ZADANIE 21 DRGANIA PRĘTA
|
|
- Paweł Zakrzewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZADANIE 1 DRGANIA PRĘTA Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań cieki pręt stalowy zamocoway w imadle dostarcza modelowego układu rządzoego rówaiem falowym. W modelu tym wyzaczaa jest częstość drgaia podstawowego i wyŝszych wzbudzeń, jak rówieŝ zaleŝość częstości tych drgań od długości pręta i od jego grubości. Celem ćwiczeia jest sprawdzeie słuszości modelowych związków. Masz do dyspozycji: kilka stalowych prętów o róŝej średicy; geerator drgań siusoidalych wraz z układem umoŝliwiającym pomiar częstości drgań; statyw z uchwytem do prętów i elektromagesów; układ pobudzający pręt do drgań; układ rejestrujący drgaia pręta; wzmaciacz sygału wejściowego do oscyloskopu; oscyloskop; suwmiarkę lub śrubę mikrometryczą. Wykoaie ćwiczeia Pręt jest pobudzay do drgań elektromagesem (z amagesowaym rdzeiem) podłączoym do geeratora RC o regulowaej częstości. Pomiar amplitudy drgań odbywa się za pomocą drugiego, idetyczego, elektromagesu, który przez wzmaciacz podłączoy jest do wejścia oscyloskopu. NaleŜy wykoać pomiary: grubości wszystkich prętów; kolejych częstości rezoasowych dla wybraego pręta przy ustaloej jego długości; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od długości pręta dla wybraego pręta; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od grubości pręta. Uwagi praktycze: Dla otrzymaia ostrego rezoasu aleŝy dbać, aby sprzęŝeie geeratora z prętem ie było zbyt sile (ie umieszczać elektromagesów, a szczególie pobudzającego, zbyt blisko pręta). Przy ostrym rezoasie moŝa łatwo omiąć iektóre mody. Aby tego uikąć, moŝa zaleźć częstość drgań podstawowych lekko odchylając i puszczając woly koiec pręta (drgaia włase). Częstości wyŝszych modów aleŝy poszukiwać w okolicach odpowiadających proporcjom kwadratów liczb µ i, gdzie µ 1 = 1,875; µ = 4,694; µ 3 = 7,855; µ = ( ½)π dla > 3. Iym powodem trudości w obserwacji iektórych drgań własych moŝe być umieszczeie jedego z elektromagesów w węźle drgań. Literatura F.C. Crawford, Fale, Warszawa, H. Szydłowski, Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, szereg wydań w latach ; Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 013.
2 DRGANIA PRĘTA str. 1 ZADANIE 1 DRGANIA PRĘTA Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań cieki pręt stalowy zamocoway w imadle dostarcza modelowego układu rządzoego rówaiem falowym. W modelu tym wyzaczaa jest częstość drgaia podstawowego i wyŝszych wzbudzeń, jak rówieŝ zaleŝość częstości tych drgań od długości pręta i od jego grubości. Celem ćwiczeia jest sprawdzeie słuszości modelowych związków. Wprowadzeie Najczęściej spotykay przykład ruchu falowego to fala podlegająca klasyczemu rówaiu falowemu, którego jedowymiarowa wersja ma postać: 1 ψ ψ = 0, v t x gdzie v jest tzw. prędkością fali, atomiast ψ to wielkość fizycza podlegającą, w pukcie o współrzędej x, dyamiczym zmiaom w czasie t. Takimi wielkościami fizyczymi są p.: połoŝeie cząsteczek powietrza lub ciśieie w fali akustyczej, wychyleia poprzecze struy gitary, podłuŝe wychyleie jedorodego pręta o stałym przekroju a całej długości lub jego kąt skręceia. RozwaŜmy pręt ułoŝoy wzdłuŝ osi X, a wychyleie z połoŝeia rówowagi odbywa się wzdłuŝ osi Y, a więc jest prostopadłe, wtedy rówaie opisujące wychyleie y puktu, który w połoŝeia rówowagi y = 0 zajdował się a osi X w pukcie x ie będzie juŝ miało postaci klasyczego rówaia falowego, lecz będzie to 4 1 y y + = 0, (1) 4 a t x gdzie wielkość a jest zadaa związkiem: EJ a =, ρs w którym E jest modułem Youga, ρ gęstością masy, S polem przekroju poprzeczego pęta, a J to tzw. geometryczy momet bezwładości (momet bezwładości przekroju poprzeczego). Wielkość ta dla pręta o przekroju prostokąta o rozmiarach b h, przy czym h jest wymiarem w kieruku osi Y (czyli kieruku ruchu pręta), wyosi: 3 bh J =, 1 podczas gdy dla przekroju kołowego o średicy d: 4 π d J =. 64 Rówaie (1) zwae jest często rówaiem fal giętych. RozwaŜmy, czy rówaie (1) dopuszcza rozwiązaia w postaci fali harmoiczej, czyli: i( kx ωt) y x, t = Ae, gdzie π π k =, ω = = πν, λ T gdzie wielkość k zwaa jest liczbą falową, ω częstością kołową fali, a wyraŝeie kx ωt fazą fali. Wielkość λ to długość fali, T jej okres i obie wielkości ukazują a ściśle okresowy charakter zmieości wychyleia y w czasie i przestrzei w fali harmoiczej. Wspomimy teŝ, Ŝe obok częstości kołowej ω, mierzoej w radiaach a sekudę, do opisu zmieości w czasie stosowaa jest teŝ odwrotość okresu, czyli częstość ν = 1/T (bez dodatkowego przymiotika) mierzoa w Hertzach (Hz). W defiicji fali harmoiczej rówie dobrze moŝemy wykorzystać fukcję sius lub cosius, a odwołaie się do fukcji wykładiczej od czysto urojoego argumetu to tylko i wyłączie kwestia
3 DRGANIA PRĘTA str. wygody. Podstawiając harmoiczą postać fali do rówaia zajdujemy, Ŝe jest oa jego rozwiązaiem, wszakŝe pod warukiem, Ŝe częstość i liczba falowa związae są ze sobą relacją: ω = a k 4, zwaą związkiem dyspersyjym. PoiewaŜ dla częstości mamy dwa rozwiązaia: ω = ±ak, moŝemy więc utworzyć dwa rozwiązaia rówaia falowego: ( ) y x, t = Aexp i kx ak t, y x, t = B exp i kx + ak t. 1 ZauwaŜmy, Ŝe dla klasyczego rówaia falowego związek dyspersyjy ma postać ω = v k. Przyjrzyjmy się teraz fazie kx ω(k)t fali harmoiczej. W chwili czasu t 0, w pukcie opisaym współrzędą x 0, faza ta wyosi ϕ 0 = kx 0 ak t 0. Jeśli odczekamy czas t, to tę samą wartość fazy zajdziemy w pukcie x = x 0 + ak t, a więc przesuęła się oa o odciek ak t, podróŝując z prędkością v f = ω/k = ak. Prędkość tę azywamy prędkością fazową i widzimy, Ŝe zaleŝy oa od długości fali. Podobą prędkość, ale ujemą: v f = ak otrzymujemy dla fali z fazą kx + ω(k)t. Wróćmy teraz do rówaia (1). Jest oo liiowe, więc suma fal harmoiczych o róŝych częstościach takŝe będzie rozwiązaiem rówaia falowego. Stąd wioskujemy, Ŝe moŝemy utworzyć ogóle rozwiązaie postaci: i( kx ak t) i( kx+ ak t) y x t = A k e dk + B k e dk (, ). () gdzie A(k) oraz B(k) to dowole fukcje, których postać wyzaczamy z waruków początkowych: y ( x, t) y ( x, t = t0 ) = y0 ( x) oraz = v 0 ( x). (3) t Wcześiej wskazaliśmy a fakt zaleŝości prędkości fazowej od liczby falowej. Własość ta ozacza, Ŝe jeśli uformujemy grupę fal, p. w postaci rozwiązaia (), to w trakcie propagacji rozwiązae to będzie zmieiało swój kształt będzie ulegało rozmyciu. Zajmiemy się teraz rozwiązaiem rówaia (1). Zastosujemy w tym celu metodę Fouriera, czyli rozdzieleia zmieych, tj. postulujemy rozwiązaie w postaci y(x,t) = f(t)g(t) iloczyu dwóch fukcji, z których jeda zaleŝy tylko od czasu, druga zaś tylko od połoŝeia. Taką specyficzą postać rozwiązań azywamy falą stojącą. Rozwiązaie to podstawiamy do rówaia, co prowadzi do: 4 1 f a g =. 4 f t g x PoiewaŜ lewa stroa zaleŝy jedyie od czasu, prawa zaś od połoŝeia, a to moŝliwe będzie tylko wtedy, gdy faktyczie obie stroy są po prostu rówe pewej iezaej stałej κ, co wiedzie do separacji rówań 4 f g κ = κ f, = g. 4 t x a Widzimy, Ŝe otrzymae rówaie rządzące zaleŝością czasową jest rówaiem oscylatora harmoiczego, jeśli liczba κ jest ujema lub rówaiem, którego rozwiązaia zachowują się wykładiczo, jeśli liczba ta jest dodatia. Ta druga moŝliwość jest ie do utrzymaia z fizyczego puktu widzeia, gdyŝ sakcjouje arastającą w czasie wykładiczo amplitudę drgań, dla czego w warukach postawioego zadaia trudo zaleźć uzasadieie. Z tego teŝ powodu przyjmiemy, Ŝe iezaa stała jest ujema, co zapiszemy jako κ = ω i otrzymamy dwa rówaia: 4 f g ω = ω f, = g. 4 t x a ZaleŜość od czasu zajdujemy w formie: f t = A ωt + B ωt. cos si Dla dalszej wygody, współczyik ω /a w rówaiu a fukcję g zamieimy wielkością k = ω a, (4) co daje rówaie: t= t0
4 DRGANIA PRĘTA str. 3 o rozwiązaiu: 4 g = 4 x g ( x) = C cos kx + Dsi kx + E cosh kx + F sih kx. Rozwiązaie to ie ma charakteru okresowego w przestrzei psują je wyraŝeia z fukcjami hiperboliczymi. Choć wielkość k moŝemy, stosując dość luźy język, azwać liczbą falową, to fale, które tu się pojawiają, ie są falami harmoiczymi. Zajmiemy się teraz kwestią waruków brzegowych. W ćwiczeiu pręt jest zamocoway jest jedym końcem, p. tym, którego współrzęda określimy jako x = 0, w imadle, więc w kaŝdej chwili czasu musimy mieć spełioy waruek y(x = 0,t) = 0, co daje: C + E = 0. PoiewaŜ pręt jest sztywy, więc przyjmiemy, Ŝe ie moŝe o być zgięty (przeciwie iŝ dla struy), a więc pochoda fukcji y(x,t) musi zikać w pukcie x = 0 w kaŝdej chwili czasu, a skoro: d g ( x ) = Ck si kx + Dk cos kx + Ek sih kx + Fk cosh kx, więc: D + F = 0. Musimy się jeszcze zająć drugim końcem pręta, opisaym współrzędą x = L. W doświadczeiu koiec te pozostaje swobody, więc ie mamy tu waruków ai a wartość fukcji ai a jej pochodą. Mamy, za to, waruek braku mometu siły i samej siły. Waruki te tłumacza się jako: a poiewaŝ: więc: d g x 0 x= L = oraz 4 k g 3 d g x 0 3 x= L =, d g ( x ) = Ck kx Dk kx + Ek kx + Fk kx cos si cosh sih, 3 d g ( x ) = Ck kx Dk kx + Ek kx + Fk kx si cos sih cosh, C cos kl Dsi kl + E cosh kl + F sih kl = 0, C si kl D cos kl + E sih kl + F cosh kl = 0. W te sposób otrzymaliśmy układ czterech rówań a cztery iezae współczyiki. PoiewaŜ są to rówaia jedorode, wiec ich jedye rozwiązaia to rozwiązaia zerowe, ozaczające brak drgań, chyba Ŝe rówaia te są liiowo zaleŝe. Waruek liiowej zaleŝości moŝemy arzucić, wymagając zikaia wyzaczika układu rówań, co prowadzi do rówości: 1 cos( kl) + 0 cosh kl =. Wykres rówowaŝej fukcji cos ( π z) h z 1 = + cosh ( π z) zamieszczoy jest a Rys. 1, z którego widać, jak ze wzrostem argumetu z maleje rola składika z fukcją hiperboliczą i zarówo wykres jak i zera fukcji h(z) zbliŝają się do wykresu i zer fukcji cosius. Waruek zikaia wyzaczika prowadzi do rówaia przestępego, które musimy rozwiązać umeryczie. Pierwsze trzy zera wypadają w puktach: k 1 L = µ 1 = 1,875, k L = µ = 4,694 oraz k 3 L = µ 3 = 7,855. Wartości, dla których występują astępe zera fukcji moŝa, z dokładością do trzech cyfr zaczących po przeciku, przybliŝyć przez zera fukcji cosius, czyli k L = ( ½)π dla > 3. Zajomość miejsc zerowych, przez związek (4) i relację ω = πν, prowadzi do częstości
5 DRGANIA PRĘTA str. 4 h (z ),0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1, Rys. 1. Wykres fukcji h(z) aµ ν =, π L która wyosi odpowiedio dla drgań pręta o przekroju prostokątym: µ h E ν = 4π L 3ρ i o przekroju kołowym µ d E ν = 8π L ρ. Częstość ν 1 drgań azywamy podstawową. Na koiec wróćmy do postaci rozwiązań, tj. fukcji g(x). PoiewaŜ rówaia a współczyik C, D, E oraz F uczyiliśmy liiowo zaleŝymi, więc aby je wyzaczyć, musimy jedo z rówań odrzucić, a pozostałe rozwiązać w zaleŝości od jedego wybraego współczyika, do którego pozostałe współczyiki będą proporcjoale. Te wybray współczyik będziemy mogli włączyć do współczyików A i B w zaleŝości czasowej, więc ie musimy go uwzględiać w postaci fukcji g(x), która wyosi: cos( kl) + cosh ( kl) g ( x) = cos( k x) cosh ( k x) ( si ( k x) sih ( k x) ). si k L + sih k L Wykres tej fukcji dla pierwszych trzech drgań własych przedstawia Rys.. Jak widać, forma fali dla pręta jest ieco ia iŝ dla struy. Tu teŝ widać węzły, czyli miejsca zerowaia się fukcji y(x,t). Występują oe dla x/l = 0,774 w drugim modzie oraz dla x/l = 0,500 i 0,868 w trzecim modzie. Nie są oe rówomierie rozmieszczoe, bo fukcja opisująca falę ie jest periodycza w fukcji współrzędej wzdłuŝ pręta. z = 3 = Dyskreta wartość liczby falowej k implikuje dyskrete wartości częstości kołowej ω, a liiowość rówaia falowego dla pręta dyktuje am ogólą postać rozwiązaia tego rówaia: y x, t = = 1 Rys.. Kształt pręta dla trzech pierwszych modów jego drgań wasych ( kl) + cosh ( kl) ( k L) + sih ( k L) cos ( A cosωt + B siωt ) cos( k x) cosh ( k x) si k x sih k x = 1 si w którym iezae stałe A oraz B wyzaczamy z waruków początkowych (3). ( )
6 DRGANIA PRĘTA str. 5 Gdy w ustaloym pukcie x 0 pobudzamy pręt siłą harmoiczą Q(t) = Q 0 siωt, to do powyŝszego rozwiązaie swobodego aleŝy dodać wymuszoy ruch postaci: C cos kx + D si kx + E cosh kx + F sih kx si ωt. Współczyik C, D, E oraz F, róŝe w obszarach x < x 0 i x > x 0, mają dość skomplikowaą postać, ale wszystkie mają osobliwość przy częstości ω = ak. NaleŜy mieć świadomość, Ŝe powyŝszy opis, zarówo w odiesieiu do drgań swobodych jak i wymuszoych, to obraz wyidealizowaego modelu. W kaŝdym doświadczeiu prowadzoym w realych warukach występuje rozproszeie eergii pierwotie zmagazyowaej w pręcie i zaik drgań swobodych, a zachowae są jedyie, dzięki stałemu dopływowi eergii dostarczaej przez siłę zewętrzą, drgaia wymuszoe, które azywamy rozwiązaiem stacjoarym. Jak powiedzieliśmy, gdy częstość ω siły wymuszającej jest rówa jedej z częstości własych ω pręta, to rozwiązaia maja osobliwość. W ramach rozpatrywaego modelu iterpretujemy to jako brak rozwiązań stacjoarych. MoŜemy oczekiwać, Ŝe w rzeczywistości dyssypacja eergii usuwa tę osobliwość, choć dalej prowadzi do pojawieia się wzrostu amplitudy drgań, ukazującego zjawisko rezoasu (wiiśmy jedak mieć a uwadze fakt, Ŝe w warukach silego rezoasu wychyleia pręta mogą być a tyle duŝe, Ŝe zawodzą przybliŝeia stosowae przy wyprowadzaiu rówaia falowego). Spodziewamy się, Ŝe rezoas taki objawi się ajsiliej wtedy, gdy pukt x 0 przyłoŝeia siły zajdzie się w połoŝeiu strzałki drgaia własego. Gdybyśmy mieli pecha i siłę wymuszającą o częstości ω przyłoŝyli do puktu, który jest węzłem drgaia własego o tejŝe częstości ω, to drgań ie spowodujemy. Masz do dyspozycji: kilka stalowych prętów o róŝej średicy; geerator drgań siusoidalych wraz z układem umoŝliwiającym pomiar częstości drgań; układ pobudzający pręt do drgań; układ rejestrujący drgaia pręta; wzmaciacz sygału wejściowego do oscyloskopu; oscyloskop; statyw z uchwytem do prętów i elektromagesów; suwmiarkę lub śrubę mikrometryczą. Wykoaie ćwiczeia Schemat układu pomiarowe przedstawia Rysuek 3. Pręt jest pobudzay do drgań elektromagesem (z amagesowaym rdzeiem) podłączoym do geeratora RC o regulowaej częstości. Pomiar amplitudy drgań odbywa się za pomocą drugiego idetyczego elektromagesu, który przez wzmaciacz podłączoy jest do wejścia oscyloskopu. detekcja pręt Wzmaciacz IN OUT Oscyloskop IN pobudzaie 50 khz Geerator OUT imadło Rys.3. Schemat układu pomiarowego
7 DRGANIA PRĘTA str. 6 NaleŜy wykoać pomiary: grubości wszystkich prętów; kolejych częstości rezoasowych dla wybraego pręta przy ustaloej jego długości; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od długości pręta dla wybraego pręta; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od grubości pręta. Uwagi praktycze: Częstość rezoasową odczytujemy a geeratorze drgań. Decyzję co do jej wartości moŝa podjąć w jedym z dwóch trybów pracy oscyloskopu, do którego podłączoy jest, do wejścia Y, sygał ze wzmaciacza. Zmieiając częstość drgań wymuszających moŝemy prowadzić obserwację amplitudy drgań pręta jako fukcję czasu przy częstości rezoasowej amplituda ta powia być ajwiększa. W drugim trybie, sygał wymuszający drgaia podłączamy do tzw. wejścia X oscyloskopu, podczas gdy sygał ze wzmaciacza pozostaje podłączoy do wejścia Y, a sam oscyloskop przełączamy w tzw. tryb XY. Wtedy teŝ częstości drgań pręta złoŝoe z częstością geeratora utworzą a ekraie oscyloskopu figury, zwae figurami Lissajous, o przykładowych kształtach ukazaych a Rysuku 4. ν 1 :ν = 1:1 ϕ = ν 1 :ν = 1: ν 1 :ν = 1:3 ν 1 :ν = :3 Rys.4. Przykłady krzywych Lissojous dla róŝych stosuków częstości i róŝicy faz. Dla otrzymaia ostrego rezoasu aleŝy zadbać, aby sprzęŝeie geeratora z prętem ie było zbyt sile (ie umieszczać elektromagesów, a szczególie pobudzającego, zbyt blisko pręta). Przy ostrym rezoasie moŝa łatwo omiąć iektóre mody. Aby tego uikąć, moŝa zaleźć częstość drgań podstawowych lekko odchylając i puszczając woly koiec pręta (drgaia włase). Częstości wyŝszych modów aleŝy poszukiwać w okolicach odpowiadających proporcjom kwadratów liczb µ i, gdzie µ 1 = 1,875; µ = 4,694; µ 3 = 7,855; µ = ( ½)π dla > 3. Zadbaj o to, by ie umieścić elektromagesu wymuszającego drgaia w węźle drgań. Aaliza wyików pomiarów Celem aalizy daych jest sprawdzeie stosowalość modelowego wzoru: µ i h E ν i = 4π L 3ρ wyraŝającego częstość (w Hertzach) drgań pręta prostokątego lub częstość µ i d E ν i = 8π L ρ w przypadku pręta o przekroju kołowym. We wzorach tych h jest grubością pręta o przekroju prostokątym (mierzoą w kieruku jego drgań), d jest średicą pręta o przekroju kołowym,
8 DRGANIA PRĘTA str. 7 L długością części drgającej pręta, E modułem Youga, ρ = (7,87 ± 0,01) 10 3 kg/m 3 gęstością pręta, a wartości liczb µ i podae są wyŝej. Aby tego dokoać, aaliza daych wia obejmować astępujące elemety: ustaleie realistyczych, dopuszczalych błędów graiczych wielkości bezpośredio mierzoych i wyzaczeie odpowiadających im iepewości stadardowych pamiętaj, Ŝe zdolość rozdzielcza przyrządu ie musi gwaratować sesowych błędów graiczych (oczywiście, moŝesz teŝ od razu oszacować iepewości stadardowe, bez przechodzeia przez etap błędów graiczych); wyzaczeie, w kaŝdym z kroków aalizy, iezbędych iepewości stadardowych wielkości mierzoych pośredio; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstościami róŝych drgań własych a wartościami liczb µ i ; wyzaczeie, z tych samych daych, ocey, wraz z iepewością, modułu Youga materiału pręta, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością drgaia podstawowego a długością pręta; wyzaczeie, z tych samych daych, ocey, wraz z iepewością, modułu Youga materiału pręta, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością podstawowego drgaia własego a grubością pręta; wyzaczeie, z tych samych daych, ocey, wraz z iepewością, modułu Youga materiału pręta, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; stosowe wyzaczeie wartości modułu Youga ze wszystkich lub części pomiarów, o ile uzasz taki krok za uzasadioy. Jeśli a którymś z etapów aalizy prowadzisz dopasowaie modelowej zaleŝości do daych metodą ajmiejszych kwadratów, obowiązkowo podaj jawą formę wielkości miimalizowaej, jako Ŝe postać ta jedozaczie defiiuje, który z wariatów metody wybierasz, a więc jaką postać przybierają wzory a ocey iezaych współczyików modelowej zaleŝości oraz ich iepewości stadardowe i ie musisz cytować stosowych wzorów dla tych obiektów. Dodatkowe uwagi odośie do raportu W raporcie zamieść, w stosowie dobraych tabelach, wszystkie surowe wyiki pomiarów tak, aby sięgając jedyie do raportu i bez potrzeby odwoływaia się do protokołu z doświadczeia moŝa było wykoać pełą i iezaleŝą aalizę Twych daych. Zadbaj o wiere przeiesieie zmierzoych wartości do raportu. Nim przygotujesz raport, zazajom się z uwagami zawartymi w opracowaiu Istrukcja - Jak pisać raport końcowy oraz z przykładową realizacją tych uwag w postaci Przykładowy raport końcowy jakie zamieszczoe są a stroie Pracowi wstępej. Wymagaia ukazae w tych opracowaiach będą bezwzględie egzekwowae przy sprawdzaiu Twego raportu. W szczególości pamiętaj o kowecji odoszącej się do precyzji przedstawiaia iepewości, a co za tym idzie, rówieŝ wartości ocey wielkości zmierzoej. Absolutie zalecae jest świadome przyjrzeie się redakcji tekstu a takŝe tabel, rysuków i wzorów, sposobów ich umerowaia, tytułowaia i opisywaia w dowolym, ale wydaym przez uzae wydawictwo, akademickim podręcziku do fizyki, jak rówieŝ zajrzeie do kilku publikacji w róŝych czasopismach aukowych, co moŝe ułatwić podjęcie decyzji w kwestii podziału Twego raportu a części. Literatura F.C. Crawford, Fale, Warszawa, H. Szydłowski, Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, szereg wydań w latach ;
9 DRGANIA PRĘTA str. 8 Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 013. Pytaia i zadaia defiiujące wymagaia do ćwiczeia Problem 1. W jaki sposób wyzaczysz iepewość częstości drgaia pręta? Problem. Podaj postać prawa Hooke a i zdefiiuj precyzyjie wszystkie wielkości, które występują w jego sformułowaiu. Problem 3. Rówaie fali dźwiękowej, opisującej wychyleia ψ cząsteczek powietrza z połoŝeia rówowagi, ma postać ψ(x,t) = Acos(kx ωt), gdzie A = 6,0 10 mm, k = 5,3 m 1 oraz ω = 1800 s 1. Oblicz stosuek amplitudy drgań cząsteczek ośrodka i długości fali. Oblicz maksymalą prędkość drgań cząsteczek ośrodka i jej stosuek do prędkości fali. Naszkicuj a wykresie kieruki prędkości cząsteczek powietrza w chwili t = 0. Problem 4. W jedorodym ośrodku spręŝystym utworzoo falę stojącą ψ(x,t) = Acos(kx)cos(ωt). Naszkicuj a wykresie wychyleie ψ cząsteczek ośrodka z połoŝeia rówowagi dla chwil czasu: t = 0 oraz t = T/, gdzie T jest okresem fali oraz ich prędkości w chwili t = T/4. Problem 5. W struie o długości L = 10 cm wywołao falę stojącą. W dwóch puktach struy odległych od siebie o l = 15 cm, amplituda A fali jest rówa 3,5 mm. Ile wyosi maksymala amplituda fali? Której harmoiczej odpowiada ta fala? Problem 6. Wyzacz moduł Youga stalowego pręta o gęstości ρ = 7,8 g/cm 3, o długości L = 5 cm i średicy d = mm, jeśli zamocoway a jedym końcu drga z częstością podstawową ν = 3 Hz. Pytaia i zadaia przybliŝające, uzupełiające lub poszerzające treść ćwiczeia Problem 7. PokaŜ, Ŝe fukcja y(x,t) zadaa związkiem () jest rozwiązaiem rówaia fal giętych. Problem 8. PokaŜ, Ŝe jeśli fukcje f 1 (x,t) oraz f (x,t) są rozwiązaiem rówaia fal giętych, to fukcja f(x,t) = af 1 (x,t) + bf (x,t), gdzie a oraz b to dowole stałe, jest takŝe rozwiązaiem tego rówaia. Problem 9. Dae są dwie podłuŝe fale ψ 1 (x,t) = Asi(k 1 x ω 1 t) oraz ψ (x,t) = Bsi(k x ω t) rozchodzące się w ośrodku spręŝystym. Zajdź róŝicę fazy fali wypadkowej względem fazy fali A i fali B. Jakie waruki muszą spełiać k 1, ω 1, k, ω 1 aby fala wypadkowa była falą stojącą? Problem 10. W powietrzu rozchodzą się dwie podłuŝe fale: jeda wzdłuŝ osi X i ma postać ψ 1 (x,t) = Acos(kx ωt) i druga, wzdłuŝ osi Y, zadaa wzorem ψ (y,t) = Acos(ky ωt). Opisz ruch cząsteczek ośrodka w płaszczyźie XY. Problem 11. Wyzacz rozwiązaie rówaia fal giętych, jeśli w chwili t = 0 ieskończeie długiemu prętowi adao kształt x y0 ( x) = Aexp, σ gdzie A i σ to zadae stałe, a astępie ją uwolioo bez prędkość początkowej. Problem 1. Wyzacz związek dyspersyjy dla rówaia ψ h ψ ih =, t m x gdzie i = 1, i podaj ogólą postać jego rozwiązaia. Problem 13. PokaŜ, Ŝe tor puktu o współrzędych x(t) = Asi(ωt), y(t) = Acos(ωt), to parabola. Problem 14. Strua o masie m, zamocowaa a obu końcach, drga z częstością podstawową ω, przy czym maksymale wychyleie struy wyosi A. Wyzacz maksymalą eergię kietyczą struy oraz jej średią eergię kietyczą w czasie jedego okresu. Problem 15. Rówaie falowe ma postać ψ = α ψ + β ψ. t x y Ile wyosi prędkość fali w wzdłuŝ osi X? A wzdłuŝ osi Y? Opracował: Ja Gaj. Uzupełił: Roma J. Nowak, 18 listopada 014.
ZADANIE 20 BADANIE DRGAŃ STRUNY
ZADANIE 20 BADANIE DRGAŃ STRUNY Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań poprzeczych cieki drut stalowy zamocoway w dwóch puktach dostarcza modelowego układu rządzoego klasyczym rówaiem falowym. Model te wyzacza
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi
Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy
Bardziej szczegółowou t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY
Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
Ć w i c z e i e 6 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ 6.1 Opis teoretyczy W ośrodkach sprężystych wytrąceie pewego obszaru z położeia rówowagi powoduje drgaia wokół tego położeia.
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r 3 BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie szeregu zjawisk związaych z drgaiami
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 5 ANALIZA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH WYBRANEGO OBIEKTU FIZYCZNEGO 1. Opis właściwości dyamiczych obiektu Typowym
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoRentgenowska analiza fazowa jakościowa i ilościowa Wykład 9
Retgeowska aaliza fazowa jakościowa i ilościowa Wykład 9 1. Retgeowska aaliza fazowa jakościowa i ilościowa. 2. Metody aalizy fazowej ilościowej. 3. Dobór wzorca w aalizie ilościowej. 4. Przeprowadzeie
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)
MATRIAŁY POMOCNICZ DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MDYCYNI (wyłączie do celów dydaktyczych zakaz rozpowszechiaia) 4. Drgaia brył prętów, membra i płyt. ****************************************************************
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoPOMIAR WARTOŚCI SKUTECZNEJ NAPIĘĆ OKRESOWO ZMIENNYCH METODĄ ANALOGOWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
POMIAR WARTOŚCI SKTECZNEJ NAPIĘĆ OKRESOWO ZMIENNYCH METODĄ ANALOGOWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁ CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jest zwróceie uwagi a ograiczeie zakresu poprawego pomiaru apięć zmieych wyikające
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowo( 0) ( 1) U. Wyznaczenie błędów przesunięcia, wzmocnienia i nieliniowości przetwornika C/A ( ) ( )
Wyzaczeie błędów przesuięcia, wzmocieia i ieliiowości przetworika C/A Celem ćwiczeia jest wyzaczeie błędów przesuięcia, wzmocieia i ieliiowości przetworika C/A. Zając wartości teoretycze (omiale) i rzeczywiste
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoPodstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.
W-1 (Jaroszewicz) 14 slajdów Podstawy Akustyki Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: prędkość grupowa, dyspersja fal, superpozycja Fouriera, paczka falowa Fale akustyczne w powietrzu
Bardziej szczegółowo(opracował Leszek Szczepaniak)
ĆWICZENIE NR 3 POMIARY POŁOśENIA I PRZEMIESZCZEŃ LINIOWYCH I KĄTOWYCH (opracował Leszek Szczepaiak) Cel i zakres ćwiczeia Celem ćwiczeia jest praktycze zapozaie się z metodami pomiarowymi i czujikami do
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoZnikanie sumy napięć ïród»owych i sumy prądów w wielofazowym układzie symetrycznym
Obwody trójfazowe... / OBWODY TRÓJFAZOWE Zikaie sumy apięć ïród»owych i sumy prądów w wielofazowym układzie symetryczym liczba faz układu, α 2π / - kąt pomiędzy kolejymi apięciami fazowymi, e jα, e -jα
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoW(s)= s 3 +7s 2 +10s+K
PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) Tramitacja operatorowa otwartego układu regulacji z jedotkowym ujemym przęŝeiem zwrotym daa jet wzorem: G O K ( + )( + 5) a) Podaj obraz liii pierwiatkowych układu zamkiętego.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowoBłędy kwantyzacji, zakres dynamiki przetwornika A/C
Błędy kwatyzacji, zakres dyamiki przetworika /C Celem ćwiczeia jest pozaie wpływu rozdzielczości przetworika /C a błąd kwatowaia oraz ocea dyamiki układu kwatującego. Kwatowaie przyporządkowaie kolejym
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji
Bardziej szczegółowoZasada działania, właściwości i parametry światłowodów. Sergiusz Patela Podstawowe właściwości światłowodów 1
Zasada działaia, właściwości i parametry światłowodów Sergiusz Patela 1999-003 Podstawowe właściwości światłowodów 1 Parametry światłowodów - klasyfikacja Parametry włókie światłowodowych: 1. Optycze tłumieie,
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoI PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO Istrukcję wykoał Mariusz Piwiński I. Cel ćwiczeia. pozaie ruchu harmoiczeo oraz
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia
Bardziej szczegółowo4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)
Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY
ĆWICZENIE 103 WYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY Cel ćwiczenia: Wyznaczenie gęstości materiału, z którego jest wykonana badana struna. Zagadnienia: definicja fali, parametry opisujące falę (położenie
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu
Bardziej szczegółowoPOMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH
POMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH KĄT POZIOMY Defiicja kąt poziomy wyzaczay jest przez ślady przecięcia dwóch płaszczyz pioowych przechodzących przez oś celową i obserwowae pukty z poziomą
Bardziej szczegółowoPOMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONANSU I METODĄ SKŁADANIA DRGAŃ WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH
Ćwiczenie 5 POMIR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONNSU I METODĄ SKŁDNI DRGŃ WZJEMNIE PROSTOPDŁYCH 5.. Wiadomości ogólne 5... Pomiar prędkości dźwięku metodą rezonansu Wyznaczanie prędkości dźwięku metodą
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoPomiary drgań rezonansowych wywołanych niewyważeniem wirnika
Pomiary drgań rezoasowych wywołaych iewyważeiem wirika Zakres ćwiczeia 1) Idetyfikacja drgań wywołaych: a iewyważeiem statyczym wirika maszyy elektryczej, b - iewyważeiem dyamiczym wirika maszyy elektryczej,
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI Ć W I C Z E N I E N R 2 ULTRADZWIĘKOWE FALE STOJACE - WYZNACZANIE DŁUGOŚCI FAL
Projekt Plan rozwoju Politechniki Częstochowskiej współfinansowany ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Numer Projektu: POKL.4.1.1--59/8 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoGalwanometr lusterkowy, stabilizowany zasilacz prądu, płytka z oporami, stoper (wypożyczyć pod zastaw legitymacji w pok. 619).
Ćwiczeie Nr 5 emat: Badaie drgań tłmioych cewki galwaometr lsterkowego I. LIERUR. R.Resick, D.Halliday Fizyka, t. I i II, PWN, W-wa.. Ćwiczeia laboratoryje z fizyki w politechice, praca zbiorowa pod red..rewaja,
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE
WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoTemat: PRAWO SNELLIUSA. WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA W SZKLE I PLEKSIGLASIE.
W S E i Z WYDZIAŁ. L A B O R A T O R I U M F I Z Y C Z N E Nr ćwicz. 9 Temat: PRAWO SNELLIUSA. WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA W SZKLE I PLEKSIGLASIE. Semestr Grupa Zespół Ocea Data / Podpis Warszawa,
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowo