Wyznaczanie środka ciężkości i obliczanie momentów bezwładności bryły sztywnej 3

Transkrypt

1 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej Podstawowe ależnoś Współrędne środka ężkoś bryły stywnej wględe płasyn układu współrędnyh xy są następująe: płasyna Πy płasyna Πx płasyna Πxy SΠy xc (.a) SΠx yc (.b) SΠxy C (.) gde S Πy, S Πx, S Πxy są asowy oenta statyny bryły stywnej wględe płasyn układu współrędnyh xy, a jest asą bryły stywnej. Masowe oenty statyne obla sę w oparu o ależnoś: S Πy S Πx S Πxy x d (.a) y d (.b) d (.) Zależnoś na współrędne środka ężkoś bryły stywnej ożey równeż predstawć w następująej fore: x x C (.a) y y C (.b) C (.) gde jest asą -tej bryły składowej, a x, y, są współrędny środka ężkoś -tej bryły składowej.

2 Dynaka Moenty bewładnoś bryły stywnej wględe płasyn układu współrędnyh xy są następująe: Πy Πx Πxy x d y d d (.a) (.b) (.) Moenty bewładnoś bryły stywnej wględe os układu współrędnyh xy są następująe: x y Πx + Πxy ( y + ) d Πxy + Πy ( + x ) d (.a) (.b) Πy + Πx ( x + y ) d (.) Moent bewładnoś bryły stywnej wględe os jest równy sue oentów bewładnoś wględe prostopadłyh do sebe płasyn prenająyh sę wdłuż tej os. Moenty bewładnoś bryły stywnej wględe os ożna predstawć w sposób uowny, jako loyn asy ałkowtej kwadratu odległoś, wanej proene bewładnoś. (.6a) x x (.6b) y y (.6) Proene bewładnoś są ate równe: x y x y (.7a) (.7b) (.7) Moenty bewładnoś bryły stywnej wględe punktu (begunowy oent bewładnoś) jest równy: O r d (.8) Prekstałają ależność (.6), po uwględnenu ależnoś (.) (.) ay: O r d ( x + y + ) d x d + y d + d Πy + ( Πy + Πx + Πxy ) ( Πx + Πxy + Πxy + Πy + Πy + Πx ) ( x Begunowy oent bewładnoś bryły stywnej jest równy sue oentów bewładnoś wględe treh wajene prostopadłyh płasyn prenająyh sę w begune lub połowe suy oentów bewładnoś wględe treh prostopadłyh do sebe os poprowadonyh beguna. y Πx x + + y Πxy + ) (.9)

3 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej Moenty dewaj bryły stywnej są równe: xy xy d (.a) y y d (.b) x x d (.) Masowe oenty bewładnoś oenty dewaj są wyrażane w jednostkah [asa (długość) ]. Jak wdać ależnoś (.), (.), (.8), oenty bewładnoś ogą pryjować tylko wartoś dodatne, natoast oenty dewaj ogą być arówno dodatne, jak ujene. Jeżel ropatrywane ało a płasynę syetr, to oenty dewaj, w któryh występuje ndeks os prostopadłej do płasyny syetr ała, są równe eru. Dodatkowy ndeks onaa oenty wględe płasyn lub os entralnego układu współrędnyh, tj. takego którego środek pokrywa sę e środke ężkoś bryły stywnej. Moenty bewładnoś bryły stywnej wględe płasyn entralnego układu współrędnyh onaać będey bewładnoś wględe os entralnyh Πx y, Πy, Π x, natoast oenty x, y,. Twerdene Stenera Moent bewładnoś bryły stywnej wględe dowolnej os jest równy sue oentu bewładnoś wględe os równoległej prehodąej pre środek ężkoś ora loynu asy bryły kwadratu odległoś ędy ty osa. Zgodne rys.., ożey apsać: dla oentów bewładnoś + [( y ( ) ] (.a) x x + C + [( x ( ) ] (.b) y y + C dla oentów dewaj + [( y ( x ) ] (.) + C x y x C y C (.a) xy + y y C C (.b) y + x x + C x C (.) ys...

4 Dynaka Zadane.. Znaleźć położene środka ężkoś stożka o proenu podstawy wysokoś. owąane Wprowaday układ współrędnyh tak, aby oś pokrywała sę osą syetr stożka (rys..). Zadane rowążey oblają asowy oent statyny bryły. Poneważ wynaay współrędną C środka ężkoś, tak wę usy oblyć oent statyny wględe płasyny Πxy. Jest on równy, godne (.): S Πxy d ys... Wynay e stożka eleentarny plasterek o ase d. Jego gruboś jest równa d, natoast długość proena r wynayy twerdena Talesa (godne rys..): r r ) ( Tak wę asę eleentarnego plasterka ożey apsać następująo: ρ π r d d gde ρ gęstość. Nasą ałkę ożey apsać następująo: )d ( d ) ( d ) ( d d ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π r ρ π S Πxy + + +

5 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej Masa ałego stożka jest równa ρ π Położene środka ężkoś C godne ależnośą (.) określay jako: S ρ π ρ π Πxy C Zadane.. Znaleźć położene środka ężkoś półkul o proenu. owąane Zadane rowąujey podobne jak adane.. Wprowaday układ współrędnyh jak na rys.. wynay półkul eleentarny plasterek o ase d. Jego gruboś jest równa d, natoast długość proena r wynos: r ys... Tak wę asę eleentarnego plasterka ożey apsać następująo: ρ π r d Masowy oent statyny bryły wględe płasyny Πxy jest ate równy: d S Πxy d ρ π r d ρ π ( )d ρ π ( ρ π Masa półkul wynos: ρ π ρ π Położene środka ężkoś jest następująe: S ρ π ρ π ρ π Πxy C ρ π 8 )d

6 6 Dynaka Zadane.. Znaleźć położene środka ężkoś bryły predstawonej na rys.. (wyary w entyetrah). Pryjąć gęstość aterału, jakego wykonana jest bryła, równą ρ g/. ys... owąane W ropatrywanej bryle ożey wyróżnć tery ęś składowe: duży prostopadłośan (), którego wyęto kln () ćwartkę wala () ora ały prostopadłośan (). ndeksy w dalsyh oblenah odpowadają posególny bryło składowy. Współrędne środka ężkoś x C, y C C wynayy w oparu o ależnoś (.): Wypsujey harakterystyne welkoś dla posególnyh brył składowyh. () Duży prostopadłośan (rys..): asa współrędne środka ężkoś ρ g x 6 y 9, ys...

7 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej 7 () Kln (rys..6): asa ρ 6 współrędne środka ężkoś g x + y 6 () Ćwartka wala (rys..7) asa ys..6. ρ π 6 7,98 g współrędne środka ężkoś x 6 π sn 8 y 9 9 8, π π π sn 8,888 π π Ogólne wory na położene środka ężkoś dowolnego wynka koła predstawone ostały w ęś.x. () Mały prostopadłośan (rys..8): asa współrędne środka ężkoś ρ 6 g x y 9 7 +,

8 8 Dynaka ys..7. ys..8. Współrędne środka ężkoś ałej bryły, godne ależnośa (.) są równe: x y x x x + x 86 7, , C + y y y + y 86, 7,98 8, ,98 + 6, C ,98, , 86 7, C +,8,8 Zadane ożna rowąać w oparu o objętoś brył składowyh. Współrędne środka ężkoś wynayy w ty prypadku ależnoś: x C V V x y C V gde V jest objętośą -tej bryły składowej. V y C V V

9 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej 9 Zadane.. Wyprowadć ależnoś na entralne asowe oenty bewładnoś kul o proenu. owąane Zadane najłatwej jest rowąać popre wynaene begunowego oentu bewładnoś wględe środka kul (rys..9). ys..9. Wyberay eleentarny wynek w posta sfery o proenu r gruboś powłok dr. Jego asa jest równa d. Masowy begunowy oent bewładnoś ożey apsać jako (.8): O r d W nasy prypadku asa eleentarnego wynka d będe równa: gde ρ gęstość. Otryujey wę: d ρ π r dr O r d ρ π Poneważ asa kul jest równa: otryujey ostatene: r dr r ρ π ρ π ρ π O Poneważ do roważań pryjęlśy układ współrędnyh o poątku w środku ężkoś kul, ożey begunowy oent bewładnoś apsać, godne (.9), jako: O ( x + y + Z uwag na syetrę posególne oenty bewładnoś są sobe równe: x y )

10 Dynaka W wąku powyżsy otryujey: x y O Zadane.. Mają dane entralne asowe oenty bewładnoś kul o proenu, naleźć entralne asowe oenty bewładnoś półkul. owąane Na potreby nasyh roważań wprowadźy dodatkowe ndeksy: (k) odnos sę do ałej kul, natoast (k/) do półkul. W adanu. otryalśy następująe wartoś oentów bewładnoś kul: x (k) y (k) (k) Są to oenty entralne, gdyż lone były wględe os prehodąyh pre środek ężkoś kul. W adanu. wynaylśy położene środka ężkoś półkul, który najduje sę w odległoś od płasyny podstawy równej (rys..): C 8 (k) ys... Możey wę apsać, godne asada dodawana odejowana oentów bewładnoś, że entralne oenty bewładnoś ałej kul będą równe sue oentów bewładnoś dwóh półkul: x ( k) x (k/) y ( k) y (k/) ( k) (k/) Uwględnają, że asa półkul jest równa: (k/) oenty bewładnoś ożey apsać następująo: (k)

11 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej x (k/) x (k) (k) y (k/) y (k) (k) (k/) (k) (k) Jak wdać na rys.. oś, wględe której lylśy oenty, pokrywa sę e środke ężkoś półkul, yl jest osą entralną. Tak wę oblony oent bewładnoś wględe os jest jednoeśne entralny oente bewładnoś. (k/) (k/) Natoast ose x y najdują sę w odległoś C od os entralnyh x y. Aby wynayć entralne oenty bewładnoś półkul wględe os x y usy skorystać twerdena Stenera: (k/) (k/) (k/) (k/) x (k/) x (k/) (k/) C ) (k/) (k/) 8 ( (k/) 8 y (k/) y (k/) (k/) C ) (k/) (k/) 8 ( (k/) 8 Ostateny wynk (be dodatkowyh ndeksów) jest następująy: gde jest asą półkul. x y 8 Zadane.6. Wyprowadć ależnoś na entralne asowe oenty bewładnoś wala o proenu wysokoś. owąane Zadane rowążey popre wynaene oentu bewładnoś wględe os, a następne oentu bewładnoś wględe płasyny Πx y. Wyberay eleentarną warstwę w posta powerhn walowej o proenu r gruboś powłok dr (rys..). Jego asa jest równa d. Na podstawe (.), asowy oent bewładnoś wględe os jest równy: ( x + y ) d Dla tak pryjętej eleentarnej warstwy o proenu r ożey apsać, że: r + x y Zależność na oent bewładnoś pryje postać: r d W nasy prypadku asa eleentarnej warstwy d jest równa gde ρ gęstość. d ρ π r dr

12 Dynaka ys... Otryujey wę ρ π r ρ π r dr ρ π Poneważ asa wala jest równa: ρ π otryujey ostatene: Wyberay eleentarny wynek w posta plasterka o proenu gruboś d, najdująy sę w odległoś od płasyny Πx y (rys..). Jego asa jest równa d. W oparu o (.), asowy oent bewładnoś wględe płasyny Πx y jest równy: Πxy d ys...

