (R), B Mat m n (R), C Mat m n (R) to A(B + C) = AB + AC. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
11 10 2. Macierze Niech N(i) := max{j : a i, = 0 dla = 1,..., j 1} będzie liczbą o jeden więszą od liczby początowych zer w wierszu A i. To znaczy w szczególności N(i) = 1 wtedy i tylo wtedy gdy wiersz A i nie zawiera zer oraz N(i) = n + 1 wtedy i tylo wtedy gdy wiersz A i słada się z samych zer. Jeżeli A i 0 to a i,n(i) jest pierwszym niezerowym wyrazem wiersza A i zwanym wyrazem wiodącym. Definicja II.6. Mówimy, że macierz A jest zreduowana (ma postać schodową) jeżeli dla i < m zachodzi N(i) n N(i) < N(i + 1) oraz N(i) = n + 1 N(i + 1) = n + 1. Macierz jest zreduowana jeśli pod początowymi zerami oraz wyrazem wiodącym wiersza niezerowego znajdują się wyłącznie zera, natomiast pod wierszem zerowym znajdują się wyłącznie wiersze zerowe a 1,N(1) a 2,N(2) a 3,N(3)... Propozycja II.4. Dowolną macierz nad pierścieniem całowitym możemy sprowadzić do postaci zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby następujących operacji elementarnych (1) dodanie do pewnego wiersza macierzy innego wiersza pomnożonego przez element pierścienia, (2) zamiana miejscami dwóch wierszy macierzy, (3) pomnożenie wiersza macierzy przez niezerowy element pierścienia Dowolną macierz nad ciałem możemy sprowadzić do postaci zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby operacji (1) (2). Dowód. Inducja na liczbę wierszy macierz m. Jeśli m = 1 lub A jest macierzą zerową, to macierz ma postać zreduowaną. Załóżmy, więc, że m 2 oraz, że A 0. Niech A j0 będzie pierwszą niezerową olumną A. Istnieje więc i 0 = 1,..., m taie, że a i0,j 0 0. Jeśli a 1jo = 0, to zamieniamy wiersz pierwszy z wierszem i 0. Możemy więc przyjąć, że a 1j0 0 jest wyrazem wiodącym wiersza pierwszego, w szczególności N(1) = j 0. Niech 2 i m, mnożymy wiersz i ty przez tai niezerowy element d i R, że f i a 1,j0 = d i a i,j0 dla pewnego f i, dla dowolnego pierścienia R możemy wziąć d i = a 1,j0, f i = a i,j0, natomiast gdy R jest ciałem: d i = 1, f i = a i,j0 (a 1,j0 ) 1. Następnie od wiersza i odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez f i. Otrzymujemy macierz w tórej a i,j0 = 0 dla j = 2,..., m. Stosując do macierzy powstałej przez pominięcie pierwszego wiersza operacje (1) (3), otrzymujemy macierz w postaci zreduowanej. Ale wtedy cała macierz również ma postać zreduowaną. Operacja (3) jest wyonywana wyłącznie gdy d i 1, przypadu gdy R jest ciałem możemy jej więc uninąć. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
12 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 11 Uwaga. (1) W opisanej wyżej procedurze od danego wiersza odejmujemy wyłącznie wiersze o numerze wyższym. (2) Jeśli olejno wyonamy następujące operacje: do wiersza p dodamy wiersz q, następnie od wiersza q odejmiemy wiersz p następnie do wiersza p dodamy wiersz q, to łącznie wiersz p zastąpimy wierszem q, a wiersz q wierszem przeciwnym do wiersza p. Zatem w opisanym dowodzie operację (2) możemy zastąpić trzema operacjami (1), ale wtedy pierwszy punt uwagi przestanie być prawdziwy. (3) Jeśli R = Z lub R = K[X], gdzie K jest ciałem, to dowolną macierz nad R można sprowadzić do postaci zreduowanej przy pomocy operacji (1) (2) (orzystamy przy tym z algorytmu Eulidesa). Definicja II.7. Macierz nazywamy całowicie zreduowaną, jeśli dla dowolnego niezerowego wiersza, jego wyraz wiodący jest jedynym niezerowym wyrazem swojej olumny. To znaczy, jeśli N(i) n to a,n(i) = 0 dla = 1,..., m, i. Propozycja II.5. Dowolną macierz nad pierścieniem całowitym możemy sprowadzić do postaci całowicie zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby operacji elementarnych (1) (3). Dowolną macierz nad ciałem możemy sprowadzić do postaci całowicie zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby operacji (1) (2). Dowód. Wystarczy dowieść dla macierzy zreduowanej. Załóżmy, że i 0 jest pierwszym wierszem taim, że jego wyraz wiodący nie jest jedynym elementem niezerowym w swojej olumnie. Ponieważ macierz jest zreduowana, więc wszystie wyrazy niezerowe leąą powyżej wyrazu wiodącego. Dla dowolnego < i 0 istnieją elementy d, f R, d 0 taie, że d a,n(i0) = f a i0,n(i 0) (jeśli element a i0,n(i 0) posiada odwrotny w R, np. R jest ciałem, to można przyjąć d = 1). Przemnażamy wiersz ty powyżej wiersza i 0 przez d. Następnie odejmując od wiersza tego wiersz i 0 pomnożony przez f uzysamy macierz, w tórej wyraz wiodący wierszy o numerach 1,..., i 0 jest jedynym niezerowym wyrazem w swojej olumnie. Powtarzając postępowanie dla olejnych wierszy, dowodzimy propozycji. Definicja II.8. Postacią zreduowaną (całowicie zreduowaną) macierzy nazywamy dowolną macierz zreduowaną otrzymaną z danej macierzy przez sończoną liczbę operacji (1) (3). Propozycja II.6. Dowolne dwie macierze zreduowane otrzymane z danej macierzy nad pierścieniem całowitym przez sończoną liczbę operacji (1) (3) mają taą samą liczbę wierszy niezerowych. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
13 12 3. Eliminacja Gaussa Dowód. Dowód przeprowadzimy nad ciałem, można poazać (i będzie to na wyładzie z algebry), że podobnie ja pierścień liczb całowitych zawiera się w ciele funcji wymiernych ta samo dowolny pierścień całowity zawiera się w w swoim ciele ułamów, a zatem propozycja jest prawdziwa dla dowolnego pierścienia całowitego. Zauważmy, że ażda z operacji (1) (3) jest odwracalna, przy czym odwrotna do niej operacja jest tego samego typu. Niech A będzie dowolną macierzą, A 1 i A 2 jej postaciami zreduowanymi, za pomocą sończonej liczby operacji elementarnych z macierzy A i możemy otrzymać macierz całowicie zreduowaną B i o tej samej liczbie wierszy niezerowych. A zatem wystarczy wyazać, że B 1 i B 2 mają tyle samo wierszy niezerowych. Na mocy wcześniejszej uwagi macierz B 2 można uzysać z macierzy B 1 przy pomocy sończonej liczby operacji elementarnych. Poażemy, że dowolny wiersz macierzy otrzymanej z B 1 przy pomocy sończonej liczby operacji elementarnych jest postaci a 1 w a w, gdzie w i są wierszami macierzy B 1. Rozumując przy pomocy inducji ze względu na liczbę operacji wystarczy zauważyć, że jeśli wiersze pewnej macierzy spełniają powyższy warune, to wiersze macierzy powstałej z niej przez operację elementarną również. Rozpatrujemy oljno wszystie trzy typy operacji elementarnych i widzimy, że za ażdym razem jest to oczywiste. Niech w 1,..., w będą olejnymi niezerowymi wierszami macierzy B 1, wtedy wyraz wiodący wiersza postaci a 1 w a w znajduje się w tej samej olumnie co wyraz wiodący wiersza 0 := min{i = 1,..., : a i 0} (i jest równy wyrazowi wiodącemu wiersza 0 pomnożonemu przez a 0 ). Zatem wyrazy wiodące wierszy macierzy B 2 znajdują się w tych samych olumnach co wyrazy wiodące macierzy B 1, czyli liczba wierszy niezerowych macierzy B 2 jest niewięsza od liczby wierszy niezerowych macierzy B 1. Przez symetrię otrzymujemy nierówność przeciwną. Uwaga. Nieiedy w definicji postaci zreduowanej (całowicie zreduowanej) żądamy dodatowo aby wyrazy wiodące wszystich wierszy macierzy były równe jeden. Przy taiej definicji dana macierz ma doładnie jedną postać całowicie zreduowaną (ćw.). Definicja II.9. Rzędem macierzy A nad pierścieniem całowitym nazywamy liczbę ran(a) wierszy niezerowych dowolnej postaci zreduowanej macierzy A. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
14 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze Eliminacja Gaussa Definicja II.10. Macierzą główną uładu równań liniowych a 1,1 X 1 + a 1,2 X 2 + +a 1n X n =b 1 a 2,1 X 1 + a 2,2 X 2 + +a 2n X n =b a m,1 X 1 +a m,2 X 2 + +a mn X n =b m nazywamy macierz a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn natomiast macierzą uzupełnioną a 11 a a 1n b 1 A u a 21 a a 2n b 2 := (A b) = a m1 a m2... a mn b m Definicja II.11. Dwa ułady równań liniowych nazywamy równoważnymi gdy mają te same zbiory rozwiązań. Lemat II.7. Jeżeli w uładzie równań liniowych wyonamy jedną z operacji (1) dodanie do jednego z równań innego równania przemnożonego przez stałą, (2) zamiana miejscami dwóch równań, (3) pomnożenie jednego z równań przez niezerowy element pierścienia, (4) usunięcie równania zerowego, to otrzymamy równoważny uład równań. Operacje (1), (2), (3) odpowiadają operacjom (1), (2) i (3) na macierzy uzupełnionej. Dla uładu równań (1) oreślamy ciąg liczb naturalnych N(i) := min{ : a i 0}, jeśli a i = 0 dla = 1,..., n to przyjmujemy N(i) = n + 1. Definicja II.12. Mówimy, że uład równań nie zawierający równania zerowego (1) ma postać zreduowaną jeśli ciąg N(i) jest ściśle rosnący. Zmienną X N(i) nazywamy zmienną wiodącą, a współczynni a i,n(i) nazywamy współczynniiem wiodącym i tego równania. Uład jest zreduowany jeśli jego macierz uzupełniona jest zreduowana, czyli jeśli olejne równania mają coraz więcej zer na początu. Uład zreduowany wygląda następująco a 1,N(1) X N(1) +... a 1,N(2) X N(2) +... a 1,N(3) X N(3) +... = b 1 a 2,N(2) X N(2) +... a 2,N(3) X N(3) +... = b 2 a 3,N(3) X N(3) +... = b 3.. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
15 14 4. Wyznaczni Definicja II.13. Uład w postaci zreduowanej ma postać całowicie zreduowaną, jeśli ponadto a,n(i) 0 dla i. Uład całowicie zreduowany wygląda następująco a 1,N(1) X N(1) = b 1 a 2,N(2) X N(2) +... a 2,N(3) X N(3) +... = b 2 a 3,N(3) X N(3) +... = b 3.. Propozycja II.8 (Eliminacja Gaussa). Dowolny uład równań liniowych nad pierścieniem całowitym można przy pomocy operacji (1) (3) przeształcić w uład całowicie zreduowany. Dowolny uład równań liniowych nad ciałem można przy pomocy operacji (1) (2) przeształcić w uład silnie zreduowany. Propozycja II.9. Jeśli uład równań (1) nad ciałem F nie zawiera równania sprzecznego ani zerowego i jest w postaci zreduowanej, to dowolne rozwiązanie w F n uładu jest postaci 1 w N(m) = b m a m, w w N(m 1) = b m 1 w N(m 2) = b m 2 w N(1) = b(1) a m,n(m) 1 a m 1,N(m 1) 1 a m 2,N(m 2) 1 a m 2,N(m 2) =N(m)+1 N(m 1)+1 n N(m) N(m 2)+1 n N(m 1),N(m) N(1)+1 n N(1),N(2),...,N(m) a m, w a m, w gdzie w i, i {1, 2..., n} \ {N(1), N(2),..., N(m)} są dowolnymi parametrami. Wniose II.10 (Twierdzenie Kronecera Capellego). Uład równań liniowych nad ciałem ma rozwiązanie wtedy i tylo wtedy gdy ran(a) = ran(a u ). Jeśli uład równań liniowych ma rozwiązanie, to rozwiązania tego uładu wyrażają się przy pomocy n ran(a) parametrów. Historia: Metoda ta pojawiła się po raz pierwszy w rozdziale VIII Macierze wadratowe siążi Jiuzhang suanshu (Dziewięć rozdziałów sztui matematyi). W Europie metoda ta została opisana w 1670 przez Newtona (opubliowana w 1707 rou). Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
16 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze Wyznaczni ( Niech Σ n oznacza ) grupę permutacji zbioru n elementowego, permutację σ Σ n zapisujemy w postaci n, gdzie a a 1 a 2... a i = σ(i). n Zbiór permutacji ze sładaniem jao mnożeniem (στ)(i) = σ(τ(i)), στ Σ n, i {1... n}, jest grupą. Definicja II.14. Permutację nazywamy transpozycją jeśli zamienia miejscami dwa elementy i, j (i j) oraz pozostawia niezmienione pozostałe (oznaczamy ją jao (i, j)), to znaczy jest to permutacja τ taa, że τ(i) = j, τ(j) = ( i, τ() = dla ) {1... n} \ {i, j} n Jeśli σ = jest dowolną permutacją, τ = (i, j), i < j jest transpozycją, to στ = ( a 1 a 2... a n ) i... j... n a 1 a 2... a j... a i... a n Lemat II.11. Każdą permutację σ Σ n można przedstawić jao złożenie transpozycji. Kazdą transpozycję możemy przedstawić jao złożenie nieparzystej liczby transpozycji wyrazów olejnych. Dowód. Dowód przez inducję ze względu na n. Dla n = 1 lemat jest spełniony trywialnie (ażda permutacja jest iloczynem zero transpozycji, w grupie Σ 1 nie ma trnspozycji). Niech σ Σ n, n 2, będzie dowolna permutacją. Jeżeli σ(n) = n, to zacieśnienie (w dziedzinie i obrazie) permutacji σ do zbioru {1,..., n 1} zadaje permutacje σ Σ n 1. Na mocy założenia inducyjnego istnieją transpozycje τ 1,..., τ Σ n 1 taie, że σ = τ 1 τ. Oczywiście ażda transpozycja τ l dwóch elementów zbioru {1,..., n 1} zadaje transpozycję τ l (tych samych) elementów zbioru {1,..., n} oraz σ = τ 1 τ. Jeśli σ(n) n, to istnieje < n taie, że σ() = n. Oznaczmy przez τ := (, n) transpozycję elementóœ i n. Wtedy σ 1 := στ Σ n jest permutacją taą, że σ 1 (n) = σ(τ(n)) = σ() = n, na mocy pierwszej części dowodu istnieje transpozycje τ 1,..., τ Σ n taie, że στ = σ 1 = τ 1 τ, a stąd τ 1 τ τ = σττ = σ, co ończy dowód pierwszej części lematu. Niech (i, j) Σ n będzie transpozycją, i < j. Ponieważ przez inducję ze względu na j i, że (i, j) = (i, i + 1)(i + 1, i + 2)... (j 2, j 1)(j 1, j)(j 2, j 1)... (i + 1, i + ( 2)(i, i + 1). Dla j = i + 1 teza jest trywialna, jeśli j > i + 1 to orzystając z założenia inducyjnego (i, i + 1) (i + 1, i + 2)... (j 2, j 1)(j ) 1, j)(j 2, j 1)... (i + 1, i + 2) (i, i + 1) = (i, i + 1)(i + 1, j)(i, i + 1) = (i, j). Definicja II.15. Nieporządiem ( w ciągu ) (a 1,..., a n ) nazywamy dowolną parę 1 i < j n taą, że n a i > a j. Permutację σ = nazywamy parzystą (odp. nieparzystą) jeśli nieporządów a 1 a 2... a n w { ciągu (a 1,..., a n ) jest parzysta (odp. nieparzysta). Zna permutacji σ Σ n definiujemy jao sgn(σ) = 1, gdy σ jest parzysta 1, gdy σ jest nieparzysta. Lemat II.12. Jeśli σ jest dowolną permutacją natomiast τ transpozycją, to sgn(στ) = sgn(σ). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
17 16 4. Wyznaczni Dowód. Jeśli τ = (i, i + 1) jest transpozycją wyrazów sąsiednich, to ciąg wartości permutacji στ powstaje przez zamianę olejnych wyrazów a i i a i+1, więc liczba nieporządów wzrasta lub maleje o 1, zatem sgn(στ) = sgn(σ). Jeśli τ jest dowolną transpozycją, to τ = τ 1... τ 2+1 jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji wyrazów sąsiednich. Zatem sgn(στ) = ( 1) 2+1 sgn(σ) = sgn(σ). Wniose II.13. Permutacja jest parzysta (odp. nieparzysta) jeśli ażdy jej rozład na iloczyn transpozycji ma parzystą (odp. nieparzystą) liczbę czynniów. Dla dowolnych permutacji σ 1, σ 2 Σ n mamy sgn(σ 1 σ 2 ) = sgn(σ 1 ) sgn(σ 2 ). Definicja II.16. Wyznaczniiem stopnia n nazywamy następujący wielomian n 2 zmiennych o współczynniach całowitych det n (X ij ) i,...,n = det(x ij ) i,...,n := σ Σ n sgn(σ) n X iσ(i) Z[X 11,..., X 1,n, X 2,1..., X n,n ]. Przyład II.14. Mamy grupy permutacji (permutacje parzyste sa podreślone) det 1 = X 1,1 det 2 = X 1,1 X 2,2 X 1,2 X 2,1 Σ 1 = (1) Σ 2 = {(1), (12)} i=1 Σ 3 = {(1), (123), (132), (12), (13), (23)} det 3 = X 1,1 X 2,2 X 3,3 + X 1,2 X 2,3 X 3,1 + X 1,3 X 2,1 X 3,2 X 1,2 X 2,1 X 3,3 X 1,3 X 2,2 X 3,1 X 1,1 X 2,3 X 3,2 Metoda Sarrusa: X 11 X 12 X 13 X 21 X 22 X 23 X 31 X 32 X 33 X 11 X 12 X 13 X 21 X 23 Wygodnie jest zapisywać zmienne X ij jao macierz X = (X ij ) i,,...,n, oznaczamy również X j = ( ) Xi,1... x i,n. Będziemy więc używać następujących zapisów więc również X 1 X 2 X =. = (X1, X 2,..., X n ) X n X 1 X 2 det(x) = det. = det(x1, X 2,..., X n ). X n X 1,j... X n,j, X i = Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
18 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 17 X 1 X 2 Ze względu na oszczędność miejsca zamiast det. będziemy pisać det(x 1,..., X n ), pozwoli nam to X n tratować wyznaczni jao funcję olumn oraz funcję wierszy (n argumentową). Dla dowolnych I, J {1,..., n} niech X I,J := (X i,j ) i I,j J. Jeśli I = {i 1, i 2,..., i }, J = {j 1, j 2,..., j l } gdzie 1 i 1 < i 2 < < i n, 1 j 1 < j 2 < < j l n to I :=, J := l oraz X i1,j 1 X i1,j 2... X i1,j l X I,J = X i,j 1 X i,j 2... X i,j l Oznaczmy przez X i,j macierz (n 1) (n 1) powstałą przez sreślenie w macierzy X i tego wiersza i j ej olumny. Propozycja II.15 (Rozwinięcie Laplace a). Dla dowolnego i 0 = 1,..., n Dla dowolnego j 0 = 1,..., n det n (X) = det n (X) = ( 1) i0+j X i0,j det n 1 (X i0,j ). ( 1) i+j0 X i,j0 det n 1 (X i,j0 ). i=1 Dowód. Niech σ Σ n będzie dowolną permutacją i niech j 0 := σ(i 0 ). Wtedy zacieśnienie (w dziedzinie ( i obrazie) σ {1,..., n}\{i 0 } : {1,..., n}\{i 0 } ) {1,..., n}\{j ( 0 } zadaje permutację σ Σ n 1. Jeżeli σ = 1... i0 1 i 0 i n 1... to σ σ(1)... σ(i 0 1) j 0 σ(i 0 + 1)... σ(n) i0 1 i = n { σ(1)... σ(i 0 1) σ(i 0 )... σ(n 1) σ(i), gdy σ(i) < j 0 gdzie σ(i) =. Zatem liczba nieporządów w σ jest równa liczbie nieporządów σ(i) 1, gdy σ(i) > j 0 w σ plus liczba elementów więszych od j 0 na pierwszych i 0 1 pozycjach plus liczba elementów mniejszych od j 0 na ostatnich n i 0 pozycjach. Jeśli na pierwszych i 0 1 pozycjach jest elementów więszych od j 0 to jest i 0 1 elementów mniejszych od j 0, a zatem na ostatnich n i 0 pozycjach jest j 0 1 (i 0 1) = j 0 i 0 + elementów więszych od j 0. Stąd sgn(σ) = sgn(σ )( 1) (j0 i0+2) = sgn(σ) = sgn(σ )( 1) (i0+j0). Ponieważ wybierając wszystie j 0 {1,..., n} oraz wszystie σ Σ n 1 otrzymamy wszystie σ Σ n otrzymujemy dowód. Wniose II.16. Dla dowolnego = 1,..., n 1 i dowolnego I {1,..., n}, I = mamy det n (X) = J {1,...,n} J = Dowód. Inducja ze względu na, ćwiczenie. ( 1) i1+ +i +j 1+ +j det(x I,J ) det(x Ic,J c) ), Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
19 18 4. Wyznaczni Wniose II.17. Jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Y = (Y 1,..., Y n ) są zmiennymi, = 1,..., n to X 1 X n X X 1 X 1 det X + Y = det(x) + det Y. X +1 X Podobnie jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Y =... są zmiennymi, = 1,..., n to Y 1 Y n X n det(x 1,..., X + Y,..., X }{{} n ) = det(x). Wniose II.18. Jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Z są zmiennymi, = 1,..., n to det(x 1,..., Z X }{{ },..., X n) = Z det(x). det(x 1,..., } Z {{ X },..., Xn ) = Z det(x). Propozycja II.19. Dla dowolnej permutacji τ Σ n mamy det(x τ(i),j ) = det(x i,τ(j) ) = sgn(τ) det(x). Dowód. Mamy det(x τ(i),j ) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X τ(i)σ(i) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X iστ 1 (i) = σ Σ n sgn(στ) n i=1 X iσ(i) = sgn(τ) σ Σ n sgn(σ) n i=1 X iσ(i) = sgn(τ) det(x). Drugą równość dowodzi się podobnie. Propozycja II.20. Dla dowolnych 1, l n, l mamy det(x 1,..., }{{} X,..., }{{} X,..., X n ) = 0 det(x 1,..., X }{{},..., X }{{},..., X n ) = 0. Dowód. Stosując do powyższych macierzy propozycję z τ = (, l) otrzymujemy det(...) = det(...). Wniose II.21. Jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Z są zmiennymi, to dla dowolnego, l = 1,..., n, l mamy det(x 1,..., X n ) = det(x 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) det(x 1,..., X n ) = det(x 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) Dowód. Stosując powyższe propozycje mamy det(x 1,..., X + ZX l, X +1,..., X n ) = det(x 1,..., X,..., X n )+det(x 1,..., ZX l,..., X n ) = det(x)+z det(x 1,..., X l,..., X n ) = det(x)+0 = det(x). Drugiej równości dowodzimy identycznie. l l Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
20 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 19 Oznaczamy 1 n macierz (n n) = Wtedy 1 = diag(1,..., 1), gdzie diag(a }{{} 1,..., a n ) oznacza macierz, tóra na głównej przeątnej ma wyrazy n razy a 1,..., a n, a poza nią same zera. Propozycja II.22. Jeśli (X 1,..., X n ) są zmiennymi, to det n (diag(x 1,..., X n )) = X 1 X n. Dowód. Dowód inducyjny ze względu na n. Dla n = 1, równość jest oczywista. Korzystając z rozwinięcia Laplace a (względem ostatniej olumny) det n+1 (diag(x 1,..., X n+1 )) = det n (diag(x 1,..., X n ))X n+1 = X 1... X n X n+1. Twierdzenie II.23. Wyznaczni det n (X) jest jedynym wielomianem W Z[X] spełniającym waruni (1) W (X σ(1),..., X σ(n) ) = sgn(σ)w (X) dla dowolnej permutacji σ Σ n, (2) W (X 1,..., ZX }{{,..., X } n ) = ZW (X), dla dowolnego 1 n, (3) W (X 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) = W (X), dla dowolnego 1, l n, l, (4) W (1) = 1. Dowód. Wyznaczni det n spełnia waruni (1) (4). Przypuśćmy, że wielomian W spełnia waruni (1) (4) Korzystając z operacji elementarnych możemy doprowadzić macierz X do postaci ściśle zreduowanej A = (a ij ) 1 i,j n. Ponieważ w tracie reducji musieliśmy mnożyć wiersze macierzy przez wielomiany niezerowe, to istnieje niezerowy wielomian Q Z[(X ij ) 1 i,j n ] tai, że Q det n (X) = det n (A) oraz Q W (X) = W (a ij ). Gdyby macierz A zawierała wiersz zerowy, to na mocy (2) otrzymalibyśmy, że det(x) = 0 co jest sprzeczne z (4). Ponieważ macierz A jest wadratowa, ściśle zreduowana i nie zawiera wiersza zerowego, więc jest macierzą przeątniową A = diag(p 1,..., P n ). Na mocy (4) mamy więc Q det(x) = det(p 1,..., P n ) = P 1... P n oraz QW (X) = W (P 1,..., P n ) = P 1... P n, a ponieważ Q jest wielomianem niezerowym, więc W = det n. Wniose II.24. Jeśli wielomian W R[(X ij ) 1 i,j n ], gdzie R jest pierścieniem całowitym, spełnia waruni (1) (3) powyższego twierdzenia, to W (X) = det(x)w (1). Wtedy Propozycja II.25 (Twierdzenie Cauchy ego). Niech X = (X ij ) 1 i,j n, Y = (Y ij ) 1 i,j n będą zmiennymi. det n (XY ) = det n (X) det n (Y ). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
21 20 4. Wyznaczni Dowód. Rozważmy wielomian W (X) := det(xy ) jao wielomian zmiennych X. Ponieważ operacje elementarne na wierszach macierzy X odpowiadają tym samym operacjom elementarnym na wierszach macierzy XY więc W spełnia waruni (1) (3) powyższego twierdzenia. A zatem W (X) = det(x)w (1) = det(x) det(y ). Definicja II.17. Macierzą transponowaną macierzy A = (a ij ) 1 i m wymiaru m n nazywamy macierz 1 j n A T = (a ji ) 1 i n wymiaru n m. 1 j m Jeśli to Macierz transponowana powstaje przez zamianę wierszy na olumny i na odwrót, a zatem (A T ) T = A. Propozycja II.26. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 = a 1n a 2n... a mn det n (X) = det n (X T ). Dowód. det n (X T ) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X σ(i),i = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X i,σ 1 (i) = σ Σ n sgn(σ 1 ) n i=1 X i,σ 1 (i) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X i,σ(i) = det n (X). Twierdzenie II.27. Wyznaczni det n (X) jest jedynym wielomianem W Z[X] spełniającym waruni (1) W (X σ(1),..., X σ(n) ) = sgn(σ)w (X) dla dowolnej permutacji σ Σ n, (2) W (X 1,..., } ZX {{ },..., X n ) = ZW (X), dla dowolnego 1 n, (3) W (X 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) = ZW (X), dla dowolnego 1, l n, l, (4) W (1) = 1. Dowód. Ponieważ det(x) = det(x T ) więc wyznaczni spełnia waruni (1) (4), na odwrót, jeśli W spełnia waruni (1) (4), to W 1 (X) := W (X T ) spełnia waruni (1) (4) poprzedniego twierdzenia, czyli W (X T ) = det(x). Stąd W (X) = det(x T ) = det(x). Definicja II.18. Niech X := (X i,j ) 1 i,j n będą zmiennymi. Macierz adj(x) = (( 1) i+j det(x j,i ) 1 i,j n nazywamy macierzą dołączoną. Propozycja II.28. X adj(x) = adj(x)x = det(x)1. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
22 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 21 Dowód. Niech C := X adj(x), C = (c i,j ) 1 i,j n. Mamy c i,j = n =1 ( 1)i+ X i, det(x j, ), jest to rozwinięcie Laplace a względem wiersza j tego wyznacznia macierzy X z wierszem j tym zastąpionym wierszem i tym. Dla i = j otrzymujemy wyznaczni macierzy X, natomiast dla i j, wyznaczni macierzy mającej dwa równe wiersze, czyli 0. Zatem c i,j = det(x)δ i,j. Dowód drugiej części jest analogiczny, ale orzysta z rozwinięcia Laplace a względem olumny. Historia: Wyznacznii użyto po raz pierwszy w rozdziale VIII Macierze wadratowe siążi Jiuzhang suanshu (Dziewięć rozdziałów sztui matematyi). W Europie wyznacznii stopnia 2 stosował Cardano, a wyższego Leibniz. Gauss użył słowa wyznaczni, natomiast Cauchy użył go na oznaczenie wyznacznia ja go dziś rozumiemy. 5. Wyznczani macierzy Definicja II.19. Wyznaczniiem macierzy wadratowej A = (a ij ) 1 i,j n nad pierścieniem przemiennym nazywamy liczbę det A = det n (a ij ) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 a iσ(i). Wyznaczni macierzy posiada wszystie własności wyazane w poprzedniej secji, w szczególności Lemat II.29 (Rozwinięcie Laplace a). Dla dowolnego i 0 = 1,..., n det(a) = ( 1) i0+j a i0,j det(a i0,j ). Dla dowolnego j 0 = 1,..., n det(a) = ( 1) i+j0 a i,j0 det(a i,j0 ). i=1 Twierdzenie II.30. Niech R będzie pierścieniem przemiennymy z jedyną. Wtedy wyznaczni det jest jedyną funcją F : R n2 R n2 taą, że (1) Dla dowolnych v 1,..., v n R n, σ Σ n zachodzi F (v σ(1),..., v σ(n) ) = sgn(σ)f (v 1,..., v n ), (2) Dla dowolnych v 1,..., v n R n, a R1 n zachodzi F (v 1,..., }{{} av,..., v n ) = af (v 1,..., v n ), (3) Dla dowolnych v 1,..., v n, w R n, 1 n zachodzi F (v 1,..., v + aw,..., v }{{} n = F (v 1,..., v n ), (4) F (1) = 1. Wniose II.31. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch wierszy (dwóch olumn) to det(b) = det(a). Jeśli macierz B powstaje przez pomnożenie jednego wiersza (jednej olumny) macierzy A przez a R to det(b) = a det(a). Jeśli macierz B powstaje z macierzy B przez dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez element pierścienia (dodanie do olumny innej olumny pomnożonej przez element pierścienia) to det(b) = det(a). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
23 22 5. Wyznczani macierzy Propozycja II.32. Niech R będzie pierścieniem przemiennym z jedyną. Dla dowolnych macierzy A, B Mat(m n, R), C Mat(n p, R) mamy (A + B)C = AC + BC. Dla dowolnych macierzy A Mat(m n, R), B, C Mat(n p, R) mamy A(B + C) = AB + AC. Dla dowolnych macierzy A Mat(m n, R), B Mat(n p, R) mamy (AB) T = B T A T. Dla dowolnej macierzy A Mat(m n, R) mamy A1 n = 1 m A = A. Dla dowolnej macierzy A Mat(m n, R) nad piersćieniem przemiennym to adj(a)a = Aadj(A) = diag(det(a),..., det(a) ). }{{} Jeśli R jest pierścieniem przemiennym z jedyną to adj(a) t A = Aadj(A) t = det(a)1 n. Zbiór Mat(n n, R) macierzy wadratowych wymiaru n nad pierścieniem przemiennym R jest R algebrą. Macierz A Mat(n n, R) jest odwracalna wtedy i tylo wtedy gdy det(a) jest elementem odwracalnym pierscienia. Wtedy A 1 = (det A) 1 adj(a). Dowód. Sprawdziwy wyłącznie ostatnią część, jeśli macierz A jest odwracalna to det(a) det(a 1 ) = det(a A 1 ) = det(1) = 1, a stąd det(a) jest elementem odwracalnym pierścienia. Jeśli det(a) jest elementem odwracalnym pierścienia, to det(a) 1 adj(a)a = det(a) 1 det(a)1 = 1. Podobnie sprawdzamy, że A det(a) 1 adj(a) = det(a) 1 A adj(a) = det(a) 1 det(a)1 = 1, czyli det(a) 1 adj(a) jest odwrotnością A. Uwaga. Element pierścienia a przemiennego z jedyną nazywamy odwracalnym jeśli istnieje element a 1 tai, że aa 1 = 1. Zbiór elementów odwracalnych U(R) pierścienia przemiennego z jedyną R jest grupą ze względu na mnożenie. Propozycja II.33. Dla dowolnej podgrupy G grupy U(R) zbiór {A Mat(n n, R) : det(a) G} jest grupą ze względu na mnożenie. W szczególności grupami są GL(n, R) = {A Mat(n n, R) : det(a) U(R)} SL(n, R) = {A Mat(n n, R) : det(a) = 1} n razy Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa
24 Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 23 Propozycja II.34. Dla dowolnego pierścienia przemiennego z jedyną i dowolnej macierzy J GL(n, R), zbiór {A Mat(n n, R) : AJA T = J} jest podgrupą GL(n, R). W szczególności dla J = 1 n otrzymujemy grupy O(n, R) := {A : AA T = 1} oraz SO(n, r) := SL(n, R) O(n, R) zwane ( grupą ortogonalną ) i specjalną grupą ortogonalną. 0 1n Dla J = otrzymujemy grupę macierzy sympletycznych. 1 n 0 Gdy R = R jest ciałem liczb rzeczywistych, to wyróżniamy jeszcze grupę GL + (n, R) = {A Mat(n n, R) : det(a) > 0} (grupa orientacji) oraz O + (n, R) = O(n, R) GL + (n, R). Gdy R = C jest ciałem liczb zespolonych, to wyróżniamy grupy U(n, C) := {A Mat(n n, C) : AĀT = 1} oraz SU(n, C) := U(n, C) SL(n, C). Definicja II.20. Macierz wadratową A = (a ij ) 1 i,j n nazywamy trójątną górną (odp. trójątną dolną) jeżeli a ij = 0 dla i > j (odp. i < j). Propozycja II.35. Macierz A jest trójątna górna wtedy i tylo wtedy gdy A t jest trójątna dolna. Iloczyn macierzy trójątnych górnych (odp. trójątnych dolnych) jest macierzą trójątną górną (odp. trójątnych dolną). Dowód. Pierwsza część jest oczywista. Jeśli A = (a ij ) 1 i,j n, B = (b ij ) 1 i,j n są macierzami trójątnymi górnymi, to dla dowolnych 1 j < i n mamy c ij = a ib j. Ale dla dowolnego zachodzi i > lub > j, czyli a i = 0 lub b j = 0. Część trzecia wynia natychmiast z części pierwszej i drugiej. Propozycja II.36. Jeśli A jest macierzą trójątną (dolną lub górną) to det(a) = a a nn jest iloczynem wyrazów na przeątnej. Dowód. Inducja ze względu na n. Jeśli A jest macierzą trójątną górną, to rozwijając względem pierwszej olumny otrzymujemy det(a) = a 11 det(a 11 ), ale A 11 jest macierzą trójątną górną, wieć z założenia inducyjnego det(a 11 ) = a a nn. Alternatywnie, jeśli macierz A jest trójątna górna, to i a i,σ(i) jest niezerowy wyłącznie dla permutacji dla tórych i σ(i), jedyną taą permutacją jest σ(i) = i. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoUwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:
Matematya dysretna - wyład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produtu artezjańsiego X Y, tórego elementami są pary uporządowane (x, y), taie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoSpis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki
Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna - zagadnienia
Matematya Dysretna - zagadnienia dr hab. Szymon Żebersi opracował: Miołaj Pietre Semestr letni 206/207 - strona internetowa Zasada inducji matematycznej. Zbiory sończone, podstawowe tożsamości 2. Zasada
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoDr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowo