Obraz ryzyka w rozmytych przestrzeniach probabilistycznych

Transkrypt

1 1 Krzysztof PIAECKI Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Obraz ryzyka w rozmytych przestrzeniach probabilistycznych Problem badawczy Buckley [1] i Calzi [] zaproponowali reprezentowanie wartości przyszłych inwestycji finansowych przy pomocy liczb rozmytych. Następnie wielu badaczy dyskutując poszczególne rodzaje reprezentacji rozmytej wartości przyszłej wskazywało na przydatność tego pojęcia w finansach behawioralnych. Konsekwencją takiego podejścia jest między innymi przedstawianie stopy zwrotu z inwestycji jako liczby rozmytej. Wykorzystywanie takiej postaci stopy zwrotu w zarządzaniu finansami prowadzi do prognozowania rozmytych wartości stóp zwrotu. W [5] przedstawiono zbiory probabilistyczne jako formalny obraz takich prognoz. W niniejszej pracy prognozy te będą opisane przy pomocy rozmytej zmiennej losowej [7]. Głównym celem jest zaadaptowanie przedstawionego w[17] trójwymiarowego obrazu ryzyka do potrzeb opisanego w tej pracy modelu formalnego prognozy stopy zwrotu. 1. Podstawowe pojęcia Rozważania nasze ograniczymy do rodziny 0,1 R wszystkich podzbiorów rozmytych w przestrzeni liczb rozmytych. Dowolny rozmyty podzbiór A 0, 1 R reprezentować będziemy przy pomocy jego funkcji przynależności A : R 0,1. W całej pracy zakładać będziemy, że działania sumy, iloczynu i dopełnienia zbiorów rozmytych zostały określone w sposób zaproponowany pierwotnie przez L. A. Zadeha. Liczbą rozmytą [4] nazywamy każdy podzbiór rozmyty M 0, 1 R spełniający dodatkowo warunki x R x, (1) : M 0 1 x, z R : y min x, z 0 y M M M. () Zbiór wszystkich liczb rozmytych oznaczamy symbolem. Za [13] rozmytą relacją mniejszości na zbiorze liczb RR rzeczywistych R nazywamy dowolny podzbiór rozmyty 0, 1

2 opisany przy pomocy funkcji przynależności : R R 0,1 spełniającej tożsamościowo następujące warunki x, y 1 y x, (3) x y, x, y y x, y,, (4) x,. (5) Rozmytym ciałem Borela ˆ nazywamy najmniejszą rodzinę zbiorów rozmytych zamkniętą ze względu na operacje dopełnienia i przeliczalnej sumy oraz spełniającą warunek R R, x 0,1 : x R ˆ 0, 1. (6) Niech będzie dana ustalona przestrzeń probabilistyczna,, P. Rozmytą zmienną losową nazywamy każdą,ˆ mierzalną funkcję :. Oznacza to, że dowolna rozmyta zmienna losowa jest dana jako probabilistyczny zbiór [5] 0,1 :. Każda liczba rozmyta jest reprezentowana przy pomocy funkcji przynależności, : R. Oznacza to, że przedstawiony w [17] trójwymiarowy obraz ryzyka można bezpośrednio zaadaptować dla potrzeb oceny stopy zwrotu prognozowanej jako rozmyta zmienna losowa. Oczekiwaniami zmiennej nazywamy zbiór rozmyty 0,1 R reprezentowany w jednoznaczny sposób przez funkcję przynależności : R 0,1 określoną przy pomocy tożsamości x x, dp (7) i nazywaną dalej rozkładem oczekiwań. W [18] pokazano, że rozkład oczekiwań jest uogólnieniem pojęcia funkcji gęstości rozkładu. Wartością oczekiwaną rozmytej zmiennej losowej nazywamy liczbę rzeczywistą daną przy pomocy zależności x x, R H dpdx. (8) Przyjęcie powyższej definicji oznacza, że wartość oczekiwaną identyfikujemy z wartością przeciętną oczekiwań. Posługiwanie się wartością oczekiwaną zamiast posługiwaniem się rozkładem oczekiwań jest znacznym uproszczeniem i oznacza rezygnację z dużej części dostępnej wiedzy. Dlatego wartym zalecenia jest zawsze poszerzenie analizy opartej na wartościach oczekiwanych o analizę opartą o rozkłady oczekiwań.

3 3.Model reprezentacji inwestycji Niech będzie dany zbiór elementarnych stanów rynku finansowego obejmujących też stany wiedzy ekspertów i inwestorów o tymże rynku finansowym. Dla pewnego ciała zdarzeń losowych. Jeśli posiadane informacje o rynku finansowym nie pozwalają na sprecyzowanie takiego rozkładu, to wtedy możemy się posłużyć zasadą totalnej ignorancji Walda. Rozważamy efekty zainwestowania w pewien ustalony instrument finansowy na zadany okres czasu. Każdemu znany jest rozkład prawdopodobieństwa P : 0,1 elementarnemu stanowi przypisujemy elementarną prognozę stopy zwrotu z tego instrumentu daną jako liczba rozmyta r reprezentowana przez funkcję przynależności, : R 0,1. W ten sposób otrzymujemy rozmytą zmienną losową r : nazywaną dalej prognozą stopy zwrotu. Korzystają teraz kolejno z (7) i (8) wyznaczamy rozkład oczekiwań stopy zwrotu : R 0,1 dany przy pomocy tożsamości x x, dp, (9) oraz oczekiwaną stopę zwrotu r R x x, dpdx. (10) Korzystanie z prognozy stopy zwrotu przy zarządzaniu inwestycjami finansowymi jest między innymi obarczone ryzykiem niepewności wynikającym z niewiedzy na temat przyszłego stanu 0 świata finansowego. Cechy tego ryzyka zwyczajowo określa się przy pomocy analizy właściwości kwadratu różnicy pomiędzy poszczególnymi prognozami stopy zwrotu a oczekiwana stopą zwrotu. W przypadku prognoz stopy zwrotu danych jako liczby rozmyte, dla dowolnego stanu kwadrat różnicy elementarnej rozmytej prognozy stopy zwrotu r i oczekiwanej stopy zwrotu r jest liczbą rozmyta opisaną przy pomocy funkcji przynależności max r x,, r x, x, x 0, (11) 0 x 0.

4 4 W ten sposób kwadrat różnicy prognozy stopy zwrotu r i oczekiwanej stopy zwrotu r został przedstawiony jako rozmyta zmienna losowa ˆ jednoznacznie określony przez rodzinę funkcji przynależności (11) nazywany dalej kwadratem residuum stopy zwrotu.. Korzystają teraz kolejno z (7) i (8) wyznaczamy rozkład oczekiwań kwadratu residuum : R 0,1 x x dany przy pomocy tożsamości, dp, (1) oraz oczekiwany kwadrat residuum stopy zwrotu x x, dpdx. (13) R W [18] wskazano, że oczekiwany kwadrat residuum stopy zwrotu jest uogólnieniem wariancji stopy zwrotu. Dlatego wartość (13) nazywać będziemy wariancją stopy zwrotu także w przypadku rozmytych prognoz tejże stopy. Zarówno wariancja jak i rozkład oczekiwań kwadratu residuum mogą być wykorzystane jako oceny ryzyka niepewności. W ten sposób dowolny portfel dopuszczalny w teorii Markowitza może być reprezentowany przez parę r, R lub przez parę r, R0, 1 R. W przypadku pierwszej pary zbiór portfeli efektywnych jest górna gałęzią krzywej Markowitza. Rodzi to pewne trudności aplikacyjne, gdyż inwestorzy inwestują na ogół w portfele lezące poniżej gałęzi portfeli efektywnych, a więc z punktu widzenia tej teorii w portfele nieefektywne. Natomiast w przypadku, kiedy ryzyko losowe jest opisane przy pomocy rozkładu oczekiwań kwadratu residuum stopy zwrotu, zbiór portfeli efektywnych staje się podzbiorem rozmytym o nośniku rozpiętym nad zbiorem wszystkich portfeli niezdominowanych. W praktyce oznacza to, ze prawie każdy dostępny na rynku portfel dopuszczalny jest w pewnym stopniu portfelem efektywnym. Opis taki może służyć wyjaśnieniu sposobu działania inwestorów, którzy zawsze działają w mniej lub bardziej efektywny sposób. Oznacza to, że oparcie teorii Markowitza na parze R r, R 0, 1 pozwala stworzyć modele formalne bliższych realiom rynku finansowego. Z tego powodu jako obraz ryzyka losowości przyjmiemy rozkład oczekiwań kwadratu residuum : R 0,1. Korzystanie z prognozy stopy zwrotu danej jako rozmyta zmienna losowa :, pociąga za sobą jeszcze ryzyko korzystania z informacji niedokładnej to jest nieprecyzyjnej. Formalnym obrazem niedokładnej oceny stopy zwrotu jest rozkład oczekiwań stopy zwrotu : R 0,1 dany przy pomocy tożsamości (9). Każdą z wartości rozkładu oczekiwań x interpretujemy jako ocenianą w ujęciu logiki

5 5 wielowartościowej wartość logiczną zdania topa zwrotu osiągnie wartość x. Wielu badaczy przedmiotu w obrazie nieprecyzji pojedynczej informacji wyróżnia niewyrazistość informacji oraz niejednoznaczność informacji. Niewyrazistość informacji interpretujemy jako brak jednoznacznego rozróżnienia pomiędzy daną informacją i jej zaprzeczeniem. Ryzyko niewyraźności wynikające z niewyrazistości oczekiwań stopy zwrotu oceniamy przy pomocy miary entropowej zaproponowanej [3]. Przy przyjętych na wstępie założeniach o działaniach teoriomnogościowych miara ta jest równa miarom entropowym zaproponowanym w [6] lub [19]. Ryzyko niewyraźności obciążające stopę zwrotu oceniamy zatem przy pomocy miary entropii stopy zwrotu min x, 1 x dx. (14) R Pożądanym jest oczywiście korzystanie z prognoz stóp zwrotu o możliwie niskiej entropii. Niejednoznaczność informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego wyróżnienia pomiędzy wieloma wskazanymi alternatywami jednej rekomendowanej alternatywy. Ryzyko niejednoznaczności wynikające z rozkładu oczekiwań stopy zwrotu oceniamy przy pomocy miary energetycznej zaproponowanej w [10] i określonej w tym przypadku przy pomocy zależności x dx. (13) R Także i tutaj pożądanym jest korzystanie z prognoz stóp zwrotu o możliwie niskiej energii. Reasumując, globalne ryzyko obciążające stopę zwrotu przedstawiamy jako wektor,, 0,1 R oceniający ryzyko losowości, ryzyko niewyraźności i ryzyko niejednoznaczności. Jak już wspomniano, dwa ostatnie ryzyka składają się na ryzyko nieprecyzji oceniane przy pomocy wektora, R. Im mniejsze ryzyko nieprecyzji, tym wyższa efektywność informacji zebranych na temat badanej stopy zwrotu. W porównaniu z klasyczną teorią Markowicza niedokładnośc jest nowym aspektem oceny ryzyka. Powstaje tutaj natychmiast pytanie, czy takie poszerzenie oceny ryzyka jest celowym. Za uwzględnieniem w badaniu ryzyka nieprecyzji przemawiają dwa argumenty. Primo, jak wiemy zawsze istnieje możliwość ograniczenia ryzyka niepewności prognozy poprzez odpowiednie manipulacje obniżające precyzję prognozy. R

6 6 ecundo, uwzględnienie ryzyka nieprecyzji pozwoli odrzucać te z pośród wariantów inwestycyjnych, które co prawda są atrakcyjne z punktu widzenia klasycznej teorii Markowitza, ale niestety zebrane na ich temat informacje są mocno wieloznaczne. Innymi słowy mówiąc, proponowany w tej pracy trójwymiarowy obraz ryzyka pozwala odrzucać warianty inwestycyjne dające prawie pewne wysokie zarobki w sytuacji, gdy tak naprawdę nasza wiedza na temat tych wariantów jest nie wiele warta. Podsumowanie Kończąc te rozważania należy jeszcze postawić pytanie o celowość zastąpienia w modelu formalnym prognozy stopy zwrotu użytego w [18] pojęcia zbioru probabilistycznego przez pojęcie rozmytej zmiennej losowej. Jakie korzyści może dać taka modyfikacja modelu prognozy, skoro uzyskane dzięki tej modyfikacji wyniki są identyczne z wynikami uzyskanymi w [18]? Zdaniem autora główną korzyścią osiągniętą dzięki tej modyfikacji jest stworzenie dogodnego punktu wyjścia do dalszych studiów nad modelem i możliwościami zastosowań rozmytej prognozy stopy zwrotu. Otóż w tej pracy przy wyznaczaniu rozkładów oczekiwań implicite wykorzystano zdefiniowane przez Zadeha [0] pojęcie prawdopodobieństwa zdarzeń rozmytych. Opisany model prognozy stopy zwrotu możemy uogólnić w ten sposób, że prawdopodobieństwo Zadeha zastąpimy bardziej ogólnym pojęciem rozmytej miary probabilistycznej [8]. Jeśli teraz niedokładność informacji będzie scharakteryzowana przy pomocy zadanej rozmytej relacji mniejszości, to wszystkie informacje o niepewności obciążającej prognozę stopy zwrotu możemy jednoznacznie opisać przy pomocy dystrybuanty rozkładu rozmytej miary probabilistycznej stopy zwrotu. Dla danej rozmytej relacji mniejszości istnieje wiele rozmytych miar probabilistycznych mających identyczną dystrybuantę. Z drugiej strony pomiędzy rozmytymi miarami probabilistycznymi możemy wyróżnić rozmyte P-miary [11]. Dla dowolnej dystrybuanty istnieje dokładnie jedna rozmyta P-miarą o identycznej dystrybuancie [14]. Oznacza to, że zastąpienie rozmytej miary probabilistycznej przez rozmytą P-miarę nie pociąga za sobą utraty informacji o rozkładzie niepewności obciążającej prognozę stopy zwrotu. Z drugiej strony rozmyte P-miary są jedynymi rozmytymi miarami probabilistycznymi spełniającymi wzór Bayes a [1, 15]. Ta własność rozmytych P-miar pozwala bayesowskich strategii inwestycyjnych w oparciu o modele decyzyjne opisane [16] i [17]. Może

7 7 to pozwolić na podjęcie próby stworzenia strategii inwestycyjnej opartej równocześnie na analizie technicznej i przesłankach behawioralnych. Powyżej naszkicowano jedynie lekko zarysowany projekt pewnej teorii opisującej aktualnie rozpatrywane problemy teorii rynków kapitałowych. Dowodzi to, że stworzona w tym artykule możliwość modyfikacji opisanego modelu duże nadzieje na dalszy owocny rozwój aplikacyjnie przydatnej pewnej teorii zarządzania kapitałem. Wskazany kierunek badań jest zatem istotny, gdyż nie prowadzi badacza w ślepą uliczkę. Bibliografia 1. Buckley I.J., The fuzzy mathematics of finance, Fuzzy ets and ystems 1987, Nr 1.. Calzi M.L. (1990), Towards a general setting for the fuzzy mathematics of finance, Fuzzy ets and ystems 1990, Nr35. 3.Czogała E., Gottwald., Pedrycz W., On the concepts of measures of fuzziness and their application in decision making, 8 th Trenniol World Congress IFAC, Kyoto Dubois J., Prade H., Fuzzy real algebra: some results, Fuzzy ets and ystems 1979, Nr. 5. Hirota K. (1981), Concepts of probabilistic sets, Fuzzy ets and ystems 1981, Nr Kaufmann A., Introduction to the Theory of Fuzzy ubsets, Vol.1 Fundamental Theoretical Elements, Academic Press New York Khalili. Fuzzy measures and mappings, J.Math.Anal,Appl. 1979,Nr Klement E.P., chwyhla W., Lowen R. Fuzzy probability measure, Fuzzy ets and ystems 1981 Nr5. 9. Klir G.J. (1993), Developments in uncertainty-based information, [w:] Advances in Computers 1993 Nr.36, red. Yovits M de Luca A., Termini., Entropy and energy measures of fuzzy sets, [w:] Gupta M.M., Ragade R.K., Yager R.R. (red.): Advances in Fuzzy et Theory and Application 1987, North Holand Amsterdam. 11. Piasecki K., Probability of fuzzy events defined as denumerable additivity measure, Fuzzy ets and ystems 1985, Nr Piasecki K., On the Bayes formula for fuzzy probability measure, Fuzzy ets and ystems 1986, Nr , Piasecki K., Probability spaces defined by means of the fuzzy relation less than, Fuzzy ets and ystems 1986, Nr19.

8 8 14. Piasecki K.,Fuzzy P-measure on the real line, Fuzzy ets and ystems 1987, Nr. 15. Piasecki K., Note to: On the Bayes formula for fuzzy probability measure, Fuzzy ets and ystems 1987 Nr Piasecki K., Fuzzy P-measures and their application and decision making, [w:] Combining Fuzzy Imprecision with Probabilistic Uncertainty, red. Kacprzyk J., Fedrizzi M., Lecture Notes in Economics and Mathematical ystems 310, pringer Verlag, Berlin Piasecki K., Decyzje i wiarygodne prognozy, Zeszyty Naukowe.I Prace doktorskiei habilitacyjne, z. 106, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań Piasecki K., Trójwymiarowy obraz ryzyka, [w:] Mikroekonometria w teorii i praktyce 005, red. Hozer J., praca złożona do druku. 19.Yager R.R., On the measure of fuzziness and negation, Part I: Membership in the unit interval, chool of Business Administration Rep RRy , New Rochele Zadeh L.A., Probabilisty measure of fuzzy events, J.Math. Anal. Appl. 1969, Nr. 3. treszczenie Prognoza wartości stopy zwrotu jest dana jako rozmyta zmienna losowa. Wtedy stopa zwrotu jest obciążona trzema rodzajami ryzyka: ryzykiem niepewności, ryzykiem niewyraźności i ryzykiem niejednoznaczności. Ryzyka te są mierzone odpowiednio przez wariancję, miarę entropii i miarę energii. Risk image in fuzzy probabilistic space Abstract Forecast of return rate value is given as fuzzy random variable. Then return rate is weighted by three kinds of risk: uncertainty, indistinctness and ambiguity. These risks are quantified respectively by dispersion, entropy measure and energy measure.