Algorytmy i Struktury Danych.

Transkrypt

1 Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20

2 Plan wykładu Wyszukiwanie spójnych składowych grafu (ang. Connected components) Sortowanie topologiczne (ang. Topological sort) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 2 / 20

3 Spójne składowe Definicja Każda spójna składowa grafu G = (V, E) jest maksymalnym podzbiorem wierzchołków U zbioru V takim, że dla dowolnych dwóch wierzchołków z U istnieje łacz aca je ścieżka w G. Jeżeli graf składa się z jednej spójnej składowej to mówimy, że jest spójny (ang. connected). Każdy graf nieskierowany można podzielić na jedna lub większa liczbę spójnych składowych (ang. connected components). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 3 / 20

4 Spójne składowe Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 4 / 20

5 Spójne podgrafy Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 5 / 20

6 Spójne składowe - algorytm Wejście: G = (V, E) Wyjście: Spójne składowe grafu G 1 J. Hopcroft, R. Tarjan. Efficient algorithms for graph manipulation Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 6 / 20

7 Spójne składowe - algorytm Wejście: G = (V, E) Wyjście: Spójne składowe grafu G Algorytmy DFS oraz BFS wyznaczaja spójne składowe grafu G 1. 1 J. Hopcroft, R. Tarjan. Efficient algorithms for graph manipulation Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 6 / 20

8 Spójne składowe - algorytm Wejście: G = (V, E) Wyjście: Spójne składowe grafu G Algorytmy DFS oraz BFS wyznaczaja spójne składowe grafu G 1. Złożoność: O((m + n). 1 J. Hopcroft, R. Tarjan. Efficient algorithms for graph manipulation Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 6 / 20

9 Spójne składowe - algorytm DFS Require: Graf (V, E), tablica visited o rozmiarze V = n Algorytm DFS: 1: for all i := 1 to n do 2: visited[i] := 0; 3: end for 4: for all i := 1 to n do 5: if visited[i] = 0 then 6: visit(i, visited); 7: end if 8: end for Require: Graf (V, E), tablica visited o rozmiarze V = n Algorytm visit(i,visited): 1: print(i); 2: visited[i] := 1; 3: for each neighbor j of i do 4: if visited[j] = 0 then 5: visit(j); 6: end if 7: end for Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 7 / 20

10 Implementacja void Graph::dfs_rek(int a) { bool* visited = new (nothrow) bool[this->n]; for (int k = 0; k < this->n; ++k) visited[k] = false; for (int k = a; k < this->n; ++k) { if (visited[k] == false) this->visit(k,visited); delete[] visited; void Graph::visit(int a, bool* visited) { displayvertex(a); visited[a] = true; int c = this->getunvisitedvertex(a, visited); while (c!= -1){ if (visited [c] == false) visit(c,visited); c = this->getunvisitedvertex(a, visited); Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 8 / 20

11 Wykonanie Krawedzie grafu: A-B A-C B-A B-D C-A C-D D-B D-C DFS - odwiedzone wierzcholki: ABDC DFS rekurencyjny - odwiedzone wierzcholki: ABDC BFS - odwiedzone wierzcholki: ABCD Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 9 / 20

12 Spójne składowe Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 10 / 20

13 Sortowanie Topologiczne - sformułowanie problemu Wejście: Acykliczny graf skierowany G = (V, E). Wyjście: Liniowy porzadek wierzchołków z V taki, że jeśli graf G zawiera krawędź (u, v), to w tym porzadku wierzchołek u występuje przed wierzchołkiem v. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 11 / 20

14 Sortowanie topologicznie - przykład Wierzchołki w każdym grafie acyklicznym skierowanym można posortować topologicznie na jeden lub więcej sposobów 7,5,3,11,8,2,9,10 7,5,11,2,3,10,8,9 3,7,8,5,11,10,9,2 5,7,11,2,3,8,9, Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 12 / 20

15 Sortowanie Topologiczne - algorytm bazujacy na DFS Wykonaj TopologicalDFS na wejściowym acyklicznym grafie skierowanym G = (V, E). Wypisz wierzchołki w porzadku malejacym ze względu na ich czas końcowy - umieszczony w tablicy final. Złożoność: O( V + E ) Wejście: Graf G, tablice visited oraz final o rozmiarze V = n Algorytm TopologicalDFS: 1: t := 0 2: for all i := 1 to n do 3: visited[i] := 0; final[i] := 0 4: end for 5: for all i := 1 to n do 6: if visited[i] = 0 then 7: visit(i, t, visited, final); 8: end if 9: end for Algorytm visit(i,t,visited,final): 1: visited[i] := 1; 2: for each outgoing edge j of i do 3: if visited[j] = 0 then 4: visit(j, t, visited, final); 5: end if 6: end for 7: t = t + 1; 8: final[i] = t; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 13 / 20

16 Sortowanie Topologiczne - przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 14 / 20

17 Implementacja Aby na postawie implementacji z poprzedniego wykładu wykonać implementację grafu skierowanego, wystarczy zmienić metodę addedge na następujac a void Graph::addEdge(int a, int b) { if (a >= 0 && a < this->n && b >= 0 && b < this->n) this->adj[a][b] = true; else { cout << "Niepoprawne dane\n\n"; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 15 / 20

18 Implementacja void Graph::topological_visit(int a, int & t, bool* visited, int* fin) { visited[a] = true; int c = this->getunvisitedvertex(a, visited); while (c!= -1){ if (visited [c] == false) topological_visit(c,t,visited,fin); c = this->getunvisitedvertex(a, visited); t++; fin[a] = t; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 16 / 20

19 Implementacja void Graph::topological_dfs() { bool* visited = new (nothrow) bool[this->n]; int* fin = new (nothrow) int[this->n]; int t = 0; for (int k = 0; k < this->n; ++k) { visited[k] = false; fin[k] = 0; for (int k = 0; k < this->n; ++k) { if (visited[k] == false) this->topological_visit(k,t,visited,fin); delete[] visited; for (int k = 0; k < this->n; ++k){ int idx = max(fin,this->n); displayvertex(idx); fin[idx] = -1; delete[] fin; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 17 / 20

20 Sortowanie topologiczne - Algorytm 2 Metoda usuwania wierzchołków o stopniu wejściowym równym zero Wykorzystywana własność: jeśli graf jest acyklicznym grafem skierowanym, to posiada przynajmniej jeden wierzchołek o stopniu wejściowym równym zero. Idea: Dopóki graf posiada wierzchołki o stopniu wejściowym zero, znajdujemy taki wierzchołek, usuwamy go z grafu wraz ze wszystkimi wychodzacymi z niego krawędziami i umieszczamy go na liście wierzchołków posortowanych topologicznie. Jeśli w grafie pozostana jakieś wierzchołki, to graf posiada cykle i sortowania topologicznego nie można wykonać. Złożoność: O( V + E ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 18 / 20

21 Sortowanie topologiczne - Algorytm 2 Algorytm: G = (V, E) 1: Q - Zbiór wszystkich wierzchoków bez krawędzi wchodzacych; 2: while Q! = do 3: Usuń wierzchołek n z Q. 4: Wypisz n. 5: for all m V takiego, że (n, m) E do 6: E = E \ (n, m) 7: if m nie ma już więcej krawędzi wchodzacych then 8: Wstaw m do Q. 9: end if 10: end for 11: end while 12: if E! = then 13: Graf G ma cykl. 14: end if Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 19 / 20

22 Sortowanie topologiczne - Algorytm 2, przykład Usuwamy Usuwamy Usuwamy 3 5 Usuwamy 4 5 Usuwamy 5 Sortowanie topologiczne: 1, 2, 3, 4, 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 20 / 20