Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne

Transkrypt

1 Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ i=1 2i = = = 62. Symbol iloczynu, j, k Z, j k: Przykªad 1.2. Oblicz 4 i=1 i. k x i = x j x j+1... x k. i=j Odpowied¹ i=1 i = = 4! = 24. Zadanie 1.3. Oblicz n i=1 i2i dla n = 0, 1, 2, 3, 4. Zadanie 1.4. Oblicz 5 i=1 (i + 1). Zadanie 1.5. Oblicz 4 i=1 (2i + 1). Zadanie 1.6. Sprawdzi prawdziwo± poni»szych równa«dla podanych warto±ci zmiennych, obliczaj c warto± lewej i prawej strony. a) n i=1 i = (1+n)n 2 dla n = 3 i n = 6, b) 2n k=0 (3k 2) = (2n + 1)(3n 2) dla n = 2 i n = 3, c) n i=0,i P 3i = 3n dla n = 3 i n = 4, gdzie P zbiór liczb parzystych, d) 1 i 5 i2 = (5!) 2 e) i T 2i = 32, gdzie T = {0, 1, 4}. Dziaªania na zbiorach A oraz B: a) suma: b) iloczyn (przekrój): A B = {x : x A lub x B} A B = {x : x A i x B} 1

2 c) ró»nica: d) ró»nica symetryczna: A B = {x : x A i x B} A B = (A B) (B A) e) iloczyn kartezja«ski (produkt): A B = {(x, y) : x A i y B} Dla ustalonego zbioru U (uniwersum, przestrze«), dopeªnieniem zbioru A, A U nazywamy zbiór U A i oznaczamy przez A. Przykªad 1.7. Dla A = {1, 2, 3} oraz B = {2, 4} wyznacz: A B, A B, A B, B A, A B, A B oraz B A. Odpowied¹ 1.7. A B = {1, 2, 3, 4}, A B = {2}, A B = {1, 3}, B A = {4}, A B = {1, 3, 4}, A B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}, B A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. Przykªad 1.8. Dla A = {1, 2, 3} oraz U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} wyznacz A. Odpowied¹ 1.8. A = {4, 5, 6, 7}. Zadanie 1.9. Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}, C = {4, 5, 6, 7, 8} oraz U = N. Wyznacz: a) A B C, b) A B C, c) A B, d) A (B \ C), e) A B, f) A B C, g) A B, h) A B. Zadanie Niech I = {1, 2, 3, 4, 5} b dzie zbiorem indeksów. okre±lmy zbiór B i = {x N i x 2i}. Wyznacz: Dla ka»dego i I a) i I B i, 2

3 b) i I B i, c) B 1 B 3 B 5, d) B 1 B 2 B 3 B 4 B 5. Zadanie Niech T = {1, 2, 3, 4, 5} b dzie zbiorem indeksów. Dla ka»dego t T okre±lmy zbiór A t = {y N + y t} i B t = {y N + y > t}. Wyznacz: a) A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 i B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, b) 5 k=3 A k, c) 5 i=1,i NP A i, gdzie NP zbiór liczb nieparzystych, d) 4 j=1 B j, e) i T,i 3 B i, f) 3 i=1 (A i A i+1 ), g) k T,k P (A k B k ), gdzie P zbiór liczb parzystych, h) k T,k P (A k B k ), gdzie P zbiór liczb parzystych. Zadanie Niech I = {1, 2, 3, 4, 5} b dzie zbiorem indeksów. okre±lmy zbiór C i = {x N 1 x 30 oraz i x}. Wyznacz: Dla ka»dego i I a) i I C i, b) i I C i. Zadanie Niech A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}. Wyznacz: a) A B, b) B A, c) {(a, b) A B a < b}. Ile wynosi liczba elementów zbiorów A B i B A. Zadanie Dane s zbiory: A = {k N k parzyste k 6}, B = {1, 4}, C = {m N 0 k 3}, D = {m N 3 < m < 6}. a) Wyznaczy zbiory A, C, D. b) Znale¹ zbiory A C, A D, D B, B D, (D B) (B D). Zadanie Niech S = {0, 1, 2, 3, 4} i niech T = {0, 2, 4}. 3

4 a) Ile par uporz dkowanych nale»y do zbioru S T, a ile do zbioru T S? b) Wypisz elementy zbioru {(m, n) S T : m + n = 10}, c) Wypisz i narysuj elementy zbioru {(m, n) S T : m + n 3}, d) Wypisz elementy zbioru {(m, n) S S : m + n = 10}. Zadanie Wypisz wszystkie podzbiory podanych ni»ej zbiorów. Ile jest tych podzbiorów? a) A = {a}, b) B = {b, c}, c) C = {c, d}, d) D = B C, e) E = B C. Zadanie Niech X = {a, b, c}. Wypisz elementy X 2 = X X, X 3 oraz {(x, y) X 2 x y}. Zadanie Udowodnij,»e A B wtedy i tylko wtedy, gdy A B = A. Niech Σ b dzie zbiorem sko«czonym, alfabetem. Wówczas dowolny ci g zªo»ony z elementów tego zbioru nazywamy sªowem nad alfabetem Σ. Np. dla alfabetu Σ = {a, b} przykªadowe sªowa to: a, abbb, aabb, aa... a. Zbiór wszystkich sªów nad alfabetem Σ oznaczamy przez Σ. Dªugo± sªowa u oznaczamy przez u. W±ród sªów wyró»niamy sªowo puste λ, nie zawieraj ce»adnej litery ( λ = 0). Zadanie Wypisz 10 dowolnych sªów zbioru {a, b, c}. Zadanie Wypisz 5 pierwszych sªów zbioru {a, b, c} porz dku leksykogracznego (sªownikowego). uporz dkowanych wedªug Mówimy,»e sªowo u poprzedza sªowo v w porz dku kanonicznym, je»eli albo u < v, albo u = v i u poprzedza v w porz dku leksykogracznym. Przykªad Pocz tkowe sªowa zbioru {0, 1} uporz dkowane wedªug porz dku kanonicznego to: λ, 0, 1, 00, 01, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, 0000,... Zadanie Wypisz 10 pierwszych sªów zbioru {a, b, c} uporz dkowanych wedªug porz dku kanonicznego. Zadanie Wypisz wszystkie preksy i suksy sªowa aaba. 4

5 Zadanie Uporz dkuj nast puj cy zbiór sªów wedªug porz dku leksykogracznego i kanonicznego: sªowik, wróbel, kos, jaskóªka, kogut, dzi cioª, gil, kukuªka, szczygieª, sowa, kruk, czubatka, drozd, sikora, dzierlatka, kaczka, g ska, jemioªuszka, dudek, trznadel, po±mieciuszka, wilga, zi ba, bocian, szpak. Zaokr glenia liczb rzeczywistych: x oznacza zaokr glenie x w gór do najbli»szej liczby caªkowitej (sut z x), x oznacza zaokr glenie x w dóª do najbli»szej liczby caªkowitej (podªoga z x). Zadanie Niech x, y b d dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a k dowoln liczb caªkowit. Udowodnij nast puj ce zale»no±ci: (a) x + y x + y, (b) x + k = x + k, (c) x + y x + y, (d) x + k = x + k. Zadanie Podaj przykªad liczb rzeczywistych x i y, dla których zachodzi: (a) x + y > x + y, (b) x + y < x + y. Zadanie Podaj przykªad liczby rzeczywistej x i liczby caªkowitej k, dla których zachodzi k x < k x. Zadanie Dane s dwa wielomiany: U(x) = 4x 3 + 3x + 2 oraz V (x) = 2x 4 + x 2 + 3x. Oblicz ich sum i iloczyn. Oblicz wedªug schematu Hornera warto±ci U(1) oraz V (2). Zadanie Podziel wielomian U(x) = 4x 4 + 3x 2 + x 2 przez V (x) = x 2 + x. 5

6 Odpowied¹ 1.3. n = 0 Odp.: bª dnie okre±lony zakres sumowania n = 1 Odp.: 2 n = 2 Odp.: 16 n = 3 Odp.: 384 n = 4 Odp.: Odpowied¹ = 720. Odpowied¹ = 945. Odpowied¹ 1.6. a) 6 = 6, 21 = 21, b) 20 = 20, 49 = 49, c) 10 = 10, , d) = 14400, e) Odpowied¹ 1.9. a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, b) {5}, c) {2, 4}, d) {1, 3}, e) {2, 4, 7}, f) {2, 5, 6, 8}, g) {8, 9, 10,...}, h) {2, 4, 6, 7, 8,...}. Odpowied¹ Wyznaczone B i : B 1 = {1, 2}, B 2 = {2, 3, 4}, B 3 = {3, 4, 5, 6}, B 4 = {4, 5, 6, 7, 8}, B 5 = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, b) zbiór pusty, c) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10}, d) {1, 4, 5, 6, 9, 10}. 6

7 Odpowied¹ a) A 1 = {1}, A 2 = {1, 2}, A 3 = {1, 2, 3}, A 4 = {1, 2, 3, 4}, A 5 = {1, 2, 3, 4, 5}, B 1 = {2, 3,...}, B 2 = {3, 4,...}, B 3 = {4, 5,...}, B 4 = {5, 6,...}, B 5 = {6, 7,...}, b) {1, 2, 3, 4, 5}, c) {1}, d) {2, 3,...}, e) {4, 5,...}, f) {1, 2, 3, 4}, g), h) {1, 2,...}, Odpowied¹ 1.12.Wyznaczone C i : C 1 = {1, 2, 3,..., 29, 30}, C 2 = {2, 4, 6,..., 28, 30}, C 3 = {3, 6, 9,..., 27, 30}, C 4 = {4, 8, 12,..., 24, 28}, C 5 = {5, 10, 15,..., 25, 30}. a) {1, 2, 3,..., 29, 30} = C 1, b). Odpowied¹ a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),..., (4, 1), (4, 2), (4, 3)}, 4 3 = 12 b) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),..., (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}, 3 4 = 12, c) {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. Odpowied¹ a) A = {0, 2, 4, 6}, C = {0, 1, 2, 3}, D = {4, 5}. b) {1, 3, 4, 6}, {0, 2, 5, 6}, {(4, 1), (4, 4), (5, 1), (5, 4)}, {(1, 4), (4, 4), (1, 5), (4, 5)}, {(4, 4)}. Odpowied¹ a) 15, 15 b) 7

8 c) {(0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4), (4, 0), (4, 2), (4, 4)} d). Odpowied¹ a) P(A) = {, {a}}, P(A) = 2, b) P(B) = {, {b}, {c}, {b, c}}, P(B) = 4, c) P(C) = {, {c}, {d}, {c, d}}, P(C) = 4, d) P(D) = {, {b}, {c}, {d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}}, P(D) = 8, e) P(D) = {, {(b, c)}, {(b, d)}, {(c, c)}, {(c, d)}, {(b, c), (b, d)}, {(b, c), (c, c)}, {(b, c)(c, d)}, {(b, d)(c, c)}, {(b, d)(c, d)}, {(c, c)(c, d)}, {(b, c), (b, d), (c, c)},..., {(b, c), (b, d), (c, c), (c, d)}}, P(E) = 16. Odpowied¹ X 2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} X 3 = {(a, a, a), (a, a, b), (a, a, c), (a, b, a), (a, b, b), (a, b, c), (a, c, a), (a, c, b), (a, c, c), (b, a, a), (b, a, b), (b, a, c), (b, b, a), (b, b, b), (b, b, c), (b, c, a), (b, c, b), (b, c, c), (c, a, a), (c, a, b), (c, a, c), (c, b, a), (c, b, b), (c, b, c), (c, c, a), (c, c, b), (c, c, c)} {(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)}. Odpowied¹ np. {aaa, λ, a, bc, ca, caab, b, c, cccc, bbacc} Odpowied¹ {λ, a, aa, aaa, aaaa} Odpowied¹ {λ, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc} Odpowied¹ preksy: λ, a, aa, aab, aaba suksy: λ, a, ba, aba, aaba Odpowied¹ porz dek leksykograczny: bocian, czubatka, drozd, dudek, dzierlatka, dzi cioª, g ska, gil, jaskóªka, jemioªuszka, kaczka, kogut, kos, kruk, kukuªka, po±mieciuszka, sikora, sªowik, sowa, szczygieª, szpak, trznadel, wilga, wróbel, zi ba. porz dek kanoniczny: gil, kos, sowa, drozd, dudek, g ska, kogut, szpak, wilga, zi ba, bocian, kaczka, sikora, sªowik, wróbel, kukuªka, dzi cioª, jaskóªka, trznadel, czubatka, szczygieª, dzierlatka, jemioªuszka, po±mieciuszka. Odpowied¹

9 a) np. x = 2.6, y = 2.7 b) np. x = 2.2, y = 2.1 Odpowied¹ np. k = 2, x = 2.3 Odpowied¹ U(x) + V (x) = 2x 4 + 3x 3 + x 2 + 6x + 2 U(x)V (x) = 8x x x 4 + 3x x 2 + 6x U(1) = 9 V (2) = 42 Odpowied¹ U(x) = (4x 2 4x + 7) V (x) 6x 2 9