Mierzalne liczby kardynalne

Transkrypt

1 czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007

2 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna, znikaj ca na punktach, mierz ca wszystkie podzbiory X? Czy dodatkowo taka miara mo»e przyjmowa wyª cznie warto±ci 0 lub 1? wiczenie Na ka»dym zbiorze niesko«czonym X istnieje sko«czenie addytywna miara zerojedynkowa znikaj ca na punktach i mierz ca wszystkie podzbiory.

3 Konwencja terminologczna Wszystkie miary s σ-addytywne, probabilistyczne i znikaj na punktach. Miara uniwersalna na X to miara mierz ca wszystkie podzbiory zbioru X. Miara zerojedynkowa, to miara probabilistyczna przyjmuj ca wyª cznie warto±ci 0 lub 1. Miara jest κ-addytywna, gdy suma mniej ni» κ zbiorów miary zero ma miar zero (zatem miara σ-addytywna to to samo co ℵ 1 -addytywna, a sko«czenie addytywna to ℵ 0 -addytywna).

4 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Liczby mierzalne Twierdzenie Je»eli κ jest najmniejsz liczb kardynaln tak,»e na zbiorze mocy κ istnieje σ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna, to na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna. Denicja Liczb kardynaln κ > ℵ 0 nazwiemy mierzaln, gdy na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna.

5 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Wªasno±ci liczb mierzalnych Twierdzenie Je»eli κ jest liczb mierzaln, to: zbiór mocy κ nie jest sum mniej ni» κ zbiorów mocy mniejszej ni» κ, λ < κ 2 λ < κ.

6 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Wªasno±ci liczb mierzalnych Dowód. Pierwsza wªasno± dla κ mierzalnej jest oczywista. Przypu± my,»e λ < κ, ale 2 λ κ. Niech S {0, 1} λ, S = κ; na S istnieje zerojedynkowa κ-addytywna miara uniwersalna. Dla α λ jeden ze zbiorów {x S : x(α) = 0} oraz {x S : x(α) = 1} ma miar 1, oznaczmy go przez X α ; α λ X α ma miar 1, ale jest co najwy»ej jednoelementowy.

7 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Uniwersalne miary zerojedynkowe i twarda matematyka Wniosek Na [0, 1] nie istnieje σ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna. Wniosek W twardej matematyce nie stykamy si ze zbiorami mocy mierzalnej.

8 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Co b dzie, gdy opu±cimy zaªo»enie o dwuwarto±ciowo±ci miary? Twierdzenie Je»eli κ jest najmniejsz liczb kardynaln tak,»e na zbiorze mocy κ istnieje miara uniwersalna, to na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna miara uniwersalna. Denicja Liczba kardynalna κ > ℵ 0 jest rzeczywi±cie mierzalna, gdy na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna miara uniwersalna.

9 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Dychotomia Ulama Twierdzenie Je»eli κ jest rzeczywi±cie mierzalna, to zachodzi jeden z przypadków: κ jest mierzalna, κ c. Fakt Je»eli istnieje liczba rzeczywi±cie mierzalna κ c, to istnieje rozszerzenie miary Lebesgue'a do σ-addytywnej miary uniwersalnej na [0, 1].

10 Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Dowód dychotomii Ulama Dowód. Zakªadamy,»e na zbiorze Z mocy κ istnieje κ-addytywna miara uniwersalna i rozwa»amy dwa przypadki. 1. Miara posiada atom, tzn. zbiór miary dodatniej, którego nie mo»na podzieli na dwa zbiory mniejszej miary. 2. Miara jest bezatomowa. Lemat Je»eli miara jest bezatomowa, to dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B A taki,»e µ(a) = 2 µ(b).

11 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Liczby silnie nieosi galne Denicja Liczb kardynaln κ > ℵ 0 nazwiemy silnie nieosi galn, gdy jest regularna, tzn. zbiór mocy κ nie jest sum mniej ni» κ zbiorów mocy mniejszej ni» κ; jest silnie graniczna, tzn. λ < κ 2 λ < κ. Wniosek Ka»da liczba mierzalna jest silnie nieosi galna.

12 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status liczb silnie nieosi galnych Fakt Istnienie liczb silnie nieosi galnych implikuje Con(ZFC). Zatem nie mo»na udowodni istnienia liczb silnie nieosi galnych, tzn. Con(ZFC) Con(ZFC + nie istnieje liczba silnie nieosi galna). Czy liczby silnie nieosi galne mog istnie? Fakt Zdania Con(ZFC) Con(ZFC + istnieje liczba silnie nieosi galna)? nie mo»na udowodni, o ile ZFC jest niesprzeczna.

13 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status liczb silnie nieosi galnych Dowód. Niech SI oznacza istnieje liczba silnie nieosi galna. Przypu± my,»e ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + SI ), tym bardziej ZFC + SI Con(ZFC) Con(ZFC + SI ); ZFC + SI Con(ZFC), zatem ZFC + SI Con(ZFC + SI ) - sprzeczno± z tw. Gödla.

14 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Liczby sªabo nieosi galne Denicja Liczb kardynaln κ > ℵ 0 nazwiemy sªabo nieosi galn, gdy jest regularna, tzn. zbiór mocy κ nie jest sum mniej ni» κ zbiorów mocy mniejszej ni» κ; jest graniczna, tzn. nie jest nast pnikiem kardynalnym»adnej mniejszej liczby. Twierdzenie Ka»da liczba rzeczywi±cie mierzalna jest sªabo nieosi galna.

15 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status istnienia liczb sªabo nieosi galnych Fakt Nast puj ce teorie s równo niesprzeczne: ZFC + istnieje liczba silnie nieosi galna, ZFC + istnieje liczba sªabo nieosi galna, ZFC + c jest liczb sªabo nieosi galn. Wniosek Status istnienia liczb sªabo nieosi galnych jest identyczny jak silnie nieosi galnych.

16 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status wielkich liczb prostym j zykiem Ludzie u»ywaj istnienia wielkich liczb, np. mierzalnych, jako dodatkowego aksjomatu. W ka»dej chwili kto± mo»e udowodni,»e takich liczb po prostu nie ma. Specjali±ci nie wierz powa»nie w t ostatni mo»liwo±. Uwaga Mocno w tpi cy niech pomy±l o statusie niesprzeczno±ci matematyki.

17 Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Motto [...] Obecnie nikt powa»nie nie szuka dowodu,»e liczby mierzalne nie istniej. Jednak niezadowoleni z przyjmowania zaªo»enia o istnieniu liczb mierzalnych mog traktowa badanie jego konsekwencji jako wst p do dowodu ich nieistnienia. Zapewniam,»e znalezienie takiego dowodu uczyni autora wystarczaj co sªawnym,»eby uzasadni wszelki trud wªo»ony w studiowanie konsekwencji takiego aksjomatu. - D. H. Fremlin - Real valued measurable cardinals