Matura próbna matematyka poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Matura próbna matematyka poziom rozszerzony Zadanie 1 (1pkt) Jaki jest zbiór wartości funkcji f(x) = 5 cos x 1, jeśli x π, π? 4 (a) 0, + //gdy pominie przedział na x i policzy dla x R (b) 0, 7 + //prawidłowa odpowiedź (c) 4, 7 + //gdy tylko obróci nierówności podczas modulowania (d) 7, 4 //gdy pominie moduł cos ( ( π 4 )) = cos ( π ) = 0 cos ( ( π )) = cos (π ) = cos (π π ) = cos π = 1 cos 0 = 1 Wiemy zatem, że funkcja g(x) = cos x rośnie na przedziale π, 0 od 0 do 1 4 oraz maleje na przedziale 0, π od 1 do 1. Zatem z obserwacji wykresu oraz obliczonych wartości w punktach skrajnych dochodzimy do nierówności: 1 cos x cos x 5 7 5cos x cos x f(x) 0 Zadanie (1pkt) Niech x + ax + b = 0, gdzie a, b R. Wynika stąd, że: (a) Wielomian nie może mieć różnych rozwiązań (b) Suma wszystkich rozwiązań jest równa ( b) (c) Iloczyn wszystkich rozwiązań jest równy 0 (d) Jeśli a < 0 to suma wszystkich rozwiązań jest dodatnia

2 // trudność tego zadania ma polegać na tym, że zdający, który zna wzory Vieta na trzecią potęgę poradzi sobie bardzo szybko, lecz ten kto tylko je kojarzy może pomylić dane równania, więc odpowiedzi są celowo sprecyzowane w powyższy sposób (pomieszanie wzorów), zaś osoba nieznająca ich musi najpierw potrudzić się o wyprowadzenie Ze wzorów Vieta na trzecią potęgę mamy: x 1 + x + x = a x 1 x x = b x 1 x + x 1 x + x x = 0 (a) Nie, np. dla a =, b = 1 równanie ma trzy rozwiązania (b) Nie, równa się a (c) Nie, równa się b (d) Tak, bo wtedy suma rozwiązań to a = a Zadanie (1pkt) Ile wynosi reszta z dzielenia x = przez 10? (a) 1 //gdy weźmie cyfrę jedności x i nie podzieli przez 10 (b) 9 //prawidłowa odpowiedź (c) 0 //dowolna zła odpowiedź (d) //dowolna zła odpowiedź Zauważmy, że każda potęga liczby 5 ma cyfrę jedności równą 5, zaś każda potęga liczby 1 ma ostatnią cyfrę równą. Wobec tego cyfra jedności dla x to 5 = 1. Stąd po podzieleniu przez 10 otrzymamy resztę równą 9. Zadanie 4 (1pkt) Niech będą dane liczby: a = 700, b = 5 00, c = 500. Wtedy: (a) a > b > c (b) a > c > b (c) b > c > a (d) c > a > b //prawidłowa odpowiedź

3 //zdający musi wykazać się umiejętnością porównywania liczb bez znania ich dokładnych wartości = ( ) = ( ) > 1 Zatem: c > a > b 5 00 = ( ) 700 = ( ) 700 > < < 500 = ( 15 4 ) 100 < 1 = ( 18 4 ) 100 < 1 Zadanie 5 (1pkt) Jaki jest okres podstawowy funkcji f(x) = 1 sin πx? (a) π //gdy uzna, że okres jest równy okresowi sin x (b) π //gdy zgaduje, że nie może to być π, ale musi to zależeć od π (c) //prawidłowa odpowiedź (d) 1 //aby poza poprawną odpowiedzią była jakaś inna niezależna od π (π(x + T)) (πx) = π T = Zadanie (pkt) n +n Niech n N. Wtedy a = lim n 5. Zakoduj kolejno cyfrę setek, n + n dziesiątek i jedności a. //zwyczajnie na maturze spotykamy raczej tylko pierwiastek drugiego i trzeciego stopnia, więc w tym zadaniu trzeba wykazać się umiejętnościami radzenia z trudniejszymi potęgami n 5 n +n = n n 5 n +n ( n 5+ n +n ) n =

4 = n 5 n n ( n 5+ n +n )( (n 5) + (n 5)(n +n ) + (n +n ) ) n = 5 n = n ( n n 5 n + n = ( 1 n 5 n n +n n )( (n 5) + (n 5) n (n +n ) n n + (n +n ) n ) n n 5 n 1 )( ( 1 n 5 n ) + ( 1 n 5 n )(1+1 n ) + (1+ 1 n ) ) 1 = Teraz z łatwością możemy policzyć, że: a = 0 1 ( )( (0 0) + (0 0)(1+0) + (1+0) ) 1 = 1 Wobec tego musimy zakodować cyfry: 001. Zadanie 7 (pkt) Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c, d zachodzi nierówność: (a + b) + (b + c) + (c + d) a(b + c) + b(c + d) + cd (a + b) + (b + c) + (c + d) a(b + c) + b(c + d) + cd a + ab + b + bc + c + cd + d ac bd 0 1 (a c) + ( 1 a + b) + 1 (b + c) + 1 (c + d) + 1 (b d) + 1 c a 0 Na podstawie równoważnego przekształcenia tezy doszliśmy do nierówności, o której wiemy, że zawsze jest prawdziwa, zatem teza także jest prawdziwa. c.n.d.

5 Zadanie 8 (pkt) Oblicz wartość wyrażenia: sin 15 sin 75 sin 0 sin 70 sin 5 sin 5 sin 100 //wyrażenie jest iloczynem funkcji trygonometrycznych, których wartości dokładnie nie znamy, więc zdający musi odpowiednio przekształcać wyrażenie, by dojść do postaci, którą jest w stanie policzyć sin 15 sin 75 sin 0 sin 70 sin 5 sin 5 sin sin 15 cos 15 sin 0 cos 0 sin 5 cos 5 = sin 0 1 sin 40 1 sin 50 = sin 100 sin cos 50 sin 50 1 = 1 sin 100 Zadanie 9 (pkt) Dany jest czworokąt ABCD. Kąt ABC w tym wielokącie jest równy 90. Przyprostokątne trójkąta ABC mają długości BC = + 4 = i AB =. 4 Przekątne czworokąta przecinają się w punkcie E. Wiedząc, że EBC = 0, oblicz kąt ostry, pod którym przecinają się przekątne tego czworokąta. //trudność tego zadania ma polegać na tym, że po obliczeniu tg ACB mamy, co nie nasuwa na myśl żadnego z kątów i musimy podjąć inne obliczenia Z podanych informacji mamy: tg ACB = 4 = = sin 45 cos 0 cos 45 sin 0 sin(45 0 ) = = cos 45 cos 0 + sin 45 sin 0 cos(45 0 ) = tg(45 0 ) = tg(15 ) Wobec tego mamy: ACB = 15. Stąd zaś wiemy, że BEC = = 145. Zatem szukany kąt to: = 5.

6 Zadanie 10 (4pkt) Ile jest liczb naturalnych, mniejszych od 10000, podzielnych przez 9, w których zapisie występują wyłącznie cyfry 0,1,,,4,5 oraz cyfry nie powtarzają się w zapisie danej liczby? 1. Jednocyfrowe: 0 1. Dwucyfrowe: 45,54. Trzycyfrowe: Na pierwszym miejscu może stać 1///4/5. Następnie wypisujemy możliwości na II miejsce i dobieramy do niego trzecie, tak by suma cyfr tworzących liczbę była podzielna przez 9. Nie zapominamy przy tym, że cyfry nie mogą się powtarzać: X 0 X 0 X X 1 X X X 4 X X Zatem trzycyfrowe: 1 4. Czterocyfrowe: Na pierwszym miejscu może stać 1///4/5. Następnie wypisujemy możliwości na II miejsce i dobieramy do niego cyfry, które mogą pojawić się na miejscu III i IV, tak by suma cyfr tworzących liczbę była podzielna przez 9. Nie zapominamy przy tym, że cyfry nie mogą się powtarzać: 1 _ 4 _ 5 _ 0,5 0,4 0 1,5 0, 0 1,,4 X 1 X 1 5,0 1 X 1 0, 0,5 0,4 0,4 0, X 4 X 4 0, 4 0, 0, 0,1 5 0, 5 X 5 0,1 5 X 4 X Zatem czterocyfrowe: 18 = (bo cyfry wybrane na miejsce III i IV możemy ustawić na dwa sposoby) Odpowiedź: takich liczb jest 55.

7 Zadanie 11 (4pkt) Dane są wyrażenia: a 1 = log x, a = , a = log m. Dla jakich wartości parametru x wyrażenia te spełniają następujące warunki: a 1, a, a to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego x, m, a to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego x, m R, x 0, m 0 Zajmijmy się najpierw obliczeniem dokładnej wartości a. Kolejne ułamki, 1 które je tworzą są postaci. Zauważmy, że: 1 = x + y = n(x+y)+8x. n(n+8) n(n+8) n n+8 n(n+8) Mamy zatem: x + y = 0, 8x = 1. Stąd x = 1, y = 1, przez co otrzymujemy: = Wobec tego: n(n+8) 8n 8(n+8) a = = = = 0,0 Z warunków zadania otrzymujemy: m = xa = 0,0x log x + log m = a log (xm) = a log (0,0x ) = 0,1 0,0x = 0,1 x = 0,1 0,0 x = 0,1 0,0 lub x = 0,1 0,0 Zadanie 1 (4pkt) Dla jakich wartości parametru x zachodzi f(x) > 0, jeśli: 1 f(x) = { sin x 1 sin x cos x + 4, x (kπ, π + kπ), k Z tg x, x ( π + kπ, kπ), k Z?

8 1 1 sin x 1 sin x cos x + = (sin x 4 ) (cos x 1 ) (sin x ) (cos x 1 ) > 0 gdy zachodzi jeden z przypadków: 1.1 sin x > 0 { cos x 1 > 0 x ( π 4 + kπ, π + kπ) sin x > { cos x > 1 x ( π { 4 + kπ, π 4 + kπ) x ( π + kπ, π + kπ) 1. sin x < 0 { cos x 1 < 0 sin x < { cos x < 1 x ( π { 4 + kπ, 9π 4 + kπ) x ( π + kπ, 5π + kπ) x ( π 4 + kπ, 5π + kπ) Teraz musimy to połączyć z warunkiem: x (kπ, π + kπ). Otrzymujemy: x ( π + kπ, π + kπ) (π + kπ, 4π 4 tg x > 0 + kπ) Zatem x (kπ, π + kπ), co łączymy jeszcze z warunkiem x (π + kπ, kπ) i otrzymujemy x ( π + kπ, π + kπ). Wobec tego ostateczna odpowiedź to: x ( π 4 + kπ, π + kπ) (π + kπ, 4π + kπ) (π + kπ, π + kπ) Uwaga: przedziały te możemy jeszcze uprościć do ładniejszej postaci, lecz taka postać nam wystarczy Zadanie 1 (4pkt) Dla jakich wartości parametru m R podane równanie jest sprzeczne? x 4 + m + 4mx + 4m + = 0 x 4 + m + 4mx + 4m + = 0 x 4 + 4mx + m + 4m + = 0 t = x, t 0, t + 4mt + m + 4m + m = 0

9 = 1m 1m 1m 4m = 1m Rozważymy teraz sytuacje, gdy podane równanie może być sprzeczne: 1 < 0 1m < 0 m > 0 > 0 { t 1 + t < 0 t 1 t > 0 m < 0 { 4m < 0 m + 4m + m > 0 m < 0 { m > 0 m + 4m + m > 0 m Zatem ostatecznie: m > 0 { = 0 t 0 < 0 m = 0 { 4m < 0 m Zadanie 14 (5pkt) W I urnie znajdują się kule białe, czarne i 1 zielona. W II urnie jest 1 kula biała, czarne, zielone. Na początku przekładamy jedną kulę z urny I do II, następnie jeszcze jedną kulę z I do II, po czym zabieramy jedną kulę z II do I. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po tych operacjach w I urnie zostaną kule białe, czarne i 1 zielona. Aby zaszła podana sytuacja musimy ostatecznie mieć wyrzuconą jedną kulę czarną. Narysujmy drzewo tego zdarzenia:

10 Pierwsze rozejście na B/C/Z symbolizuje zabranie I kuli, drugie rozejście zabranie II kuli i trzecie to przełożenie kuli z II urny do I. Gałęzie zaznaczone pętelką to te, które spełniają nasz warunek. Po zastanowieniu się jakie prawdopodobieństwa pociągają za sobą poszczególne gałęzie otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia równe: = 10 = 11 5 Zadanie 15 (pkt) W układzie współrzędnych dana jest figura zamieszczona na rysunku. Wiedząc, że trójkąt ABC jest prostokątny, P1,, P5 to pola odpowiednich figur, R1, R, R - promienie poszczególnych okręgów, D = (,4), bok AC leży na prostej y = x + 5, P1 + P = 10 oblicz R1, R, R, P5.

11 AB przecina się z AC pod kątem prostym, więc: P5 = (R) π AB: y 1 = 1 x + b b 1 = 4 AB: y 1 = 1 x + 5 A: 1 a + 5 = a + 5 a = 0, y a = 5 A = (0, 5) R1 = ( 0) + (4 5) = 10 P + P4 = (R1) π = 1 ( 10) π = 5π P1 + P = 10 P1 + P = (R) π { P + P4 + P5 = (R) π P + P4 = (R) π (P + P4) = (R) π = (R) π ( (R) π + (R1) π ( (R) π (P1 + P) + (R1) π (P1 + P)) = P1 + P = = 10(R) R = 10 R = ( 10 ) + ( 10) = 5 (P1 + P)) = Zadanie 1 (7pkt) Dany jest graniastosłup prosty o wysokości H = 4. Graniastosłup ten ma w podstawie trapez prostokątny taki, że suma dłuższej podstawy a i jego 5 wysokości h jest równa (log 10 5 log 105), zaś ramię trapezu jest równe h. Dla jakich wartości parametru a graniastosłup ma największą objętość? 5 a + h = (log 10 5 log 10 5) = log(10 ) = h = a więc a < Niech b - długość krótszej podstawy: (a b) + h = (h)

12 (a b) = h b = a h lub b = a + h Odpowiedź b = a + h odrzucamy, bo b < a, czyli mamy: b = a h = a(1 + ) b > 0 więc a(1 + ) > a > Zatem: a (9, ) a + b a + a( + 1) V(a) = h H = ( a) 4 = = 1(a ( ) + a(1 + 1) ) V(a) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy a, zatem największą wartość przyjmuje w wierzchołku: (1 + 1) a w = = ( 1) ( + ) a w należy do dziedziny, więc znaleźliśmy poszukiwane a. Matura próbna Joanna Matuszewska