MOCE I KOMPENSACJA REAKTANCYJNA W LINIOWYCH OBWODACH TRÓJFAZOWYCH. Leszek S. Czarnecki, IEEE Life Fellow Louisiana State University

Transkrypt

1 MOCE I KOMPENSACJA REAKANCYJNA W LINIOWYCH OBWODACH RÓJFAZOWYCH Lszk S. Czarncki, IEEE Lif Fllow Louisiana Stat Univrsity

2 Rys historyczny Pirwsz wnioski o nikorzystnym wpływi nizrównoważnia odbiornika na współczynnik mocy pochodzą od Stinmtza (1917) i Lyona (1920) Obsrwacja ta ni wpłynęła na równani mocy odbiorników trójfazowych, któr w wszystkich toriach mocy: AIEE (1920); Buchholz (1922) Curtis & Silb (1935); Quad (1937); Rosnzwig (1939); Fryz (1985); Koch (1986); Dpnbrock (1993); IEEE Standard (1992) ma tę samą postać S = P + Q

3 Moc nizrównoważnia pojawia się w równaniu mocy S = P + Q + D u po raz pirwszy w 1988 roku, w pracy: Lszk S. Czarncki: Orthogonal dcomposition of th currnt in a thr-phas non-linar asymmtrical circuit with nonsinusoidal voltag, IEEE ransactions on Instrumntation and Masurmnt

4 Kluczowym zagadninim przy wyprowadzaniu równania mocy S = P + Q + D u był wybór dfinicji mocy pozornj S W artykul: Orthogonal dcomposition of th currnt in a thr-phas non-linar asymmtrical circuit with nonsinusoidal voltag, dfinicję mocy pozornj S wybrano intuicyjni, jako: S = u i rafność tgo wyboru została potwirdzona analizą dopiro w 1999r, w artykul: Lszk S. Czarncki: "Enrgy flow and powr phnomna in lctrical circuits: illusions and rality," Archiv fur Elktrotchnik, (82), No. 4, pp , 1999.

5 W artykul tym wykazano, ż arytmtyczna i gomtryczna dfinicj mocy pozornj, df S = U I + U I + U I = S R R SS A df 2 2 S = P + Q = S odbiorników nizrównoważonych G są błędn zaś poprawną jst dfinicja: R S R S S = u i = U + U + U I + I + I 5

6 Moc w obwodach trójprzwodowych z odbiornikam LI zasilanych symtrycznym i sinusoidalnym napięcim u () t i () t u() t = u () t = u, i( t) = i () t = i R R S S u() t i() t 1 ( ) 1 P = u i + u i + u i dt = ( t ) ( t ) dt = (, ) u i ui R R SS 0 0 (, ) 1 x y = ( t ) ( t ) dt x y 0 jst iloczynm skalarnym wktorów trójfazowych, x (t) i y (t) Wktory trójfazow x (t) i y (t) są wzajmni ortogonaln wtdy, gdy (x, y ) = 0 6

7 Wartość skutczna wilkości trójfazowych Moc czynna symtryczngo urządznia trójfazowgo P = R 1 ( i i i ) dt R 1 ( t ) ( t ) dt R (, ) R + + = = = i i ii i R S 0 0 i = 1 ( i + i + i ) dt = i + i + i 0 Funkcjonał: R S R S jst wartością skutczną prądu trójfazowgo. Jśli wktory x (t) i y (t) są ortogonaln, to jst (x, y ) = 0, wówczas x + y = x + y 7

8 Składow Fizyczn Prądu (SFP) (ang.: CPC- Currnts Physical Componnts) 3-fazowgo odbiornika LI zasilango symtrycznym sinusoidalnym napięcim i = ia + ir + iu ia = i = i r j 2 R{ 1t G U ω } j 2 R{ 1t jb U ω } 1 u 2 R{ # j ω = AU t } Prąd czynny Prąd birny Prąd nizrównoważnia UR UR # U = U, U = U S U U S Y = G + jb = Y + Y + Y RS S R A = ( Y + αy + α Y ) * S R RS Admitancja równoważna Admitancja nizrównoważnia 8

9 i = ia + ir + iu Wartości skutczn prądu czynngo, birngo i prądu nizrównoważnia: ia = G u ir = B u i = A u u Prądy czynny, birny i nizrównoważnia są wzajmni ortogonaln, gdyż ich iloczyny skalarn są równ zru (i a, i r ) = 0, (i a, i u ) = 0, (i r, i u ) = 0 Zatm = a + r + u i i i i 9

10 Równani mocy: a r u 2 i = i + i + i, u S = P + Q + D u D u df = u i = A u u 2 jst mocą nizrównoważnia 10

11 Przykład: u = = 381 V Y Y RS 1 = = j = j180 S Z R = G + jb = Y = j S RS A = Y = α * RS S j i = = 511 A i = G u = = 343 A, a u ir = B u = = 114 A, i = A u = = 361 A, a r u i = i + i + i = = 511 A S = 195 kva, P = 131 kw, Q = 43 kvar, D u = 138 kva 11

12 Kompnsacja raktancyjna w obwodach trójfazowych z sinusoidalnymi przbigami prądu i napięcia objmuj: - kompnsację mocy birnj - równoważni odbiorników nizrównoważonych Pirwsza koncpcja kompnsatora równoważącgo i mtoda wyznaczania jgo paramtrów pochodzi od Stinmtz a, z roku 1917 W sytuacji braku pojęcia moc nizrównoważnia wpływ równoważnia odbiornika na jgo moc pozorną S i współczynnik mocy λ pozostaj nijasny Kompnsator Stinmtz a to obwód, który rdukuj oscylacj mocy chwilowj Późnijsz mtody projktowania, często gomtryczn, poszukiwały obwodu kompnsującgo składową symtryczną koljności ujmnj prądu odbiornika

13 Algbraiczna mtoda wyznaczania paramtrów kompnsatora równoważącgo, oparta na koncpcji Składowych Fizycznych Prądu została przdstawiona w 1989 r. artykul: Lszk S. Czarncki: Ractiv and unbalancd currnts compnsation in thr-phas circuits undr nonsinusoidal conditions, IEEE ransactions on Instrumntation and Masurmnt, IM-38, No. 3, pp , 1989.

14 Raktancyjna kompnsacja prądu birngo i prądu nizrównoważnia λ = P = S i a a 2 + u 2 + r 2 i i i Y RSc Y Sc Y Rc = j RS = j S = j R Prąd birny i prąd nizrównoważnia odbiornika są całkowici skompnsowan, jśli suscptanc kompnsatora mają wartość RS S = ( 3 R{ A} Im{ A} B )/3 = (2 Im{ A} B )/3 R = ( 3 R{ A} Im{ A} B )/3 14

15 Przykład: Y = G + jb = Y = j S RS A j = α * YRS = = j 0.64 S i = 343 A, i = 361 A, i = 114 A, i = 511 A, λ = 0.67 a u r S = 195 kva RS S R = ( 3 R{ A} Im{ A} B ) / 3 = 0.30 S = ( 2 Im{ A} B ) / 3 = 0.52 S = (- 3 R{ A} Im{ A} B ) / 3 = S i = 343 A, i = 0, i = 0, i = 343 A, λ=1 a u r S = 131 kva 15

16 Przdstawion równani mocy i mtoda obliczania paramtrów kompnsatora jst punktm startowym do dfinicji mocy i projktowania kompnsatorów raktancyjnych odbiorników zasilanych napięcim nisinusoidalnym W istoci, w cytowanych artykułach: Lszk S. Czarncki: Orthogonal dcomposition of th currnt in a thr-phas non-liar asymmtrical circuit with nonsinusoidal voltag, IEEE rans. on Instr. and Mas Lszk S. Czarncki: Ractiv and unbalancd currnts compnsation in thr-phas circuits undr nonsinusoidal conditions, IEEE rans. on Instr. and Mas zagadninia t zostały rozwiązan dla odbiorników zasilanych napięcim nisinusoidalnym Wyniki t dotyczą jdnak jdyni odbiorników trójfazowych zasilanych trójprzwodowo

17 Powyższ wyniki dotyczą jdnak jdyni odbiorników trójfazowych zasilanych trójprzwodowo Ni są on prawdziw w przypadków odbiorników trójfazowych z przwodm zrowym

18 Równani mocy odbiorników LI zasilanych cztroprzwodowo napięcim symtrycznym i sinusoidalnym Wartość skutczna prądu trójfazowgo w obwodzi cztroprzwodowym RN in i = i ( ) R i 3 2

19 Odbiorniki równoważn z względu na moc czynną i moc birną ia() t = Gu() t G = P = P = ( GR + GS + G ) u 3U 3 ir() t = B d u (). t d( ωt) R Q 1 Q B 1 = = = ( BR + BS + B ) u UR n z a r u u u i i i = i = i + i

20 ,,, Składow Fizyczn Prądu zasilania n z a r u u i = i + i + i + i i i n AUR df n n n u AU j ω t A # j ω = U t n AU S = 2R{ } 2R{ } z AUR df z z z u AUR j ω t A R j ω = U t z AUR = 2R{ } 2R{ }. df n A = 1 ( YR + αys+ α* Y) 3 df z A = 1 ( YR + α* YS+ αy). 3

21 n z a r u u i = i + i + i + i Składow Fizyczn Prądu są wzajmni ortogonaln, zatm n 2 z 2 a r u u i = i + i + i + i. i = G u a r i = B u n u n i = A u z u z i = A u.

22 U = 230V R S i = I + I + I + = 51, ,0 = 126,0 A. Y R = 1 = 0,10 j 0,20 S, S 0,50 S 0. 2 j 4 Y = Y = + u = 3 U = = 398,4 V Y = G+ jb 1 = ( YR + YS+ Y) = 0,02 j 0,067 S. 3 0 n 122,7 A = 1 ( YR + αys+ α* Y ) = 0,0924 S 3 0 z 1 ( 103 R S ) = 0,217 j A = Y + α* Y + αy S. 3 a 2 i = G u = 0,20 398,4 = 79,68 A r 2 i = B u = 0, ,4 = 26,57 A n n 2 u u i = A = 0, ,4 = 36,81 A z z 2 u u i = A = 0, ,4 = 86,45 A 2 2 n 2 z a r u u i = i + i + i + i = 79, , , ,45 = 126,0A.

23 2 2 2 n 2 z 2 2 a r u u i = i + i + i + i u n2 z2 = + + u + u S P Q D D P Q = i u = G u df a = ± i u = B u r 2 2 D D df n n n 2 u = iu u = A u df z z z 2 u = iu u = A u

24 U = 230V Y R = 1 = 0,10 j 0,20 S, S 0,50 S 0. 2 j 4 Y = Y = R S i = I + I + I + = 51, ,0 = 126,0 A. u = 3 U = = 398,4 V Y = G+ jb 1 = ( YR + YS+ Y) = 0,02 j 0,067 S. 3 0 n 122,7 A = 1 ( YR + αys+ α* Y ) = 0,0924 S 3 0 z 1 ( 103 R S ) = 0,217 j A = Y + α* Y + αy S P = G u = 0,20 (398,4) = 31,7 kw 2 2 Q = B u = 0, 0667 (398,4) = 10,6 kvar n n 2 2 u u D = A = 0,0924 (398,4) = 14,7 kva z z 2 2 u u D = A = 0,217 (398,4) = 34,4 kva. 2 2 n2 z S = P + Q + Du + Du = 31,7 + 10,6 + 14,7 + 34,4 = 50,2 kva

25 Kompnsacja raktancyjna w obwodach trójfazowych z przwodm zrowym P ia i λ = = = S i i i i i a a 2 + r 2 + n 2 u + z 2 u. i' r 0 if n i' u 0 if z i' u 0 if 1 ( ) R + S + B =. 1 ( n R + α S + α ) + = 0 3 j * A 1 ( z R + α S + α ) + = 0 3 j * A 5 równań, 3 niwiadom: sprzczny układ równań

26 i' r 0 if z i' u 0 if 1 ( ) R + S + B =. 1 ( z R + α S + α ) + = 0 3 j * A R S z = 2Im A B z z = 3 R A + Im A B = 3 R A + Im A B. z z

27 n i' u 0 if S R RS 'n j( + α + α* ) + A = 0 RS ' n u ' n u = ( 3R A Im A )/3 S R ' n u = (2Im A )/3 ' n u ' n u = ( 3R A Im A )/3

28 U = 120V u = 3U = = V R Y = G+ jb = ( YR + YS+ Y) = = j S j1 0 n j165 A = ( YR + αys+ α* Y) = α* Y = α* = = j0.061 S j1 0 z 1 * j75 A = ( YR + α YS+ αy) = αy = α = = j0.228 S j1 i = G u = = 34.7 A a r i = B u = = 34.7 A n u n i = A u = = 49.0 A z u z i = A u = = 49.0 A.

29 Kompnsator Y składowj zrowj: R S z = 2ImA B = S z z = 3 R A + ImA B = S = 3 R A + ImA B = S. z z n z* n A' = A + A = ( j 0.228) * j = j S Kompnsator składowj ujmnj: n n RS = ( 3R A' Im A' )/3 = 0 n S = (2Im A' )/3 = S n n R = ( 3R A' Im A' )/3 = S.

30 Poprawny opis właściwości nrgtycznych obwodów cztroprzwodowych z sinusoidalnym napięcim zasilania tworzy solidną podstawę do poszukiwania równania mocy i mtod projktowania kompnsatorów raktancyjnych pracujących przy napięciu odkształconym Powyższ wyniki dotyczą jdyni odbiorników trójfazowych zasilanych symtryczni Ni są on prawdziw w przypadków odbiorników trójfazowych z asymtrycznym napięcim zasilania

31 Moc stacjonarnych odbiorników LI zasilanych trójprzwodowo z asymtrycznym, lcz sinusoidalnym napięcim zasilania

32 Pułapka suprpozycji p p n n n p p n a r u a r u i = i + i = ( i + i + i ) + ( i + i + i ) Składow t ni są wzajmni ortogonaln. Wartość skutczna prądu zasilania ni moż być obliczana z sumy kwadratów wartości skutcznych tych szściu prądów składowych

33 Y * P jq Cb b = Gb+ jbb = = 2 2 u u a p n jω t = Gb = 2 R{ Gb ( + ) } i u U U ir = Bb u( t+ /4) = 2 R{ jbb ( U + U ) } p n jω t jωt b I Ib u Iu jωt i i = 2 R{( ) } = i = 2 R{ }. Rozkład prądu zasilania na Składow Fizyczn: i = i a + i r + i u

34 Można wykazać, ż prądy ta są wzajmni ortogonaln, zatm = a + r + u i i i i Mnożąc to równani przz kwadrat wartości skutcznj napięcia zasilania, u, otrzymuj się równani mocy odbiornika LI zasilango sinusoidalnym i asymtrycznym napięcim S = P + Q + D u

35 Przykład U R = 100V, j 2π / 3 US = 100 V, p U = V 0 n 60 U j Y P jq = G + jb = = j S u b b b 2 0 j j p n a 2 R{ a ω t j t j. j t } 2 R{ Gb ( + ) ω i = I = U U } = 2 R{ ω } A. 0 j j jωt p n jωt j jωt ir = 2 R{ Ir } = 2 R{ jbb ( U + U ) } = 2 R{ } A. 0 j j jωt j75 jωt iu= 2R{( I Ia Ir) } = 2R{ } A 0 j

36 R S i = I + I + I = = A Wartości skutczn Składowych Fizycznych prądu zasilania: i = G u = = A a r b i = B u = = A b u ur us u i = I + I + I = = A. Wryfikacja poprawności rozkładu prądu na Składow Fizyczn: a r u i + i + i = = A = i.

37 Sam rozkład prądu na Składow Fizyczn ni tworzy jszcz podstaw dla kompnsacji raktancyjnj prądu birngo i prądu nizrównoważnia gdyż ni okrśla rlacji tych prądów z paramtrami kompnsatora

38 U U n p = a = a jψ Equivalnt circuit of unbalancd LI load supplid with asymmtrical voltag: p p n n u = Y # # d + A + A I U U U p n J = A U n# n df * S α R α RS A = ( Y + Y + Y ) n p J = A U p# p df * S α R α RS A = ( Y + Y + Y ) 2a 2π 2π Yd = [ Y 2 Scosψ + YRcos( ψ ) + YRScos( ψ+ )] 1+ a 3 3 Yb = Y Yd Y = YS+ YR+ YRS.

39 Kompnsacja raktancyjna odbiorników LI zasilanych napięcim asymtrycznym

40 Warunk kompnsacji prądu birngo: B + B = Cb b 0 Warunk kompnsacji prądu nizrównoważnia: B RSURS+ S US + R UR Cb = 2 u ( p p p n n n YCd + Yd ) UR + ( AC + A ) U + ( AC + A ) U = 0 Y Cd j2a 2π 2π = [ 2 S cosψ + Rcos( ψ ) + RS cos( ψ+ )] 1+ a 3 3 A p = ( + α α ) * C j S R + RS A n = ( + α α ) * C j S R + RS

41 Równani kompnsatora: URS US U R RS Bb u RF1 RF2 RF 3 S = RF4 ImF ImF ImF ImF R 4 z współczynnikami macirzy: df j ψ * jψ F1= c3 (1 + a ) j ( α + αa ) df jψ jψ F2 = c1 (1 + a ) j ( 1 + a ) df j ψ * jψ F3 = c2 (1 + a ) j ( α + α a ) df j ψ F4 = ( 1 + a ) Y + A + ( 1 + a ) A. d p jψ n c c c df 2a cosψ = j 1+ a df 2a cos( ψ 120 ) = j 1+ a df 2a cos( ψ 240 ) = j. 1+ a

42 Przykład kompnsacji raktancyjnj: U R = 100V, j 2π / 3 US = 100 V,

43 Dziękuję za uwagę!