Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału. arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszłą. Uzyskano w ten sposób
|
|
- Jerzy Janowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału Streszczenie: W pracy implementowano warunek synergii kapitału do układu aksjomatów arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszłą. Uzyskano w ten sposób pojęcie uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano podstawowe własności uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano też własności uogólnionej wartości bieżącej. Zwrócono uwagę na kontekst ekonomiczny uzyskanych wyników formalnych.. PROBLEM BADAWCZY Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost wartości realnej będącej naturalną konsekwencją ogólnego kierunku rozwoju społeczności ludzkiej, polegającej na zwiększeniu wartości tworzonych towarów i usług. Pieniądz, jako ekwiwalent tych produktów bezpośrednio na nie wymienialny, zwiększa zatem w czasie swą wartość. Jest to * Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, PWSZ im. J.A. Komeńskiego w Lesznie Zawarte w tym artykule oryginalne wyniki zostały przedstawione na posiedzeniu Leszczyńskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk w dniu 3 maja 007. Głównym celem tego wystąpienia była prezentacja alchemii warsztatu badawczego autora, do czego zachęcał Prezes LTPN, prof. dr hab. Stanisław Sierpowski - -
2 wyidealizowany, ze względów na zastosowanie tutaj zasadę ceteris paribus, model przyrostu wartości pieniądza. Ostatnio w polskiej literaturze problem pracy ludzkiej jako czynnika kształtującego przyrost wartości jednostki pieniężnej podnosi Dobija [] cytując przy okazji cały szereg prac równie prominentnych autorów wyrażających ten sam pogląd. Przyrost ten jest dokładnie modelowany przy pomocy całego systemu równań nazywanego kiedyś matematyką finansową [3], [7],a w chwili obecnej arytmetyką finansową [6] lub teorią procentu [4], []. Przy analizie tych modeli uderza ich wysoka złożoność logiczna wyrażająca się dużą ilością przyjętych założeń. W [5] zaproponowano uproszczenia tego systemu na drodze zbudowania matematycznej teorii aksjomatyczno-dedukcyjnej. Przyjęto implicite jednak tam założenie, że tempo przyrostu wartości kapitału jest niezależne od ilości zgromadzonego kapitału. Praktyka gospodarowania i teoria ekonomii wskazują jednak bardzo wyraźnie, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Efekt ten nazywa się efektem synergii kapitału. W prezentowanej pracy zostanie przedstawiona implementacja warunku synergii kapitału do zaprezentowanego w [5] układu aksjomatów arytmetyki finansowej.. ARYTMETYKA FINANSOWA PODSTAWY UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO Cześć ta w całości została opracowana na podstawie [5]. Tam też można znaleźć dowody przedstawionych tutaj twierdzeń. Na wstępie zostanie przedstawiony model opisującego proces przyrostu (aprecjacji) wartości kapitału w jednoznacznie wyróżnionym przedziale czasowym 0,T. Model ten odnosi się do instrumentu finansowego o wartości nominalnej C w momencie t 0. Wartość C nazywamy wartością początkową. Przyjmujemy - -
3 tutaj umowę, że nieujemne wartości finansowe odpowiadać będą przychodom, należnościom lub pozostałym aktywom, podczas gdy ujemne wartości finansowe opisywać będą wydatki, zobowiązania lub inne pasywa. Wartości początkowej C i dowolnemu momentowi czasowemu t 0,T przypisujemy wartość przyszłą s C, t. Oznacza to, że wartość przyszła spot jest funkcją określoną nad dziedziną określoną przez iloczyn kartezjański R 0, T c, t: c R, t 0, T. Podstawowe własności wartości przyszłej spot opisuje poniższa definicja. Definicja : Wartością przyszłą spot nazywamy funkcję s : R [0, T] R spełniającą - dla dowolnych wartości początkowych czasowych t t 0, T, warunki: C, C R i momentów s C C, t sc, t sc t ; (), t t C 0 sc, t sc t ; (), C, 0 C s. (3) Warunek () zakłada, że dowolnie wyznaczana wartość przyszła spot jest funkcją addytywną wartości początkowej. Oznacza to, że wartość przyszła sumy kapitału jest równa sumie wartości przyszłych kapitału. Warunek ten wyklucza efekt synergii kapitału i z tego względu będzie szczegółowo rozważany w drugiej części tej pracy. Warunek () informuje nas, że wraz z upływem czasu wartość przyszła aktywów nie może zmaleć. Inaczej mówiąc, na oszczędzaniu nie można stracić. Warunek (3) identyfikuje wartość przyszłą spot przypisaną chwili bieżącej z wartością początkową. W arytmetyce finansowej wartość przyszłą traktujemy jako model trendu ewolucji wartości pieniądza. Model ten służy między innymi do określenia wartości - 3 -
4 bieżącej określonego zasobu finansowego dostępnego w przyszłości. Każdy taki zasób może być opisany za pomocą strumienia finansowego. Weźmy teraz pod uwagę strumień finansowy reprezentowany przez parę t C 0, T R,, gdzie symbol t oznacza moment przepływu strumienia, zaś symbol C opisuje wartość nominalną tego przepływu. Zastosowano tutaj uporządkowanie pary argumentów odmienne od uporządkowania pary argumentów wartości przyszłej. Rozróżnienie to ma służyć podkreśleniu faktu, że w przypadku dowolnego strumienia finansowego zmienna czasu jest jednoznacznie powiązana z opisaną w parze wartością nominalną, podczas gdy w przypadku wartości przyszłej moment czasu nie jest powiązany z wartością początkową. Wartość bieżąca strumienia finansowego t, C jest taką wartością początkową t, C, której wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia t, C jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości s t C, t C,. (4) Twierdzenie : Tożsamość (4) jest równoważna tożsamości t sc, t C, (5) Proces wyznaczania wartości bieżącej nazywamy potocznie dyskontowaniem wartości kapitału. Twierdzenie : Warunki (), (), (3) i (4) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T spełnione były warunki: t, C C t, C t C ; (6), t t C 0 t, C t C, ; (7) - 4 -
5 0, C C. (8) Dzięki Twierdzeniu wiemy, że na to, aby opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną wartość przyszłą spełniającą warunki (), () i (3) albo dowolną wartość bieżącą spełniające warunki (6), (7) i (8). W pierwszym przypadku wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (4). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (5). 3. AKSJOMATYCZNE UJĘCIE EFEKTU SYNERGII KAPITAŁU Pan Profesor Antoni Smoluk z Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu w swej recenzji wydawniczej książki [5] zaproponował zastąpienie w Definicji warunku () przez warunek 0, T: sc C, t sc, t sc t C C R t, ; (9), Zaproponowany warunek jest modelem dopuszczającym efekt synergii kapitału. Oznacza to przyjęcie założenia, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Prawdziwość tego założenia wielokrotnie była weryfikowana empirycznie. Dyskutując warunek (9) warto też zauważyć, że dla C 0 warunek ten opisuje efekt dźwigni finansowej. Z tego powodu warunek (9) zostanie wykorzystany w tej części do uogólnienia definicji wartości przyszłej kapitału do przypadku nie wykluczającego już efektu synergii. Definicja : Uogólnioną wartością przyszłą nazywamy funkcję s : R [0, T] R spełniającą - dla dowolnych wartości początkowych czasowych t t 0, T, warunki: (), (3) i (9). C, C R i momentów - 5 -
6 Twierdzenie 3: Dowolna uogólniona wartość przyszła s : R [0, T] R posiada właściwości:, T: sc, t 0 C R t 0, (0), T: s0, t 0 t 0, (), T: sc, t 0 C R t 0, () 0, T: sc, t s C, t 0 C R t, (3) 0, T: C C sc, t sc t C C R t,. (4), Dowód: Z () i (3) dla dowolnej pary C, t R 0, T C, t sc,0 C 0 s, co dowodzi (0). Stąd jeśli C C t sc C, t sc, t sc t s,,, otrzymujemy C, to z (9) dla dowolnego t 0,T co dowodzi (4). Korzystając z (9). dla dowolnego t 0,T 0, t s0, t s0, t 0 s0 t mamy otrzymujemy s,. (*) Z drugiej strony, korzystając z () i (3), dla dowolnego momentu czasowego t 0,T otrzymujemy 0, t s0,0 0 s. (**) Zestawiając razem (*) i (**) otrzymujemy (). Korzystając z (9) i (), dla dowolnej pary C, t R0, T mamy C C, t sc, t s C t 0 s,, co dowodzi (3). Korzystając teraz z (0) i (3), dla dowolnej pary C, t R 0, T otrzymujemy C, t s C, t sc t 0 s,, co dowodzi () i kończy dowód całego twierdzenia
7 Warunki (0) i () informują, że klasa aktywów finansowych i klasa pasywów finansowych są zamknięte ze względu na operację wyznaczania wartości przyszłej. Warunek () pokazuje, że efekt synergii kapitału nie jest samoistnym źródłem pojawienia się możliwości arbitrażu cenowego. Treścią warunku (3) jest informacja, że jeśli wartości początkowa aktywów jest równa zwrotowi z wartości początkowej pasywów, to tempo przyrostu wartości przyszłej aktywów nigdy nie przekracza tempa względnego przyrostu wartości przyszłej pasywów. Wszystkie te wnioski potwierdzają poprawność wykorzystania warunku (9) w celu uogólnienia definicji wartości przyszłej. Warunek (4) przedstawia uogólniona wartość przyszłą, jako rosnącą funkcję wartości początkowej kapitału. Dzięki temu, dla każdej ustalonej wartości momentu czasowego t 0,T istnieje funkcja odwrotna do funkcji s t: R R spostrzeżenie to będzie nam ułatwiać dowodzenie dalszych twierdzeń.,. Formalne Analogicznie do podanego w poprzedniej części pojęcia wartości bieżącej, uogólniona wartość bieżąca strumienia finansowego t, C jest taką wartością początkową t C,, której uogólniona wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia t, C jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości s t C, t C,. (5) Lemat : Dowolna uogólniona wartość bieżąca 0, T R R warunek: 0, T: C C t, C t C R t, : spełnia C, C. (6) Dowód: Wprost z (4) i (5). Twierdzenie 4: Tożsamość (5) jest równoważna tożsamości - 7 -
8 t sc, t C, (7) Dowód: W tożsamości (5) podstawiamy C sc, t t, sc, t, t sc t s,, i mamy wtedy co razem z (4) daje (7). Twierdzenie 5: Warunki (), (3), (9) i (5) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T spełnione były warunki: t, C C t, C t C ; (8), t t C 0 t, C t C, ; (9) 0, C C. (0) Dowód: Korzystając z (5) i z (9), dla dowolnej trójki C, C, t R 0, T otrzymujemy s s t, C C, t C C t, C, t s t, C, t s t, C t, C, t Powyższa nierówność wraz z (4) dowodzi (8). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (8). Korzystając z (7) i (8) otrzymujemy wtedy t, sc C, t C C. t, sc, t t, sc, t t, sc C, t Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (9). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami (9) i (8). Z warunku () i (5) mamy s t C, t s t, C, t C s t, C,, t, co razem z (6) dowodzi (9). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (9). Korzystając z (7) i (9) otrzymujemy wtedy
9 t, sc, t t, sc, t C t, sc t., Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami () i (9). Z (3) i (5) mamy C, C s 0, C, 0 0, co dowodzi równoważności warunków (3) i (0). Konieczność i dostateczność warunków (), (3) i (9) została wykazana. Dzięki Twierdzeniom 4 i 5 wiemy, że na to, aby w pełni opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału dopuszczające efekt synergii kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną uogólnioną wartość przyszłą spełniającą warunki (), (3) i (9) albo dowolną uogólnioną wartość bieżącą spełniające warunki (8), (9) i (0). W pierwszym przypadku uogólnioną wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (5). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (7). Przedstawione tutaj wyniki wskazują, że w sytuacji - gdy spodziewamy się ujawnienia efektu synergii kapitału - dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wystarczy jednoznacznie określić merytoryczne uzasadnione uogólnioną wartość przyszłą albo uogólnioną wartość bieżącą. 4. ZAKOŃCZENIE Oceniając znaczenie przedstawionych powyżej wyników należy tutaj podkreślić fakt, że opisane w Twierdzeniu 5 wzajemne relacje pomiędzy uogólnioną wartością przyszła i uogólnioną wartością bieżącą zostały udowodnione bez pomocy twierdzeń o współczynnikach aprecjacji i dyskontowania, tak jak to miało miejsce w [5] w przypadku dowodzenia Twierdzenia
10 Z drugiej strony zebrane tutaj wyniki są na tyle zachęcające, że wydaje się celowym kontynuowanie podjętych tutaj badań nad efektem synergii kapitału.. Na pierwszy ogień powinny iść uogólnione twierdzenia o czynnikach aprecjacji i dyskontowania. Tematem wartym podjęcia jest tez problem specyfikacji merytorycznie uzasadnionych jednoznacznych modeli uogólnionej wartości przyszłej. LITERATURA [] Chrzan P., Teoria procentu. Chrzan P.; Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu, Katowice 00, Oikońomos Sp.z o.o,. [] Dobija M., Źródła wartości jednostki pieniądza [W:] Tarczyński W. (red.) Rynek kapitałowy- skuteczne inwestowanie (red. Tarczyński W.), Szczecin 00, Uniwersytet Szczeciński, s.-38. [3] Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, Warszawa-Kraków 995, PWN [4] Luenberger D.G., Teoria inwestycji finansowych, Warszawa 003, Wydawnictwo Naukowe PWN,. [5] Piasecki K., Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Poznań 005, Wydawnictwo Naukowe AE w Poznaniu [6] Smaga E.; Arytmetyka finansowa, Warszawa-Kraków 999, PWN. [7] Sobczyk M.; Matematyka finansowa, Warszawa 997, Placet
Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej
Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej Problem badawczy Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost
Bardziej szczegółowoEFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ**
SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ im. J. A. Komeńskiego w Lesznie R o k 0 0 8, n r 6 KRZYSZTOF PIASECKI* EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ** THE EFFECT OF SYNERGY IN FINANCIAL ARITHMETICS
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ 1. PROBLEM BADAWCZY. Słowa kluczowe:
KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyzła, Wartość bieżąca, Synergia kapitału Strezczenie: W pracy implementowano warunek ynergii kapitału do
Bardziej szczegółowoDobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoOLIMPIADA MATEMATYCZNA
OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 19 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoBilans dostarcza użytkownikowi sprawozdania finansowego informacji o posiadanych aktywach tj. zgromadzonego majątku oraz wskazuje na źródła jego
Bilans dostarcza użytkownikowi sprawozdania finansowego informacji o posiadanych aktywach tj. zgromadzonego majątku oraz wskazuje na źródła jego finansowania strona pasywów. Bilans jest sporządzany na
Bardziej szczegółowoDYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI. Problem badawczy. 1. Elementy teorii użyteczności strumienia finansowego
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu DYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI Streszczenie: Wartość bieżąca jest rozważana, jako użyteczność strumienia finansowego. Dzięki temu można
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoDYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Badań Operacyjnych k.piasecki@ue.poznan.pl DYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI Streszczenie:
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 2 do zarządzenia nr 111 Rektora UŚ z dnia 31 sierpnia 2012 r. Literatura i treści programowe studiów podyplomowych Inwestycje Giełdowe
Załącznik nr 2 do zarządzenia nr 111 Rektora UŚ z dnia 31 sierpnia 2012 r Literatura i treści programowe studiów podyplomowych Inwestycje Giełdowe 1 Opis zakładanych efektów kształcenia na studiach podyplomowych
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoPAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: Finanse i rachunkowość
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk
Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO
Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu MATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO Studiując literaturę z zakresu matematyki finansowej napotykamy dużą ilość modeli oceniających wpływ
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania Nazwa przedmiotu: Finanse Finance Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obieralny Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.2
Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA
MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA 1. Funkcje i ich własności. odróżnić przyporządkowanie,
Bardziej szczegółowoGłównym celem opracowania jest próba określenia znaczenia i wpływu struktury kapitału na działalność przedsiębiorstwa.
KAPITAŁ W PRZEDSIĘBIORSTWIE I JEGO STRUKTURA Autor: Jacek Grzywacz, Wstęp W opracowaniu przedstawiono kluczowe zagadnienia dotyczące możliwości pozyskiwania przez przedsiębiorstwo kapitału oraz zasad kształtowania
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych
Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR
I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowo