Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej
|
|
- Wiktoria Wawrzyniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej Problem badawczy Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost wartości realnej będącej naturalną konsekwencją ogólnego kierunku rozwoju społeczności ludzkiej, polegającej na zwiększeniu wartości tworzonych towarów i usług. Pieniądz, jako ekwiwalent tych produktów bezpośrednio na nie wymienialny, zwiększa zatem w czasie swą wartość. Jest to wyidealizowany ze względów na zastosowanie tutaj zasadę ceteris paribus model przyrostu wartości pieniądza. Ostatnio w polskiej literaturze problem pracy ludzkiej jako czynnika kształtującego przyrost wartości jednostki pieniężnej podnosi Dobija [] cytując przy okazji cały szereg prac równie prominentnych autorów wyrażających ten sam pogląd. Przyrost ten jest dokładnie modelowany przy pomocy całego systemu równań nazywanego kiedyś matematyką finansową [3], [7],a w chwili obecnej arytmetyką finansową [6] lub teorią procentu [4], []. Przy analizie tych modeli uderza ich wysoka złożoność logiczna wyrażająca się dużą ilością przyjętych założeń. W [5] zaproponowano uproszczenia tego systemu na drodze zbudowania matematycznej teorii aksjomatyczno-dedukcyjnej. Przyjęto implicite jednak tam założenie, że tempo przyrostu wartości kapitału jest niezależne od ilości zgromadzonego kapitału. Praktyka gospodarowania i teoria ekonomii wskazują jednak bardzo wyraźnie, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Efekt ten nazywa się efektem synergii kapitału. W prezentowanej pracy zostanie przedstawiona implementacja warunku synergii kapitału do zaprezentowanego w [5] układu aksjomatów arytmetyki finansowej. - -
2 - -. Arytmetyka finansowa podstawy ujęcia aksjomatycznego Cześć ta w całości została opracowana na podstawie [5]. Tam też można znaleźć dowody przedstawionych tutaj twierdzeń. Na wstępie zostanie przedstawiony model opisującego proces przyrostu (aprecjacji) wartości kapitału w jednoznacznie wyróżnionym przedziale czasowym 0,T. Model ten odnosi się do instrumentu finansowego o wartości nominalnej C w momencie t 0. Wartość C nazywamy wartością początkową. Przyjmujemy tutaj umowę, że nieujemne wartości finansowe odpowiadać będą przychodom, należnościom lub pozostałym aktywom, podczas gdy ujemne wartości finansowe opisywać będą wydatki, zobowiązania lub inne pasywa. Wartości początkowej C i dowolnemu momentowi czasowemu t 0,T przypisujemy wartość przyszłą s C, t. Oznacza to, że wartość przyszła spot jest funkcją określoną nad dziedziną określoną przez iloczyn kartezjański R 0, T c, t: c R, t 0, T. Podstawowe własności wartości przyszłej spot opisuje poniższa definicja. Definicja : Wartością przyszłą nazywamy funkcję s : R [0, T] R spełniającą - dla dowolnych wartości początkowych C, C R i momentów czasowych t, t 0, T warunki: sc C, t sc, t sc, t t t C 0 sc, t sc, t C, 0 C ; () ; () s. (3) Warunek () zakłada, że dowolnie wyznaczana wartość przyszła jest funkcją addytywną wartości początkowej. Oznacza to, że wartość przyszła sumy kapitału jest równa sumie wartości przyszłych kapitału. Warunek ten wyklucza efekt synergii kapitału i z tego względu będzie szczegółowo rozważany w drugiej części tej pracy. Warunek () informuje nas, że wraz z upływem czasu wartość przyszła aktywów nie może zmaleć. Inaczej mówiąc, na oszczędzaniu nie można stracić. Warunek (3) identyfikuje wartość przyszłą spot przypisaną chwili bieżącej z wartością początkową. Weźmy pod uwagę teraz strumień finansowy reprezentowany przez parę t, C 0, T R, gdzie symbol t oznacza moment przepływu strumienia, zaś symbol C opisuje wartość nominalną tego przepływu. Wartość bieżąca strumienia finansowego t, C jest taką wartością początkową PV t, C, której wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia t, C jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości - -
3 - 3 - s PV t C, t C,. (4) Twierdzenie : Tożsamość (4) jest równoważna tożsamości PV t sc, t C, (5) Proces wyznaczania wartości bieżącej wartości kapitału. nazywamy potocznie dyskontowaniem Twierdzenie : Warunki (), (), (3) i (4) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T spełnione były warunki: PV t, C C PV t, C PV t, C t t C 0 PV t, C PV t, C 0, C C ; (6) ; (7) PV. (8) Dzięki Twierdzeniu wiemy, że na to, aby opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną wartość przyszłą spełniającą warunki (), () i (3) albo dowolną wartość bieżącą spełniające warunki (6), (7) i (8). W pierwszym przypadku wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (4). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (5).. Aksjomatyczne ujęcie efektu synergii kapitału Pan Profesor Antoni Smoluk z Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu w swej recenzji wydawniczej książki [5] zaproponował zastąpienie w Definicji warunku () przez warunek 0, T: sc C, t sc, t sc t C C R t, ; (9), Zaproponowany warunek jest modelem dopuszczającym efekt synergii kapitału. Oznacza to przyjęcie założenia, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Prawdziwość tego założenia wielokrotnie była weryfikowana empirycznie. Dyskutując warunek (9) warto też zauważyć, że dla C 0 warunek ten opisuje efekt dźwigni finansowej. Z tego powodu warunek (9) zostanie wykorzystany w tej części do uogólnienia definicji wartości przyszłej kapitału do przypadku nie wykluczającego już efektu synergii
4 - 4 - Definicja : Uogólnioną wartością przyszłą nazywamy funkcję s : R [0, T] R spełniającą - dla dowolnych wartości początkowych C, C R i momentów czasowych t, t 0, T warunki: (), (3) i (9). Twierdzenie 3: Dowolna uogólniona wartość przyszła posiada właściwości: s : R [0, T] R R t 0, T: sc, t 0 0, T: s0, t 0 R t 0, T: sc, t 0 R t 0, T: sc, t s C, t 0 C, C R t 0, T: C C sc, t sc, t Dowód: Z () i (3) dla dowolnej pary C, t R 0, T s C, t sc,0 C 0, co dowodzi (0). Stąd jeśli C C, to z (9) dla dowolnego t 0,T s C, t sc C, t sc, t sc, t, co dowodzi (4). Korzystając z (9). dla dowolnego t 0,T s 0, t s0, t s0, t 0 s0, t C, (0) t, () C, () C, (3). (4) otrzymujemy mamy otrzymujemy. (*) Z drugiej strony, korzystając z () i (3), dla dowolnego momentu czasowego t 0,T otrzymujemy 0, t s0,0 0 s. (**) Zestawiając razem (*) i (**) otrzymujemy (). Korzystając z (9) i (), dla C, t R 0, T mamy dowolnej pary 0 s C C, t sc, t s C, t, co dowodzi (3). Korzystając teraz z (0) i (3), dla dowolnej pary C, t R 0, T otrzymujemy 0 s C, t s C, t sc, t, co dowodzi () i kończy dowód całego twierdzenia. Warunki (0) i () informują, że klasa aktywów finansowych i klasa pasywów finansowych są zamknięte ze względu na operację wyznaczania wartości przyszłej. Warunek () pokazuje, że efekt synergii kapitału nie jest samoistnym źródłem pojawienia się możliwości arbitrażu cenowego. Treścią warunku (3) jest informacja, że jeśli wartości początkowa aktywów jest równa - 4 -
5 - 5 - zwrotowi z wartości początkowej pasywów, to tempo przyrostu wartości przyszłej aktywów nigdy nie przekracza tempa względnego przyrostu wartości przyszłej pasywów. Wszystkie te wnioski potwierdzają poprawność wykorzystania warunku (9) w celu uogólnienia definicji wartości przyszłej. Warunek (4) przedstawia uogólniona wartość przyszłą, jako rosnącą funkcję wartości początkowej kapitału. Dzięki temu, dla każdej ustalonej wartości momentu czasowego t 0,T istnieje funkcja odwrotna do funkcji s, t: R R. Formalne spostrzeżenie to będzie nam ułatwiać dowodzenie dalszych twierdzeń. Analogicznie do podanego w poprzedniej części pojęcia wartości bieżącej, uogólniona wartość bieżąca strumienia finansowego t, C jest taką wartością początkową PV t, C, której uogólniona wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia t, C jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości s PV t C, t C,. (5) Lemat : Dowolna uogólniona wartość bieżąca PV 0, T R R warunek: 0, T: C C PV t, C PV t C R t, : spełnia C, C. (6) Dowód: Wprost z (4) i (5). Twierdzenie 4: Tożsamość (5) jest równoważna tożsamości PV t sc, t C Dowód: W tożsamości (5) podstawiamy C sc, t, (7) PV t, sc, t, t sc t s,, co razem z (4) daje (7). i mamy wtedy Twierdzenie 5: Warunki (), (3), (9) i (5) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T spełnione były warunki: PV t, C C PV t, C PV t, C ; (8) t t C 0 PV t, C PV t, C ; (9) PV 0, C C. (0) Dowód: Korzystając z (5) i z (9), dla dowolnej trójki C, C, t R 0, T otrzymujemy - 5 -
6 - 6 - s (PV (t, C + C ), t ) = C + C = s (PV (t, C ), t ) + s (PV (t, C ), t ) s (PV (t, C ) + PV (t, C ), t ) Powyższa nierówność wraz z (4) dowodzi (8). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (8). Korzystając z (7) i (8) otrzymujemy wtedy PV PV t, sc C, t C C t, sc, t PV t, sc, t PV t, sc C, t. Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (9). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami (9) i (8). Z warunku () i (5) mamy s PV t C, t s PV t, C, t C spv t, C,, t, co razem z (6) dowodzi (9). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (9). Korzystając z (7) i (9) otrzymujemy wtedy PV t, sc, t PV t, sc, t C PV t, sc t., Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami () i (9). Z (3) i (5) mamy PV C, C s PV 0, C, 0 0, co dowodzi równoważności warunków (3) i (0). Konieczność i dostateczność warunków (), (3) i (9) została wykazana. Dzięki Twierdzeniom 4 i 5 wiemy, że na to, aby w pełni opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału dopuszczające efekt synergii kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną uogólnioną wartość przyszłą spełniającą warunki (), (3) i (9) albo dowolną uogólnioną wartość bieżącą spełniające warunki (8), (9) i (0). W pierwszym przypadku uogólnioną wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (5). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (7). Przedstawione tutaj wyniki wskazują, że w sytuacji - gdy spodziewamy się ujawnienia efektu synergii kapitału - dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wystarczy jednoznacznie określić merytoryczne uzasadnione uogólnioną wartość przyszłą albo uogólnioną wartość bieżącą
7 - 7 - Zakończenie Oceniając znaczenie przedstawionych powyżej wyników należy tutaj podkreślić fakt, że opisane w Twierdzeniu 5 wzajemne relacje pomiędzy uogólnioną wartością przyszła i uogólnioną wartością bieżącą zostały udowodnione bez pomocy twierdzeń o współczynnikach aprecjacji i dyskontowania, tak jak to miało miejsce w [5] w przypadku dowodzenia Twierdzenia. Z drugiej strony zebrane tutaj wyniki są na tyle zachęcające, że wydaje się celowym kontynuowanie podjętych tutaj badań nad efektem synergii kapitału.. Na pierwszy ogień powinny iść uogólnione twierdzenia o czynnikach aprecjacji i dyskontowania. Tematem wartym podjęcia jest tez problem specyfikacji merytorycznie uzasadnionych jednoznacznych modeli uogólnionej wartości przyszłej. Literatura [] Chrzan P.; Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu, Oikońomos Sp.z o.o,. Katowice 00. [] Dobija M., Źródła wartości jednostki pieniądza [W:] Tarczyński W. (red.) Rynek kapitałowy- skuteczne inwestowanie (red. Tarczyński W.), Uniwersytet Szczeciński, Szczecin 00,, s.-38. [3] Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN, Warszawa-Kraków 995. [4] Luenberger D.G., Teoria inwestycji finansowych, Warszawa 003, Wydawnictwo Naukowe PWN. [5] Piasecki K., Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo Naukowe AE w Poznaniu, Poznań 005. [6] Smaga E.; Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa-Kraków 999. [7] Sobczyk M.; Matematyka finansowa, Placet, Warszawa
8 - 8 - STRESZCZENIE W pracy implementowano warunek synergii kapitału do układu aksjomatów arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszła. Uzyskano w ten sposób pojęcie uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano podstawowe własności uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano też własności uogólnionej wartości bieżącej. Zwrócono uwagę na kontekst ekonomiczny uzyskanych wyników formalnych. Synergy axiom in financial arithmetic SUMMARY In this paper the condition of capital synergy was implemented to the system of financial arithmetic axioms which describe future value. Into this way generalized notion of future value was gotten. Basic properties of generalized future value were examined. A property of generalized present value was also examined. Author paid attention to the economic context of gotten formal results
Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału. arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszłą. Uzyskano w ten sposób
KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału Streszczenie: W pracy implementowano warunek synergii kapitału
Bardziej szczegółowoEFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ**
SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ im. J. A. Komeńskiego w Lesznie R o k 0 0 8, n r 6 KRZYSZTOF PIASECKI* EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ** THE EFFECT OF SYNERGY IN FINANCIAL ARITHMETICS
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ 1. PROBLEM BADAWCZY. Słowa kluczowe:
KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyzła, Wartość bieżąca, Synergia kapitału Strezczenie: W pracy implementowano warunek ynergii kapitału do
Bardziej szczegółowoDobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoDYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI. Problem badawczy. 1. Elementy teorii użyteczności strumienia finansowego
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu DYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI Streszczenie: Wartość bieżąca jest rozważana, jako użyteczność strumienia finansowego. Dzięki temu można
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk
Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoDYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Badań Operacyjnych k.piasecki@ue.poznan.pl DYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI Streszczenie:
Bardziej szczegółowoPAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: Finanse i rachunkowość
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowoDYSKONTOWANIE POD WPŁYWEM AWERSJI DO RYZYKA PRÓBA UOGÓLNIENIA
Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 297 2016 Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Badań Operacyjnych
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ BIEŻĄCA A PIERWSZE PRAWO GOSSENA STUDIUM PRZYPADKU 1
STUDIA OEONOMIA POSNANIENSIA 2015, vol. 3, no. 2 Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra Badań Operacyjnych k.piasecki@ue.poznan.pl
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień 2017 1 / 40 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.2
Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoEkonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni Wykład 8ns : tematyka 1. Oprocentowanie, dyskontowanie, współczynnik
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 19 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoPlanowanie przyszłorocznej sprzedaży na podstawie danych przedsiębiorstwa z branży usług kurierskich.
Iwona Reszetar Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Planowanie przyszłorocznej sprzedaży na podstawie danych przedsiębiorstwa z branży usług kurierskich. Dokument roboczy Working paper Wrocław 2013 Wstęp
Bardziej szczegółowoOLIMPIADA MATEMATYCZNA
OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO
Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu MATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO Studiując literaturę z zakresu matematyki finansowej napotykamy dużą ilość modeli oceniających wpływ
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia, które leżą u podstaw nauki finansów: - finanse; - pieniądz; - aktywo; - kapitał; - przepływ pieniężny.
Podstawowe pojęcia, które leżą u podstaw nauki finansów: - finanse; - pieniądz; - aktywo; - kapitał; - przepływ pieniężny. Finanse (finance) jest to ogół zjawisk związanych z działalnością człowieka, w
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoBilans dostarcza użytkownikowi sprawozdania finansowego informacji o posiadanych aktywach tj. zgromadzonego majątku oraz wskazuje na źródła jego
Bilans dostarcza użytkownikowi sprawozdania finansowego informacji o posiadanych aktywach tj. zgromadzonego majątku oraz wskazuje na źródła jego finansowania strona pasywów. Bilans jest sporządzany na
Bardziej szczegółowoDynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych
Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piasecki. Wprowadzenie
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu O istocie wartości bieżącej Wprowadzenie Fundamentalnym założeniem arytmetyki finansowej jest pewnik, że wartość pieniądza rośnie wraz z upływem czasu,
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowo3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 2 do zarządzenia nr 111 Rektora UŚ z dnia 31 sierpnia 2012 r. Literatura i treści programowe studiów podyplomowych Inwestycje Giełdowe
Załącznik nr 2 do zarządzenia nr 111 Rektora UŚ z dnia 31 sierpnia 2012 r Literatura i treści programowe studiów podyplomowych Inwestycje Giełdowe 1 Opis zakładanych efektów kształcenia na studiach podyplomowych
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowox v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 4 Przepływy pienięŝne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pienięŝnych P Pt, Pt,
Bardziej szczegółowoGłównym celem opracowania jest próba określenia znaczenia i wpływu struktury kapitału na działalność przedsiębiorstwa.
KAPITAŁ W PRZEDSIĘBIORSTWIE I JEGO STRUKTURA Autor: Jacek Grzywacz, Wstęp W opracowaniu przedstawiono kluczowe zagadnienia dotyczące możliwości pozyskiwania przez przedsiębiorstwo kapitału oraz zasad kształtowania
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoPlanowanie przychodów ze sprzedaży na przykładzie przedsiębiorstwa z branży inżynierii lądowej i wodnej
M. Barczyszyn Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Planowanie przychodów ze sprzedaży na przykładzie przedsiębiorstwa z branży inżynierii lądowej i wodnej working paper Słowa kluczowe: planowanie finansowe,
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego.
Matematyka finansowa - 4 Przepływy pieniężne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pieniężnych P P t,p t, P t 2,...,P t w
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowo