FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 2009, Oeconomica 275 (57),

Transkrypt

1 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Uiv. Techol. Steti. 009, Oecoomica 75 (57), 3 36 Leoid WOROBJOW, Krzyztof WISIŃSKI, Alekadra PANFIORAVA STOSOWANIE METOD ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ W BADANIACH PRZYRODNICZYCH I EKONOMICZNYCH AN APPLICATION OF INTERVAL ESTIMATION METHODS IN ECONOMIE AND NATURE STUDY Katedra Marketigu, Zachodiopomorki Uiwerytet Techologiczy w Szczeciie ul. śołierka 47, 7-0 Szczeci Abtract. The article the method of determiig the cofidece iterval for the average value i the populatio. There have bee alo give the methodological guidelie iteded to correct applicatio of thi method i atural ad ecoomic tudie. Słowa kluczowe: etymacja przedziałowa, metodyka wyzaczaia przedziałów ufości dla wartości średiej w populacji, przykłady empirycze. Key word: iterval etimatio, methodology for determiig the cofidece iterval for the average value i the populatio, the empirical example. WSTĘP Studeci i doktoraci pizący prace magiterkie i doktorkie o tematyce ekoomiczej lub przyrodiczej częto mają trudości z poprawym tatytyczym opracowaiem daych empiryczych oraz z właściwą iterpretacją uzykaych wyików. Celem iiejzego artykułu jet udzieleie praktyczych wkazówek oobom toującym metody tatytycze w woich pracach badawczych. Szczegółowej aalizie poddae zotało zagadieie etymacji przedziałów ufości dla wartości średiej populacji. Przedtawioe rozwaŝaia mogą być takŝe toowae w przypadku iych zagadień związaych z etymacją przedziałową (p. przedział ufości dla wariacji, wkaźik truktury). W artykule zawarto rówieŝ ogóle iformacje o metodologii badań tatytyczych, które powiy być przydate przy toowaiu modeli tatytyczych. Jedym z główych zadań tatytyki matematyczej jet wiokowaie o właściwościach badaej zbiorowości (populacji geeralej) a podtawie jej fragmetu (podzbioru) próby. Rozwój metod tatytyczych prowadzi do uzykaia coraz pełiejzej iformacji o całości a podtawie części tej całości. Tak jak w wielu dziedziach auki tatytyka, w celu opiaia właości cech realej zbiorowości, wprowadza pewie teoretyczy model, który przekztałcay przy wykorzytaiu praw rachuku prawdopodobieńtwa pozwala badaczowi uzykać wartościowe wioki. Podtawowym arzędziem, za pomocą którego modeluje ię cechy obiektów w populacji, jet pojęcie zmieej loowej. Oberwacje doświadczale moŝemy traktować jako realizacje wartości zmieej loowej. Problem badaia zbiorowości geeralej prawdza ię zatem do określeia cech zmieej loowej a podtawie kończoego zbioru jej wartości.

2 3 L. Worobjow i i. ESTYMACJA PRZEDZIAŁÓW UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ OGÓLNE UJĘCIE ZADANIA Podtawowym parametrem zmieej loowej (a co za tym idzie, populacji, którą opiuje) jet jej wartość średia (wartość oczekiwaa). Itieją dwie metody zacowaia średiej (i ogóliej iezaych parametrów populacji) etymacja puktowa i etymacja przedziałowa. Etymacja puktowa daje moŝliwość ozacowaia parametrów za pomocą liczb, ie podaje jedak dokładości tych ozacowań. Metody etymacji przedziałowej pozbawioe ą tej wady. Wyzaczaie przedziału ufości dla średiej przebiega atępująco: Badaą cechę populacji opiuje zmiea loowa X, która ma iezaą wartość oczekiwaą rówą m i kończoą wariację. Na podtawie liczb x,x, K,x, które ą wartościami cech wyloowaymi iezaleŝie od obiektów populacji (wartościami próby), aleŝy wyzaczyć liczbową realizację przedziału, który ze z góry zadaym prawdopodobieńtwem pokrywa wartość średią m. Próbę x,x, K,x traktujemy jako realizację iezaleŝych zmieych loowych X, X, K, X. W przypadku, gdy załoŝymy, Ŝe zmiee loowe o wartości średiej rówej m, otrzymujemy zaleŝość: X, X, K, X mają rozkład ormaly S S P ( X t < m< X + t ) = () Zatem liczbowa potać przedziału ufości dla średiej, przy przyjętych załoŝeiach, jet atępująca: ( x t,x + t ) () Zwyczajowo przedział ufości dla średiej zapiuje ię w potaci: gdzie: liczebość próby, x = x i średia arytmetycza próby, i= x t < m< x + t (3) = odchyleie tadardowe próby, przy czym wariacja próby określoa jet przez i= = ( xi x ), t wartość pełiająca waruek: (odczytywaa z tablic rozkładu t-studeta dla i topi wobody). P ( t < t < t ) = W przypadku, gdy liczebość próby jet duŝa (zwykle przyjmuje ię, Ŝe próba jet duŝa, gdy > 30, przedział ufości przyjmuje potać: x u < m< x + u (4) gdzie: u liczba pełiającą waruek: tadaryzowaego). F (u ) = (F dytrybuata rozkładu ormalego

3 Stoowaie metod etymacji przedziałowej MATERIAŁ I METODY. PRZYKŁADY EMPIRYCZNE Metodykę wyzaczaia wielkości próby badawczej pokaŝemy a przykładach. Przykład. Jedą z waŝiejzych charakterytyk zbóŝ jet zawartość białka w ich ziarach. W celu ozacowaia średiej zawartości białka w ziarach pzeicy odmiay Meteor wykorzytao metodę etymacji przedziałowej. Wyloowao w poób iezaleŝy = 0 ziare i przebadao je pod względem procetowej zawartości białka. Otrzymao średią arytmetyczą x = 7, % i odchyleie tadardowe = 3,%. PoiewaŜ próba jet duŝa, aleŝy przyjąć atępującą potać przedziału ufości: x u < m< x + u Jako wpółczyik ufości przyjęto = 0, 90. Wartość u = u 0,0 obliczoo z waruku: F(u 0,0 ) = 0, 0 = 0,95. Korzytając z tablic dytrybuaty tadaryzowaego rozkładu ormalego, otrzymao u 0,0 =,64. Zatem przedział ufości będzie miał potać: Po łatwych obliczeiach otrzymao: 3, 7, 64, < m< 7, + 64, 0 6,7% < m < 7,6% Widać, Ŝe rozpiętość otrzymaego przedziału jet rówa 0,9%, co taowi około 5% średiej arytmetyczej obliczoej z próby. Lewy koiec przedziału jet więc średią arytmetyczą pomiejzoą o,5%, a prawy koiec średią arytmetyczą powiękzoą o,5%. Wyzaczoy przedział ufości moŝa iterpretować jako przedział wylooway z populacji przedziałów, w której przeciętie 9 a 0 przedziałów pokrywa iezaą średią procetową zawartość białka w ziarach pzeicy odmiay Meteor. Przykład. Wprowadzając do produkcji owy typ urządzeń elektroiczych, potaowioo ozacować przedział ufości dla średiej temperatury, w której ulegają oe zizczeiu. Ze względu a wyoki kozt urządzeń uzao za iecelowe przeprowadzeie badań a duŝej próbie. Dokoao = pomiarów; otrzymao atępujące wyiki (w C): 7,3, 69,8, 70,0, 68,5, 7,, 73,, 7,5, 69,4, 68,, 7,, 70,5, 69,. Jako wpółczyik ufości przyjęto = 0,95. PoiewaŜ próba jet mała, w pierwzym kroku aleŝy prawdzić hipotezę o ormalości rozkładu temperatur, w których urządzeia ulegają zizczeiu. W tym celu wykorzytao tet Kołmogorowa (Kryicki i i. 00). Przyjęto poziom itotości = 0,0. Wykorzytując pakiet tatytyczy Statgraf, otrzymao odpowiedź: Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy o ormalości rozkładu temperatur powodujących zizczeie urządzeia. Taki wyik weryfikacji hipotezy pozwala kotyuować procedurę wyzaczaia przedziału ufości. 3, 0 PoiewaŜ próba jet mała, jako przedział ufości aleŝy przyjąć: x t < m< x + t Obliczoo średią arytmetyczą próby oraz odchyleie tadardowe próby, otrzymując: x = 70,9 C, =,48 C. Wartość t = t 0,05 =,0 odczytao z tablic rozkładu

4 34 L. Worobjow i i. t-studeta dla = topi wobody oraz = 0,05. Liczbowa potać przedziału ufości ma więc potać: 48, 48, 70, 9, 0 < m< 70, 9+, 0 Po wykoaiu obliczeń: 69,9 C < m < 7,8 C Iterpretacja wyzaczoego przedziału ufości jet aalogicza do iterpretacji przedziału ufości z przykładu. WNIOSKI Na zakończeie podamy w formie uwag wkazówki metodycze, które mogą być przydate w pracach badawczych, w których zacuje ię przedziały ufości dla wartości średiej. Uwaga. Próba pobraa z populacji, a podtawie której zacuje ię przedział ufości dla średiej, powia być próbą reprezetatywą dla populacji. Elemety próby powiy być wyloowae zgodie ze chematem loowaia bez wracaia, co ozacza, Ŝe kaŝdy elemet populacji moŝe w próbie pojawić ię tylko raz. Uwaga. Przypuśćmy, Ŝe w pewych badaiach przy wpółczyiku ufości wyzaczyliśmy przedział ufości a < m< b. Niepoprawe jet twierdzeie, Ŝe z prawdopodobieńtwem wartość średia m aleŝy do wyzaczoego przedziału. Stwierdzeie to ugeruje, Ŝe m jet wartością loową. W rzeczywitości wartość średia jet kokretą liczbą, której ie zamy. Przedział (a, b) pokrywa ię z tą liczbą lub ie. Wartość pozawcza liczbowej realizacji przedziału ufości polega a tym, Ŝe wyzaczając przy daym wpółczyiku ufości a podtawie wielu prób przedziały ufości, frakcja przedziałów, które pokrywają wartość średią m, jet w przybliŝeiu rówa. Przedział ufości (a, b) moŝemy iterpretować jako przedział, który zotał wylooway z populacji, w której czętość wytępowaia przedziałów pokrywających wartość średią jet rówa. Fakt te, w poób krócoy, moŝa formułować atępująco: Przedział o końcach a i b z prawdopodobieńtwem pokrywa wartość średią m populacji. Uwaga 3. Im wpółczyik ufości jet bliŝzy, tym więkze jet prawdopodobieńtwo pokrycia przez przedział ufości iezaej wartości średiej m (dla badacza jet to korzyte). Jedak zwiękzając wartość wpółczyika ufości, uzykuje ię coraz dłuŝze przedziały ufości (dla badacza ie jet to korzyte, bo miejza jet wartość iformacyja takich przedziałów). Przy adaiu wpółczyikowi ufości wartości, aleŝy więc dokoać roządego kompromiu pomiędzy tymi przeciwtawymi celami. Zwykle za wpółczyik ufości przyjmuje ię liczby: 0,90, 0,95, 0,99. Uwaga 4. JeŜeli zebraie oberwacji ie jet trude, aleŝy do ozacowaia przedziałów ufości pobierać duŝą próbę. Potępowaie takie ma dwie zalety. Po pierwze, wzrot liczebości próby powoduje króceie przedziałów ufości. Po drugie, ze względu a twierdzeie Lapuowa (Hellwig 995) przedział ufości dla duŝej próby moŝemy wyzaczyć ie tyko przy załoŝeiu, Ŝe rozkład badaej cechy jet ormaly, ale przy zaczie ogóliejzych załoŝeiach, które a ogół ą pełioe.

5 Stoowaie metod etymacji przedziałowej Uwaga 5. JeŜeli do ozacowaia przedziału ufości dla średiej uŝywamy małej próby (zbadaie próby duŝej jet koztowe, pracochłoe itp.), aleŝy potwierdzić przypuzczeie, Ŝe oberwacje mają rozkład ormaly. Do tego celu moŝa zatoować tet Kołmogorowa lub tet Shapiro-Wilka (Kryicki i i. 00). Tety te moŝa przeprowadzić, wykorzytując tatytycze programy komputerowe. Próba moŝe zotać uŝyta do ozacowaia przedziału ufości, jeśli tet tatytyczy, a zadaym poziomie itotości (zwykle za przyjmujemy liczby: 0,0, 0,05, 0,0), da odpowiedź, Ŝe ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy, Ŝe badaa cecha ma rozkład ormaly. PIŚMIENNICTWO Bedarki L., Borowiecki R., Duraj J., Kurty E., Waśiewki T., Werety B Aaliza ekoomicza przediębiortwa. Wrocław, Wydaw. AE. Bubicki Z Teoria i algorytmy terowaia. Warzawa, PWN. Duda J.T Modele matematycze, truktury i algorytmy adrzędego terowaia komputerowego. Kraków, Wydaw. AGH. Gawrońka-Nowak B., Waleryiak G Decyzje ekoomicze ujęcie ilościowe. Warzawa, PWE. Hellwig Z Rachuek prawdopodobieńtwa i tatytyka matematycza. Warzawa, PWN. Kryicki W., Barto J., Dyczka W., Królikowka K., Wailewka M. 00. Rachuek prawdopodobieńtwa i tatytyka matematycza w zadaiach. Cz. II. Statytyka matematycza. Warzawa, PWN. Maddala G.S Ekoometria. Warzawa, PWN. Matołka M Metody ilościowe w ekoomii. Zez. Nauk. AE Poz. 64. Mruk H., Pilarczyk B., Sojki B., Szulce H Podtawy marketigu. Pozań, Wydaw. AE. Nowak A Optymalizacja. Teoria i zadaia. Gliwice, Wydaw. Politechiki Śląkiej.