WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
|
|
|
- Bernard Wróblewski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE,
2 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie orła, p-stwo sukcesu wynosi 1 2.
3 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie orła, p-stwo sukcesu wynosi 1 2. Rzucamy 5 razy kostka go gry, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie liczby oczek 2, p-stwo sukcesu 1 3.
4 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie orła, p-stwo sukcesu wynosi 1 2. Rzucamy 5 razy kostka go gry, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie liczby oczek 2, p-stwo sukcesu 1 3. W urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne, prób a Bernouliego jest pojedyncze wylosowanie dwóch kul z urny, sukces to wylosowanie dwóch kul białych, p-swto sukcesu ( 5 2) / ( 9 2).
5 Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0.
6 Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0. Przestrzeń probabilistyczna ma postać: Ω = {0, 1} n to znaczy Ω = {(ω 1, ω 2,..., ω n ), ω i {0, 1}}.
7 Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0. Przestrzeń probabilistyczna ma postać: Ω = {0, 1} n to znaczy Ω = {(ω 1, ω 2,..., ω n ), ω i {0, 1}}. Przyjmujemy F = 2 Ω, czyli mierzalne s a wszystkie podzbiory.
8 Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0. Przestrzeń probabilistyczna ma postać: Ω = {0, 1} n to znaczy Ω = {(ω 1, ω 2,..., ω n ), ω i {0, 1}}. Przyjmujemy F = 2 Ω, czyli mierzalne sa wszystkie podzbiory. Funkcja p-stwa ma postać P({ω 1,..., ω n }) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, gdzie 0 p, q 1,p + q = 1, p p-stwo sukcesu, q p-stwo porażki
9 Przykłady Z definicji wynika, że p-stwo otrzymania dokładnie k sukcesów wynosi ( n k) p k q n k, gdzie 0 k n.
10 Przykłady Z definicji wynika, że p-stwo otrzymania dokładnie k sukcesów wynosi ( n k) p k q n k, gdzie 0 k n. Rzucamy 10 razy kostka, oblicz p-stwo że szóstka wypadnie raz lub dwa razy? Odp. P(OK ) = P(1 6)+P(2 6) = ( 10 1 ) ( 1 6 )(5 6 )9 + ( 10 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )8.
11 Przykłady Z definicji wynika, że p-stwo otrzymania dokładnie k sukcesów wynosi ( n k) p k q n k, gdzie 0 k n. Rzucamy 10 razy kostka, oblicz p-stwo że szóstka wypadnie raz lub dwa razy? Odp. P(OK ) = P(1 6)+P(2 6) = ( 10 1 ) ( 1 6 )(5 6 )9 + ( 10 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )8. Dany jest schemat B(n, p). Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów? Oznaczmy p k = P(dok k) = ( n k) p k q n k, q = 1 p. Odp. [(n + 1)p], bo p k+1 p k = ( n k+1( n k ) p k+1 q n k 1 ) p k q n k = (n k)p (k + 1)q.
12 Przybliżenie Poissona Rozważmy przypadek B(n, p n ), w którym lim n np n = λ > 0, to znaczy mamy dużo prób z małym p-stwem sukcesu.
13 Przybliżenie Poissona Rozważmy przypadek B(n, p n ), w którym lim n np n = λ > 0, to znaczy mamy dużo prób z małym p-stwem sukcesu. Dla dowolnego k = 0, 1, 2,... zachodzi lim n ( n )p kn(1 p n ) n k = λk k k! e λ.
14 Przybliżenie Poissona Rozważmy przypadek B(n, p n ), w którym lim n np n = λ > 0, to znaczy mamy dużo prób z małym p-stwem sukcesu. Dla dowolnego k = 0, 1, 2,... zachodzi lim n ( n )p kn(1 p n ) n k = λk k k! e λ. Oszacowanie błędu w przybliżeniu Poissona: Niech λ = np n, S n - liczba skucesów w B(n, p n ). Dla dowolnego A {0, 1, 2,...} zachodzi P(S n A) k A λ k k! e λ npn 2 = λ2 n
15 Przykłady W urnie znajduje się 999 kul czarnych i 1 biała. Wyznaczyć p-swto, że losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy biała kulę.
16 Przykłady W urnie znajduje się 999 kul czarnych i 1 biała. Wyznaczyć p-swto, że losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy biała kulę. Rozwiazanie: mamy schemat B(500, 1/1000). Zatem n = 500, p n = 1/1000, λ = np n = 1/2. Wzór Poissona daje P(S 1000 = 2) 2 2 2! e 1 2 = 0, 076.
17 Przykłady W urnie znajduje się 999 kul czarnych i 1 biała. Wyznaczyć p-swto, że losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy biała kulę. Rozwiazanie: mamy schemat B(500, 1/1000). Zatem n = 500, p n = 1/1000, λ = np n = 1/2. Wzór Poissona daje P(S 1000 = 2) 2 2 2! e 1 2 = 0, 076. Oszacowanie na przybliżenie Poissona wynosi np 2 n = λ 2 /n = 1/2000, zatem P(S 1000 = 2) 0, 076 = 0, 0002.
18 Przykłady Artykuł liczy 10 5 = Podczas wprowadzania artykułu do komputera, ps-wto pomyłki wynosi 0, 0001 = Jakie jest p-stwo, że w artykule sa co najmniej 2 błędy?
19 Przykłady Artykuł liczy 10 5 = Podczas wprowadzania artykułu do komputera, ps-wto pomyłki wynosi 0, 0001 = Jakie jest p-stwo, że w artykule sa co najmniej 2 błędy? Rozwiazanie: mamy schemat B(10 5, 10 4 ). Zatem n = 10 5, p n = 10 4, λ = np n = 10. Wzór Poissona daje P(S 10 5 {0, 1}) 100 0! e ! e 10 = 11e 10 = 0, 0005.
20 Przykłady Artykuł liczy 10 5 = Podczas wprowadzania artykułu do komputera, ps-wto pomyłki wynosi 0, 0001 = Jakie jest p-stwo, że w artykule sa co najmniej 2 błędy? Rozwiazanie: mamy schemat B(10 5, 10 4 ). Zatem n = 10 5, p n = 10 4, λ = np n = 10. Wzór Poissona daje P(S 10 5 {0, 1}) 100 0! e ! e 10 = 11e 10 = 0, Oszacowanie na przybliżenie Poissona wynosi np 2 n = λ 2 /n = 10 3, zatem P(S 10 5 {0, 1}) 0, , 001.
21 Przykłady Z przedziału [0, 2] wybieramy losowo 100 punktów. Jakie jest p-swto, że co najmniej jeden z nich będzie należał do odcinka [0, 1/4]?
22 Przykłady Z przedziału [0, 2] wybieramy losowo 100 punktów. Jakie jest p-swto, że co najmniej jeden z nich będzie należał do odcinka [0, 1/4]? Rozwiazanie: mamy schemat B(100, 1/8). Zatem n = 100, p n = 1/8, λ = np n = 12, 5. Wzór Poissona daje P(S 100 = 0) (12, 5)0 e 12,5 = 0, !
23 Przykłady Z przedziału [0, 2] wybieramy losowo 100 punktów. Jakie jest p-swto, że co najmniej jeden z nich będzie należał do odcinka [0, 1/4]? Rozwiazanie: mamy schemat B(100, 1/8). Zatem n = 100, p n = 1/8, λ = np n = 12, 5. Wzór Poissona daje P(S 100 = 0) (12, 5)0 e 12,5 = 0, ! Oszacowanie na przybliżenie Poissona wynosi np 2 n = λ 2 /n = 1, 5625, zatem to przybliżenie jest bezwartosciowe, gdyż P(S 100 > 0) 0, , 5625.
24 Dowód Mamy pokazać, że lim n ( n k ) p k q n k = λk k! e λ.
25 Dowód ( Mamy pokazać, że lim n ) n k p k q n k = λk k! e λ. Zauważmy, że p k = n k (np) k oraz ( ) n n(n 1)...(n k + 1) =, q n k = (1 np k k! n )n k.
26 Dowód ( Mamy pokazać, że lim n ) n k p k q n k = λk k! e λ. Zauważmy, że p k = n k (np) k oraz ( ) n n(n 1)...(n k + 1) =, q n k = (1 np k k! n )n k. Z założenia lim n np = λ, zatem lim n n(n 1)...(n k + 1) n k (np k ) = λk k! k!, lim n (1 np n )n k = lim n (1 np n ) k (1 np n )n = 1 e λ.
27 Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R.
28 Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R. Mierzalność oznacza, że dla dowolnego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A} F, to znaczy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego na prostej jest mierzalny w modelu probabilistycznym.
29 Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R. Mierzalność oznacza, że dla dowolnego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A} F, to znaczy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego na prostej jest mierzalny w modelu probabilistycznym. Równoważnie X jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy X 1 ((, a]) = {ω Ω : X(ω) a} F.
30 Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R. Mierzalność oznacza, że dla dowolnego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A} F, to znaczy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego na prostej jest mierzalny w modelu probabilistycznym. Równoważnie X jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy X 1 ((, a]) = {ω Ω : X(ω) a} F. Jeśli Ω-dyskretny oraz F = 2 Ω, to każda funkcja X : Ω R jest zmienna losowa.
31 Przykłady Rzucamy 2 razy kostk a, X-liczba orłów. Mamy Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, X(O, O) = 2, X(O, R) = X(R, O) = 1, X(R, R) = 0.
32 Przykłady Rzucamy 2 razy kostka, X-liczba orłów. Mamy Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, X(O, O) = 2, X(O, R) = X(R, O) = 1, X(R, R) = 0. Rzucamy dwa razy kostk a, X-smmua oczek. Mamy Ω = {(a, b) : a, b {1,..., 6}}, X(a, b) = a + b.
33 Przykłady Rzucamy 2 razy kostka, X-liczba orłów. Mamy Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, X(O, O) = 2, X(O, R) = X(R, O) = 1, X(R, R) = 0. Rzucamy dwa razy kostka, X-smmua oczek. Mamy Ω = {(a, b) : a, b {1,..., 6}}, X(a, b) = a + b. Z odcinka [0, 3] wybieramy punkt x. Niech X oznacza jego odległośc od najbliższej liczby całkowitej. Wówczas Ω = [0, 3] i dla ω [0, 3], X(ω) X(ω) = ω k, ω [k 1 2, k + 1 ] [0, 3], k = 0, 1, 2, 3. 2
34 Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R.
35 Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R. Funkcję f : R R nazywamy Borelowsk a, jeśli f 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R).
36 Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R. Funkcję f : R R nazywamy Borelowska, jeśli f 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R). Wiekszość funkcji zadanych jawnym wzorem jest borelowska, np. f (x) = sin x, f (x) = x 3 + tg x, f (x) = x 1 sa borelowskie.
37 Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R. Funkcję f : R R nazywamy Borelowska, jeśli f 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R). Wiekszość funkcji zadanych jawnym wzorem jest borelowska, np. f (x) = sin x, f (x) = x 3 + tg x, f (x) = x 1 sa borelowskie. Złożenie f (X) : Ω R jest zmmienna losowa, jeśli X była mierzalna.
38 Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}.
39 Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}. Mówimy, że zmienne losowe X 1,..., X n : Ω R sa niezależne jeśli σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x n ) sa niezależne.
40 Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}. Mówimy, że zmienne losowe X 1,..., X n : Ω R sa niezależne jeśli σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x n ) sa niezależne. Równoważnie dla dowolnych A 1,..., A n B(R) zachodzi P({X 1 A 1 } {X 2 A 2 }... {X n A n }) = = P(X 1 A 1 )...P(X n A n ).
41 Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}. Mówimy, że zmienne losowe X 1,..., X n : Ω R sa niezależne jeśli σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x n ) sa niezależne. Równoważnie dla dowolnych A 1,..., A n B(R) zachodzi P({X 1 A 1 } {X 2 A 2 }... {X n A n }) = = P(X 1 A 1 )...P(X n A n ). Równoważnie dla dowolnych t 1,..., t n R zachodzi P({X 1 t 1 } {X 2 t 2 }... {X n t n }) = = P(X 1 t 1 )...P(X n t n ).
42 Przykłady Niech B(n, p) ozancza schemat Bernouliego. Zmienna X k ((ω 1,..., ω n )) = ω k, 1 k n, to znaczy X k równa się 1 jeśli w k-tym zdarzeniu mamy sukces 0 jeśli porażkę.
43 Przykłady Niech B(n, p) ozancza schemat Bernouliego. Zmienna X k ((ω 1,..., ω n )) = ω k, 1 k n, to znaczy X k równa się 1 jeśli w k-tym zdarzeniu mamy sukces 0 jeśli porażkę. Zmienne losowe X 1,..., X n sa niezależne. Jeśli ustalimy konkretne wartości X k = ω k, ω k {0, 1}, to przecięcie {X 1 = ω 1 }... {X n = ω n } odpowiada punktowi (ω 1,..., ω n ) Ω. Zatem P({X 1 = ω 1 }... {X n = ω n }) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, q = 1 p.
44 Przykłady Niech B(n, p) ozancza schemat Bernouliego. Zmienna X k ((ω 1,..., ω n )) = ω k, 1 k n, to znaczy X k równa się 1 jeśli w k-tym zdarzeniu mamy sukces 0 jeśli porażkę. Zmienne losowe X 1,..., X n sa niezależne. Jeśli ustalimy konkretne wartości X k = ω k, ω k {0, 1}, to przecięcie {X 1 = ω 1 }... {X n = ω n } odpowiada punktowi (ω 1,..., ω n ) Ω. Zatem P({X 1 = ω 1 }... {X n = ω n }) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, q = 1 p. Z drugiej strony P(X k = ω k ) = p jeśli ω k = 1 i P(X k = ω k ) = q jeśli ω k = 0. P(X 1 = ω 1 )...P(X n = ω n ) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, zatem X 1,..., X n sa niezależne.
45 Przykałdy Rozważymy uogólnienie B(n, p), czyli niech Ω = {0, 1,..., a} n, F = 2 Ω, P((ω 1,..., ω n )) = gdzie a j=0 p j = 1, p j 0. a j=0 p i: ω i =j j,
46 Przykałdy Rozważymy uogólnienie B(n, p), czyli niech Ω = {0, 1,..., a} n, F = 2 Ω, P((ω 1,..., ω n )) = a j=0 p i: ω i =j j, gdzie a j=0 p j = 1, p j 0. Wtedy analogicznie jak w B(n, p) zmienne X k (ω 1,..., ω n ) = ω k sa niezależne.
47 Rozkłady zmiennych losowych Rzucamy 3 razy symetryczna moneta, niech X oznacza liczbę orłów. Mamy P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8.
48 Rozkłady zmiennych losowych Rzucamy 3 razy symetryczna moneta, niech X oznacza liczbę orłów. Mamy P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8. Zauważmy, że Y liczba wyrzuconych reszek ma te same p-stwa, ndato X + Y = 3.
49 Rozkłady zmiennych losowych Rzucamy 3 razy symetryczna moneta, niech X oznacza liczbę orłów. Mamy P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8. Zauważmy, że Y liczba wyrzuconych reszek ma te same p-stwa, ndato X + Y = 3. Z koła o promieniu 1 losujemy punkt. Niech X oznacza odleglość tego punktu od środka koła. Wówczas X przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Dla a [0, 1] mamy P(X [0, a]) = πa2 π = a2.
50 Rozkład p-stwa Rozkładem p-stwa nazywamy miarę probabilistyczna (spełniajac a aksjomaty funkcji p-stwa) na przstrzeni (R, B(R)) zadana wzorem µ X (A) = P(X A).
51 Rozkład p-stwa Rozkładem p-stwa nazywamy miarę probabilistyczna (spełniajac a aksjomaty funkcji p-stwa) na przstrzeni (R, B(R)) zadana wzorem µ X (A) = P(X A). Zatem µ X (R) = 1, µ X (A) [0, 1] oraz dla A i B(R) zbiorów parami rozłacznych µ X ( A i ) = i=1 µ X (A i ). i=1
52 Rozkład p-stwa Rozkładem p-stwa nazywamy miarę probabilistyczna (spełniajac a aksjomaty funkcji p-stwa) na przstrzeni (R, B(R)) zadana wzorem µ X (A) = P(X A). Zatem µ X (R) = 1, µ X (A) [0, 1] oraz dla A i B(R) zbiorów parami rozłacznych µ X ( A i ) = i=1 µ X (A i ). i=1 Istnieja różne zmienne losowe, które maja ten samm rozkład.
53 Opis rozkładu Dla zmiennych losowych X przyjmujacych skończenie wiele (badź przeliczalnie wiele) wartości aby opisać rozkład podajemmy p-stwa wszystkich wartości. To znaczy X ma wartości w zbiorze S = {s 0, s 1,..., s n,...} podajemy p k = µ X ({s k }) = P(X = s k ), dla k = 0, 1, 2,...
54 Opis rozkładu Dla zmiennych losowych X przyjmujacych skończenie wiele (badź przeliczalnie wiele) wartości aby opisać rozkład podajemmy p-stwa wszystkich wartości. To znaczy X ma wartości w zbiorze S = {s 0, s 1,..., s n,...} podajemy p k = µ X ({s k }) = P(X = s k ), dla k = 0, 1, 2,... Na przykład dla X liczby sukcesów w B(n, p), q = 1 p rozkład opisuje ( ) n p k = µ X ({k}) = P(X = k) = p k q n k, k = 0, 1,..., n. k
55 Opis rozkładu Dla zmiennych losowych X przyjmujacych skończenie wiele (badź przeliczalnie wiele) wartości aby opisać rozkład podajemmy p-stwa wszystkich wartości. To znaczy X ma wartości w zbiorze S = {s 0, s 1,..., s n,...} podajemy p k = µ X ({s k }) = P(X = s k ), dla k = 0, 1, 2,... Na przykład dla X liczby sukcesów w B(n, p), q = 1 p rozkład opisuje ( ) n p k = µ X ({k}) = P(X = k) = p k q n k, k = 0, 1,..., n. k Dzieje się tak dlatego, że aby podać µ X (A), A B(R) obliczamy µ X (A) = P(X A) = s k A P(X = s k ) = s k A µ X ({s k }) = s k A p k.
56 Opis rozkładu Jeśli zmienna X ma rozkład ciagły, do opisu rozkładu µ X będzie służyła gęstość f. Gęstość jest funkcja borelowska, dodatnia taka, że R f (x)dx = 1.
57 Opis rozkładu Jeśli zmienna X ma rozkład ciagły, do opisu rozkładu µ X będzie służyła gęstość f. Gęstość jest funkcja borelowska, dodatnia taka, że R f (x)dx = 1. O gestości mówimy gdy µ X (A) = A f (x)dx dla dowolnego A B(R).
58 Opis rozkładu Jeśli zmienna X ma rozkład ciagły, do opisu rozkładu µ X będzie służyła gęstość f. Gęstość jest funkcja borelowska, dodatnia taka, że R f (x)dx = 1. O gestości mówimy gdy µ X (A) = A f (x)dx dla dowolnego A B(R). Jesli X odelglość losowego punktu od środka koła o promieniu 1, ma gęstość f (x) = 3x 3 1 x [0,1]. Istotnie da dowolnego a [0, 1] µ X ([0, a]) = a 2 = a 0 3x 2 dx.
59 Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p.
60 Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p. Rozkład geometryczny Geom(p), µ X ({k}) = pq k 1, k = 1, 2,..., p + q = 1, p, q 1.
61 Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p. Rozkład geometryczny Geom(p), µ X ({k}) = pq k 1, k = 1, 2,..., p + q = 1, p, q 1. Rozkład Poissona µ X ({k}) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,..., λ > 0.
62 Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p. Rozkład geometryczny Geom(p), µ X ({k}) = pq k 1, k = 1, 2,..., p + q = 1, p, q 1. Rozkład Poissona µ X ({k}) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,..., λ > 0. Rozkład ciagły na [a, b], U(a, b), µ X ma gęstość 1 b a 1 [a,b](x).
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Zmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Jednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Rozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Elementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
rachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej
Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej Wykład dla stypendystów Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci, Toruń, 1-3 grudnia 2006 roku 1. Przestrzeń probabilistyczna Przestrzenią probabilistyczną
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Dyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Przykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)
Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Seria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Pojęcie przestrzeni probabilistycznej
Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx
1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne