Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka ubezpieczeń majątkowych r."

Transkrypt

1 Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną poszkodowaną NS liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest sprawcą Zmienna K ma w populacji kierowców rozkład Gamma o gęstości danej na α β α półosi dodatniej wzorem f K ( x) = x exp( βx) Γ( α) Przyjmujemy prosty model, w którym doświadczenie kierowcy zmniejsza ryzyko (w przeliczeniu na tysiąc przejechanych kilometrów): E NS K = Ka exp b K, ( ) S ( S ) ( NP K ) = Ka exp( b K ) E, P P S, bs, ap bp b S > bp gdzie wszystkie parametry a, mają wartości dodatnie, przy czym, ponieważ doświadczenie kierowcy redukuje przede wszystkim szansę spowodowania szkody, a w mniejszym stopniu redukuje ryzyko zostania poszkodowanym. Pojedynczą szkodę zdefiniowano w taki sposób, że każdej szkodzie odpowiada dokładnie jeden sprawca i jeden poszkodowany, że są to zawsze dwie różne osoby, przy tym obie należą do rozważanej populacji. W rezultacie zachodzi: E ( NS ) = E( NP) Jasne jest, że w tym modelu kierowcy jeżdżący mało będą częściej sprawcami niż poszkodowanymi, zaś kierowcy jeżdżący dużo będą częściej poszkodowanymi niż * sprawcami. Niech K oznacza taką liczbę tysięcy kilometrów przejeżdżanych rocznie przez kierowcę, dla której warunkowe (przy danym K) oczekiwane liczby szkód obu rodzajów są równe. Przy założeniach, że: α =, β = / 5, bs = 0.04, b P = 0. 0 * liczba K z dobrym przybliżeniem wyniesie: (A) 3.05 (B).80 (C).55 (D).30 (E).05

2 Zadanie. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki U ( t) u + ct S N () t =, gdzie: u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności λ, () n S n = X i jest sumą wypłat z tytułu n pierwszych wypadków i= wypłata z i-tego wypadku jest równa łącznej kwocie szkód: X i X i = Yi ( ) Yi ( M i ) kwoty szkód Y ), Y (), Y (3),..., Y (), Y (), Y (3),..., Y (), Y (), (3),... oraz ( 3 3 Y3 M, M, M 3 liczby szkód przypadających na poszczególne wypadki niezależnymi zmiennymi losowymi. Jeśli przyjmiemy następujące założenia: zmienne Y ( ), Y (), Y (3),..., Y (), Y (), Y (3),..., Y3 (), Y3 (), Y3 (3),... mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej jeden zmienne M M,,... mają ten sam rozkład przesunięty geometryczny:, M 3 k Pr ( M i = k) = dla k =,,... c = λ E X 5 parametr składki wynosi ( ) % wtedy współczynnik dopasowania (adjustment coefficient) R wyniesie:,... są (A) /6 (B) /8 (C) /9 (D) /0 (E) /

3 Zadanie 3. Liczby szkód N,... N t, N t + w kolejnych latach są, dla ustalonej wartości parametru Q = q, niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dwumianowym o parametrach (,q). Niech N = N Nt. Parametr ryzyka Q jest zmienną losową o rozkładzie beta o gęstości: Γ ( ) ( α + β ) α β f Q q = q ( q), q ( 0,), α, β > 0. Γ( α ) Γ( β ) Jeśli przyjmiemy wartości parametrów: α =, β = 8, t =, Wtedy wariancja warunkowa var( N t+ N,..., N t ) okaże się następującą funkcją liczby zaobserwowanych szkód: ( + N)(0 N) (A) ( + N)(0 N) (B) 3 (C) ( + N)(0 N) 3 ( + N)(0 N) (D) 4 (E) ( + N)(0 N) 4 3 3

4 Zadanie 4. Poniższa tabela reprezentuje tzw. trójkąt danych, zawierając w odpowiednich klatkach wartości szkód zaszłych w ciągu roku t i zlikwidowanych w ciągu roku ( t + j), dla: t = 005,006,007,008; j = 0,,,3 ; t + j 008 : Łączna wartość Liczby lat opóźnienia likwidacji (j) szkód według: 0 3 Roku zajścia szkody (t) Wyznacz wartość rezerwy na szkody niezlikwidowane na koniec roku 008 dotyczącej szkód zaszłych w latach najprostszym wariantem metody Chain Ladder (bez uwzględnienia inflacji, nie poprzedzając obliczeń ważeniem poszczególnych wierszy, zakładając że wszystkie szkody likwidowane są z opóźnieniem nie większym niż trzy lata, itd.) (A) 40.3 (B) 45.4 (C) 50. (D) 54.4 (E)

5 Zadanie 5. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona, z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie F Y. Ubezpieczony realizuje następującą strategię zgłaszania szkód w ciągu roku: nie zgłasza szkód, dopóki wartość którejś z nich nie przekroczy kwoty x 0, jeśli wartość którejś szkody przekroczy kwotę x 0, to jest ona zgłaszana, a następne ewentualne szkody w tym samym roku są zgłaszane już bez względu na ich wartość. Przyjmijmy następujące oznaczenia: N liczba szkód zaszłych w ciągu roku M liczba szkód zgłoszonych K liczba szkód nie zgłoszonych Oczywiście zachodzi N = M + K. Jeśli założymy, że Ε( K ) F Y wyraża się wzorem: ( x 0 ) = /, wtedy oczekiwana liczba szkód nie zgłoszonych (A) λ (B) exp λ (C) (D) (E) exp λ exp λ + λ + λ exp λ Wskazówka: wykorzystaj wzór Ε ( K ) = Ε( Ε( K N )) 5

6 Zadanie 6. Ubezpieczyciel prowadzi dwa portfele ubezpieczeń. W każdym z portfeli pojedyncze ryzyko generuje szkody zgodnie ze złożonym procesem Poissona z taką samą intensywnością λ. Portfele różnią się rozkładem wartości pojedynczej szkody i liczbą ryzyk w portfelu ( n i n odpowiednio). Stosunkowy narzut na składkę netto dla ryzyk w obu portfelach jest ten sam i wynosi θ. W rezultacie parametry modelu są następujące: portfel: intensywność łączna n λ, rozkład wartości pojedynczej szkody o gęstości λ f ( y) = exp( y), składka za jedno ryzyko ( + θ ) ; portfel: intensywność łączna n λ, rozkład wartości pojedynczej szkody o gęstości λ f ( y) = 5exp( 5y), składka za jedno ryzyko ( + θ ). 5 Jeśli wiemy, że funkcja prawdopodobieństwa ruiny ubezpieczyciela początkowego u jest postaci: 5 Ψ ( u ) = exp( u ) + exp u, 3 n to wartości parametrów modelu θ, wynoszą: n + n Ψ( u) od kapitału (A) (B) (C) (D) (E), 3, 3, 3, 3,

7 Zadanie 7. Niech: N oznacza liczbę roszczeń z jednego wypadku ubezpieczeniowego, zaś: T, T,..., T N oznacza czas, jaki upływa od momentu zajścia wypadku do zgłoszenia roszczenia odpowiednio -go, -go,, N-tego (numeracja roszczeń od -go do N- tego jest całkowicie przypadkowa, nie wynika więc z chronologii ich zgłaszania) Załóżmy, że: zmienne losowe N T, T,,... są niezależne,, T3, T, T3,... zmienne losowe T mają identyczny rozkład dany dystrybuantą F (jednostką pomiaru czasu jest miesiąc), zmienna losowa N ma rozkład geometryczny: k Pr( N = k) =, k =,,3,... Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, iż w ciągu miesiąca od momentu zajścia pewnego wypadku zgłoszono z tego wypadku roszczenia. Wiemy, że F( ) = /3. Oczekiwana liczba roszczeń, które jeszcze z tego wypadku zostaną zgłoszone, a więc: wynosi: Ε (A) 3/5 (B) (C) 4/3 (D) 3/ (E) 5/3 ( N A) 7

8 Zadanie 8. W pewnym ubezpieczeniu pojedynczą szkodę charakteryzuje trójka zmiennych losowych ( Z, L, Y ) oznaczających odpowiednio: Z odstęp czasu pomiędzy zajściem szkody a jej zgłoszeniem, L odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniem szkody a jej likwidacją, Y wartość szkody. Załóżmy, że: Y, L są niezależne, zmienna Z oraz zmienna dwuwymiarowa ( ) Ε( Y L) = + L, var( Y L) = ( + L). Wiemy także, iż zmienna L ma rozkład Gamma o parametrach (4, 5), zaś zmienna Z ma rozkład Gamma o parametrach (, 5), a więc ich wartości oczekiwane wynoszą odpowiednio 4/5 i /5. Wariancja wartości szkody pod warunkiem, że odstęp czasu pomiędzy jej zajściem a likwidacją wyniósł 5/4, a więc: wynosi: (A) 4 6 (B) 4 (C) 48 (D) 4 4 (E) 4 var( Y L + Z = ), 4 8

9 Zadanie 9. Ubezpieczony generuje szkody zgodnie z procesem Poisson o parametrze intensywności λ rocznie, i wszystkie szkody, które mu się przydarzą, zgłasza ubezpieczycielowi. Składka Π t płacona przez ubezpieczonego w roku t wyznaczana jest następująco: wynosi M dla t =, a więc w pierwszym roku ubezpieczenia, dla t =,3,4,... wynosi także M, o ile w roku t ubezpieczony miał co najmniej jedną szkodę, wynosi Π = m + w( Π m), jeśli rok t był bezszkodowy. t t Jeśli przyjmiemy wartości liczbowe parametrów formuły składki na poziomie: M = 00, m = 30, w = 0.8, to dla ubezpieczonego o wartości parametru λ równej ln(0/9) oczekiwana składka w długim okresie: lim Ε Π wynosi: t ( ) t (A) 50 (B) 55 (C) 65 (D) 70 (E) 85 9

10 Zadanie 0. W pewnej populacji wszystkie podmioty narażone są na identyczne ryzyko straty X o rozkładzie złożonym Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą /0 oraz wartością pojedynczej szkody o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej równej. Przyjmijmy, że każdy podmiot z tej populacji kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności, gdzie funkcja użyteczności ma postać: u( x) = exp( αx), α > 0, a więc wszystkie podmioty przejawiają awersję do ryzyka. Awersja ta ma jednak w populacji zróżnicowane natężenie rozkład współczynnika α jest rozkładem o gęstości określonej na przedziale α ( 0,) wzorem: fα ( x) = ( x). Oznaczmy przez Π składkę, za którą rynek ubezpieczeniowy oferuje ochronę przed ryzykiem X, zaś przez P(Π) prawdopodobieństwo, że losowo wybrany podmiot z tej populacji zakupi ubezpieczenie. Zysk na przeciętnym podmiocie z tej populacji przy danej składce Π wynosi więc: Z ( Π) = ( Π Ε( X )) P( Π) Maksymalna wartość zysku osiągana jest przy składce Π wynoszącej: (A) 0.5 (B) /6 (C) 0.8 (D) 0.9 (E) 0.0 0

11 Egzamin dla Aktuariuszy z 30 listopada 009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja A D 3 A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 B 9 B 0 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

01. dla x 0; 1 2 wynosi:

01. dla x 0; 1 2 wynosi: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład Poissona. Momenty rozkładu wartości poedyncze szkody wynoszą:, [ ]. Wiemy także, że momenty nadwyżki wartości poedyncze szkody ponad udział własny

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 maja 200 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 00 minut Komisja Nadzoru

Bardziej szczegółowo

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1 1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r. . W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi

Bardziej szczegółowo

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: = . Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut Warszawa, 6

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14

Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14 ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE

Bardziej szczegółowo

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r. 1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci 1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:

Bardziej szczegółowo

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. RozwaŜmy

Bardziej szczegółowo

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

dr Hubert Wiśniewski 1

dr Hubert Wiśniewski 1 dr Hubert Wiśniewski 1 Agenda: 1. Rodzaje i czynniki ryzyka w przedsiębiorstwie ubezpieczeniowym. 2. Miary ryzyka przedsiębiorstwa ubezpieczeniowego. 3. Zarządzanie ryzykiem ubezpieczeniowym w przedsiębiorstwie

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r. 1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31

Bardziej szczegółowo

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n

Bardziej szczegółowo

Modele długości trwania

Modele długości trwania Modele długości trwania Pierwotne zastosowania: przemysłowe (trwałość produktów) aktuarialne (długość trwania życia) Zastosowania ekonomiczne: długości bezrobocia długości czasu między zakupami dóbr trwałego

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie modelu regresji logistycznej w ocenie ryzyka ubezpieczeniowego. Łukasz Kończyk WMS AGH

Zastosowanie modelu regresji logistycznej w ocenie ryzyka ubezpieczeniowego. Łukasz Kończyk WMS AGH Zastosowanie modelu regresji logistycznej w ocenie ryzyka ubezpieczeniowego Łukasz Kończyk WMS AGH Plan prezentacji Model regresji liniowej Uogólniony model liniowy (GLM) Ryzyko ubezpieczeniowe Przykład

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16) Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń Ŝyciowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

3 Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie 3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo