2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
|
|
- Kamila Nawrocka
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana 8 21 Wprowadzenie teoretyczne 8 22 Zadania 9 3 Wyznacznik macierzy opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego Teoria Zadania 14 4 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowano na podstawie BG Elementy algebry liniowej t I ) Wprowadzenie teoretyczne Zadania 20 5 Macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wektory własne Wprowadzenie teoretyczne Macierz przekształcenia liniowego Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne Zadania 23 1
2 1 Podstawowe struktury algebraiczne 11 Grupa, pierścień, ciało Definicja 11 Działaniem wewnętrznym (w skrócie będziemy mówić działaniem) w zbiorze X nazywać będziemy każdą funkcję X X X Definicja 12 Niech F i A będą niepustymi zbiorami Dowolne odwzorowanie : działaniem zewnętrznym w zbiorze A ze zbiorem operatorów F F A A nazywamy Definicja 13 Grupą nazywamy zbiór G z działaniem : G G G, dla którego spełnione są następujące warunki: G1 Dla dowolnych a, b, c G : (a b) c = a (b c) (łączność) G2 Istnieje element e G (nazywany elementem neutralnym grupy) taki, że: dla każdego a G : e a = a e = a G3 Dla każdego a G istnieje element b G (nazywany elementem odwrotnym do a) taki, że: a b = b a = e Definicja 14 Grupą przemienną (lub abelową) nazywamy zbiór G z działaniem : G G G, spełniającym warunki G1 G3 z powyższej definicji oraz warunek: G4 dla dowolnych a, b G : a b = b a Fakt 11 Niech G będzie grupą 1 Element neutralny grupy G jest tylko jeden 2 Dla każdego elementu a G element odwrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamy go symbolem a 1 3 Dla każdego a G mamy: ( a 1 ) 1 = a 4 Dla dowolnych a, b G zachodzi równość: (ab) 1 = b 1 a 1 Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia ( ) będziemy oznaczać poprzez 1, natomiast dla dodawania (+) poprzez 0 Definicja 15 Niepusty podzbiór H grupy (G, ) nazywamy podgrupą grupy G, gdy (H, ) jest grupą Definicja 16 Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : R R R i z mnożeniem : R R R, dla których są spełnione następujące warunki: P1 (R, +) jest grupą abelową P2 Dla dowolnych a, b, c R : (a b) c = a (b c) (łączność mnożenia) P3 Dla dowolnych a, b, c R : (rozdzielność mnożenia względem dodawania) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c 2
3 Jeśli ponadto R {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e R taki, że: to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn: to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym dla każdego a R : a e = e a = a, dla każdego a, b R : a b = b a, Definicja 17 Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C1 (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką C2 Zbiór K = K \ {0} z mnożeniem jest grupą Definicja 18 Niech (A, + A ) oraz (B, + B ) będą grupami Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b A: f (a + A b) = f (a) + B f (b) Niech teraz (A, + A, A) oraz (B, + B, B) będą pierścieniami Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b A: Warto zauważyć, że w przypadku, gdy: f (a + A b) = f (a) + B f (b) f (a A b) = f (a) B f (b) 1 (A, + A ) oraz (B, + B ) są grupami i f : A B jest homomorfizmem grup, to: f (0 A ) = 0 B 2 (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są dowolnymi pierścieniami i f : A B jest homomorfizmem pierścieni, to: f (0 A ) = 0 B 3 (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są dowolnymi pierścieniami z jedynką i f : A B jest homomorfizmem tych pierścieni, to: f (0 A ) = 0 B, f (1 A ) = 1 B Jądrem homomorfizmu f : A B, jest zbiór: Ker f = {a A : f (a) = 0 B } Obrazem homomorfizmu f : A B jest zbiór: Im f = {b B, a A : f (a) = b} 3
4 12 Grupy permutacji Definicja 19 1 Niech f : X Y (a) Mówimy, że f jest suriekcją (odwzorowaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y Y, istnieje x X taki, że: y = f (x) (b) Mówimy, że f jest iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), gdy dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi następująca implikacja: lub równoważna implikacja: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 (c) Mówimy, że f jest bijekcją, gdy jest zarówno iniekcją jak i suriekcją 2 Niech: f : X Y g : Y Z Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h := g f : X Z określoną następująco: dla każdego x X : h (x) := (g f) (x) = g (f (x)) Czyli mamy następującą sytuację: f X Y Z g Zauważmy, że w ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne Niech np f, g : R R, dla dowolnego x R dane wzorami: Wówczas dla dowolnego x R mamy: g f f (x) = 2x g (x) = x 2 (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x 2) = 2x 2 (g f) (x) = g (f (x)) = g (2x) = 4x 2 Twierdzenie 11 Niech X będzie dowolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru X (tzn Bij (X) = {f : X X; f jest bijekcją}) Zbiór Bij (X) wraz ze składaniem funkcji tworzy grupę Nas interesować będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementów Definicja 110 Niech X będzie dowolnym zbiorem n-elementowym Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamy S n i nazywamy grupą permutacji zbioru n-elementowego Elementy grupy S n nazywamy permutacjami Zauważmy, że dowolny zbiór n elementowy możemy utożsamić ze zbiorem {1, 2, 3,, n}, niech więc X = {1, 2, 3,, n} Wówczas dowolną permutację σ S n możemy zapisać: ( ) n σ = σ (1) σ (2) σ (3) σ (n) Elementem neutralnym grupy S n jest permutacja identycznościowa: ( ) n Id = n Elementem odwrotnym do σ jest: σ 1 = ( ) σ (1) σ (2) σ (3) σ (n) n 4
5 Definicja 111 Permutację σ S n nazywamy cyklem długości k, gdy istnieje k elementowy podzbiór {a 1, a 2,, a k } zbioru X taki, że: σ (a 1 ) = a 2, σ (a 2 ) = a 3,, σ (a k 1 ) = a k, σ (a k ) = a 1 oraz σ (a) = a dla a / {a 1, a 2,, a k } Przyjmujemy, że permutacja identycznościowa jest cyklem długości jeden Zauważmy, że każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów Definicja 112 Dwa cykle (a 1, a 2,, a j ), (b 1, b 2,, b k ) nazywamy cyklami rozłącznymi, gdy zbiory {a 1, a 2,, a j }, {b 1, b 2,, b k } są rozłączne Twierdzenie 12 Każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu parami rozłącznych cykli Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności cykli Definicja 113 Cykl długości 2 nazywamy transpozycją Twierdzenie 13 Każdą permutację można rozłożyć na iloczyn transpozycji To przedstawienie nie jest jednoznaczne Jednak, gdy dana permutacja jest jednocześnie iloczynem p i r transpozycji, to liczby p i r są tej samej parzystości (tzn obie są parzyste lub obie są nieparzyste) W rozkładzie permutacji identycznościowej na transpozycje występuje zawsze parzysta ich ilość Poniższa równość określa sposób rozkładu cyklu długości k na iloczyn transpozycji: (a 1, a 2, a 3,, a k 1, a k ) = (a 1, a k ) (a 1, a k 1 ) (a 1, a 3 ) (a 1, a 2 ) Definicja 114 Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ = ( 1) r, gdzie r jest liczbą czynników w rozkładzie permutacji σ na iloczyn transpozycji Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy parzystą Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy nieparzystą Definicja 115 Niech dana będzie permutacja: ( ) s t n σ = σ (1) σ (2) σ (3) σ (s) σ (t) σ (n) Mówimy, że liczby s, t tworzą inwersję, gdy: Np Liczba 6 tworzy 5 inwersji Liczba 4 tworzy 3 inwersji Liczba 2 tworzy 1 inwersji Liczba 3 tworzy 1 inwersji Liczba 7 tworzy 2 inwersji Liczba 5 tworzy 1 inwersji Liczba 1 tworzy 0 inwersji σ = s < t oraz σ (s) > σ (t) ( ) Liczba wszystkich inwersji w permutacji σ wynosi = 13 Istnieje równoważna definicja parzystości permutacji: Definicja 116 (równoważna definicji 114) Permutację σ S n nazywamy parzystą, gdy dla n > 1 liczba inwersji w σ jest parzysta lub σ S 1 Permutację σ S n, n > 1 nazywamy nieparzystą, gdy liczba inwersji w σ jest nieparzysta 5
6 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik Anna Iwaszkiewicz-Rudoszańska, Wstęp do algebry i teorii liczb, Wyd Naukowe UAM: 1 Pierścień wielomianów, str Pierścień liczb całkowitych (Podzielność w Z, NWD, NWW, algorytm Euklidesa), str Definicja 117 Mówimy, że liczba n dzieli liczbę a, co zapisujemy n a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba k Z taka, że a = kn Definicja 118 Liczbą naturalną d nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,, a m, gdy 1 i {1, 2,, m} : d a i oraz 2 c N : c a 1 c a 2 c a m = c d Piszemy wówczas d = (a 1, a 2,, a m ) Definicja 119 Liczbą naturalną w nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością różnych od zera liczb a 1, a 2,, a m, gdy 1 i {1, 2,, m} : a i w oraz 2 c N : a 1 c a 2 c a m c = w c Piszemy wówczas w = [a 1, a 2,, a m ] Gdy i {1, 2,, m} : a i = 0, to w = [a 1, a 2,, a m ] = 0 Twierdzenie 14 Niech R będzie dziedziną całkowitości Niech f, g R[x] oraz współczynnik przy najwyższej potędze x w wielomianie g będzie odwracalny Istnieje wtedy dokładnie jedna para wielomianów q, r A[x], taka że: f = gq + r oraz deg r < deg g Definicja 120 Niech f, g K[x], gdzie K jest dowolnym ciałem Niech f 0 lub g 0 Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f i g nazywamy wielomian unormowany h K[x], spełniający następujące warunki: 1 h g oraz h f, 2 dla każdego h K[x] takiego, że h f i h g zachodzi: h h Piszemy wtedy h = (f, g) Definicja 121 Jeśli (f, g) = 1, to wielomiany f, g nazywamy względnie pierwszymi Definicja 122 Element a R nazywamy pierwiastkiem wielomianu f R[x], gdy f(a) = 0 Twierdzenie 15 (Bézouta) Element a R jest pierwiastkiem wielomianu f R[x] wtedy i tylko wtedy, gdy (x a) f Twierdzenie 16 Niech n N Wielomian n-tego stopnia o współczynnikach z dziedziny całkowitości ma co najwyżej n pierwiastków w tym pierścieniu Twierdzenie 17 Niech f = a n x n + + a 1 x + a 0 Z[x] Jeśli ułamek nieskracalny p q wielomianu f, to p a 0 oraz q a n jest pierwiastkiem Twierdzenie 18 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian f C[x] stopnia dodatniego ma w ciele C pierwiastek Wniosek 181 Każdy wielomian f C[x] stopnia n N ma w ciele C dokładnie n pierwiastków, licząc z krotnościami Twierdzenie 19 Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma pierwiastek w R 6
7 14 Zadania Zadanie 11 Wykonaj następujące działania: a w ciele Z 5, b w ciele Z 7, c 2 ( ) w ciele Z 5, d w ciele Z 3, e 2 ( ) w pierśc Z 6, f ( ) 1 w ciele Z11, g (w ciele C) ( 1+2i)(2 5i) 4i 3 Zadanie 12 Zbuduj tabelkę działania w S 3 Zadanie 13 Niech σ = ( ), τ = ( ) Oblicz: στ, τσ, σ 1 τσ, τ 1 σ Zadanie 14 Zapisz poniższe permutacje w postaci dwuwierszowej: a σ = (1, 2, 4, 6), σ S 7, b τ = (3, 5, 4), τ S 5 Zadanie 15 Rozwiąż równania: a (1, 2)x = (1, 3)(2, 4) w grupie S 4, b ( ) x ( ) = ( ) w grupie S 5, c ( ) x ( ) 1 = ( ) w grupie S 3, d x ( ) = ( ) w grupie S 5 Zadanie 16 Daną permutację σ S 10 przedstaw w postaci iloczynu transpozycji Określ znak i parzystość permutacji σ a σ = ( ) c σ = ( b σ = ( ) d σ = ( Zadanie 17 Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: ) ) a (120, 195), b (80, 208), c (36, 60, 90), d (120, 168, 280), e (30, 42, 70, 105), f [120, 195], g [80, 208], h [36, 60, 90], i [120, 168, 280], j [30, 42, 70, 105] Zadanie 18 Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz: (14, 35), (180, 252), (345, 6642), (1001, 765), (148, 684), (819, 702, 689), (3059, 2737, 943) Zadanie 19 Wyznacz element odwrotny do liczby: a 35 w Z 37 b 125 w Z 257 c 637 w Z 1734 d 1633 w Z 1734 Zadanie 110 Oblicz f + g, f g: a f = 5X 2 (2 + i) X + i, g = ix + 13 i w pierścieniu C[X], b f = 3X 2 + X + 4, g = 2X 2 + 3X + 3 w pierścieniu Z 5 [X], c f = 2X 4 + 3, g = ( 2X ) w pierścieniu Z[X] Zadanie 111 Wykonaj następujące dzielenia z resztą: a X 4 9X X 2 16X + 13 przez X 5 w Z[X] b 2X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 3 przez 3X 2 + X + 4 w Z 5 [X] c X 5 + 4X 4 + 3X przez 2X 3 + X + 4 w Z 5 [X] d 2X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X 2 + 5X + 1 w Z 11 [X] Zadanie 112 Stosując metodę Hornera wykonaj następujące dzielenia z resztą: a X 5 + 2X 4 + 5X przez X + 1 w Z[X] b 3X 5 + 7X 4 5X 3 14X 2 12X 4 przez X + 2 w Z[X] c X 4 + 5X 3 + 2X 2 + 4X + 3 przez X + 2 w Z 7 [X] d X 4 + 3X + 2 przez X + 4 w Z 5 [X] 7
8 2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana 21 Wprowadzenie teoretyczne Definicja 21 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: 1 Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 22 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 23 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 21 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Twierdzenie 21 (Kroneckera-Capellego) Niech [A b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu równań liniowych Wówczas ten układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy: rz[a b] = rz A Ponadto, jeśli układ równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie, to jego rozwiązanie zależy od s = n rz A parametrów Twierdzenie 22 Jeśli A M n,n (K), to następujące warunki są równoważne: 1 A jest macierzą odwracalną, 2 postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową I n, 3 rz A = n, 4 det A 0, 5 dla każdego b K n układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, 6 jednorodny układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie: x 1 = x 2 = = x n = 0 8
9 22 Zadania Zadanie 21 Określ czy zbiór (A, ) jest grupą, grupą abelową: a a b = a 2 + b 1, a, b A, gdzie A = Z b a b = a+b 2, a, b A, gdzie A = Q c a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = ( 1, ) d a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = [ 1, ) e a b = a + b 5, a, b A, gdzie A = Z f a b = 5 log 5 a+log 5 b, a, b A, gdzie A = R + g a b = 3 log 3 a log 3 b, a, b A, gdzie A = R + h (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) = (a 1 b 1, a 1 b 2 + a 2 b 1 ), (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) A, gdzie A = (R \ {0}) R Zadanie 22 Niech: A = , B = , C = 2 1, D = , E = , α R Oblicz: A + 3I, 3A, D + D, ( B + D T ) T, D + B T, AA T, ( AA T ) T, A T A, C T C, CC T, BDD T, CC T A, αb, ADBE, C T AE Zadanie 23 Wyznacz macierz hermitowsko-sprzężoną A do macierzy A: [ ] i i 1 i a A = 2 + 3i 0 1 b A = i 1 i 1 0 Macierz, z którego podpunktu jest macierzą hermitowską, a z którego jest macierzą antyhermitowską Zadanie 24 Zinterpretuj operacje na wektorach płaszczyzny (R 2 ) (translacja o wektor T = [ Tx T y ], skalowanie, obrót względem środka układu współrzędnych) jako operacje na odpowiednich macierzach Zadanie 25 Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy: a A = , c C = , b B = 0 1, 5 3 4, , d D = Zadanie 26 Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy: b B = a A = , Zadanie 27 W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: [ ] 3m + 7 m + 2 a A = 6m 5 2m 2 b B = 1 2m + 5 m2 + m 2 5m m 2 + 3m 3 6m m 2 + 2m 9
10 [ ] 2m c C = 2 + 9m 5 m 2 + 6m + 5 2m 2 + 8m 10 m 2 + 5m m + 1 m m m d D = m m + 1 m m m 2 m m 2 m 5m m 5m m Zadanie 28 W zależności od parametru m przeanalizuj liczbę rozwiązań układu równań: x 1 2x 2 x 3 = 0 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 x 1 + mx 2 mx 3 = 1 Zadanie 29 (przykład 16, str 53, BG tom 1) Rozwiąż układ równań w ciele liczb rzeczywistych oraz w Z 5 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 40 Zadanie 210 Rozwiąż (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych: a b c x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 2 2x 1 + 7x 2 + 9x 3 = 1 3x 1 + 8x 2 + 7x 3 = 7 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 5x 1 + 9x 2 + 7x 3 = 3 x 1 8x 2 + 7x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 3x 1 + 5x 2 2x 3 = 9 4x 1 + 5x 2 x 3 = 7 d e f x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 5x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 8 5x 1 6x 2 3x 3 = 8 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 14 Zadanie 211 Rozwiąż układ równań: a b c x + 11y + z = 5 2x + 2y = 6 5x + 10y + 4z = 1 x + 2y + 3z = 1 2x + y + z = 0 4x + 3y + z = 3 x + 2y + 3z = 4 3x + 4y + z = 4 2x + 3y + 2z = 1 w ciele Z 13, w ciele Z 5, w ciele Z 5, d e f x + y + z = 0 x + 4y + 2z = 3 3x + y + 4z = 3 2x + y + 4z = 4 3x + y + z = 0 2x + 3y + 3z = 0 x + 3y + 5z = 6 4x + 6y + 3z = 1 6x + 5y + 4z = 5 w ciele Z 5, w ciele Z 5, w ciele Z 7 Zadanie 212 Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: A = 2 5 7, B = , C = 3 1 1, D = Zadanie 213 Rozwiąż układ równań liniowych AX = b, znajdując macierz odwrotną do macierzy współczynników, gdzie: a A = 0 1 0, b = 0, b A = , b =
11 3 Wyznacznik macierzy opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 31 Teoria Definicja 31 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n Twierdzenie 31 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Definicja 32 Niech A M n,n (K) będzie macierzą o współrzędnych a ij K Wówczas mówimy, że A jest macierzą: 1 dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = 0 dla i < j, 2 górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = 0 dla i > j, 3 przekątniową(diagonalną), jeżeli a ij = 0 dla i j Własności 31 (Wyznacznika) Niech a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n,n(k) a n1 a n2 a nn 1 Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a 11 b 1j a 1n a 21 b 2j a 2n B = a n1 b n2 a nn a 11 a 1j + b 1j a 1n a 21 a 2j + b 2j a 2n C = a n1 a nj + b n2 a nn to det C = det A + det B Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy 11
12 4 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 5 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 6 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 7 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 8 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 32 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to det(ab) = det A det B Definicja 33 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Twierdzenie 33 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: Mamy następujący układ równań: A 1 = 1 det A AD a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (31) Twierdzenie 34 Jeżeli det A 0, to układ równań (32) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (32) 12
13 Definicja 34 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: 1 Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 35 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 36 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 31 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Definicja 37 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n Twierdzenie 35 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Własności 32 (Wyznacznika) Niech A = [a ij ] M n,n (K) 1 Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 4 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 13
14 5 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 6 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 7 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 36 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to det(ab) = det A det B 32 Zadania Zadanie 31 Obliczyć następujące wyznaczniki: a , b , c Zadanie 32 Niech c R, A M n (R) i det A = a Oblicz det ca Zadanie 33 Oblicz wyznaczniki: a b c d e f g h
15 Definicja 38 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Twierdzenie 37 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: A 1 = 1 det A AD Zadanie 34 Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): [ ] a A = 4 5 d D = b B = cos α 0 sin α e E = sin α 0 cos α c C = Zadanie 35 Rozwiąż równania: a [ ] [ ] [ ] 2 5 x11 x = 1 3 x 21 x b [ ] [ ] [ ] 3 8 x1 2 = 1 2 x 2 0 c x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x = x 31 x 32 x Mamy następujący układ równań: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (32) Twierdzenie 38 Jeżeli det A 0, to układ równań (32) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (32) Zadanie 36 Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R: { 4x1 7x a 2 = 3 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 5x 1 6x 2 = 4 c 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 4x 1 + 9x x 3 = 5 x 1 x 2 + x 3 = 1 b 3x 1 4x 2 + 5x 3 = 5 4x 1 5x 2 + 9x 3 = 8 15
16 4 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowano na podstawie BG Elementy algebry liniowej t I ) 41 Wprowadzenie teoretyczne Definicja 41 Zbiór V z wyróżnionym elementem θ = θ V V oraz z dwoma działaniami: + : V V V dodawania elementów V, : K V V mnożenia elementów V przez elementy K, nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K (lub przestrzenią wektorową nad ciałem K), jeśli spełnione są następujące warunki: 1 (V, +, θ) jest grupą abelową z elementem neutralnym θ, 2 α (v + w) = α v + α w, (α + β) v = α v + β v, 3 α (β v) = (αβ) v, 4 1 v = v Równości z dodpunktów 2 4 zachodzą dla wszystkich v, w V oraz α, β K Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami Elementy ciała K nazywamy skalarami Definicja 42 1 Układem wektorów przestrzeni liniowej V o wskaźnikach ze zbioru T nazywamy każdą funkcję v : T V Wartość funkcji v na elemencie t T oznaczamy v t Układ wektorów będziemy zapisywać w postaci (v t ) t T 2 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech będzie dany układ wektorów S = (v 1, v 2,, v m ) z V oraz układ skalarów (α 1, α 2,, α m ) z K Wektor: v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m = m α i v i nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α i nazywamy współczynnikami tej kombinacji Liniową kombinację wektorów można zdefiniować dla dowolnego układu wektorów S = (v t ) t T, gdzie T jest pewnym niekoniecznie skończonym zbiorem wskaźników Należy jednak pamiętać, że po to, aby wyrażenie: α t v t miało sens, trzeba założyć, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T t T 3 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v t ) t T będzie pewnym układem wektorów z V Weźmy układ skalarów (α t ) t T t T K, taki że α t = 0 dla prawie wszystkich t T Wektor: i=1 v = t T α t v t nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α t nazywamy współczynnikami tej kombinacji 4 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Mówimy, że wektory układu S = (v 1, v 2,, v m ) z V rozpinają przestrzeń V, jeśli każdy wektor v V jest kombinacją liniową wektorów v i, dla i = 1, 2,, m Oznacza to, że każdy wektor v V można zapisać w postaci: dla pewnych skalarów α 1, α 2,, α m K v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m 16
17 5 Niech będzie dany układ wektorów (v 1, v 2,, v m ) z przestrzeni V Wtedy zbiór wszystkich kombinacji liniowych: L(v 1, v 2,, v m ) = {α 1 v 1 + α 2 v α m v m : α 1, α 2,, α m K} wektorów v 1, v 2,, v m nazywa się powłoką liniową układu wektorów (v 1, v 2,, v m ) 6 Niech v 1, v 2,, v m V będą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K Mówimy, że te wektory są liniowo niezależne, gdy z równości: wynika, że wszystkie współczynniki są równe zero: α 1 v 1 + α 2 v α m v m = θ V α 1 = α 2 = = α m = 0 Mówimy, że wektory v 1, v 2,, v m V są liniowo zależne, gdy nie są liniowo niezależne Twierdzenie 41 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v 1, v 2,, v m ) będzie pewnym układem wektorów z V Niech będzie dany układ wektorów S 0 = (v i1, v i2,, v ik ), gdzie v ij dla 1 j k są pewnymi wektorami układu S oraz liczby i 1, i 2,, i k są parami różne Wówczas: 1 Jeśli wektory z S są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych 2 Jeśli θ V jest jednym z wektorów układu S, to układ S jest liniowo zależny 3 Jeśli wektory układu S są liniowo niezależne, to wektory układu S 0 są liniowo niezależne 4 Jeśli wektory układu S 0 są liniowo zależne, to wektory układu S są liniowo zależne Twierdzenie 42 Jeśli v 1, v 2,, v n K m oraz n > m, to wektory v 1, v 2,, v n są liniowo zależne Wniosek Każdy skończony układ liniowo niezależnych wektorów w K n składa się co najwyżej z n wektorów 2 Kolumny macierzy A M m,n (K) są wektorami liniowo zależnymi w K m wtedy i tylko wtedy, gdy równanie macierzowe: AX = θ m ma niezerowe rozwiązanie ze względu na X Twierdzenie 43 Niech v 1, v 2,, v n K n będą pewnymi wektorami Niech: A = [ v 1 v 2 v n ] Mn (K) będzie macierzą, której kolumnami są wektory v 1, v 2,, v n Wtedy następujące warunki są równoważne: 1 Wektory v 1, v 2,, v n są liniowo niezależne 2 Układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie w K n 3 det A 0 Twierdzenie 44 Niech S = (v 1, v 2,, v n ) będzie układem liniowo niezależnym w przestrzeni K n Wtedy każdy wektor w K n jest kombinacją liniową wektorów z układu S, tzn S rozpina przestrzeń K n Definicja 43 Niech funkcje f i (x), i = 1, 2,, n mają pochodne do rzędu n 1 włącznie na przedziale (a, b) Wyznacznik postaci: f 1 (x) f 2 (x) f n (x) f 1(x) f 2(x) f n(x) W (x) = f (n 1) 1 (x) f (n 1) 2 (x) f n (n 1) (x) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego lub wrońskianem dla funkcji f 1, f 2,, f n w punkcie x (a, b) 17
18 Twierdzenie 45 Jeśli funkcje f 1, f 2,, f n są liniowo zależne na przedziale (a, b), to ich wrońskian jest tożsamościowo równy zeru Wniosek 451 Jeśli dla pewnego x 0 (a, b), W (x 0 ) 0, to funkcje f 1, f 2,, f n są liniowo niezależne Definicja 44 Układ wektorów S = (v t ) t T przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V, jeśli są spełnione następujące warunki: 1 Układ S jest liniowo niezależny 2 Układ S rozpina przestrzeń V, tzn V = L(S) W szczególności, jeśli skończony układ wektorów S = (v 1, v 2,, v n ) jest bazą przestrzeni V, to mówimy, że V ma bazę skończoną Definicja 45 Niech dane będą dwa układy wektorów S 1 = (v t ) t T1 oraz S 2 = (w t ) t T2 przestrzeni V Mówimy, że układ S 1 zawiera układ S 2, gdy T 2 T 1 oraz w t = v t dla każdego t T 2 Zawieranie układów zapisujemy S 2 S 1 Twierdzenie 46 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech S = (v t ) t T będzie danym układem wektorów w V Wtedy następujące warunki są równoważne: 1 Układ S jest bazą przestrzeni V 2 Każdy wektor v V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów: v = t T α t v t, gdzie v t S i α t są prawie wszystkie równe zero 3 S jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V ze względu na relację zawierania układów 4 S jest minimalnym układem ze względu na relację zawierania układów, które rozpinają przestrzeń V Definicja 46 Niech S = (v t ) t T będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz niech v V 1 Układ skalarów (α t ) t T taki, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T oraz taki, że: v = α t v t, t T nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy S i oznaczamy symbolem v S 2 W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v 1, v 2,, v n ) oraz: v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n, to współrzędne wektora v V względem bazy S zapisujemy jako wektor z K n w następujący sposób: α 1 α 2 v S = α n Twierdzenie 47 Niech S = (v 1, v 2,, v n ) oraz S 2 = (w t ) t T będą bazami przestrzeni liniowej V Wówczas baza S 2 też jest skończona i składa się z n wektorów Definicja 47 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K 1 Jeśli V ma skończoną bazę S, to mówimy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową 2 Liczbę elementów bazy S przestrzeni skończenie wymiarowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dim K V 3 Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa Wniosek 471 Niech dim K V = n 1 Jeśli S = (v 1, v 2,, v m ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to m n 2 Jeśli S = (v 1, v 2,, v n ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to S jest bazą przestrzeni V 18
19 Inne metody badania rzędu macierzy Twierdzenie 48 Niech A M n,m (K) Zachodzą następujące równości: rz A = rz(aa T ) = rz(a T A) Definicja 48 Minorem macierzy A nazywamy wyznacznik każdej macierzy kwadratowej, utworzonej z macierzy A w wyniku skreślenia odpowiedniej liczby kolumn i odpowiedniej liczby wierszy Stopień tego wyznacznika nazywamy stopniem minora Uwaga 1 Macierz A M m,n (K) posiada minory k-tego stopnia dla każdego 1 k min(n, m) Twierdzenie 49 Rząd macierzy A jest równy r wtedy i tylko wtedy, gdy: 1 istnieje niezerowy minor stopnia r macierzy A 2 każdy minor macierzy A stopnia wyższego niż r (o ile taki istnieje) jest równy zeru Uwaga 2 Dla dowolnej macierzy A M m,n (K) prawdziwa jest nierówność: 0 rz A min(n, m) Różne/wybrane metody badania liniowej zależności układu wektorów w przestrzeni liniowej K n nad ciałem K Niech S = (v 1, v 2,, v m ) będzie układem wektorów w przestrzeni K n, i niech v i1 v i2 v i = dla każdego i {1, 2,, m} v in 1 Jeśli m > n, to wektory v 1, v 2,, v m są liniowo zależne 2 Niech m n Rząd macierzy A M n,m (K) (A M m,n (K)), której kolumnami (wierszami) są wektory v 1, v 2,, v m jest równy m wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo niezależne v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n 3 Niech m < n, A = Czyli A jest macierzą, której wierszami są wektory v 1, v 2,, v m v m1 v m2 v mn det(aa T ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v 1, v 2,, v m są liniowo zależne 19
20 42 Zadania Zadanie 41 Sprawdzić, czy dany zbiór jest przestrzenią liniową: a zbiór R n z dodawaniem i mnożeniem przez skalar po współrzędnych b zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych c zbiór macierzy M mn (R) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar d zbiór macierzy kwadratowych M n (R) z mnożeniem i mnożeniem przez skalar e zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych (ozn R n [X]) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar Zadanie 42 Sprawdzić, czy w przestrzeni V = K 4 nad ciałem K, prawdziwa jest przynależność : a K = R, (4, 6, 4, 5) L{(1, 4, 6, 5), (5, 6, 2, 4)}; b K = R, (3, 1, 5, 0) L{(1, 4, 8, 7), (1, 5, 5, 4), (1, 6, 0, 7)}; c K = Z 7, (1, 6, 5, 4) L{(2, 5, 3, 1)}; d K = Z 7, (4, 5, 3, 6) L{(1, 3, 4, 6), (1, 5, 1, 5), (1, 4, 3, 1)}; Zadanie 43 Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni V są liniowo zależne: a V = R 3 nad ciałem R, wektory: (3, 1, 2), ( 9, 3, 6); b V = R 3 nad ciałem R, wektory: (4, 4, 1), (1, 4, 4); c V = R 3 nad ciałem R, wektory: (1, 0, 4), (5, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 8); d V = Z 3 5 nad ciałem Z 5, wektory: (1, 1, 0), (4, 3, 1), (1, 4, 2); Zadanie 44 Sprawdź, czy wektory {(1, 0, 1), (1, 1, 3), (4, 1, 1)} tworzą bazę przestrzeni R 3 Zadanie 45 Wyznacz jedną z baz przestrzeni W nad ciałem R, gdzie: a W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 3x 2 + 4x 4 = 0, 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 } b W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 0, x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 0, 4x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0 } c W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 + 9x 3 6x 4 = 0, x 1 + 7x 2 + x 3 2x 4 = 0 2x 1 + x 2 + 7x 3 5x 4 = 0 } Zadanie 46 Zbadaj dla jakich x R trójka wektorów tworzy bazę R 3 a (x, 4, 1), (x, 1, 2), (5, x, 2) b (1, 3, 4), (2, 1, 5), (1, 8, x) c (3, 1, 4), (2, 2, 5), (5, 4x, 7x) 20
21 5 Macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wektory własne 51 Wprowadzenie teoretyczne W poniższym opracowaniu: K oznaczać będzie dowolne ciało, V/K oznaczać będzie przestrzeń liniową V nad ciałem K 511 Macierz przekształcenia liniowego Definicja 51 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Mówimy, że funkcja T : V W jest przekształceniem liniowym, gdy spełnia następujące warunki: 1 T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) dla każdego v 1, v 2 V, 2 T (αv) = αt (v) dla każdego skalara α K i każdego wektora v V Jeśli V = W, to przekształcenie liniowe T nazywamy operatorem liniowym przestrzeni V lub endomorfizmem liniowym przestrzeni V Definicja 52 Niech będą dane przestrzenie liniowe V i W nad ciałem K, których wymiarami są odpowiednio n i m Niech T : V W będzie przekształceniem liniowym W przestrzeni V wybieramy bazę: a w przestrzeni W ustalamy bazę: B V = (v 1, v 2,, v n ), B W = (w 1, w 2,, w m ) Obrazy wektorów bazy B V przy przekształceniu T zapisujemy w postaci kombinacji liniowych wektorów bazy B W ze współczynnikami a ij K: Macierz A T M m,n (K): T (v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m T (v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w a m2 w m T (v n ) = a 1n w 1 + a 2n w a mn w m (51) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn której kolumnami są współrzędne wektorów T (v i ) w bazie B W, uzyskane z równań (51), nazywa się macierzą przekształcenia T w bazach B V i B W Uwaga 3 Jeśli A T jest macierzą przekształcenia liniowego T : V W w bazach B V, B W oraz A S jest macierzą przekształcenia liniowego S : W Z w bazach B W, B Z, to: A S T = A S A T jest macierzą przekształcenia liniowego S T w bazach B V, B W Ilustracja: T V W Z S T Twierdzenie 51 Niech T : V W będzie przekształceniem liniowym Niech B V = (v 1, v 2,, v n ), B W = (w 1, w 2,, w m ) będą bazami przestrzeni V i W odpowiednio Niech A T będzie macierzą przekształcenia T w bazach B V, B W Niech v V będzie dowolnym wektorem Wówczas zachodzi następujący wzór na współrzędne wektora T (v) w bazie B W : T (v) BW = A T v BV (52) S 21
22 512 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne Definicja 53 Niech A M n,n (K) 1 Niezerowy wektor v K n nazywamy wektorem własnym macierzy A, gdy istnieje taki skalar λ K, że: Av = λv Skalar λ nazywamy wartością własną macierzy A odpowiadającą wektorowi v 2 Macierz A ti n o współczynnikach w pierścieniu wielomianów K[t] nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy A 3 Równanie det(a ti n ) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A 4 Wielomian f A (t) = det(ti n A) = ( 1) n det(a ti n ) K[t] nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A 5 Załóżmy, że wielomian charakterystyczny f A (t) ma k-krotny pierwiastek w ciele K, tzn: f A (t) = (t λ) k g(t), gdzie g(t) K[t] oraz g(λ) 0 Wtedy liczbę k nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnej λ Definicja 54 Niech T : V V będzie przekształceniem liniowym określonym na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem K 1 Niezerowy wektor v V nazywamy wektorem własnym przekształcenia T, jeśli istnieje skalar λ K taki, że: T (v) = λv Skalar taki nazywamy wartością własną przekształcenia T, która odpowiada wektorowi v 2 Niech λ K będzie wartością własną przekształcenia liniowego T a Zbiór V λ = {v V : T (v) = λv} nazywamy przestrzenią własną przekształcenia T odpowiadającą wartości własnej λ b Liczbę dim K V λ nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej λ przekształcenia T Definicja 55 Śladem macierzy A = [a ij ] M n (K) nazywamy skalar: tr A = a 11 + a a nn K Fakt 51 Niech A M n (K) oraz λ 1, λ 2,, λ n będą wartościami własnymi macierzy A Wówczas zachodzą następujące równości: n n tr A = λ i oraz det A = λ i i=1 i=1 22
23 52 Zadania Zadanie 51 Wyznacz współrzędne wektora: a v = (1, 2, 0) b v = (0, 1, 2) w bazie B 2 = (1, 0, 1), ( 2, 1, 2), (0, 1, 1)) Zadanie 52 Niech ϕ : R 3 R 2, ψ : R 2 R 3 będą przekształceniami liniowymi danymi wzorami: ϕ x [ ] ([ ]) 1 3x x 2 4x1 + 3x = 2 + x 1 x 2 3 x1, ψ = 5x 5x x 1 + 4x 2 + 2x 3 x 1 3x x 1 5x 2 Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego ϕ, ψ, ϕ ψ, ψ ϕ Zadanie 53 Niech T : R 3 R 3 będzie przekształceniem liniowym danym wzorem: x 1 x 1 x 2 + x 3 T x 2 = x 1 + x 2 x 3 x 3 x 1 + x 2 + x 3 1 Wyznaczyć macierz przekształcenia T w bazach B 1 = 0, , 1, B 2 = 2, , Zadanie 54 Niech T : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem) Wyznaczyć wartości własne przekształcenia T oraz przestrzenie własne, gdzie: ([ ]) [ ] x1 x1 + 4x T = 2 x 2 x 1 + x 2 Zadanie 55 Niech T : R 3 R 3 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem) Wyznaczyć wartości własne, wektory własne i przestrzenie własne przekształcenia T, gdzie: x 1 2x 1 x 2 x 3 T x 2 = x 3 x 2 + x 3 5x 3 Zadanie 56 Obliczyć wartości własne, wektory własne, przestrzenie własne dla macierzy: A = Zadanie 57 Niech A M n (R) a Niech n = 5 Niech 2+i, 1, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz tr A = 7 Wyznaczyć pozostałe wartości własne macierzy A b Niech n = 6 Niech i, 4 2i, 2 będą wartościami własnymi macierzy A oraz det A = 20 Wyznaczyć pozostałe wartości własne macierzy A c Niech n = 8 Niech 3 5i, 8, 5 + 8i, 3, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz tr A = 6 Czy macierz A jest macierzą odwracalną? 23
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoMacierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowo