Optymalizacja nastaw przesuwników fazowych z wykorzystaniem algorytmu roju cząstek

Transkrypt

1 doi: / Roman KORAB 1 Robert OWCZAREK 1 Marcin POŁOMSKI 2 Politechnia Śląsa Instytut Eletroenergetyi i Sterowania Uładów (1) Instytut Eletrotechnii i Informatyi (2) Optymalizacja nastaw przesuwniów fazowych z wyorzystaniem algorytmu roju cząste Streszczenie. Użycie ilu przesuwniów fazowych w połączonym systemie eletroenergetycznym musi być soordynowane w celu efetywnego wyorzystania istniejącej infrastrutury sieciowej ale również do uninięcia niepożądanych interacji tych urządzeń i zapewnienia bezpieczeństwa pracy sieci. W artyule przedstawiono metodę wyznaczania optymalnych (soordynowanych) nastaw przesuwniów fazowych opartą na algorytmie optymalizacji rojem cząste (PSO). Jao ryterium optymalizacji zastosowano minimalizację strat mocy czynnej. Poazano wynii obliczeń dla sieci testowej zawierającej 118 węzłów. Abstract. The use of several phase shifters in an interconnected power system must be coordinated in order to efficiently use the existing gr infrastructure as well as to avo adverse interactions of theses devises and guarantee the secure operation of the system. This paper presents a method for determining the optimal (coordinated) settings of phase shifters based on the particle swarm optimization (PSO) algorithm. The goal of optimization was to minimize the active power losses. Simulation results for an IEEE 118-bus test system are given. (Optimization of phase shifter settings using the particle swarm algorithm). Słowa luczowe: przesuwni fazowy przepływy nieplanowe optymalizacja rojem cząste straty mocy czynnej. Keywords: phase shifter unscheduled flows particle swarm optimization active power losses. Wstęp Liberalizacja rynu energii eletrycznej oraz zwięszenie penetracji odnawialnych źródeł energii w Europie głównie źródeł wiatrowych to dwa zasadnicze czynnii tóre spowodowały że w połączonych systemach przesyłowych na szeroą salę pojawiły się tzw. przepływy nieplanowe (ang. unscheduled flows; nieplanowe przepływy wyrównawcze mocy czynnej pomiędzy poszczególnymi systemami). Zjawiso to jest szczególnie woczne w systemach eletroenergetycznych Europy Środowo- Wschodniej gdzie nadmiar mocy z eletrowni wiatrowych na północy Niemiec jest przesyłany do miejsc odbioru na południu Niemiec oraz do Austrii z wyorzystaniem sieci przesyłowych rajów sąsiednich szczególnie Polsi i Czech. Ze względu na przyczyny powstania przepływy nieplanowe zwyło dzielić się na przepływy ołowe (ang. loop flows) oraz przepływy tranzytowe (ang. transit flows) [1 2]. Należy tutaj dodać że w sieciach zamniętych taich ja europejsa sieć przesyłowa niewieli poziom przepływów nieplanowych jest zjawisiem całowicie naturalnym wyniającym m.in. z synchronicznej pracy połączonych systemów eletroenergetycznych tóre samo w sobie nie musi mieć negatywnego wpływu na ich funcjonowanie. Jedna nieontrolowany wzrost przepływów nieplanowych jai ma miejsce w ostatnich latach jest poważnym problemem dla operatorów sieci przesyłowych (OSP) [2 3]. Przepływy te nadmiernie obciążając sieć przesyłową prowadzą do zagrożenia bezpiecznej pracy połączonych systemów. W dodatu zmuszają OSP do ograniczania zdolności przesyłowych połączeń transgranicznych udostępnianych uczestniom rynu energii eletrycznej oraz do stosowania nadzwyczajnych środów zaradczych [1]. Mogą powodować również wzrost strat przesyłowych w pewnych obszarach pogarszając tym samym eonomię pracy sieci. W związu z opisaną sytuacją wzrasta zainteresowanie OSP zastosowaniem tzw. przesuwniów fazowych (ang. phase shifters lub phase shifting transformers PST) do zarządzania przepływami mocy na połączeniach transgranicznych. W najbliższych latach taie urządzenia zostaną zainstalowane w liniach wymiany na granicy Polsa Niemcy i Czechy Niemcy [4]. Przy czym pierwsze z nich uruchomiono już na połączeniu pomiędzy stacjami Miułowa (PL) i Hagenwerder (DE) [5]. Przesuwnii fazowe (PST) są to specjalne transformatory tóre zainstalowane w linii przesyłowej umożliwiają regulację ąta fazowego napięcia i tym samym zmianę przepływu mocy czynnej w linii. Należy również dodać że w sieci zamniętej PST wpływają nie tylo na zmianę przepływów mocy w liniach w tórych są zainstalowane ale taże na przepływy mocy w całej sieci (zwłaszcza w otoczeniu sieciowym PST). Co więcej jeśli ila PST jest zainstalowanych stosunowo bliso siebie możliwe są interacje tych urządzeń. Ja wyazano w [6] oddziaływania te mogą być wzmacniające lub osłabiające. Ta więc sterowanie ilu PST z wzajemnym oddziaływaniem wymaga wyrafinowanych mechanizmów oordynacji w celu pełnego wyorzystania tych urządzeń i uninięcia onflitów tóre mogą prowadzić do nieoczeiwanego zachowania. Kila metod oordynacji urządzeń sterujących przepływem mocy zostało przedstawionych w literaturze [7 13]. W niniejszym artyule poazano ja PST powinny być sterowane w celu uzysania optymalnej (czy też prawie optymalnej) z puntu wzenia przyjętego ryterium sytuacji dla danego systemu. Zaprezentowana została metoda wyznaczania optymalnych (soordynowanych) nastaw PST w onteście strat mocy czynnej w sieci bazująca na algorytmie optymalizacji rojem cząste (ang. Particle Swarm Optimization PSO). Przedstawiono wynii dla sieci testowej zawierającej 118 węzłów. Regulacja przepływu mocy czynnej za pomocą PST Przepływ mocy czynnej w linii przesyłowej oreśla następująca zależność [14]: (1) U U P sin X L gdzie: U 1 U 2 moduły napięć na początu i ońcu linii ąt mocy (różnica argumentów napięć węzłowych na początu i ońcu linii = 1 2 ) X L reatancja linii. Z zależności (1) wynia że moc czynną płynącą w linii przesyłowej można zmieniać doonując zmiany poziomów napięć U 1 i U 2 wartości reatancji X L oraz ąta mocy δ. Jednaże najszersze zmiany mocy czynnej umożliwia regulacja ąta δ (sterowanie wartością ąta pozwala nie tylo na zmianę wartości mocy czynnej płynącej linią ale 60 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R. 93 NR 3/2017

2 również na zmianę ierunu jej przepływu). W pratyce w tym celu stosuje się PST. PST włączony szeregowo do linii przesyłowej (linia 2 na rys.1) wprowadza do napięcia na początu linii U 1 prostopadłe do niego napięcie dodawcze U. W rezultacie (rys.2) wypadowe napięcie U 3 za PST jest przesunięte w fazie w stosunu do napięcia U 1 przed PST o ąt α a ąt mocy dla linii jest równy (δ + ). W tym przypadu przepływ mocy czynnej w linii przyjmuje następującą postać [11]: (2) U U P sin( ) XL XPST gdzie: X PST reatancja PST ąt regulacji PST. Rys.1. Schemat uładu przesyłowego z PST Regulacja napięcia U powoduje zmianę ąta i tym samym zmianę mocy P 2. Napięcie U można regulować w zaresie od wartości ujemnych do wartości dodatnich co powoduje odpowiednio zmniejszenie lub zwięszenie ąta mocy i tym samym mocy P 2. Rys.2. Wyres fazorowy dla linii z niesymetrycznym PST Zadanie optymalizacji W ogólnym przypadu problem optymalizacji polega na poszuiwaniu wetora zmiennych decyzyjnych dla tórego zdefiniowana funcja celu osiąga estremum. Na zmienne decyzyjne nałożone są zazwyczaj ograniczenia równościowe lub nierównościowe. W przeprowadzonych badaniach zadanie optymalizacji polegało na poszuiwaniu optymalnych nastaw czterech PST (zmienne decyzyjne) przy minimalizacji strat mocy czynnej w całej sieci testowej oraz w jej obszarach (poszczególne funcje celu). PST zainstalowane były w liniach na przeroju O2 (linie i 19 34) oraz O3 (linie i 30 38) (rys.3). Granice przestrzeni poszuiwań oreślone były przez masymalne i minimalne nastawy ażdego PST. Matematycznie zadanie to można wyrazić w następującej formie: (3) min f ( x ) Pstr x 4 przy ograniczeniach: x x x d (4) dmin d d gdzie: f (x) funcja celu P str straty mocy czynnej w siecix wetor zmiennych zawierający nastawy PST 4 4-wymiarowa rzeczywista przestrzeń wetorowa x d nastawa d-tego przesuwnia x d min x d minimalna i masymalna nastawa d-tego przesuwnia. Aby uninąć sytuacji w tórej w procesie wyznaczania nastaw PST algorytm optymalizacji utya na srajnych wartościach dopuszczalnego przedziału nastaw zastosowano podejście z tzw. funcją ary. Funcja ta wprowadzana jest jao dodatowy sładni funcji celu. Matematycznie można to zapisać następująco: (5) min F( x) f( x) p( x ) x 4 (6) x 4 2 d 1 p( ) a xd gdzie: F (x) funcja celu uwzględniająca funcję ary f (x) oryginalna funcja celu p (x) funcja ary a stały współczynni ary (dobierany esperymentalnie). Do rozwiązania zdefiniowanego problemu została użyta metoda oparta na algorytmie roju cząste. Zaletą tego algorytmu jest to że do przeprowadzenia optymalizacji nie potrzebuje znajomości gradientu funcji celu i daje duże prawdopodobieństwo znalezienia optimum globalnego. Dodatowym atutem jest mniejsza liczba parametrów optymalizacji w stosunu np. do algorytmów ewolucyjnych co pozwala na łatwiejszy dobór optymalnych parametrów algorytmu optymalizacyjnego [15]. Algorytm optymalizacji rojem cząste Algorytm PSO został zaproponowany w 1995 r. przez Kennedy ego i Eberharta [16]. Algorytm jest inspirowany biologicznie i bazuje na zachowaniu społecznym roju zwierząt (na przyład ptai czy ryby) tóre współpracują ze sobą w celu uzysania orzystnej sytuacji (znalezienie pożywienia uciecza przed drapieżniiem itd.). Algorytm PSO pracuje na grupie cząste (nazywanej rojem) będącej zbiorem potencjalnych rozwiązań problemu. Proces optymalizacji realizowany jest iteracyjnie i polega na znajdowaniu coraz to lepszych położeń cząste w przestrzeni poszuiwań i w rezultacie znalezienia położenia optymalnego (najlepszego rozwiązania) do tórego zbiega się cała grupa (rój). Podczas procesu optymalizacji położenie ażdej cząsti wyznaczane jest na podstawie jej wcześniejszych doświadczeń oraz doświadczeń całej grupy [15]. Położenie i-tej cząsti jest uatualniane przez stochastyczną prędość v i. Taie podejście opisują poniższe zależności [17]: (7) (8) v v c r ( p x ) c r ( p x ) 1 1 1d 2 2d gd 1 1 i N ; d D x x v gdzie: N liczba cząste roju D liczba zmiennych decyzyjnych c 1 c 2 współczynnii przyspieszenia r 1d r 2d liczby losowe z przedziału [0; 1] ω współczynni bezwładności ruchu cząsti x i położenie i-tej cząsti w -tym rou iteracji v i prędość i-tej cząsti w -tym rou iteracji p i dotychczasowe najlepsze położenie i-tej cząsti p g najlepsze położenie znalezione przez lera roju ro iteracji. Współczynnii c 1 c 2 ontrolują zares ruchu cząsti w pojedynczej iteracji. W więszości przypadów oba są entyczne. Najczęściej przyjmuje się c 1 = c 2 = 2. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R. 93 NR 3/

3 Współczynni ω odpowiada za równowagę pomiędzy zdolnością do globalnego i loalnego przeszuiwania obszaru możliwych rozwiązań. Jego duża wartość umożliwia globalne przeszuiwanie natomiast mniejsza loalne. Mnożni ten może być stały lub ulegać zmianom w procesie optymalizacji co zwięsza efetywność działania algorytmu [18]. Mówi się wtedy o liniowej reducji współczynnia bezwładności tóry ma następującą postać [19]: min (9) gdzie: ω masymalna wartość współczynnia bezwładności ω min minimalna wartość współczynnia bezwładności masymalna (założona) liczba iteracji procesu optymalizacji numer (ro) atualnej iteracji. W tracie działania algorytmu PSO dla tórego dobrano wysoie wartości współczynnia ω oraz współczynniów c 1 c 2 niejednorotnie dochodzi do sytuacji w tórej cząsti wybiegają poza przestrzeń poszuiwań. Aby tego uninąć zazwyczaj wprowadza się ograniczenia na prędość [20]: (10) gdzie: decyzyjnej d zmiennej decyzyjnej d. jeżeli v wtedy v jeżeli v min wtedy v min V d masymalna prędość cząsti dla zmiennej V d min minimalna prędość cząsti dla Sieć testowa Do obliczeń wyorzystana została sieć testowa IEEE118 [21] zawierająca 118 węzłów oraz 186 gałęzi w tym 9 transformatorów. Sieć została podzielona na trzy obszary (rys.3) w sład tórych wchodziły następujące węzły: obszar : od 1 do 23 od 25 do 32 oraz i 117 obszar O2: od 33 do 37 od 39 do 61 oraz 63 i 64 obszar O3: od 65 do 112 oraz i 118. Przeroje międzyobszarowe tworzyły następujące linie: przerój O2: dwie linie 138 V: i przerój O3: jedna linia 138 V: oraz jedna linia 345 V: przerój O2 O3: sześć linii 138 V: (x2) ; jedna linia 345 V: oraz transformator 345/138 V/V: Węzeł sieci nr 69 był węzłem bilansującym. Strzałi na rysunu 3 przedstawiają ierune przepływu mocy na przerojach międzyobszarowych w stanie bazowym uładu (przed optymalizacją). Dane dla stanu bazowego sieci testowej poazano w tabeli 1. Tabela 1. Dane dla stanu bazowego sieci testowej Obszar sieci testowej Zapotrzebowanie Generacja Straty mocy czynnej P L [MW] P G [MW] P str [MW] O O Całość Rys.3. Schemat sieci testowej IEEE118 [21] wraz z założoną loalizacją PST 62 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R. 93 NR 3/2017

4 Metoda optymalizacji nastaw PST W badaniach zastosowano podejście bazujące na połączeniu algorytmu roju cząste i lasycznej metody wyznaczania rozpływu mocy (metody Newtona-Raphsona) (rys.4). Na początu algorytmu optymalizacji wygenerowany zostaje startowy rój cząste o oreślonej liczebności tórym nadawane są losowe położenia oraz prędości. Położenie ażdej cząsti reprezentowane jest przez wetor zawierający nastawy poszczególnych PST (potencjalne rozwiązania). Następnie algorytm przechodzi do procedur wywoływanych dla pojedynczej cząsti roju. Na podstawie parametrów cząsti (nastaw PST) przygotowywany jest model sieci testowej uwzględniający atualne nastawy przesuwniów po czym wyznaczany jest rozpływ mocy za pomocą pracującego w środowisu Matlab programu Matpower [22]. W rezultacie uzysiwana zostaje wartość funcji celu (strat mocy czynnej w sieci) tóra to następnie przesyłana jest do algorytmu rojowego. Po wyznaczeniu przystosowania (wartości funcji celu) wszystich cząste roju zmienione zostają najlepsze położenia cząste oraz następuje wybór lera roju. Od tego momentu rozpoczyna się proces iteracyjny. Modyfiowane zostają prędości i położenia cząste wyznaczana zostaje wartość funcji przystosowania dla ażdej cząsti następuje atualizacja lera roju oraz atualizacja najlepszych położeń cząste [15]. Algorytm działa iteracyjnie aż do momentu spełnienia warunu zaończenia (np. zadelarowanej liczby iteracji). Inicjalizacja Pętla =+1 NIE START Nadanie cząstom roju losowych położeń i prędości Obliczanie wartości funcji przystosowania cząste roju Znalezienie lera roju Atualizacja najlepszego położenia ażdej cząsti Atualizacja prędości cząste roju Atualizacja położenia cząste roju Obliczanie wartości funcji przystosowania cząste roju Atualizacja lera roju Atualizacja najlepszego położenia ażdej cząsti Warune zaończenia STOP TAK cząsta roju Rys.4. Algorytm optymalizacji rojowej nastaw PST Przygotowanie modelu sieci wartość funcji celu cząsta roju Analiza rozpływowa Przygotowanie modelu sieci wartość funcji celu Analiza rozpływowa Wynii obliczeń dla sieci testowej IEEE118 Wszystie obliczenia przeprowadzono na omputerze wyposażonym w procesor Intel Core i7-4702mq 22 GHz pod ontrolą 64-bitowego systemu operacyjnego Windows. Przyjęte parametry optymalizacji i algorytmu PSO zestawiono w tabeli 2. Tabela 2. Przyjęte parametry optymalizacji i algorytmu PSO Masymalna liczba iteracji procesu optymalizacji 50 Masymalna wartość współczynnia bezwładności ω 09 Minimalna wartość współczynnia bezwładności ω min 04 Współczynni przyspieszenia c 1 2 Współczynni przyspieszenia c 2 2 Masymalna prędość cząsti V 25 Minimalna prędość cząsti V min 25 Masymalna nastawa PST x 25 Minimalna nastawa PST x min 25 Dla przyładu na rysunach 5 i 6 przedstawiono wynii optymalizacji dla ryterium minimalizacji strat mocy czynnej w całej sieci testowej (wynii są średnimi z 20 testów numerycznych wszystie testy przeprowadzono dla tych samych ustawień parametrów algorytmu rojowego). Należy zwrócić uwagę na szybą zbieżność procesu optymalizacji oraz fat że mniejsza liczba cząste może być zastosowana (rys.5) co ma bezpośrednie przełożenie na czas optymalizacji (rys.6). wartość funcji celu F (x) cząste cząste cząste cząste liczba iteracji Rys.5. Przebieg zmian wartości funcji celu w olejnych iteracjach algorytmu rojowego (wartości średnie z 20 testów numerycznych) czas obliczeń [s] liczba cząste Rys.6. Czas trwania obliczeń dla różnej liczby cząste roju (wartości średnie z 20 testów numerycznych) W tabeli 3 zestawiono wynii optymalizacji rojowej dla różnych wariantów (wynii dla najlepszych rozwiązań po 50 iteracjach). Należy zauważyć że algorytm znalazł wartości nastaw PST tóre pozwoliły na zmniejszenie wartości strat mocy czynnej w optymalizowanych obszarach sieci testowej w stosunu do stanu bazowego. Przy czym ja poazują wynii z tabeli 3 czasami może się to odbywać osztem wzrostu strat mocy czynnej w innych obszarach sieci. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R. 93 NR 3/

5 Tabela 3. Wynii optymalizacji rojowej optymalne nastawy PST w odniesieniu do minimalnych strat mocy czynnej w sieci Linia Linia Linia Linia P str Obszar sieci testowej Reducja P str * PST1 PST2 PST3 PST4 [ o ] [ o ] [ o ] [ o ] [MW] [%] ** O O Całość O2** O Całość O O3** Całość O O Całość** *Reducja strat w stosunu do stanu bazowego sieci (patrz tab.1). **Obszar sieci testowej dla tórego minimalizowano straty mocy czynnej. Podsumowanie Użycie ilu PST w połączonym systemie eletroenergetycznym musi być soordynowane w celu pełnego wyorzystania tych urządzeń i uninięcia ich niepożądanych interacji. Koordynacja PST jest bardzo ważna zwłaszcza wtedy gdy liczba urządzeń w systemie wzrasta a odległość między nimi się zmniejsza. Warto podreślić że iedy PST są zainstalowane w różnych obszarach ontroli w celu uzysania pożądanych efetów istotna jest współpraca i oordynacja międzyoperatorsa polegająca m.in. na wymianie informacji pomiędzy OSP o nastawach PST. W artyule przedstawiono metodę oordynacji nastaw PST opartą na algorytmie optymalizacji rojem cząste. Jao ryterium optymalizacji zastosowano minimalizację strat mocy czynnej w sieci. Metoda została sprawdzona na sieci testowej a wynii badań wyazały jej dobrą efetywność. Dalsze prace w tematyce soordynowanego sterowania PST powinny być uierunowane na optymalizację nastaw przesuwniów w tórej jednocześnie będzie poszuiwane estremum ilu różnych funcji celu (optymalizacja wieloryterialna). Należy również wyonać testy przy zastosowaniu bardziej złożonego modelu sieci (planowane jest tutaj wyonanie szeregu testów dla modelu sieci 400/220/110 V połączonego systemu Europy Środowo- -Wschodniej (PL DE CZ SK HU AT UA) przy założeniu różnych sytuacji bilansowych w poszczególnych obszarach). Autorzy: dr hab. inż. Roman Korab Politechnia Śląsa Instytut Eletroenergetyi i Sterowania Uładów ul. B. Krzywoustego Gliwice Roman.Korab@polsl.pl; mgr inż. Robert Owczare Politechnia Śląsa Instytut Eletroenergetyi i Sterowania Uładów ul. B. Krzywoustego Gliwice Robert.Owczare@polsl.pl; dr inż. Marcin Połomsi Politechnia Śląsa Instytut Eletrotechnii i Informatyi ul. Aademica Gliwice Marcin.Polomsi@polsl.pl. LITERATURA [1] Majchrza H. Purchała K. Przepływy nieplanowe i ich wpływ na bezpieczeństwo pracy systemu eletroenergetycznego Eletroenergetya Współczesność i Rozwój (2012) nr [2] Position of ČEPS MAVIR PSE Operator and SEPS regarding the issue of Bding Zones Definition (2012) EO_SEPS-Bding_Zones_Definition.pdf [3] Joint study by ČEPS MAVIR PSE Operator and SEPS Unplanned flows in the CEE region in relation to the common maret area Germany Austria (2013) egion.pdf [4] Regional Investment Plan Continental Central East (2014) development-plan/tyndp- 2014/Documents/RgIP%20CCE%202014_FINAL.pdf [5] Polsie Sieci Eletroenergetyczne S.A. [6] Korab R. Owczare R. Impact of phase shifting transformers on cross-border power flows in the Central and Eastern Europe region Bull. Pol. Ac.: Tech. 64 (2016) n [7] Oudalov A. Cheraoui R. Germond A.J. Emery M. Coordinated power flow control by multiple FACTS devices Proc. IEEE Bologna Power Tech Conference (2003) [8] Marinescu B. Coulondre J. M. A coordinated phase shifting control and remuneration method for a zonal congestion management scheme Proc. IEEE PES Power Systems Conference and Exposition (2004) [9] Marinais A. Glavic M. Van Cutsem T. Control of phase shifting transformers by multiple transmission system operators Proc. IEEE Lausanne Power Tech (2007) [10] Marinais A. Glavic M. Van Cutsem T. Minimal Reduction of Unscheduled Flows for Security Restoration: Application to Phase Shifter Control IEEE Transactions on Power Systems 25 (2010) n [11] Verboomen J. Optimisation of transmission systems by use of phase shifting transformers PhD Thesis Technische Universiteit Delft (2008) [12] Häger U. Lehnhoff S. Rehtanz C. Wedde H. F. Multi-Agent System for Coordinated Control of Facts Devices Proc. 15th Int. Conf. on Intelligent System Applications to Power Systems (2009) 1 6 [13] Belivanis M. Bell K.R.W. Coordination of the settings of phase-shifting transformers to minimize the cost of generation re-dispatch Proc. CIGRE Session (2014) C2 204 [14] Machowsi J. Regulacja i stabilność systemu eletroenergetycznego. Oficyna Wydawnicza Politechnii Warszawsiej (2007) [15] Szczepani M. Algorytmy rojowe w optymalizacji uładów mechanicznych Wydawnictwo Politechnii Śląsiej (2013) [16] Kennedy J. Eberhart R.C. Particle Swarm Optimization Proc. IEEE Int. Conf. on Neural Networs (1995) [17] Shi Y. Eberhart R.C. A modified particle swarm optimizer Proc. IEEE Int. Conf. on Evol. Comput. (1998) [18] Eberhart R.C. Shi Y. Particle swarm optimization: developments applications and resources Proc. IEEE Congr. on Evol. Comput. (2001) [19] Hajian-Hoseinabadi H. Hosseini S.H. Hajian M. Optimal power flow solution by a modified particle swarm optimization algorithm Proc. 43rd International Universities Power Engineering Conference (2008) 1 4 [20] Kennedy J. Eberhart R.C. Swarm Intelligence Morgamn Kauffman (2001) [21] Power Systems and Evolutionary Algorithms [22] Zimmerman R.D. Murillo-Sánchez C.E. Thomas R.J. MATPOWER Steady-State Operations Planning and Analysis Tools for Power Systems Research and Education IEEE Transactions on Power Systems 26 (2011) n PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN R. 93 NR 3/2017