13 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej Masa eleentarnego wynka d jest wynos: Otryujey wę: d ρ π d + / + / Πx y ρ π dx ρ π / / Poneważ asa wala jest równa: ρ π ρ π otryujey ostatene: Πx y Określy tera entralne oenty bewładnoś wględe os x y. Łatwo auważyć, że oenty bewładnoś wględe płasyn Πx Πy są sobe równe. Paętay równeż (.), że: ate Moenty wględe os x y + Πx Πy Πx Πy x y Πx Πy + + ożey apsać następująo: Πx y Πx y Ostateny wynk jest następująy: x y Zadane.7. Mają dane entralne asowe oenty bewładnoś wala o proenu wysokoś, naleźć entralne asowe oenty bewładnoś ćwartk, połówk ora / wala. owąane Zadane rowążey podobne jak adane.. Na potreby nasyh roważań wprowadźy ndeksy: (w) odnos sę do ałego wala, natoast (w/), (w/) (/) odpowedno do ćwartk, połówk / wala. W adanu.6 otryalśy następująe wartoś oentów bewładnoś wala: + x ( w) ( w) ( w) ( w) + y ( w) ( w)

14 Dynaka Na potreby adana usy wynayć położena środka ężkoś posególnyh wynków wala. Dokonay tego w oparu o ogólną ależność na położene środka ężkoś wynka koła (rys..): OC snφ φ gde jest proene koła, φ jest połową kąta rowara wynka koła. ys... Otryujey wę: dla ćwartk koła (φ π/): π sn OC π π Współrędne środka ężkoś, godne rys.., są następująe: OC xc(w/) yc(w/) π dla połówk koła (φ π/): π sn OC π π Współrędne środka ężkoś, godne rys.., są następująe: x C(w/) yc(w/) OC π dla / koła (φ π/): sn π OC π 9π Współrędne środka ężkoś, godne rys.., są następująe: OC xc(/) yc(/) 9π

15 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej Pry wynaanu posególnyh oentów bewładnoś postępujey podobne jak w adanu.. Możey wę apsać, że entralne oenty bewładnoś ałego wala (rys..) będą równe sue oentów bewładnoś tereh ćwartek wala: x (w) x (w/) y (w) y (w/) (w) (w/) ys... Uwględnają, że asa ćwartk wala jest równa: oenty bewładnoś określy jako: x (w/) y (w/) x y (w) (w) (w/) (w) + (w) + (w) (w/) (w) (w) (w/) (w/) (w/) + + Korystają twerdena Stenera wynayy oenty entralne x y (w/) (w/) (w/) + 6 x (w/) (w/) ( yc ) (w/) 9π + 6 y (w/) (w/) ( xc ) (w/) 9π (w/) (w/) [( xc ) ( yc ) ] (w/) 9π +

16 6 Dynaka Postępują podobne jak popredno, entralne oenty bewładnoś ałego wala będą równe sue oentów bewładnoś dwóh połówek wala (rys..): x (w) x (w/) y (w) y (w/) (w) (w/) ys... Uwględnają asę połówk wala równą: oenty bewładnoś określy jako: x (w/) y (w/) x y (w) (w) (w/) (w) + (w) + (w) (w/) (w) (w) (w/) (w/) (w/) + + Korystają twerdena Stenera wynayy oenty entralne. Łatwo auważyć, że oś y pokrywa sę osą entralną y połówk wala, ate wynaony powyżej oent bewładnoś jest oente entralny. Centralne oenty bewładnoś połówk wala są następująe: x (w/) + 6 x (w/) (w/) ( yc ) (w/) 9π (w/) + y (w/) y (w/) (w/) (w/) (w/) 6 ( yc ) (w/) 9π

17 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej 7 Postępują analogne, dla / wala (rys..6) otryujey oenty beładnoś wględe os xy równe: + x (/) (/) + y (/) (/) (/) (/) ys..6. Korystają twerdena Stenera wynaay oenty entralne: x y (/) (/) (/) + 6 x (/) (/) ( yc ) (/) 8π + 6 y (/) (/) ( xc ) (/) 8π (/) (/) [( xc ) ( yc ) ] (/) 8π + Ostateny wynk (be dodatkowyh ndeksów, gde jest asą odpowedno ćwartk, połówk / wala) jest następująy: ćwartka wala połówka wala x / wala x + 6 9π y + 6 9π x y + 6 8π y + 9π 8π 6 9π

18 8 Dynaka Zadane.8. Wyprowadć ależnoś na entralne asowe oenty bewładnoś stożka o proenu wysokoś. owąane Zadane rowążey podobne jak adane.6 dla wala. Wynayy oent bewładnoś wględe os (rys..7), a następne oent bewładnoś wględe płasyny Πxy (rys..8). Wyberay eleentarną warstwę w posta powerhn walowej o proenu r gruboś powłok dr (rys..7). Jego asa jest równa d. Zgodne defnją asowy oent bewładnoś wględe os jest równy: ( x + y ) d r d ys..7. W nasy prypadku asa eleentarnego wynka d będe równa: d ρ π r dr gde ena sę godne ależnośą ( tw. Talesa): r ( r ) Otryujey wę: ρ π [ r ( r )]dr ρ π ( r r ρ π ρ π )dr ρ π r r Poneważ asa stożka jest równa: otryujey ostatene: ρ π

19 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej 9 Wyberay eleentarny wynek w posta plasterka o proenu r gruboś d, najdująy sę w odległoś od płasyny Πxy (rys..8). Jego asa jest równa d. Masowy oent bewładnoś wględe płasyny Πxy jest równy: Πxy d ys..8 Masa eleentarnego wynka d jest w ty prypadku równa: d ρ π r d gde r ena sę godne ależnośą: Otryujey wę: r r ( ) Πxy ρ π [ ( ) ]d ρ π ρ π Poneważ asa stożka jest równa: otryujey ostatene: + Πx y ( ρ π ρ π + )d + ρ π Paętay, że środek ężkoś stożka najduje sę w odległoś h/ od podstawy. Stosują twerdene Stenera otryujey: Πxy Πxy 6 8 Określy tera entralne oenty bewładnoś wględe os x y. Łatwo auważyć, że oenty bewładnoś wględe płasyn Π x Πy są sobe równe.

20 Dynaka Paętay równeż, że: ate: Moenty wględe os + Πy Π x Πy Π x x y ożey apsać następująo: x Π x + Πxy y Πy + Πxy Ostateny wynk jest następująy x y + 8 Zadane.9. Wyprowadć ależnoś na entralne asowe oenty bewładnoś prostopadłośanu o wyarah a b h. owąane Zadane rowążey popre wynaene oentów bewładnoś wględe posególnyh płasyn (rys..9). ys..9. Wyberay eleentarny wynek w posta plasterka o wyarah a b gruboś d (rys..9). Jego asa jest równa d. Zgodne defnją asowy oent bewładnoś wględe płasyny Πx y jest równy: Πxy d Masa eleentarnego wynka d jest równa: d ρ a b d Otryujey wę: Πxy ρ a b + h / h / d ρ a b + h / h / ρ a bh

21 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej Poneważ asa prostopadłośanu jest równa: ρ a bh otryujey ostatene: Πx y h Postępują analogne dla poostałyh dwóh płasyn otryujey: Πy a Π x Centralne oenty bewładnoś wynayy w oparu o ależnoś: b x Π x + Πxy b b h + h + y Πxy + Πy h a h + a + Πy + Π x a b + b a + Zadane.. Mają dane entralne asowe oenty bewładnoś prostopadłośanu o wyarah a b h, naleźć entralne asowe oenty bewładnoś klna (rys..). owąane Zadane rowążey podobne jak adana..7. Na potreby nasyh roważań wprowadźy ndeksy: (p) odnos sę do prostopadłośanu, natoast (k) do klna. ys... W adanu.9 otryalśy następująe wartoś oentów bewładnoś prostopadłośanu: x (p) (p) b + h y (p) (p) a + h (p) (p) a + b Współrędne środka ężkoś klna, w układe współrędnyh pryjęty jak na rys.. są następująe:

22 Dynaka x C(k) a yc(k) b C (k) 6 6 Postępują analogne jak w adanah..7 ożey apsać: x (p) x (k) y (p) y (k) Uwględnają, że asa klna jest równa: oenty bewładnoś określy jako: x (k) y (k) (k) x (p) y (p) (p) (p) (k) (k) (p) b + h (p) a + h (p) a + b (p) (k) (k) (k) b + h a + h a + b Korystają twerdena Stenera wynaay oenty entralne dla klna: b + h b + h x (k) x (k) (k) ( yc) (k) (k) b (k) 6 6 a + h a + h y (k) y (k) (k) ( xc ) (k) (k) a (k) 6 6 a + b a + b (k) (k) (k) [( xc ) + ( yc ) ] (k) (k) a + b (k) Ostateny wynk (be dodatkowyh ndeksów, gde jest asą klna) jest następująy: x b + h 6 y a + h 6 a + b 8 Zadane.. Znaleźć entralne asowe oenty bewładnoś bryły (rys..) adana.. owąane Znay współrędne (w układe xy) środka ężkoś posególnyh brył składowyh, jak równeż ałej bryły: duży prostopadłośan (): kln (): ćwartka wala (): x y, x y x y 8,,888 ały prostopadłośan (): x y 7,

23 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej ała bryła: x C, y C,8 C,8 ys... Wynaay oenty bewładnoś posególnyh brył składowyh wględe os entralnyh x y. duży prostopadłośan (rys..): asa oenty bewładnoś 86 g 9 + x g 6 + y 86 7 g g ys...

24 Dynaka Korystają tw. Stenera oblay oenty bewładnoś wględe os x, y, : x y x + [( y y + ( [(,,8) y + [( x x + ( [(,) + [( x x + ( y y [(,) ] + (,8) ] 79,887 g ] + (,8) ] 6,9 g ] + (,,8) ] 87, g kln (rys..): asa oenty bewładnoś g x y g g g 8 Korystają tw. Stenera oblay oenty bewładnoś wględe os x, y, : x y x + [( y y + ( 8 + [(,8) y + [( x x + ( 6 + [(,) + [( x x + ( y y 6 + [(,) ] + (,8) ] 66,86 g ] + (,8) ] 79, 96 g ] + (,8) ],797 g ys...

25 Wynaane środka ężkoś oblane oentów bewładnoś bryły stywnej ćwartka wala (rys..): asa oenty bewładnoś 7,98 g x y 7,98,67 g 9 π ,98 7,68 g 9 π ,98 7,68 g 9 π Korystają tw. Stenera oblay oenty bewładnoś wględe os x, y, : x y x + [( y y + ( ],67 + 7,98 [(8,,8) y + [( x x + ( ] 7,68 + 7,98 [(,) + [( x x + ( y y ] 7,68 + 7,98 [(,) + (,888,8) ],9 g + (,888,8) ],97 g + (8,,8) ] 89,867 g ały prostopadłośan (rys..): asa oenty bewładnoś x y ys... 6 g + 6 9,6667 g + 6 9,6667 g + 6 7,6667 g

26 6 Dynaka ys... Korystają tw. Stenera oblay oenty bewładnoś wględe os x, y, : x y x + [( y y + ( 9, [(7,8) y + [( x x + ( 9, [(,) + [( x x + ( y y ] + (,,8) ] ] + (,,8) ] 7, [(,) ] 68, g, 86 g + (7,8) ] 8,999 g Wynaay oenty bewładnoś ałej bryły: x x x x + x 79,887 66,86,9 + 68, 77, 8 g y y y y + y 6,9 79, 96,97 +, 86 8,6688 g + 87,,797 89, ,999 7,897 g Lteratura [] Leyko J., Mehanka ogólna, to Dynaka, wydane X, Wydawntwo Naukowe PWN, Warsawa. [] Klastorny M., Negoda T., Mehanka ogólna Podstawy teoretyne, adana rowąana, Ofyna Wydawna Poltehnk Warsawskej, Warsawa 6.