Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Transkrypt

1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej 1 θ, gdzie θ jest nieznanym parametrem. O parametrze θ zakładamy, że ma rozkład a priori Gamma(a, b). Wyznacz estymator bayesowski wartości oczekiwanej 1 θ przy kwadratowej funkcji straty. Pokaż, że ma on postać estymatora credibility. Zad. 2. Niech X 1, X 2,..., X n, X n+1 będą przy znanym θ warunkowo niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego N(θ, σ 2 ), gdzie σ jest znane. O zmiennej θ zakładamy, że ma rozkład a priori N(µ, τ 2 ). Wyznacz predyktor bayesowski zmiennej X n+1 jako funkcję zmiennych X 1, X 2,..., X n przy kwadratowej funkcji straty. Pokaż, że ma on postać predyktora credibility. Zad. 3. Niech N 1, N 2,..., N k będą niezależnymi zmiennymi losowymi (warunkowo przy znanym θ) o rozkładach dwumianowych bin(n i, θ) (N i możemy interpretować jako liczbę osób mających roszczenie w ciągu roku w grupie złożonej z n i osób). Załóżmy, że parametr θ ma rozkład a priori Beta(a, b) (parametr θ waha się w analogicznych grupach). Wyznacz składkę zespołową równą cen k+1, zakładając że n k+1 oraz c są znane i N k+1 ma przy znanym θ rozkład bin(n k+1, θ). Wyznacz składkę indywidualną dla tej grupy ubezpieczenia. Wyznacz składkę bayesowską.

2 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 2 Zad. 4. Dane dotyczące liczby wypadków w pewnej grupie ryzyka w ciągu roku podaje tabela. k- liczba szkód liczba polis > 4 2 Dla pewnej polisy przez trzy lata nie zaobserwowano szkody. Korzystając z modelu, że liczba szkód z polisy w ciągu roku ma rozkład P oiss(θ) i θ w tej grupie ryzyka ma rozkład a priori Gamma(a, b) wyznacz empiryczny estymator bayesowski składki dla tej polisy przy założeniu, że składka ma postać ce(n 4 θ), gdzie c jest znane a N 4 oznacza zmienną losową równą liczbie szkód dla tej polisy w roku czwartym. Zakładamy, że dla danej polisy parametr θ nie zmienia się z roku na rok, a zmienne określające liczby szkód są w kolejnych latach niezależne warunkowo przy znanym θ. Jaki procent składki zespołowej równej ce(n 4 ) stanowi wyznaczona składka. Parametry rozkładu a priori wyznacz wykorzystując estymatory metodą momentów dla rozkładu brzegowego liczby szkód. Zad. 5. Rozważamy model reasekuracji. Załóżmy, że obserwowana zmienna losowa X ma rozkład Pareto o gęstości f θ (x) = θ x θ+1 gdy x > 1, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Przez ostatnie trzy lata zaobserwowano następujące wartości zmiennej X: 1, 1 1, 2 1, 2 1, 4 1, 5 1, 8 2, 0 2, 4 3, 0 4, 2 Wyznacz wartość estymatora największej wiarogodności parametru θ. Wyznacz wartość estymatora bayesowskiego parametru θ przyjmując za rozkład a priori rozkład Gamma(a, b) i wykorzystując wiedzę a priori Eθ = 2, 5 i V arθ = 0, 5.

3 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 3 Zad. 6. (egzaminy aktuarialne) Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku, K = N M to liczba szkód, które zostaną zgłoszone w roku następnym. Wiadomo, że zmienne M i K są niezależne warunkowo (przy ustalonej wartości parametru ryzyka Λ) i mają rozkłady Poissona z parametrami odpowiednio: Λq dla zmiennej M i Λp dla zmiennej K, gdzie p = 1 q (0, 1). O parametrze ryzyka wiadomo, że ma rozkład Gamma o wartości oczekiwanej α β i wariancji α β. Wyznacz E(N M = m) (czyli najlepszy predyktor 2 zmiennej N przy kwadratowej funkcji straty). Zad. 7. Towarzystwo ubezpieczeniowe modeluje szkody związane z huraganem przy następujących założeniach modelu: liczba huraganów w każdym roku jest zmienną losową K o rozkładzie Poissona z parametrem λ; Liczby szkód z i-tego huraganu są zmiennymi losowymi N i o rozkładzie Poissona z parametrem θ i, i = 1, 2,..., K; θ i, i = 1, 2,... są i.i.d. i Eθ i = n i V arθ i = s 2 1; Wartość j-tej szkody z i-tego huraganu X i,j ma rozkład logarytmicznonormalny z parametrami µ i i σ 2, przy czym E(X i,j Λ i ) = Λ i = exp(µ i + σ2 2 ) V ar(x i,j Λ i ) = Λ 2 i (exp(σ 2 ) 1) Zakładamy, że Λ i są i.i.d. oraz EΛ i = p i V arλ i = s 2 2. Zmienne θ i i Λ i, i = 1, 2,..., są niezależne. 1. Pokaż, że EX i,j = p i V arx i,j = exp(σ 2 )(p 2 + s 2 2) p Niech S i oznacza łączną wartość szkód z i-tego huraganu. Pokaż, że ES i = np V ars i = (p 2 + s 2 2)(s ne σ2 ) + s 2 2n 2 3. Niech S oznacza łączną wartość szkód z huraganów w ciągu roku. Wyznacz ES i V ars.

4 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 4 Zad. 8. (egzaminy aktuarialne) Oznaczmy przez X t łączną wartość szkód zaistniałych w roku t, przez X t,0 tą jej część, która dotyczy szkód zlikwidowanych przed końcem roku t, zaś przez X t,1 część pozostałą. Warunkowe momenty tych zmiennych (przy danej wartości parametru ryzyka µ t ) spełniają założenia: E(X t,0 µ t ) = µ t p E(X t,1 µ t ) = µ t (1 p) V ar(x t,0 µ t ) = µ t pb 2 V ar(x t, µ t ) = µ t (1 p)b 2 Cov(X t,0, X t,1 µ t ) = 0, zaś rozkład parametru ryzyka µ t spełnia założenia: E(µ t ) = µ V ar(µ t ) = a 2. Wyznacz najlepszy nieobciążony liniowy predyktor a) zmiennej µ t b) zmiennej X t oparty na informacji o zmiennej X t,0 oraz znanych wartościach parametrów p, b, µ, a 2. (Oczywiście rozważamy kwadratową funkcję straty)

5 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 5 Zad. 9. Dane dotyczące sumy roszczeń związanych z ubezpieczeniem posiadanych samochodów w kolejnych latach dla 7 firm liczone w setkach funtów przedstawia tabela. rok nr firmy suma Liczby samochodów ubezpieczane w kolejnych latach przedstawia tabela. rok nr firmy Wyznacz empiryczny predyktor bayesowski czystej składki w roku następnym dla każdej firmy jeśli w przyszłym roku liczby ubezpieczonych samochodów będą następujące: Zad. 10. (egzaminy aktuarialne) Liczby szkód w kolejnych latach z pojedynczego ryzyka, charakteryzującego się wartością λ parametru ryzyka Λ, są warunkowo niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z

6 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 6 wartością oczekiwaną λ. Rozkład wartości parametru ryzyka Λ w populacji generalnej ryzyk (nieskończonej) ma wartość oczekiwaną i wariancję równą odpowiednio µ i σ 2. W poprzednim roku mieliśmy portfel złożony z 1000 ryzyk wylosowanych z tej populacji, i wygenerowały one N szkód. W bieżącym roku będziemy mieć 1100 ryzyk, które wygenerują M szkód, przy czym: spośród ryzyk, które ubezpieczaliśmy w roku poprzednim, 100 losowo dobranych ryzyk opuściło nasz portfel (pozostanie lub opuszczenie portfela nie zależy od liczby wygenerowanych szkód) oprócz 900 ryzyk kontynuujących ubezpieczenie w portfelu, 200 ryzyk to ryzyka nowe, przypadkowo wylosowane z pozostałej części populacji. Załóżmy, że: znamy jedynie łączną liczbę szkód zaszłych w poprzednim roku (nie wiemy, jak ta liczba rozkłada się pomiędzy tych, którzy kontynuują i nie kontynuują ubezpieczenia w roku bieżącym) wiemy ponadto, że µ = 1/4 oraz σ 2 = 1/32. Dobieramy parametry rzeczywiste a i b predyktora zmiennej losowej M postaci: P red(m)(n) = a + bn w taki sposób, aby otrzymać predyktor o najmniejszym błędzie średniokwadratowym wśród predyktorów nieobciążonych tej postaci. Wyznacz a i b. Zad 11. W pewnym rodzaju ubezpieczenia każde ryzyko generuje szkodę (co najwyżej jedną) z takim samym prawdopodobieństwem. Jeśli do szkody z pewnego ryzyka dojdzie, a wartość parametru dla tego ryzyka wynosi β, to wartość tej szkody jest zmienną losową o gęstości: f(x β) = βe βx dla x > 0. Populacja ryzyk charakteryzuje się dużym zróżnicowaniem. Parametr ryzyka β ma w tej populacji rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Wyznacz gęstość rozkładu wartości szkody z losowo wybranego ryzyka z tej populacji, pod warunkiem że to ryzyko wygenerowało szkodę. Odp: f(x) = 1 x 2 (1 e x xe x ).