Algorytmika Problemów Trudnych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytmika Problemów Trudnych"

Transkrypt

1 Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk Kraków, semestr letni 2016/17

2 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności. Algorytm 2-aproksymacyjny dla drzewa Steinera. Algorytm 3 -aproksymacyjny dla metrycznego komiwojażera. 2 Wielomianowe (PTAS) i w pełni wielomianowe (FPTAS) schematy aproksymacyjne. FPTAS dla problemu plecakowego.

3 Algorytm α(n)-aproksymacyjny Definicja Algorytm A dla problemu optymalizacyjnego P jest jest algorytmem α(n)-aproksymacyjnym jeżeli: A działa w czasie wielomianowym od rozmiaru wejścia n, dla każdej instancji I rozmiaru n, A zwraca rozwiązanie o koszcie val A (I ), gdzie: val A(I ) opt(i ) α(n) (jeżeli P jest problemem minimalizacyjnym), opt(i ) val A (I ) α(n) (jeżeli P jest problemem maksymalizacyjnym).

4 Problem drzewa Steinera Graf ważony to para (V, c), gdzie V to zbiór wierzchołków a c : ( V 2) (Q + {0}) to wagi krawędzi grafu (graf jest zatem grafem pełnym). Problem Drzewa Steinera: Wejście: Graf ważony G = (V, c) oraz zbiór wierzchołków K zwanych terminalami lub węzłami wymaganymi. Wyjście: Minimalne (o minimalnym sumarycznym koszcie) drzewo w G łączące wszystkie terminale. W Metrycznym Problemie Drzewa Steinera funkcja wag spełnia nierówność trójkąta, to jest: Dla każdych różnych u, v, w V : c(u, v) + c(v, w) c(u, w).

5 (Metryczny) Problem Drzewa Steinera Istnieje algorytm α-aproksymacyjny dla Istnieje algorytm α-aproksymacyjny dla metrycznego problemu drzewa Steinera. zwykłego problemu drzewa Steinera. Dowód: Załóżmy, że mamy instancję G = (V, c) problemu drzewa Steinera. Niech G = (V, c ) będzie domknięciem metrycznym grafu G, to jest grafem ważonym z funkcją kosztu c, gdzie c (u, v) jest długością najkrótszej ścieżki z u do v w G. Waga minimalnego drzewa Steinera w G jest równa wadze minimalnego drzewa Steinera w G. Jeżeli T jest drzewem Steinera w G o koszcie α OPT w G, to maksymalne drzewo rozpinające w grafie składającym się z najkrótszych ścieżek u v w G, gdzie uv jest krawędzią w T, jest drzewem Steinera o koscie α OPT w G.

6 Metryczny Problem Drzewa Steinera Algorytm: zwróć minimalne drzewo rozpinające (MST) w grafie indukowanym przez K. Powyższy algorytm jest algorytmem 2-aproksymacyjnym: Niech T będzie minimalnym drzewem Steinera w G o koszcie OPT. Podwajając krawędzie T otrzymujemy graf eulerowski E o koszcie 2 OPT. Przechodzimy cykl Eulera E odwiedzając jednokrotnie wierzchołki będące terminalami. Ponieważ G jest metryczny, długość nowego cyklu jest ograniczona przez 2 OPT. Istnieje więc ścieżka rozpinające na podgrafie indukowanym przez K o koszcie 2 OPT. MST na K ma więc koszt 2 OPT.

7 Metryczny Problem Drzewa Steinera Algorytm: zwróć minimalne drzewo rozpinające (MST) w grafie indukowanym przez K. Powyższy algorytm jest algorytmem 2-aproksymacyjnym. Analizy powyższego algorytmu nie można poprawić. Rozważmy graf składający się ze środka v i zbioru n terminali K w odległości 1 od r. Pozostałe krawędzie grafu mają wagę 2. Algorytm zwróci drzewo Steinera o wadze 2n 2. Minimalne drzewo Steinera ma wagę n. Powyższa rodzina jest rodziną przypadków trudnych dla powyższego algorytmu.

8 Metryczny problem Drzewa Steinera Aktualny stan wiedzy: istnieje algorytm 1.39-aproksymacyjny dla problemu drzewa Steinera (Byrka, Grandoni, Rothwoß, Sanità), nie da się aproksymować metrycznego problemu drzewa Steinera ze współczynnikiem 96 o ile P NP (Bern and Plassmann, Chlebík i 95 Chlebíkowá)

9 Problem Komiwojażera Problem Komiwojażera: Wejście: Graf ważony G = (V, c). Wyjście: Cykl Hamiltona o minimalnym koszcie. W przypadku problemu komiwojażera, wersja ogólna różni się istotnie od wersji metrycznej.

10 Problem Komiwojażera Dla dowolnej funkcji wielomianowo obliczalnej α : N N, problem komiwojazera nie posiada algorytmu α(n)-aproksymującego. Dowód: Wykażemy, że jeżeli istnieje algorytm α(n)-aproksymacyjny dla problemu komiwojażera, to problem cyklu Hamiltona można rozwiązać w wielomianowym czasie. Niech G = (V, E) będzie instancją wejściową dla problemu cyklu Hamiltona. Konstruujemy graf ważony G = (V, c ), gdzie { c (u, v) = 1 (u, v) jest krawędzią w G, nα(n) w przeciwnym przypadku. Łatwo zauważyć, że G posiada cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada trasę komiwojażera o wadze n. G nie posiada cyklu Haniltona wtedy i tylko wtedy, gdy minimalna trasa komiwojażera w G jest większa od α(n) n. Algorytm α(n)-aproksymacyjny dla problemu komiwojażera rozwiązywałby zatem w wielomianowym czasie problem cyklu Hamiltona.

11 Metryczny Problem Komiwojażera Algorytm: znajdź minimalne drzewo rozpinające T w grafie ważonym G = (V, c), podwój krawędzie T i otrzymaj graf eulerowski E, zwróć nastepującą trasę komiwojażera: startując od dowolnego wierzchołka v przejdź po cyklu Eulera na krawędziach z E opuszczając wierzchołki, które zostały już wcześniej odwiedzone, zatrzymaj się w v. Powyższy algorytm jest algorytmem 2-aproksymacyjnym: waga T jest mniejsza bądź równa optymalnej trasie komiwojażera OPT, waga E jest mniejsza bądź równa 2 OPT, z metryczności G, waga zwróconej trasy komiwojażera jest mniejsza bądź równa od wagi cyklu Eulera E.

12 Metryczny Problem Komiwojażera - algorytm Christofidesa Algorytm: znajdź minimalne drzewo rozpinające T w grafie ważonym G = (V, c), niech V będzie zbiorem wierzchołków, które w T mają nieparzysty stopień (jest ich zawsze parzyście wiele), niech M będzie minimalnym dopasowaniem w grafie indukowanym przez V, zauważ, że E = M T jest grafem eulerowskim w G, zwróć nastepującą trasę komiwojażera: startując od dowolnego wierzchołka v przejdź po cyklu Eulera na krawędziach z E opuszczając wierzchołki, które zostały już wcześniej odwiedzone, zatrzymaj się w v. Powyższy algorytm jest algorytmem 3 2 -aproksymacyjnym: waga T jest mniejsza bądź równa optymalnej trasie komiwojażera OPT, waga M jest mniejsza bądź równa 1 2 OPT, z metryczności G, waga zwróconej trasy komiwojażera jest mniejsza bądź równa od wagi cyklu Eulera E.

13 Metryczny Problem Komiwojażera Aktualny stan wiedzy: najlepszy znany algorytm ma współczynnik aproksymacji 3 2 (Christofides), nie istnieje algorytm 220 -aproksymacyjny o ile P NP (Papadimitriou, 219 Vempala).

14 Schematy aproksymacji PTAS i FPTAS Niech P będzie problemem optymalizacyjnym. Mówimy, że algorytm A jest schematem aproksymacyjnym dla problemu P jeżeli dla wejścia (I, ɛ) algorytm A zwraca rozwiązanie o koszcie val A (I ), gdzie: val A (I ) (1 + ɛ)opt (jeżeli P jest problemem minimalizacyjnym), val A (I ) (1 ɛ)opt (jeżeli P jest problemem maksymalizacyjnym). Dodatkowo, jeżeli czas działania A jest wielomianowy dla każdego ustalonego ɛ > 0 (np. gdy czas działania A to O(n 1 ɛ )), to A nazywamy wielomianowym schematem aproksymacyjnym (ang. polynomial-time approximation scheme, PTAS ). jeżeli czas działania A jest wielomianem od rozmiaru wejścia i 1 ɛ, to A nazywamy w pełni wielomianowym schematem aproksymacyjnym (ang. fully polynomial-time approximation scheme, FPTAS).

15 Problem plecakowy Problem Plecakowy: Wejście: Zbiór n przedmiotów a 1,..., a n, każdy z nich ma wagę size(a i ) oraz wartość profit(a i ), dopuszczalna waga plecaka B. Wyjście: Maksymalna łączna wartość (zysk) przedmiotów o wadze B.

16 Algorytmy pseudowielomianowe i problemy silnie NP-trudne Algorytm A dla problemu P jest algorytmem pseudowielomianowym jeżeli czas jego działania jest wielomianowy w zależności od rozmiaru wejścia przy założeniu, że liczby na wejściu kodowane są w systemie unarnym. Problem P nazywamy problemem silnie NP-trudnym jeżeli jest NP-trudny nawet w przypadku, gdy liczby na wejściu kodowane są w sposób unarny. Problemy silnie NP-trudne nie mają algorytmów pseudowielomianowych.

17 Pseudowielomianowy algorytm dla problemu plecakowego Niech: P maksymalna wartość obiektu w {a 1,..., a n}. S[i, p] najlżejszy podzbiór {a 1,..., a i } dający zysk p, A[i, p] waga S i,p. Tablicę A[i, p] możemy obliczyć w czasie O(n 2 P) zgodnie z regułą: { min{a[i, p], size(ai+1 ) + A[i, p profit(a A[i+1, p] = i+1 )]} jeżeli profit(a i+1 ) p A[i, p] w p.p. Maksymalny możliwy zysk dla przedmiotów o łącznym rozmiarze nie przekraczającym B jest równy max{p : A[n, p] B}. Powyższy algorytm jest algorytmem pseudowielomianowym dla problemu plecakowego.

18 FPTAS dla problemu plecakowego FPTAS dla problemu plecakowego: Dla danego ɛ > 0, niech K ɛp n (niech K będzie potęgą 2). Dla każdego przedmiotu a i niech profit (a i ) = profit(a i ) K. Korzystając z programowania dynamicznego, znajdź najkorzystniejszy zbiór S dla problemu plecakowego z zyskami profit (a i ). Wypisz zysk S. Uwagi: jeżeli K = 2 l, to profit (a i ) otrzymujemy z profit(a) przez skreślenie l ostatnich liczb z rozwinięcia dwójkowego profit(a i ), profit (a i ) O(n 1 ɛ ), algorytm działa w czasie O(n 3 1 ɛ ).

19 FPTAS dla problemu plecakowego Lemat profit(s ) (1 ɛ) OPT. Proof: O - zbiór obiektów z optymalnym zyskiem, profit(o) K profit (O) nk, Mamy: profit(s ) K profit(o ) profit(o) nk OPT ɛp (1 ɛ) OPT.

20 Silna NP-zupełność a istnienie FPTAS Twierdzenie Niech p będzie wielomianem i niech P będzie NP-trudnym problemem minimalizacji z funkcją celu f. Załóżmy, że f przyjmuje wartości całkowite oraz, że OPT (I ) < p( I ) gdy instancja I kodowana jest unarnie. Jeżeli istnieje FPTAS dla P, to istnieje algorytm pseudowielomianowy dla P. Dowód: Niech I będzie instancją wejściową problemu P, kodowaną w sposób unarny. Zauważ, że algorytm FPTAS A dla ɛ = 1 rozwiązuje problem P dokładnie. 2p( I ) Czas działania A dla ɛ = 1 jest wielomianowy od I. 2p( I ) Wniosek: Naturalne problemy silnie NP-trudne nie mają FPTAS.

21 Euklidesowy Problem Komiwojażera Euklidesowy Problem Komiwojazera: Wejście: Zbiór n punktów P = {P 1,..., P n} na płaszczyźnie, punkt P i ma współrzedne (x i, y i ). Wyjście: Trasa przechodząca przez wszystkie punkty P 1,..., P n o najtańszym koszcie OPT. Twierdzenie Istnieje PTAS dla euklidesowego problemu komiwojażera. Uwagi: twierdzenie pokazane niezależnie przez Arorę oraz Mitchela, Obaj za ten wynik otrzymali nagrodę Gödla.

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Metody Programowania

Metody Programowania POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Jarosław Piersa 10 marca 2014 1 Projekty 1.1 Problem plecakowy (1p) Oznaczenia: dany zbiór przedmiotów x 1,.., x N, każdy przedmiot ma określoną wagę w(x i ) i wartość

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna - zadania

Matematyka Dyskretna - zadania zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych.

Algorytmy i struktury danych. Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. IX Jesień 2014 1 / 26 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca

Bardziej szczegółowo

Metoda podziału i ograniczeń

Metoda podziału i ograniczeń Seminarium: Algorytmy heurystyczne Metoda podziału i ograniczeń Mateusz Łyczek Wrocław, 16 marca 011 r. 1 Metoda podziału i ograniczeń Metoda podziału i ograniczeń służy do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił.

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. Scenariusz lekcji Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. W roku 1962 chioski matematyk Mei-Ko Kwan zaproponował następujący problem: Listonosz roznosząc

Bardziej szczegółowo

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3} Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany , 1 2 3, czas zamortyzowany zajęcia 3. Wojciech Śmietanka, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński rozpinajace, 1 2 3 rozpinajace Mamy graf nieskierowany, ważony, wagi większe od 0. Chcemy wybrać taki podzbiór

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Algorytmy i struktury danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 5: Algorytmy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów Przepływy w sieciach.

Algorytmiczna teoria grafów Przepływy w sieciach. Algorytmiczna teoria grafów Sieć przepływowa Siecią przepływową S = (V, E, c) nazywamy graf zorientowany G = (V,E), w którym każdy łuk (u, v) E ma określoną przepustowość c(u, v) 0. Wyróżniamy dwa wierzchołki:

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. X Jesień 2013 1 / 21 Dziel i zwyciężaj przypomnienie 1 Podział problemu na 2 lub

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Tomasz M. Gwizdałła 2012/13

Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 METODY METODY OPTYMALIZACJI OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.523b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski. Dane w sieciach. (i inne historie) Marcin Bieńkowski

Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski. Dane w sieciach. (i inne historie) Marcin Bieńkowski Dane w sieciach (i inne historie) Marcin Bieńkowski Jak przechowywać dane w sieciach (strony WWW, bazy danych, ) tak, żeby dowolne ciągi odwołań do (części) tych obiektów mogły być obsłużone małym kosztem?

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana

Temat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana Temat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana. Wymagania dotyczące kompresji danych Przez M oznaczmy zbiór wszystkich możliwych symboli występujących w pliku (alfabet pliku). Przykład M = 2, gdy plik

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe opracował:

Bardziej szczegółowo

Metody przeszukiwania

Metody przeszukiwania Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

Zadania przykładowe do kolokwium z AA2

Zadania przykładowe do kolokwium z AA2 1 Zadania przykładowe do kolokwium z AA2 Zadanie 1 Dla tekstu ALA MA KOTA ALE ON MA ALERGIĘ zilustruj działanie algorytmów: a) LZ77, b) LZ78, c) LZSS. Załóż, że maksymalna długość dopasowania to 4, rozmiar

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Algorytmy dokładne

Optymalizacja. Algorytmy dokładne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

... (środowisko) ... ... 60 minut

... (środowisko) ... ... 60 minut EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ I PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) WYBRANE:... (środowisko)... (kompilator)...

Bardziej szczegółowo

Problemy z ograniczeniami

Problemy z ograniczeniami Problemy z ograniczeniami 1 2 Dlaczego zadania z ograniczeniami Wiele praktycznych problemów to problemy z ograniczeniami. Problemy trudne obliczeniowo (np-trudne) to prawie zawsze problemy z ograniczeniami.

Bardziej szczegółowo

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Temat 9 Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Streszczenie Nasze życie związane jest z funkcjonowaniem wielu sieci: telefonicznych, energetycznych, komputerowych i drogowych. W przypadku każdej

Bardziej szczegółowo

* Funkcje, podprogramy

* Funkcje, podprogramy Funkcje, podprogramy Jak go ulepszyć? Co będzie jak tych tablic będzie 100? A co będzie jak będą to różne tablice? A jak byśmy tak chcieli sobie ułatwić życie? Funkcja w matematyce, to takie coś: f x

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie sztucznej inteligencji w testowaniu oprogramowania

Zastosowanie sztucznej inteligencji w testowaniu oprogramowania Zastosowanie sztucznej inteligencji w testowaniu oprogramowania Problem NP Problem NP (niedeterministycznie wielomianowy, ang. nondeterministic polynomial) to problem decyzyjny, dla którego rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe w dynamicznych problemach transportowych

Algorytmy mrówkowe w dynamicznych problemach transportowych y w dynamicznych problemach transportowych prof. dr hab Jacek Mandziuk MiNI, PW 3 czerwca 2013 Cel pracy Zbadanie zachowania algorytmu go zwykłego oraz z zaimplementowanymi optymalizacjami dla problemów

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE

PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe.

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. zajecia.jakubw.pl/nai Literatura: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 997. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA TECHNICZNE AI

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Marcel Stankowski Wrocław, 23 czerwca 2009 INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH

Marcel Stankowski Wrocław, 23 czerwca 2009 INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH Marcel Stankowski Wrocław, 23 czerwca 2009 INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań, szukanie na ślepo, wszerz, w głąb. Spis treści: 1. Wprowadzenie 3. str. 1.1 Krótki Wstęp

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 26 października 2014 a d c k e b g j i f h Adwokat Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 118 z 857 (13%) Zaakceptowane

Bardziej szczegółowo

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 28 października 2012 j i d c h k b a e g f Jutro Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 146 z 775 (18%) Zaakceptowane

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Programowanie obiektowe

Programowanie obiektowe Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2015 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2015 1 / 21 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część IV - Model PRAM

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część IV - Model PRAM Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część IV - Model PRAM Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/ kuszner/arir/ Wykład

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część IV - Model PRAM

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część IV - Model PRAM Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część IV - Model PRAM Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/ kuszner/arir/ Wykład

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne drzewa. Piotr Sankowski. - p. 1/27

Dynamiczne drzewa. Piotr Sankowski. - p. 1/27 Piotr Sankowski - p. 1/27 przypomnienie czas O(log 2 n), jak to zrobić w czasie O(log n), jak to zrobić w pesymistycznym czasie O(log n) (szkic). - p. 2/27 Operacje na dynamicznych drzewach: parent(v)

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne 1 Nazwa modułu kształcenia Algorytmy i struktury danych 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia)

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia 1. Pewien pan ma 5 garniturów, 7 krawatów i 10 koszul. Ile różnych zestawów może skompletować? 2. W zawodach

Bardziej szczegółowo

Temat 15. Drogi na lodzie Drzewa Steinera

Temat 15. Drogi na lodzie Drzewa Steinera Temat 15 Drogi na lodzie Drzewa Steinera Streszczenie Czasem drobna, pozornie mało znacząca, zmiana w sformułowaniu jakiegoś problemu, utrudnia w znaczący sposób jego rozwiązanie. Problem przedstawiony

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy

Bardziej szczegółowo

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poniższe zadania są wyborem zadań ze Wstępu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziłem w ciągu ostatnich lat. Ponadto dołączyłem szereg zadań, które pojawiały

Bardziej szczegółowo

Konspekt. 15 października Wykład III (16 października 2014 r.): optymalizacja kombinatoryczna na grafach (metody sieciowe)

Konspekt. 15 października Wykład III (16 października 2014 r.): optymalizacja kombinatoryczna na grafach (metody sieciowe) Konspekt 15 października 2014 1 Wykład III (16 października 2014 r.): optymalizacja kombinatoryczna na grafach (metody sieciowe) 1.1 Przykładowe problemy optymalizacji kombinatorycznej na grafach 1. Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja wielokryterialna

Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje więcej niż jedno kryterium Problem wielokryterialny

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne

Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne [źródło: Wprowadzenie do algorytmów, T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L.Rivest, Wyd. Naukowo-Techniczne Warszawa, 2001; ZłoŜoność obliczeniowa problemów kombinatorycznych,

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

x v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie

x v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 4 Przepływy pienięŝne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pienięŝnych P Pt, Pt,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje w roku akademickim 2012/2013. Projektowanie i analiza algorytmów

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje w roku akademickim 2012/2013. Projektowanie i analiza algorytmów Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej obowiązuje w roku akademickim 01/013 Kierunek studiów: Elektrotechnika Forma studiów: Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer

Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie Barbara Doncer opiekun: mgr Wiesława Kałużny Kraków, 2014r. Wstęp Jak rozstrzygnąć, kto ma większe szanse na zwycięstwo w grach losowych, jak zaplanować spacer po rynku,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe (ang. Ant Colony Optimization)

Algorytmy mrówkowe (ang. Ant Colony Optimization) Algorytmy mrówkowe (ang. Ant Colony Optimization) 1. Wprowadzenie do ACO a) mrówki naturalne b) mrówki sztuczne c) literatura (kilka pozycji) 2. ACO i TSP 1. Wprowadzenie do ACO a) mrówki naturalne ślepe,

Bardziej szczegółowo