Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
|
|
- Maria Sobolewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1
2 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.: Wprowadzenie i przypomnienia Lemat 4.1. Niech M będzie dowolną ale ustaloną interpretacją. Jeżeli M (A B) oraz M A, to M B. Lemat 4.2. Niech M = <U, > będzie dowolną ale ustaloną interpretacją. Załóżmy, że formuła D powstaje z formuły C poprzez zastosowanie jednej z pierwotnych reguł inferencyjnych KRP. Wówczas jeśli M C, to M D. Pierwotne reguły inferencyjne KRP, o których mówimy w lemacie 4.2, to oczywiście: RP, O, D, O i D. Podobnie jak poprzednio, mówiąc o formułach mamy na myśli formuły zdaniowe dowolnego ale ustalonego języka pierwszego rzędu, a mówiąc o interpretacjach mamy na myśli interpretacje tego języka. Przypomnijmy teraz: 2
3 Definicja 14.1: Derywacją formuły zdaniowej A w oparciu o zbiór formuł zdaniowych X nazywamy skończony ciąg formuł zdaniowych, którego ostatnim wyrazem jest formuła A, taki, że dowolna formuła zdaniowa będąca wyrazem tego ciągu: (1) należy do zbioru X, lub (2) powstaje z jakiegoś wcześniejszego wyrazu rozważanego ciągu poprzez zastosowanie: - reguły podstawiania RP, lub - reguły opuszczania dużego kwantyfikatora O, lub - reguły dołączania dużego kwantyfikatora D, lub - reguły opuszczania małego kwantyfikatora O, lub - reguły dołączania małego kwantyfikatora D, lub (3) powstaje z jakichś wcześniejszych wyrazów tego ciągu poprzez zastosowanie reguły odrywania RO. Symbolem Cn(X) oznaczamy zbiór wszystkich formuł, dla których istnieje przynajmniej jedna derywacja w oparciu o zbiór formuł X (tj. zbiór tych wszystkich formuł, które można wyprowadzić, korzystając z pierwotnych reguł inferencyjnych KRP, ze zbioru przesłanek X). Innymi słowy, A Cn(X) wtw istnieje przynajmniej jedna derywacja A w oparciu o X. 3
4 Derywacje a dziedziczenie prawdziwości Gdy mamy do czynienia z derywacją formuły A w oparciu o zbiór formuł X, formułę A nazywamy wnioskiem tej derywacji, natomiast formuły należące do X określamy mianem przesłanek tej derywacji. Twierdzenie 5.1. Jeżeli formuła A jest wnioskiem derywacji, której wszystkie przesłanki są prawdziwe przy (dowolnej ale ustalonej) interpretacji M, to formuła A jest również prawdziwa przy interpretacji M. Dowód: Podobny do dowodu twierdzenia 4.4. Widzimy zatem, że derywacje w oparciu o prawdziwe przesłanki muszą prowadzić do prawdziwych wniosków. Oznaczmy symbolem Vr(M) zbiór wszystkich formuł zdaniowych rozważanego języka, które są prawdziwe przy interpretacji M tego języka. Treść twierdzenia 5.1 możemy teraz wyrazić następująco: dla dowolnej interpretacji M: jeżeli A Cn(X) oraz X Vr(M), to A Vr(M) albo poprzez frazę: operacja konsekwencji Cn nie wyprowadza poza zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka). 4
5 Konsekwencja logiczna a dziedziczenie prawdziwości Jak pamiętamy (? :)), często jest tak, iż wyprowadzając/ usiłując wyprowadzić daną formułę z jakiegoś zbioru przesłanek rzeczowych, wykorzystujemy w charakterze dodatkowych przesłanek pewne tezy logiki i/lub korzystamy z jakichś wtórnych reguł inferencyjnych (co zresztą sprowadza się w istocie do przypadku pierwszego). Ponieważ wiemy już, że tezy KRP są prawdziwe przy każdej interpretacji języka (są tautologiami), zatem takie derywacje nie mogą prowadzić od prawdziwych przesłanek do fałszywych wniosków. Zachodzi: Twierdzenie 5.2. Jeżeli formuła A jest wnioskiem derywacji [prowadzonej] w oparciu o zbiór formuł zdaniowych X i niepusty zbiór tez KRP, a ponadto wszystkie formuły zdaniowe w X są prawdziwe przy interpretacji M, to formuła A jest również prawdziwa przy interpretacji M. Dowód: Korzystamy z twierdzenia 5.1 oraz twierdzenia 4.5. Na następnym slajdzie ujmiemy powyższe idee w sposób bardziej zadowalający zawodowców :) 5
6 Przypomnijmy: Konsekwencja logiczna a dziedziczenie prawdziwości Symbolem Arp oznaczamy zbiór wszystkich aksjomatów KRP. Definicja 14.3: A Cn L (X) wtw A Cn(X Arp) Napis A Cn L (X) czytamy A jest jedną z konsekwencji logicznych zbioru X. Pojęcie definiowane przez definicję 14.3 to pojęcie konsekwencji logicznej na gruncie logiki pierwszego rzędu, czyli KRP. Możemy łatwo udowodnić: Twierdzenie 5.3. Jeżeli A Cn L (X) oraz X Vr(M), to A Vr(M). Dowód: Proszę spróbować swoich sił :) Jednocześnie mamy: ($) Jeżeli Y Cn(Arp) oraz A Cn(X Y), to A Cn L (X). Tak więc twierdzenie 5.2 jest wnioskiem z twierdzenia 5.3. Treść intuicyjną tego ostatniego twierdzenia wyraża fraza: operacja konsekwencji logicznej Cn L nie wyprowadza poza zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka). 6
7 Wynikanie logiczne: intuicje Pojęcia derywacji, dowodu, konsekwencji i konsekwencji logicznej to pojęcia syntaktyczne. Syntaktyczny charakter ma też pojęcie tezy KRP. Jak już wspomnieliśmy, semantycznym odpowiednikiem pojęcia tezy KRP jest pojęcie tautologii. Natomiast semantycznym odpowiednikiem konsekwencji logicznej jest wynikanie logiczne. Intuicja leżąca u podstaw definicji tego pojęcia jest następująca: wniosek wynika logicznie z przesłanek dokładnie wtedy, gdy nie może być tak, że wszystkie przesłanki są prawdziwe, a wniosek nie jest prawdziwy. Warunek typu nie może być tak, że jest oczywiście silniejszy od warunku typu nie jest tak, że. 7
8 Rozważmy: Każda abra jest kadabrą. Każda kadabra jest memeną Każda abra jest memeną. Wynikanie logiczne: intuicje Otóż nie może być tak, że obie przesłanki są prawdziwe, a wniosek nie jest prawdziwy przy czym zupełnie nieistotne jest tu, czym są abra, kadabra i memena. Innymi słowy: jakkolwiek interpretujemy predykaty jest abrą, jest kadabrą i jest memeną, nie jest tak, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek prawdziwy nie jest. Powyższy przykład daje nam klucz do definicji (semantycznego) pojęcia wynikania logicznego. 8
9 Wynikanie logiczne: definicja Definicja 5.1. Formuła zdaniowa A języka pierwszego rzędu L wynika logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X języka L wtw zachodzi: (#) dla każdej interpretacji M języka L: jeżeli wszystkie formuły ze zbioru X są prawdziwe przy interpretacji M, to również formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M. To, że formuła A wynika logicznie ze zbioru formuł X, zapisujemy: X A. Używając wprowadzonej wcześniej notacji, możemy powiedzieć krótko: X A wtw dla każdej interpretacji M: jeżeli X Vr(M), to A Vr(M). Jest oczywiste, że powyższe stwierdzenie jest równoważne z: X A wtw nie istnieje interpretacja M taka, że: X Vr(M) oraz A Vr(M). 9
10 Wynikanie logiczne Wnioskiem z twierdzenia 5.1 i definicji 5.1 jest: Twierdzenie 5.4. Jeżeli A Cn(X), to X A. Z kolei z twierdzenia 5.3 dostajemy: Twierdzenie 5.5. Jeżeli A Cn L (X), to X A. Można również udowodnić, że gdy X A, to A Cn L (X). Wrócimy jeszcze do tego. Natomiast nie zachodzi odwrotność twierdzenia
11 Teraz spójrzmy na następującą tabelkę: Wynikanie logiczne A Cn(X) / A Cn L (X) / X A X Vr(M) X Vr(M) A Vr(M) A Vr(M) lub A Vr(M) Komentarz: Żadna z podanych definicji (konsekwencji, konsekwencji logicznej i wynikania logicznego) nie zakłada, że X zbiór przesłanek - musi być zbiorem formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka). Jeśli jednak w X-ie są wyłącznie prawdy (przy danej interpretacji języka), to A jest też prawdą (przy tej samej interpretacji języka). Jeśli natomiast co najmniej jedna formuła w X-ie nie jest prawdziwa przy danej interpretacji języka, to może się zdarzyć zarówno to, że A nie jest prawdą przy tej interpretacji języka, jak i to, że A jest prawdą przy tej interpretacji. To, co faktycznie się zdarzy, zależy od postaci formuł w X-ie i postaci formuły A, oraz od tego, czym jest rozważana interpretacja. Niby to oczywiste, ale warto to głośno powiedzieć :) 11
12 Wynikanie logiczne: monotoniczność Notacja: Pisząc X non A, mamy na myśli, że A nie wynika logicznie z X. Udowodnimy teraz: Twierdzenie 5.6. Jeżeli Y A oraz Y X, to X A. Dowód: Załóżmy, że: Y A oraz Y X, a ponadto X non A. Skoro X non A, to istnieje interpretacja M, przy której A nie jest prawdą, natomiast wszystkie formuły w X są prawdziwe. Ponieważ jednak Y X, zatem wszystkie formuły w Y są prawdziwe przy interpretacji M. Tak więc Y non A. Otrzymaliśmy sprzeczność. Twierdzenie 5.6 pokazuje, że wynikanie logiczne określone przez definicję 5.1 jest monotoniczne: to, co wynika logicznie z pewnego zbioru formuł, wynika też z każdego szerszego zbioru formuł, w którym wyjściowy zbiór jest zawarty. Dygresja: Istnieją logiki nieklasyczne, w których wynikanie logiczne nie jest monotoniczne. O nich jednak powiemy dopiero na trzecim roku :) 12
13 Wynikanie logiczne: własności Definiując wynikanie logiczne, nie nałożyliśmy żadnych ograniczeń na zbiór przesłanek X. Tak więc X może być zarówno zbiorem nieskończonym, jak i zbiorem skończonym; jeśli natomiast X jest skończony, to X może mieć dokładnie jeden element, lub więcej niż jeden element, lub być zbiorem pustym. Następujące twierdzenie przyjmiemy chwilowo bez dowodu: Twierdzenie 5.7 (o finitystyczności/ zwartości wynikania logicznego) X A wtw istnieje skończony podzbiór Y zbioru X taki, że Y A. Widzimy zatem, że w logice pierwszego rzędu (tj. w KRP) z nieskończonego zbioru formuł nie wynika logicznie nic więcej niż z jakiegoś skończonego podzbioru tego zbioru. 13
14 Przypominam, że symbolem oznaczamy zbiór pusty. Udowodnimy teraz: Wynikanie logiczne: własności Twierdzenie 5.8. A wtw A jest tautologią. Dowód: ( ) Załóżmy, że A oraz że A nie jest tautologią. Istnieje wówczas interpretacja M taka, że M non A, czyli A Vr(M). Skoro jednak A, to na mocy definicji 5.1 istnieje formuła B taka, że B oraz M non B. Wnosimy stąd, że istnieje formuła B taka, że B, co nie jest możliwe. Otrzymaliśmy sprzeczność. ( ) Załóżmy, że A jest tautologią, ale non A. Skoro non A, to na mocy definicji 5.1 istnieje interpretacja M taka, że M non A. Zatem A nie jest tautologią. Otrzymaliśmy sprzeczność. Widzimy zatem, że tautologie i tylko one wynikają logicznie z pustego zbioru formuł. Konsekwencją twierdzeń 5.7 i 5.8 jest: Twierdzenie 5.9. Każda tautologia wynika logicznie z dowolnego zbioru formuł. 14
15 Wynikanie logiczne: własności Definicja 5.2. Zbiór formuł zdaniowych X języka L nazywamy sprzecznym wtw nie istnieje interpretacja języka L, przy której wszystkie formuły należące do zbioru X są [jednocześnie] prawdziwe. Zachodzi: Twierdzenie Jeżeli X jest sprzecznym zbiorem formuł zdaniowych, to X A dla dowolnej formuły zdaniowej A. Dowód: Zapraszam na wykład :) Widzimy zatem, że ze sprzecznego zbioru formuł zdaniowych wynika logicznie każda formuła zdaniowa. Nawiasem mówiąc, twierdzenie 5.10 można wzmocnić do równoważności; w dowodzie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia 5.10 wystarczy rozważyć dowolna formułę niespełnialną. Pozostawiam to Państwu :) 15
16 Wynikanie logiczne formuły z formuły Często zamiast mówienia o wynikaniu logicznym formuły (zdania) ze zbioru formuł (zdań), mówimy o wynikaniu formuły z pojedynczej formuły (zdania). Można wprowadzić osobne pojęcie dla tego przypadku: Definicja 5.3. Formuła zdaniowa A języka pierwszego rzędu L wynika logicznie z formuły zdaniowej B języka L (symbolicznie: B A) wtw zachodzi: (#) dla każdej interpretacji M języka L: jeżeli formuła B jest prawdziwa interpretacji M, to formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M. Można też zdefiniować odpowiednie pojęcie korzystając z pojęcia wynikania formuły ze zbioru formuł: Definicja 5.4. B A wtw {B} A. Jakkolwiek postąpimy, jest oczywiste, że zachodzi: Twierdzenie {B 1,..., B n } A wtw B 1... B n A. 16
17 Wynikanie logiczne a tautologiczność Jak pamiętamy (? :)), w rachunku zdań wynikanie logiczne na gruncie KRZ - formuły A (języka KRZ) ze skończonego zbioru formuł {B 1,..., B n } (języka KRZ) zachodziło wtedy i tylko wtedy, gdy formuła (języka KRZ) o postaci B 1... B n A była tautologią KRZ. W logice pierwszego rzędu nie jest tak prosto, niestety mamy tu obok zdań również funkcje zdaniowe. Potrzebujemy teraz technicznego pojęcia domknięcia uporządkowanego formuły zdaniowej. Niech dom(b) oznacza domknięcie uporządkowane formuły zdaniowej B (gdzie B jest formuła dowolnego ale ustalonego języka pierwszego rzędu). Definicja 5.4. (a) Jeżeli B jest zdaniem, to dom(b) = B. są wszystki- (b) Jeżeli B jest funkcją zdaniową, natomiast x i 1,..., x in mi zmiennymi wolnymi w B, przy czym i 1 <...< i n, to dom(b) = x i 1... x in B. 17
18 Wynikanie logiczne a tautologiczność Budując domknięcie uporządkowane funkcji zdaniowej B, po prostu poprzedzamy B dużymi kwantyfikatorami wiążącymi wszystkie zmienne wolne w B, przy czym czynimy to w kolejności wyznaczanej przez wskaźniki zmiennych wolnych od wskaźnika najmniejszego do coraz większych. Zachodzi: Lemat 5.1. M A wtw M dom(a). Dowód: Zostanie podany na ćwiczeniach :) Udowodnimy teraz: Twierdzenie {B 1,..., B n } A wtw formuła o postaci jest tautologią. dom(b 1 )... dom(b n ) A 18
19 Dowód: ( ) Załóżmy, że {B 1,..., B n } A i przypuśćmy, że: Wynikanie logiczne a tautologiczność dom(b 1 )... dom(b n ) A nie jest tautologią. Istnieją zatem: interpretacja M oraz M-wartościowanie s takie, że: (a) M dom(b i ) [s] - dla każdego i takiego, że 1 i n, (b) M non A [s]. Skoro każde dom(b i ) jest zdaniem (1 i n), to na mocy twierdzenia 3.3: (c) M dom(b i ) - dla każdego i takiego, że 1 i n. Na mocy lematu 5.1 z (c) dostajemy: (d) M B i dla każdego i takiego, że 1 i n. Z kolei z (b) dostajemy: (e) M non A Tak więc {B 1,..., B n } non A. Otrzymaliśmy sprzeczność. 19
20 Wynikanie logiczne a tautologiczność ( ) Załóżmy, że dom(b 1 )... dom(b n ) A jest tautologią i przypuśćmy, że: {B 1,..., B n } non A. Wówczas istnieje interpretacja M taka, że: (a) M B i - dla każdego i takiego, że 1 i n oraz istnieje M-wartościowanie s, dla którego zachodzi: (b) M non A [s]. Skoro jednak dom(b 1 )... dom(b n ) A jest tautologią, to mamy: (c) M non dom(b i ) [s] dla pewnego i takiego, że 1 i n czyli: (d) M non dom(b i ) dla pewnego i takiego, że 1 i n skąd na mocy lematu 5.1 dostajemy: (e) M non B i dla pewnego i takiego, że 1 i n. Otrzymaliśmy sprzeczność. 20
21 Wynikanie logiczne a tautologiczność Przykład 5.1. Aby pokazać, że powyższe rozważania nie są zawieszone w powietrzu, rozważmy następujące formuły: (a) P(x) (b) x P(x) Otóż formuła P(x) x P(x) nie jest tautologią. Jednocześnie mamy: P(x) x P(x) ponieważ formuła x P(x) x P(x) jest tautologią. Komentarz: Podobnie jak w przypadku KRZ, również tezy KRP o schemacie: B 1... B n A gdzie n 1, kodują informacje o wynikaniu logicznym z tym, że gdy jakieś B i jest funkcją zdaniową, należy przejść do jego domknięcia. 21
22 Wynikanie logiczne a tautologiczność Skoro jednak domknięcie uporządkowane zdania jest po prostu tym zdaniem, z twierdzenia 5.12 dostajemy: Twierdzenie Niech B 1,..., B n będą zdaniami. Wówczas {B 1,..., B n } A wtw formuła o postaci B 1... B n A jest tautologią. Czyli w przypadku wynikania logicznego ze skończonych zbiorów zdań sytuacja jest analogiczna do znanej z rachunku zdań. 22
23 Dodatek dla koneserów W podanej tu definicji wynikania logicznego odwołaliśmy się do pojęcia prawdy, a nie do pojęcia spełniania. W literaturze przedmiotu wynikanie logiczne dla języków pierwszego rzędu określa się czasami inaczej: Definicja 5.1*. Formuła zdaniowa A języka pierwszego rzędu L wynika logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X języka L wtw zachodzi: (##) dla każdej interpretacji M języka L: dowolne M-wartościowanie spełniające wszystkie formuły w X spełnia też formułę A. Dla zbiorów zdań oba te pojęcia pokrywają się (zakresowo), natomiast dla funkcji zdaniowych już nie. Przykładowo, nie jest tak, że każde wartościowanie spełniające funkcję zdaniową P(x) spełnia też formułę x P(x) a zatem nie zachodzi wynikanie logiczne w sensie definicji 5.1* formuły x P(x) z formuły P(x). Jednocześnie jeśli każde wartościowanie spełnia P(x), to każde wartościowanie spełnia x P(x) - czyli z P(x) wynika logicznie w sensie definicji 5.1 formuła x P(x). To, którą z definicji wynikania logicznego przyjmiemy, zależy od wybranego sposobu rozumienia zmiennych wolnych uogólniającego lub uszczegółowiającego. O tym jednak przy innej okazji. 23
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoParadoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl wersja beta 1.1 (na podstawie:
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoPredykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoTrzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 8. Modalności i intensjonalność 1 Coś na kształt ostrzeżenia Ta prezentacja jest nieco odmienna od poprzednich. To,
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (5-7)
Logika Matematyczna (5-7) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Aksjomatyka KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (5-7) Aksjomatyka KRZ 1 / 114 Plan
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowo