Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji

Transkrypt

1 Krzysztof Piasecki * Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji Wstęp Zazwyczaj analiza właściwości dowolnego papieru wartościowe jest prowadzona, jako analiza własności jego stopy zwrotu. Dowolna stopa zwrotu jest funkcją rosnącą wartości przyszłej i funkcją malejącą wartości bieżącej. Wartość przyszła danego instrumentu finansowego jest przedstawiana, jako zmienna losowa. Rozkład tej zmiennej losowej jest obrazem formalnym ryzyka niepewności obarczającej papier wartościowy. Z drugiej strony, dowolna wartość bieżąca kapitału jest definiowana, jako pewna teraźniejsza wartość równoważna danej wartości przyszłej kapitału. Wspomniana relacja równoważności jest relacją subiektywną, gdyż w dużej mierze zależy od podatności inwestora na wewnętrzne i zewnętrzne czynniki behawioralne. Wynika stąd, że na skutek oddziaływania czynników behawioralnych wartość bieżąca rozpatrywanego instrumentu finansowego może się odchylać od jego obserwowanej ceny rynkowej. W swej istocie stany środowiska behawioralnego są definiowane nieprecyzyjnie. Z tej przyczyny odchylenie wartości bieżącej od ceny rynkowej jest obarczone ryzykiem nieprecyzji. Wartość bieżąca może być przedstawiona, jako nieprecyzyjne oszacowanie obserwowanej ceny rynkowej. Wobec wszystkich powyższych przesłanek stopa zwrotu jest dana, jako probabilistyczna liczba rozmyta. W pracy będą badane podstawowe właściwości tak przedstawianej stopy zwrotu. Szczególny nacisk zostanie tutaj położony na wyznaczenie w tym kontekście zbioru efektywnych instrumentów finansowych. 1. Nieprecyzyjne oszacowanie stopy zwrotu Załóżmy, że jest dany ustalony horyzont czasowy t > 0 inwestycji. Rozważany instrument finansowy jest wtedy określony za pomocą dwóch wartości: przewidywanej wartości przyszłej V t R +, oszacowanej wartości początkowej V 0 R +. Podstawową charakterystyką informującą o korzyściach z posiadania tego instrumentu finansowego jest prosta stopa zwrotu r t dana za pomocą tożsamości (1) Wartość przyszła inwestycji jest obarczona ryzykiem niepewności, co do przyszłego stanu rzeczy. Modelem formalnym tej niepewności jest przedstawienie wartości przyszłej, jako zmiennej losowej V t : { } R. Zbiór ~ jest zbiorem elementarnych stanów rynku finansowego. W klasycznym podejściu do problemu wyznaczenia stopy zwrotu wartość początkowa instrumentu * Prof. dr hab., Katedra Badań Operacyjnych, Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, k.piasecki@ue.poznan.pl

2 264 Krzysztof Piasecki finansowego jest identyfikowana z obserwowaną ceną rynkową. Wtedy także stopa zwrotu jest zmienna losową obarczoną ryzykiem niepewności. Zmienna losowa ta jest wyznaczona za pomocą tożsamości ( ) ( ) (2) W praktyce analizy rynków finansowy przyjęto opisywania ryzyka niepewności za pomocą opisu rozkładu prawdopodobieństwa stopy zwrotu. Załóżmy, że opis rozkładu prawdopodobieństwa stopy zwrotu (2) jest dany za pomocą dystrybuanty F r : R [0; 1]. Wtedy dystrybuanta F V : R + [0; 1] rozkładu prawdopodobieństwa wartości przyszłej jest dana przez tożsamość ( ) ( ) (3) Z drugiej strony dystrybuanta F V : R [0; 1] opisuje rozkład prawdopodobieństwa wartości przyszłej, to jest wartości ocenianej ex post jedynie na podstawie obiektywnego pomiaru. Oznacza to, że dystrybuanta wartości przyszłej jest niezależna od sposobu ustalenia wartości początkowej. Jak wykazano już w [Piasecki, 2011], wartość początkowa może być obarczone ryzykiem nieprecyzji. Wspomniane ryzyko nieprecyzji było uwarunkowane przesłankami behawioralnymi. Nieprecyzyjne oszacowanie wartości początkowej jest przedstawione przy pomocy swej funkcji przynależności μ: R + [0; 1]. Wtedy stopa zwrotu jest obarczona splotem ryzyka niepewności obarczającego wartość przyszłą i ryzyka nieprecyzji obarczającego wartość początkową. Zgodnie z zasadą rozszerzenia Zadeha, dla każdego ustalonego elementarnego stanu ω rynku finansowego funkcja przynależności stopy zwrotu ρ(, ω): [0, 1] jest określona za pomocą zależności ( ) { ( ) ( ) } ( ( ) ) (4) Oznacza to, że obarczona splotem ryzyk niepewności i nieprecyzji stopa zwrotu jest reprezentowana przez probabilistyczny zbiór rozmyty [Hiroto, 1979]. Dla tak opisanej stopy zwrotu wyznaczamy parametry jej rozkładu. Mamy tutaj: rozkład oczekiwanej stopy zwrotu ( ) (( ) ) ( ) (5) oczekiwaną stopę zwrotu (( ) ) ( ) (( ) ) ( ) Rozkład oczekiwanej stopy zwrotu ρ [0, 1] R jest funkcją przynależności rozmytego zbioru liczb rzeczywistych nazywanego dalej rozmytą oczekiwaną stopą zwrotu. Stopa ta reprezentuje zarówno racjonalne jak i behawioralne aspekty podejścia do problemu oszacowania spodziewanych korzyści. Jako ocenę ryzyka niepewności przyjmujemy wariancję stopy zwrotu gdzie ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) (7) (6)

3 Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji 265 ( ( )) { { ( ) ( )} Szczegółowa analiza tych zależności dowodzi, że wyznaczona w ten sposób wariancja opisuje równocześnie racjonalne i behawioralne aspekty oceny bezpieczeństwa zainwestowanego kapitału. Podobnie, jak w przypadku precyzyjnie określonej stopy zwrotu, istnieją takie rozkłady prawdopodobieństwa wartości przyszłej, dla nie istnieje wariancja stopy zwrotu. Wtedy taki rozkład zastępujemy rozkładem obustronnie obciętym, dla którego wariancja istnieje zawsze. Postępowanie takie znajduje swe uzasadnienie w teorii perspektywy [Kahneman, Tversky, 1979], która to miedzy innymi odwołuje się do behawioralnego zjawiska odrzucania skrajnych możliwości. Pomimo tej modernizacji, w zaproponowanym modelu można wykorzystać bez zmian całą bogatą empiryczną wiedzę zebraną na temat rozkładów prawdopodobieństwa stóp zwrotu. Jest to wysoce korzystna cecha zaproponowanego modelu, gdyż przybliża możliwość jego realnych zastosowań. 2. Trójwymiarowy obraz ryzyka W klasycznej teorii Markowitza [1952] normatywną strategią inwestowania jest maksymalizacja oczekiwanej stopy przy równoczesnej minimalizacji wariancji stopy zwrotu σ 2. W tej sytuacji dowolny podstawowy instrument finansowy jest tam reprezentowany przez parę (, σ 2 ). Para ta reprezentuje jedynie racjonalne przesłanki oceny instrumentu finansowego. Równocześnie zakłada się tutaj implicite, że stopy zwrotu mają rozkłady normalne. W tym rozdziale ten obraz podstawowego instrumentu finansowego zastąpimy przez parę (, σ 2 ) uwzględniającą również behawioralne aspekty podejmowania decyzji inwestycyjnych. W ten sposób podnosimy wartość poznawczą opisu instrumentu finansowego. Ten przyrost użyteczności tego opisu ma jednak swoją cenę. Jest nią ujawnienia ryzyka nieprecyzji obarczającego rozważany instrument. Na to ryzyko nieprecyzji składa się ryzyko wieloznaczności i ryzyko niewyrazistości. Zgodnie z sugestią daną w [Gottwald, Czogała, Pedrycz, 1982] ryzyko wieloznaczności oceniać będziemy przy pomocy miary energetycznej d( ) rozmytej oczekiwanej stopy zwrotu określonej przez zależność ( ) ( ) ( ) Zgodnie z sugestią daną w [Czogała, Gottwald, Pedrycz, 1981] ryzyko niewyrazistości oceniać będziemy przy pomocy miary entropii e( ) rozmytej oczekiwanej stopy zwrotu przybliżonej rentowności określonej przez zależność ( ) { ( ) ( )} { ( ) ( )} (8) (9) (10) W tej sytuacji każdej rozmytej oczekiwanej stopie zwrotu przyporządkowujemy trójwymiarowy wektor (, δ, ε). Wektor ten jest obrazem ryzyka

4 266 Krzysztof Piasecki rozumianego, jako złożenie ryzyk niepewności, niejednoznaczności i niewyrazistości. Ryzyko niepewności jest odzwierciedleniem braku wiedzy inwestora o przyszłych stanach rynku finansowego. Brak tej wiedzy powoduje brak pewności inwestora, co do przeszłych zysków lub strat. Własności tego ryzyka znajdują bogate omówienie w literaturze przedmiotu. Tutaj ten klasyczny obraz ryzyka obarczającego instrument finansowy poszerzyliśmy o ryzyko nieprecyzji. Powstaje tutaj pytanie, czy z punktu widzenia potrzeb procesów inwestycyjnych jest to ryzyko istotne. Na ryzyko nieprecyzji składają się ryzyka niejednoznaczności i ryzyko niewyrazistości. Inwestor część odpowiedzialności za podejmowane przez siebie inwestycje przerzuca na doradców lub na stosowane narzędzia analityczne. Z tego powodu inwestor w znakomitej części ogranicza swoje wybory decyzji inwestycyjnych do alternatyw rekomendowanych przez doradców lub stosowane instrumentarium analityczne. W ten sposób inwestor minimalizuje ryzyko osobistej odpowiedzialności za podjętą decyzję finansową. Wzrost ryzyka wieloznaczności oznacza, że wzrastać będzie ilość alternatywnych rekomendacji inwestycyjnych. Powoduje to wzrost ryzyka wybrania spośród rekomendowanych alternatyw takiej decyzji finansowej, która ex post zostanie obarczona stratą utraconych szans. Wzrost ryzyka niewyrazistości oznacza zacieranie się granic wyróżniających rekomendowane alternatywy inwestycyjne. W ten sposób wzrastają szanse wyboru alternatywy nierekomendowanej. W ten sposób wzrost ryzyka niewyrazistości wpływa na przyrost istotnego ryzyka osobistej odpowiedzialności inwestora 1. Powyższe spostrzeżenia dowodzą, że wzrost ryzyka nieprecyzji pogarsza w zauważalny sposób warunki inwestowania. Więc można ryzyko nieprecyzji uznać za istotne ryzyko obarczające proces inwestycyjny. Posługiwanie się trójwymiarowym obrazem ryzyka (σ 2, δ, ε) ułatwia zarządzanie ryzykiem nieprecyzji. Pożądanym tutaj jest minimalizacja każdej z trzech ocen ryzyka. Korzystanie z trójwymiarowego obrazu ryzyka umożliwia śledzenia wzajemnych relacji pomiędzy poszczególnymi rodzajami ryzyka. W pierwszym rzędzie można się tutaj obserwować empiryczne interakcje pomiędzy ryzykami. Istnieje tutaj też współzależność formalna pomiędzy ryzykiem niepewności a ryzykiem wieloznaczności. Wraz ze wzrostem ryzyka wieloznaczności rośnie stopień rekomendacji poszczególnych alternatyw inwestycyjnych. Dzięki temu przyrasta ilość rekomendowanych alternatyw inwestycyjnych. W ten sposób staje się coraz bardzie pewnym, że pomiędzy rekomendowanymi alternatywami jest decyzja inwestycyjna najlepsza ex post. Oznacza to, że spada ryzyko niepewności. Reasumując, ryzyko niepewności i ryzyko nieprecyzji są skorelowane ujemnie. W porównaniu z klasyczną teorią Markowicza nieprecyzja jest nowym aspektem oceny ryzyka. Powstaje tutaj natychmiast kolejne pytanie, czy takie 1 Szerzej ten problem został opisany w [Piasecki, 1988], [Piasecki, 1990]

5 Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji 267 poszerzenie oceny ryzyka jest celowym. Za uwzględnieniem w badaniu ryzyka nieprecyzji przemawiają następujące trzy argumenty. Primo, zawsze istnieje możliwość ograniczenia ryzyka niepewności prognozy poprzez odpowiednie manipulacje obniżające precyzję prognozy. Secundo, uwzględnienie ryzyka nieprecyzji pozwoli odrzucać te z pośród wariantów inwestycyjnych, które co prawda są atrakcyjne z punktu widzenia klasycznej teorii Markowitza, ale niestety zebrane na ich temat informacje są mocno wieloznaczne. Tertio, z punktu widzenia klasycznej teorii Markowitza i jej implikacji, w praktyce rynków finansowych spotykamy się z wieloma anomaliami. Dostrzeganie tych paradoksów stało się punktem wyjścia do rozwoju finansów behawioralnych. W dalszej części tej pracy pokażemy, w jaki sposób uwzględnianie ryzyka nieprecyzji prowadzi do teorii normatywnych wyjaśniających paradoksy rynkowe. 3.Efektywność finansowa Efektywnym nazywamy instrument finansowy o ustalonej wariancji i maksymalnej oczekiwanej stopie zwrotu. W przypadku klasycznej teorii portfelowej Markowitza zakładającej normalność rozkładów stop zwrot, zbiór efektywnych instrumentów finansowych jest dany, jako górna gałąź krzywej Markowitza nazywana krzywą efektywnych instrumentów finansowych. Zbiór efektywnych instrumentów finansowych można też określić przy pomocy aparatu formalnego porównań wielokryterialnych. Korzystając z tego ujęcia będzie można zrezygnować z założenia o normalności rozkładów stóp zwrotu. Stosując to podejście określamy dwa preporządki na zbiorze wszystkich instrumentów finansowych. Preporządki te, to kryterium maksymalizacji oczekiwanej stopy zwrotu i kryterium minimalizacji wariancji. Zbiorem efektywnych instrumentów nazywamy optimum Pareto określone dla porównania wielokryterialnego zdefiniowanego przez wymienione powyżej preporządki. Jeśli dodatkowo założymy tutaj normalność rozkładów stóp zwrotu, to wtedy zbiór efektywnych instrumentów finansowych pokrywa się z górna gałęzią krzywej Markowitza. Oznacza to, że zbiór efektywnych instrumentów finansowych jest uogólnieniem pojęcia krzywej efektywnych instrumentów zdefiniowanej na gruncie klasycznej teorii Markowitza. Inwestowanie w efektywny instrument finansowy oznacza inwestowanie w instrument finansowy gwarantujący maksymalne zyski przy minimalnym zagrożeniu utraty zainwestowanego kapitału lub jego części. Jest to standardowy cel inwestorski w normatywnych teoriach rynków finansowych. Rodzi to pewne trudności aplikacyjne, gdyż inwestorzy inwestują na ogół w instrumenty finansowe leżące poza zbiorem instrumentów efektywnych, a więc z punktu widzenia tych teorii inwestują w nieefektywne instrumenty finansowe. Równocześnie, jako swój normatywny cel inwestorzy ci deklarują inwestowanie w efektywne instrumenty finansowe. W ten sposób ujawnia się jeden z realnych paradoksów rynków finansowych.

6 268 Krzysztof Piasecki Wyjaśnieniem masowości występowania tego paradoksu nie może być brak wystarczającej wiedzy o zachodzących rzeczywistych procesach na rynkach finansowych i w otoczeniu gospodarczym. Postępująca profesjonalizacja działalności inwestorskiej i szybki rozwój informatyki sprawiają, że pełnym dostępem do informacji rynkowej i umiejętnością jej właściwego przetworzenia dysponują inwestorzy zarządzający zdecydowaną większością wolumenu obrotów na tym rynku. W tej sytuacji wytłumaczeniem tego paradoksu może być przypuszczenie, że inwestorzy - deklarujący normatywny zamiar inwestowania w efektywne instrumenty finansowe - równocześnie inwestują w instrumenty finansowe jedynie w pewnym sensie podobne do efektywnych instrumentów finansowych. Możemy tutaj mówić o stopniu efektywności poszczególnych instrumentów finansowych równym stopniowi ich podobieństwa do efektywnego instrumentu finansowego. W praktyce oznacza to, ze prawie każdy dostępny na rynku instrument finansowy jest w pewnym stopniu efektywnym instrumentem finansowym. Z drugiej strony nieefektywny instrument finansowy w naturalny sposób przestaje być przedmiotem obrotu na giełdzie. Wszystko to razem wyjaśnia paradoks rozbieżności pomiędzy normatywnym celem inwestorskim a rzeczywistym celem strategii inwestycyjnej. Inwestorzy zawsze działają w mniej lub bardziej efektywny sposób. W dalszej części tego rozdziału zostanie przedstawiony model normatywny takiego sposobu działania inwestorów. Symbolem oznaczamy zbiór wszystkich instrumentów finansowych. Instrument finansowy jest reprezentowany przez parę (,(σ 2, δ, ε)), gdzie poszczególne symbole oznaczają: jest rozmytą oczekiwana stopą zwrotu z instrumentu finansowego określoną przez rozkład oczekiwanej stopy zwrotu ρ Y [0, 1] R ; jest wariancja stopy zwrotu z instrumentu finansowego, δ Y jest miarą energetyczną rozmytej oczekiwanej stopy zwrotu z instrumentu finansowego ; ε Y jest miarą entropii rozmytej oczekiwanej stopy zwrotu z finansowego. Na zbiorze rozmytych liczb rzeczywistych ( ) definiujemy relację co czytamy: Rozmyta liczba rzeczywista jest większa równa od rozmytej liczby rzeczywistej. Relacja ta jest rozmytym preporządkiem określonym przez swą funkcję przynależności ( ) ( ) [0, 1] spełniającą dla dowolnej pary (, ) rozmytych oczekiwanych stóp zwrotu warunek ( ) { { ( ) ( )} } (11) W następnym kroku wyznaczamy porównanie wielokryterialne określone przez kryterium maksymalizacji rozmytej oczekiwanej stopy zwrotu i kryterium minimalizacji wariancji. Powstała w ten sposób relację opisujemy przy pomocy funkcji zdaniowej

7 Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji 269 (12) co zapisujemy. W sposób formalny to porównanie wielokryterialne jest określone przez równoważność (13) W tej sytuacji relacja jest rozmytą relacja preporządku określoną przez swą funkcję przynależności [0, 1]. Dla dowolnej pary instrumentów finansowych wspomniana funkcja przynależności jest reprezentowana przez zależność ( ( ) { ) (14) Zbiór efektywnych instrumentów finansowych jest identyczny ze optimum Pareto wyznaczonym przez porównanie wielokryterialne (13). W tej sytuacji zbiór efektywnych instrumentów finansowych definiujemy, jako rozmyty zbiór elementów maksymalnych relacji (12). Zbiór jest reprezentowany przez swą funkcję przynależności φ: [0, 1] określoną przez tożsamość ( ) { { ( ) ( )} (15) Wartość ( ) jest interpretowana, jako wartość logiczna zdania: Instrument finansowy jest efektywny (16) W ten sposób behawioralne przesłanki podejmowania decyzji inwestycyjnych przekształciliśmy do stwierdzenia podobieństwa poszczególnych instrumentów finansowych do instrumentów efektywnych. Rezultat ten został uzyskany z pominięciem założenia o normalności rozkładu stóp zwrotu. Zaprezentowana tutaj teoria normatywna wyjaśnia, że paradoks rozbieżności pomiędzy normatywnym celem inwestorskim a rzeczywistym celem strategii inwestycyjnej jest implikowany behawioralnymi aspektami postrzegania rynku finansowego. Każdy paradoks wyjaśniony staje się paradoksem pozornym. Przedstawienie formalnej teorii umożliwiającej oszacowanie wartość logicznej zdania (16) pozwala na pewną kontrolę nad wyborem instrumentów finansowych podobnych do efektywnych. Opisaliśmy powyżej przypadek, kiedy inwestor wyznacza efektywne instrumenty finansowe biorąc pod uwagę jedynie ryzyko niepewności. Teraz uwagę naszą skupimy na wyznaczeniu zbioru ściśle efektywnych instrumentów finansowych. Zbiór taki będziemy definiować, jako optimum Pareto określone dla porównania czterokryterialnego zdefiniowanego przez kryterium maksymalizacji rozmytej oczekiwanej stopy zwrotu i kryteria minimalizacji miar ryzyka. Powstałą w ten sposób relację opisujemy przy pomocy funkcji zdaniowej: (17) co zapisujemy. W sposób formalny to porównanie wielokryterialne jest określone przez równoważność

8 270 Krzysztof Piasecki (18) W tej sytuacji relacja jest rozmytą relacja preporządku określoną przez swą funkcję przynależności [0, 1] reprezentowaną przez tożsamość ( ( ) { ) (19) ( ) Zbiór ściśle efektywnych instrumentów finansowych jest identyczny ze optimum Pareto wyznaczonym przez porównanie wielokryterialne (18). Zbiór jest reprezentowany przez swą funkcję przynależności [0, 1] określoną przez tożsamość ( ) { { ( ) ( )} } (20) Wartość ( ) jest interpretowana, jako wartość logiczna zdania: Instrument finansowy jest ściśle efektywny (21) Zdeklarowanie zamiaru inwestowania jedynie w ściśle efektywne instrumenty finansowe może zostać uznane, jako normatywny cel inwestorski. Stosowanie tej strategii prowadzi do odrzucania takich alternatyw inwestycyjnych, które co prawda są atrakcyjne z punktu widzenia klasycznej teorii Markowitza, ale niestety zebrane na ich temat informacje są mało precyzyjne. Inwestor podejmując decyzje o zakupie lub sprzedaży instrumentu finansowego może się kierować wartościami φ( ) i ( ). Każdy inwestor powinien ograniczyć obszar swoich inwestycji do instrumentów finansowych charakteryzujących się względnie duża wartością tych wskaźników. Każdy inwestor powinien też ograniczyć sprzedaż własnych aktywów finansowych do tych, dla których wymienione w tym akapicie wskaźniki osiągają niskie wartości. Prezentowane w [Piasecki, 2011] rozważania pozwalają przypuszczać, ze poszczególni inwestorzy w danym momencie czasu będą posługiwali się różnymi wartościami tych wskaźników. Zróżnicowanie to wynika ze zróżnicowania subiektywnych, behawioralnych przesłanek podejmowania decyzji inwestycyjnych. Zakończenie Stosowanie przedstawionego powyżej normatywnego modelu efektywnych niesie w sobie duże utrudnienia. Głównym utrudnieniem jest wysoka złożoność formalna i obliczeniowa zadania wyznaczania funkcji przynależności zbiorów efektywnych instrumentów finansowych. Złożoność obliczeniowa modelu normatywnego jest ceną, jaka płacimy za brak założeń szczegółowych specyfikujących model stopy zwrotu, to jest za niską złożoność logiczną stanowiącą istotną zaletę prezentowanego w tej pracy modelu formalnego. Problem wyznaczenia funkcji przynależności zbioru efektywnych instrumentów finansowych może być rozstrzygany na gruncie ekonometrycznej analizy rynków finansowych. Przykłady takich rozstrzygnięć zostały przedstawione w [Piasecki, 2009] i [Piasecki, Ziomek, 2010] Literatura

9 Stopa zwrotu obarczona ryzykiem nieprecyzji Czogała E., Gottwald S., Pedrycz W., (1981), On the concepts of measures of fuzziness and their Applications in decision making, 8th triennial World Congress IFAC, Kyoto. 2. Gottwald S., Czogała E., Pedrycz W., (1982), Measures of fuzziness and operations with fuzzy sets, Stochastica 3 vol. VI. 3. Markowitz H.S.M. (1952), Portfolio selection, Journal of Finance, December. 4. Piasecki K., (1988), Fuzzy P-measures and their application and decision making, w: Combining Fuzzy Imprecision with Probabilistic Uncertainty, Kacprzyk J., Fedrizzi M. (red.) Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 310, Springer Verlag, Berlin. 5. Piasecki K., (1990) Decyzje i wiarygodne prognozy, Zeszyty Naukowe S.I Prace doktorskie i habilitacyjne, z. 106, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań. 6. Piasecki K., (2007) Modele matematyki finansowej. Instrumenty podstawowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 7. Piasecki K., (2009), O sposobie poszukiwania dobrej metody inwestowania na giełdzie. w: Metody ilościowe w ekonomii, Hozer J. (red.) Uniwersytet Szczeciński, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania nr 11, Szczecin. 8. Piasecki K. (2011), Behavioural present value, Behavioural & Experimental Finance ejournal 4 9. Piasecki K., Serafin M., Świątczak Ł., (2006), Analiza porównawcza strategii inwestowania na GPW w Warszawie, w: Smoluk A. (red.), Dydaktyka matematyki, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu Nr 1117, Wrocław. 10. Piasecki K. Ziomek R., (2010), Zbiory intuicyjne w prognozowaniu rynku finansowego. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego. Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia Hiroto K., (1979), Concepts of probabilistic sets, Proc. IEEE Conf. Decision and Control, Berkeley. Streszczenie Zazwyczaj analiza właściwości dowolnego papieru wartościowe jest prowadzona, jako analiza własności jego stopy zwrotu. Dowolna stopa zwrotu jest funkcją rosnącą wartości przyszłej i funkcją malejącą wartości bieżącej. Wartość przyszła danego instrumentu finansowego jest przedstawiana, jako zmienna losowa. Rozkład tej zmiennej losowej jest obrazem formalnym ryzyka niepewności obarczającej papier wartościowy. Z drugiej strony, dowolna wartość bieżąca kapitału jest definiowana, jako pewna teraźniejsza wartość równoważna danej wartości przyszłej kapitału. Wspomniana relacja równoważności jest relacją subiektywną, gdyż w dużej mierze zależy od podatności inwestora na wewnętrzne i zewnętrzne czynniki behawioralne. Wynika stąd, że na skutek oddziaływania czynników behawioralnych wartość bieżąca rozpatrywanego instrumentu finansowego może się odchylać od jego obserwowanej ceny rynkowej. W swej

10 272 Krzysztof Piasecki istocie stany środowiska behawioralnego są definiowane nieprecyzyjnie. Z tej przyczyny odchylenie wartości bieżącej od ceny rynkowej jest obarczone ryzykiem nieprecyzji. Wartość bieżąca jest dana, jako nieprecyzyjne oszacowanie obserwowanej ceny rynkowej. Wobec wszystkich powyższych przesłanek stopa zwrotu jest dana, jako probabilistyczna liczba rozmyta. W pracy będą badane podstawowe właściwości tak przedstawianej stopy zwrotu. Finalnym wynikiem będzie tutaj przedstawienie uogólnionego pojęcia efektywnego instrumentu finansowego, jako zbioru rozmytego w zbiorze instrumentów finansowych. Return rate burdened with the risk imprecision risk (Summary) The future value of a financial instrument is described as a random variable. Distribution of this random variable is the formal image of risk uncertainty burdening with a security. On the other side, any present value is defined as a value equivalent to the given future value. This equivalence relationship is a subjective. Thus folllows, that present value is described as a fuzzy number. All above circumstances imply, that return rate is given as fuzzy probabilistic set. The basic properties of such image of return rate are studied. At the last effective financial instruments are distinguished as a fuzzy set in the space of financial instruments.