NIEPRECYZYJNY OPIS PORZĄDKU ZATRZYMANIA STRATY
|
|
- Agata Wasilewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu NIEPRECYZYJNY OPIS PORZĄDKU ZATRZYMANIA STRATY Streszczenie: W pracy porządek zatrzymanej straty został opisany, jako rozmyty preporządek. Wtedy optymalne ryzyko jest reprezentowane przez rozmyty zbiór probabilistyczny. Słowa kluczowe: rozmyty preporządek, porządek zatrzymania straty Wstęp Konsekwencją behawioralnego podejścia do finansów jest między innymi poszukiwanie nieprecyzyjnych oszacowań wartości finansowych. W zamian za rezygnację z tej precyzji uzyskujemy możliwość uwzględnienia w naszych rozważaniach niejednoznacznie podanych informacji. W szczególnym przypadku odnosi się to oszacowań wartości wyznaczanych w rachunku ubezpieczeniowym. Ryzyko ubezpieczeniowe obejmujące szkody spowodowane danym wydarzeniem losowym może być skonstruowane na wiele sposobów. Wtedy jednym z podstawowych problemów rachunku ubezpieczeniowego jest wybór ryzyka optymalnego. Do oceny ryzyk ubezpieczeniowych może być stosowany porządek zatrzymanej straty. Porządek ten wielokrotnie nie jest liniowy, co uniemożliwia jednoznaczne uporządkowanie ocenianych ryzyk. W pracy tej będą studiowana będzie możliwość zastosowania tutaj rozmytych preporządków. 1. Podstawowe pojęcia 1.1. Stosowana funkcja użyteczności Dowolny jednowymiarowy proces gospodarczy możemy opisać za pomocą funkcji F: Ω R = [0; + [ określonej nad zbiorem Ω wszystkich dopuszczalnych stanów czynnika ω Ω kształtującego wynik procesu gospodarczego y = F(ω). Zbiór wszystkich rozważanych procesów gospodarczych tworzy zbiór H [R ] Ω. Zakładamy tutaj jedynie, że istnieje przeliczalna algebra σ 2 Ω gwarantująca mierzalność dowolnego procesu gospodarczego F H. Nasza wiedzę na temat czynnika kształtującego rozważane procesy gospodarcze opisujemy za pomocą dowolnej miary M: σ R. W szczególnym przypadku tą miara może być miara probabilistyczna. Przydatność uzyskanego wyniku procesu gospodarczego określamy za pomocą dobrze znanej z literatury funkcji użyteczności u: R R. W bogatej literaturze
2 przedmiotu dyskutowanych jest wiele słabszych lub silniejszych założeń o przebiegu zmienności funkcji użyteczności. W naszych rozważaniach ograniczymy się do założenia, że funkcja użyteczności jest ciągłą funkcją rosnącą. Wszystkie te założenia są wystarczające do tego, aby proces gospodarczy F H ocenić za pomocą funkcjonału oczekiwanej użyteczności u : H R określonego przez tożsamość u (F) = Ω u(f(ω))dm. (1) Dodatkowo korzystać tutaj będziemy z tezy zawartej w [Piasecki, 1991], gdzie wskazano na pewne analogie pomiędzy wielowartościowymi logikami Łukasiewicza a teorią użyteczności. Zgodnie z tą sugestią wartość u(y) funkcji użyteczności interpretować będziemy jako wartość logiczną zdania otrzymany wynik procesu gospodarczego y jest użyteczny. Wtedy funkcja użyteczności u: R [0; 1] spełnia dodatkowo warunek u(0) = 0, (2) lim y + u(y) = 1, (3) gdyż przedział [0; 1] jest teraz otoczeniem wypukłym zbioru wartości funkcji użyteczności. Oznacza to, że proponowana tutaj funkcja użyteczności jest bijekcją półprostej R na odcinek [0; 1]. Warunek ten szczególnym przypadkiem postulatu głoszącego, że funkcja użyteczności jest funkcją ograniczoną. 1.2 Stosowane elementy teorii zbiorów rozmytych Przedmiotem naszych rozważań będą informacje nieprecyzyjne. Wielu badaczy przedmiotu w obrazie nieprecyzji pojedynczej informacji wyróżnia niewyrazistość informacji oraz niejednoznaczność informacji. Niewyrazistość informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego rozróżnienia pomiędzy daną informacją i jej zaprzeczeniem. Niejednoznaczność informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego wyróżnienia pomiędzy wieloma wskazanymi alternatywami jednej rekomendowanej alternatywy. Podstawowym modelem formalnym stosowanym do opisu nieprecyzji będzie rodzina 0 ;1 rozmytych zbiorów w przestrzeni X. Zbiór rozmyty A [0; 1] X będzie jednoznacznie reprezentowany za pomocą swej funkcji przynależności μ A : X [0; 1]. W całej pracy zakładać będziemy, że działania sumy, iloczynu i dopełnienia zbiorów rozmytych zostały określone w sposób zaproponowany pierwotnie przez L. A. Zadeha. Rozważmy relację R X Y. Zdanie element x X pozostaje w relacji R z elementem y Y zapisujemy w postaci xr y. Relacje takie mogą być określone w sposób nieprecyzyjny. Nieprecyzyjność relacji R polega na tym, że prawdziwość zdania xr y, dla przynajmniej jednej pary (x, y) X Y, jest rozstrzygnięta niejednoznacznie. Stosownym aparatem formalnym do rozstrzygnięcia prawdziwości takiego zdania jest
3 logika wielowartościowa. Wtedy każdej parze (x, y) X Y przyporządkowujemy wartość ρ(x, y) równą stopniowi prawdziwości zdania xr y. W ten to sposób rozważana nieprecyzyjna relacja została zapisana przy pomocy funkcji przynależności ρ: X Y [0; 1] wyznaczającej podzbiór rozmyty R [0: 1] X Y. Szczególnym przedmiotem naszego zainteresowania będą nieprecyzyjne preferencje określone przy pomocy rozmytych preporządków określonych na zbiorze X. Rozmytym preporządkiem R nazywamy relację daną przez funkcję przynależności ρ: X X [0; 1] posiadająca właściwości : zwrotność x X: ρ(x, x) = 1, (4) przechodniość x, y, z X: ρ(x, y) ρ(y, z) ρ(x, z), (5) brak symetrii x, y X: ρ(x, y) ρ(y, x). (6) Powyższy preporządek R wyznacza w zbiorze X rozmyty podzbiór Q [0; 1] X elementów niezdominowanych. Zbiór Q elementów niezdominowanych 1 jest reprezentowany za pomocą swej funkcji przynależności μ Q : X [0; 1] danej przez tożsamość μ Q (x) = inf{ρ(x, y) (1 ρ(y, x)) y X}. (7) Poza nieprecyzją, każda informacja może być obarczona niepewnością. Pod pojęciem niepewności rozumiemy niedostatek naszej wiedzy na temat napotykanego w przyszłości rezultatu rozważanego zdarzenia. Podstawowym modelem formalnym stosowanym do opisu obciążonej niepewnością i nieprecyzją informacji na temat pewnych zdarzeń są rozmyte zbiory probabilistyczne. Niech będzie dana ustalona przestrzeń probabilistyczna (Ω, σ, π). Formalnym obrazem niepewności jest rozkład prawdopodobieństwa π: σ [0; 1]. Wtedy dowolny rozmyty zbiór probabilistyczny H w przestrzeni X [Hiroto, 1981] jest dany, jako indeksowana przez zdarzenia elementarne ω Ω rodzina zbiorów rozmytych {H (ω) [0; 1] X : ω Ω}. Każdy zbiór rozmyty H (ω) jest reprezentowany przy pomocy swej funkcji przynależności μ H (, ω): X [0; 1]. Oznacza to, że zbiór probabilistyczny H jest reprezentowany jednoznacznie przez indeksowaną rodzinę funkcji przynależności {μ H (, ω): Ω [0; 1]: ω Ω}. Stopień przynależenia dowolnego elementu x do zbioru probabilistycznego H określamy wtedy, jako funkcję μ H (x, ): Ω [0; 1]. Dodatkowo zakładamy tutaj, że funkcja ta jest 1 Nazywanych także elementami maksymalnymi
4 zmienną losową na ciele zdarzeń losowych σ. Obrazem formalnym rozmytego zbioru probabilistycznego H w przestrzeni X jest funkcja H : Ω [0; 1] X. 2.Nieliniowość porządku zatrzymanej straty Niech będzie dany zbiór ryzyk ubezpieczeniowych zbiorem H [R ] Ω, gdzie symbol Ω oznacza zbiór wszystkich stanów przedmiotu ubezpieczenia ω Ω. Rozważmy dowolny rodzaj ryzyka X H. Rozkład ryzyka X jest określony za pomocą dystrybuanty F X : R [0; 1]. Wtedy dla ustalonej wysokości retencji d 0 wyznaczamy wartość zatrzymanej straty daną za pomocą tożsamości (X(ω) d) + = max{x(ω) d, 0}. (8) Dla wyznaczenia wartości oczekiwanej reasekuracyjnej umowy nadwyżki szkody h X (d) wykorzystujemy tutaj zależność h X (d) = E(X d) + = + d 1 F X (x)dx. (9) W ten sposób dla dowolnego ryzyka X H określamy transformatę zatrzymania straty h X : R R. Z oczywistych względów są preferowane są ryzyka charakteryzujące się niższymi wartościami oczekiwanymi reasekuracyjnej umowy nadwyżki szkody. Sugestia ta prowadzi do określenia na zbiorze ryzyk H relacji preferencji zdefiniowanej dla dowolnej pary ryzyk (X, Y) H 2 w następujący sposób 2 X Y d R : h X (d) h Y (d). (10) Uzyskana w ten sposób relacja preferencji jest zwrotna, quasi-asymetryczna i przechodnia. Zatem jest relacją częściowego porządku. W literaturze przedmiotu 3 porządek ten jest nazywany porządkiem zatrzymanej straty. Dla każdorazowo jednoznacznego wyboru najbardziej preferowanego ryzyka wymagana jest liniowość porządku. Odpowiedzią na pytanie o spełnienie przez porządek zatrzymanej straty wymogu liniowości jest poniższy przykład. Przykład 1: Rozważmy dwa ryzyka X, Y H. Rozkład ryzyka X jest określony za pomocą dystrybuanty 0 x 0, F X (x) = { x > 0. x 2 x2 16 Wtedy transformata zatrzymanej straty tego ryzyka dana jest za pomocą tożsamości h X (d) = 4 3 d + d2 4 d Symbol X Y czytamy: ryzyko X jest preferowane w porównaniu z ryzykiem Y 3 Na przykład [Ronka-Chmielowiec, 2000]
5 Rozkład ryzyka Y jest określony za pomocą dystrybuanty 0 x 0, F Y (x) = { x 2 x > 0. 9 Wtedy transformata zatrzymanej straty tego ryzyka dana jest za pomocą tożsamości h Y (d) = 2 d + d3 Porównując obie transformaty otrzymujemy 27 h X (d) < h Y (d) d [0; [, h X (d) = h Y (d) d { } [4; + [, h X (d) > h Y (d) d ] ; 4[. Oznacza to, że rozważanej pary ryzyk (X, Y) nie można uporządkować za pomocą porządku zatrzymanej straty. 4 W ten sposób w wystarczający sposób wykazano, że w ogólnym przypadku porządek zatrzymanej straty nie jest porządkiem liniowym. Ponadto zgodnie z tożsamością (10), użyteczność u : (R ) 2 [0; 1] zatrzymanej straty ryzyka X H rośnie wraz ze spadkiem jej wartości. Oznacza to, że dla dowolnej wysokości retencji d 0 możemy zapisać u (X(ω), d) = g((x(ω) d) + ), (11) gdzie g: R [0; 1] jest funkcją malejącą. Jeśli teraz dla dowolnego ustalonego ryzyka X H zastosujemy zasadę ceteris paribus, to stwierdzamy, że użyteczność wysokości retencji rośnie wraz ze wzrostem tej wysokości. Ponadto, chcąc uniknąć wyróżniania a priori pewnych wartości wysokości retencji, zakładamy, że nad dowolną rodziną zbiorów mierzalnych w R jest rozpięta jedynie miara Lebesque. 3. Rozmyty porządek zatrzymanej straty Zgodnie z wnioskami płynącym z Przykładu 1 istnieją takie pary ryzyk, których porównanie za pomocą porządku zatrzymanej straty jest niejednoznaczne. Zgodnie z sugestią zawartą w Części 1.2 do opisu takiego uporządkowania należy wtedy wykorzystać opisane tam nieprecyzyjne preferencje. W tym celu preporządek H H dany równoważnością (10) rozszerzamy do rozmytego preporządku H H. Preporządek H H jest opisany za pomocą funkcji przynależności ρ : H H [0; 1]. Wspomniana funkcja przynależności powinna być zdefiniowana w taki sposób, aby w ujęciu logiki wielowartościowej wartość ρ (X, Y) mogła być interpretowana, jako wartość logiczna zdania ryzyko X jest preferowane w. 4 Do przeprowadzenia obliczeń zastosowano program Mathematica numer licencji L
6 porównaniu z ryzykiem Y. Dlatego wydaje się być właściwym, aby dla dowolnej pary ryzyk (X, Y) H H wartość ρ (X, Y) określała jaka część wartości wysokości retencji d 0 jest preferencyjnych, to jest spełnia nierówność występującą w równoważności (10). Niestety nie można uzyskać tej wartości na drodze porównania miary zbioru preferencyjnych wysokości retencji z miarą zbioru dopuszczalnych wysokości retencji, gdyż obie miary są na ogół nieskończone. Rozwiązanie tego problemu można znaleźć na drodze określenia takiego izomorfizmu, który przekształci zbiór dopuszczalnych wysokości retencji na zbiór charakteryzujący się miarą skończoną. Izomorfizmem takim może być użyteczność wysokości retencji u: R [0; 1]. Użyteczność ta jest bijekcją, co pozwala na zdefiniowanie dla dowolnego ryzyka X H funkcji f X = h X u 1 określającej wpływ użyteczności wysokości retencji na wartość zatrzymanej straty. Mamy wtedy d R : h X (d) h Y (d) f X (u(d)) f Y (u(d)). (12) Dzięki temu, dla dowolnej pary ryzyk (X, Y) H H określamy wtedy zbiór preferencyjny P(X, Y) = {x [0; 1]: f X (x) f Y (x)} (13) zawierający preferencyjne użyteczności, to jest użyteczności preferencyjnych wysokości retencji. Funkcję przynależności ρ : H H [0; 1] określamy wtedy jako miarę zbioru preferencyjnego, gdyż miara zbioru wszystkich dopuszczalnych wartości użyteczności jest równa jeden. W ten sposób otrzymujemy tożsamość ρ (X, Y) = dx. (14) P(X,Y) Jeśli jest spełniony warunek X Y, to wtedy mamy P(X, Y) = [0; 1]. Oznacza to, że wyznaczony za pomocą tożsamości (14) rozmyta preferencja H H jest rozszerzeniem preporządku H H. Łatwo można też wykazać, że ta preferencja jest rozmytym preporządkiem. Wszystko to pozwala nazwać preferencję H H rozmytym porządkiem zatrzymanej straty. Warto tutaj też zwrócić uwagę na to, że określając dodatkowe właściwości funkcji użyteczności możemy określać wagi poszczególnych wartości wysokości retencji. Na przykład, jeśli założymy, że funkcja użyteczności uwzględnia awersję do ryzyka to wtedy większą wagę przypisujemy mniejszym wartościom wysokości retencji. Przykład 2: Zdefiniujemy poniżej rozmyty porządek zatrzymanej straty określony na zbiorze A = {X, Y} H, gdzie ryzyka X, Y zostały określone w Przykładzie 1. Przykładową funkcję użyteczności u: R [0; 1] definiujemy za pomocą tożsamości u(d) = 2 arctg(d). π
7 Tak określona funkcja użyteczności uwzględnia awersję do ryzyka. Przy wyznaczaniu funkcji przynależności korzystać będziemy z następujących wartości 0, = 2 π arctg( ), 0, = 2 π arctg(4). Wtedy, zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w Przykładzie 1, poszczególne zbiory preferencyjne przyjmują postać P(X, X) = [0; 1], P(X, Y) = [0; 0,762435] [0,844042; 1], P(Y, X) = [0,762435; 1], P(Y, Y) = [0; 1]. Wtedy funkcja przynależności przyjmuje wartości ρ (X, X) = 1, ρ (X, Y) = 0,918393, ρ (Y, X) = 0,155958, ρ (Y, Y) = 1. Rozmyty porządek zatrzymanej straty wyznacza w zbiorze ryzyk H rozmyty podzbiór Q ( ) [0; 1] X ryzyk niezdominowanych. Zbiór ten wyznacza ryzyko optymalne. Zgodnie z definicją (7) ryzyko optymalne jest reprezentowane za pomocą swej funkcji przynależności μ Q( ) : H [0; 1] danej przez tożsamość μ Q( ) (X) = inf{ρ (X, Y) (1 ρ (Y, X)) Y H}. (15) Wyznaczone w ten sposób ryzyko optymalne jest rozmytym zbiorem probabilistycznym danym jako indeksowana przez stany przedmiotu ubezpieczenia ω Ω rodzina nieprecyzyjnych wartości optymalnego ryzyka {H (ω) [0; 1] R : ω Ω}. Każda taka nieprecyzyjna wartość H (ω) jest reprezentowana przez swą funkcję przynależności μ H (, ω): R [0; 1] zdefiniowana za pomocą tożsamości μ H (x, ω) = sup{0; ρ Q( ) (X): X H, x = X(ω)}. (16) Stopień przynależenia dowolnej liczby x R do oszacowania wartości optymalnego ryzyka określamy wtedy, jako zmienną losową μ H (x, ): Ω [0; 1]. Przykład 3: Rozważamy rozmyty porządek zatrzymanej straty opisany w Przykładzie 2. Zgodnie z zależnością (15) funkcja przynależności μ Q( ) : A [0; 1] optymalnego ryzyka osiąga wartości μ Q( ) (X) = inf{1 (1 1), 0, (1 0,155958)} = 0,918393, μ Q( ) (Y) = inf{0, (1 0,918393), 1 (1 1)} = 0, Dla każdego stanu przedmiotu ubezpieczenia ω Ω nieprecyzyjne wartość H (ω) optymalnego ryzyka jest opisana za swej funkcji przynależności μ H (, ω): R [0; 1] danej za pomocą tożsamości μ H (x, ω) = { 0, x = X(ω) 0, x X(ω) x = Y(ω) 0 x X(ω) x Y(ω).
8 Obserwowana tutaj zbieżność wartości funkcji optymalnego ryzyka z pewnymi wartościami funkcji przynależności porządku zatrzymanej straty jest przypadkowa i w bardziej ogólnym wypadku nie występuje. Istotne rozbieżności pomiędzy wartościami tych funkcji przynależności mają miejsce przede wszystkim w przypadku bardziej licznych zbiorów porównywanych ryzyk. Ze zrozumiałych względów w tym artykule rozpatrywanie takich przykładów zostało pominięte. Zakończenie Brak liniowości porządku zatrzymanej straty prowadzi do niejednoznacznego uporządkowania ryzyk ubezpieczeniowych. W pracy założono, że niejednoznaczność ta zostanie opisana za pomocą rozmytego preporządku. Wtedy obraz optymalnego ryzyka został uzyskany jako rozmyty zbiór probabilistyczny. Warto w tym miejscu przypomnieć, że w [Piasecki, 2009] podobnie przedstawiono prognozę rezerwy finansowej ubezpieczyciela. Fakty te pozwalają spojrzeć na bogate instrumentarium oferowane przez teorię rozmytych zbiorów probabilistycznych 5 jako na obiecujące narzędzie analizy matematyki ubezpieczeniowej. Bibliografia Hiroto, K., 1981, Concepts of probabilistic sets, Fuzzy Sets and Systems 5. Piasecki, K., 1991, Funkcja oczekiwanych korzyści w świetle teorii logik wielowartościowych, Zeszyty Naukowe AE, S.I, z.189. Piasecki, K., 2009, Zastosowanie rozmytych zbiorów probabilistycznych do teorii ruiny, w: J. Handschke (red.), Studia Ubezpieczeniowe 2009, Zeszyty Naukowe UEP 127. Ronka-Chmielowiec, W., (red.), 2000, Zarządzanie ryzykiem w ubezpieczeniach, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław. Smoliak, S.A., 2001, Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта), Центральный экономико-математический институт Российской Академии наук, Moskwa. Imprecise description of stop-loss order Summary: At this paper stop-loss order was described as fuzzy preorder. Then the optimum risk is represented by means of fuzzy probabilistic set. 5 Można znaleźć na przykład w [Smoliak, 2001]
Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji
Krzysztof Piasecki * Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji Wstęp Zazwyczaj analiza właściwości dowolnego papieru wartościowe jest prowadzona, jako analiza własności jego stopy zwrotu. Dowolna stopa
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoTrójwymiarowy obraz ryzyka
Krzysztof PIASECKI Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Trójwymiarowy obraz ryzyka Problem badawczy W (Buckley, 1987) i (Calzi, 1990) zaproponowano reprezentowanie wartości przyszłych inwestycji finansowych
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoInteligencja obliczeniowa
Ćwiczenie nr 1 Zbiory rozmyte logika rozmyta Tworzenie: termów zmiennej lingwistycznej o różnych kształtach, modyfikatorów, zmiennych o wielu termach; operacje przecięcia, połączenia i dopełnienia 1. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA SYSTEMY ROZMYTE Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Automatyki i Inżynierii Biomedycznej Laboratorium
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Rozmyte zbiory probabilistyczne w rachunku aktuarialnym Wstęp Określenie właściwych relacji
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Rozmyte zbiory probabilistyczne w rachunku aktuarialnym Wstęp Określenie właściwych relacji pomiędzy wielkością wypłacanych rekompensat a przychodem
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoSystem bonus-malus z mechanizmem korekty składki
System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoWartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału. arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszłą. Uzyskano w ten sposób
KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału Streszczenie: W pracy implementowano warunek synergii kapitału
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoWIELOKRYTERIALNE PORZĄDKOWANIE METODĄ PROMETHEE ODPORNE NA ZMIANY WAG KRYTERIÓW
Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu WIELOKRYTERIALNE PORZĄDKOWANIE METODĄ PROMETHEE ODPORNE NA ZMIANY WAG KRYTERIÓW Wprowadzenie Wrażliwość wyników analizy wielokryterialnej na zmiany wag kryteriów, przy
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoObraz ryzyka w rozmytych przestrzeniach probabilistycznych
1 Krzysztof PIAECKI Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Obraz ryzyka w rozmytych przestrzeniach probabilistycznych Problem badawczy Buckley [1] i Calzi [] zaproponowali reprezentowanie wartości przyszłych
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoWA R S AW D ATA S C I E N C E M E E T U P
WA R S AW D ATA S C I E N C E M E E T U P Mateusz Grzyb konsultant technologiczny Microsoft Polska mateuszgrzyb.pl Plan prezentacji 1. Zbiory rozmyte. 2. Logika rozmyta. 3. Systemy rekomendacyjne. 4.
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAksjomat synergii w arytmetyce finansowej
Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej Problem badawczy Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoSTANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F.
METODY HEURYSTYCZNE wykład 6 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI 2 GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s środek; a określa szerokość krzywej 3 4 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π F. PRZYNALEŻNOŚCI
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoWykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowo