zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w
|
|
- Milena Michałowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. Jeżeli wszystkie zmienne musza przyjmować wartości 0 lub 1, to zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w każdym takim zadaniu występuja ograniczenia postaci 0 apple x i apple 1ix i całkowite dla każdej zmiennej x i, co krótko oznaczamy jako x i 2{0, 1}.
2 Problem rozkroju Sformułowanie problemu Zastosowania Tartak posiada standardowe deski o szerokości 10 cali. Otrzymał zamówienie na 90 desek o szerokości 4 cale, 175 desek o szerokości 3 cale i 120 desek o szerokości 2 cali. Tartak chce wyznaczyć taki plan realizacji zamówienia, który zminimalizuje łaczny odpad wyrażony w calach. Możliwe sposoby cięcia deski 10 calowej podane sa w poniższej tabeli: Sposób deski 4-calowe deski 3-calowe deski 2-calowe Odpad
3 Problem rozkroju Sformułowanie problemu Zastosowania 1 Zmienne decyzyjne: x i - liczba standardowych desek ciętych i-tym sposobem y 1, y 2, y 3 - liczba desek 4, 3 i 2-calowych wyprodukowanych ponad zamówienie 2 Funkcja celu: 3 Ograniczenia: min z = Całkowity odpad= x 3 + x 5 + x 7 + 4y 1 + 3y 2 + 2y 3 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 y 1 = 90 [deski 4-calowe] 2x 2 + x 3 + 3x 5 + 2x 6 + x 7 y 2 = 175 [deski 3-calowe] x 1 + x 3 + 3x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 5x 8 y 3 = 120 [deski 2-calowe] x 1,...,x 8, y 1, y 2, y 3 0 i całkowite. Optymalne rozwiazanie: x 1 = 24, x 2 = 42, x 6 = 45, x 7 = 2, y 2 = 1i całkowity odpad wynosi 5 cali.
4 Sformułowanie problemu Zastosowania Planowanie komunikacji miejskiej [Taha 2008] Progress City planuje usprawnienie komunikacji miejskiej. Przeprowadzono badania, z których wynika że minimalna liczba potrzebnych autobusów zmienia się w ciagu dnia. W kolejnych, 4-godzinnych oknach czasowych, jest ona pokazana na poniższym rysunku. Każdy autobus rozpoczyna pracę na poczatku czterogodzinnego okna czasowego i pracuje bez przerwy przez kolejne 8 godzin. Celem jest wyznaczenie minimalnej liczby autobusów, które spełnia zapotrzebowanie komunikacyjne mieszkańców.
5 Sformułowanie problemu Zastosowania Planowanie komunikacji miejskiej [Taha 2008] 1 Zmienne decyzyjne: x i - liczba autobusów zaczynajacych pracę o 00:01, 4:01, 8:01, 12:01, 16:01, 20:01. 2 Funkcja celu: 3 Ograniczenia: min z = Liczba autobusów= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 x 1 + x 6 4 [0:01-4:00] x 1 + x 2 8 [4:01-8:00] x 2 + x 3 10 [8:01-12:00] x 3 + x 4 7 [12:01-16:00] x 4 + x 5 12 [16:01-20:00] x 5 + x 6 4 [20:01-24:00] x 1,...,x 6 0 i całkowite. Optymalne rozwiazanie: x 1 = 4, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 4, x 6 = 0i minimalna liczba autobusów wynosi 26.
6 Problem plecakowy Sformułowanie problemu Zastosowania Jan zamierza wybrać się na wycieczkę. Rozważa zapakowanie do plecaka siedmiu przedmiotów. Każdy z nich ma określona wagę i wartość. Niestety pojemność plecaka Jana jest ograniczona i można do niego załadować przedmioty o wadze nie większej niż 15. Które przedmioty Jan powinien zabrać? Przedmiot Waga Wartość
7 Problem plecakowy Sformułowanie problemu Zastosowania 1 Zmienne decyzyjne: 1 jeżeli przedmiot i jest zabrany x i =, i = 1,...,7. 0 w przeciwnym wypadku 2 Funkcja celu: max z = Wartość= 8x 1 + 3x x 3 + x 4 + 9x x 6 + 2x 7 3 Ograniczenia: 5x 1 + 2x 2 + 7x 3 + x 4 + 6x 5 + 8x 6 + 2x 7 apple 15 x i 2{0, 1}, i = 1,...,7. [Poj. plecaka] Optymalne rozwiazanie: x 1 = 1, x 2 = 1, x 6 = 1, czyli Jan powinien zabrać przedmioty 1, 2 i 6. Wartość plecaka wyniesie wówczas 22.
8 Problem lokalizacji Sformułowanie problemu Zastosowania W pewnym regionie znajduje się pięć miast. Władze regionu chca wybudować w miastach posterunki straży pożarnej tak aby czas dojazdu straży pożarnej do każdego miasta nie przekraczał 15 minut. Czasy przejazdu między miastami (w minutach) sa podane w poniższej tabeli. Miasto 1 Miasto 2 Miasto 3 Miasto 4 Miasto 5 Miasto 6 Miasto Miasto Miasto Miasto Miasto Miasto 6 0 W których miastach należy wybudować posterunki straży pożarnej aby liczba tych posterunków była najmniejsza?
9 Problem lokalizacji Sformułowanie problemu Zastosowania 1 Zmienne decyzyjne: 1 jeżeli P.S. jest zbudowany w mieście i x i = 0 w przeciwnym wypadku 2 Funkcja celu:, i = 1,...,6. 3 Ograniczenia: min z = Liczba posterunków= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 x 1 + x 2 1 [Miasto 1] x 1 + x 2 + x 6 1 [Miasto 2] x 3 + x 4 1 [Miasto 3] x 3 + x 4 + x 5 1 [Miasto 4] x 4 + x 5 + x 6 1 [Miasto 5] x 2 + x 5 + x 6 1 [Miasto 6] x i 2{0, 1}, i = 1,...,6. Optymalne rozwiazanie: x 2 = 1, x 4 = 1, czyli należy wybudować posterunki w miastach 2 i 4.
10 Warunki logiczne Sformułowanie problemu Zastosowania Rozpatrzmy ponownie problem plecakowy (Slajd 6) i załóżmy, że Jan ma następujace dodatkowe wymagania: 1 Chce zabrać przedmiot 1 lub 5: x 1 + x 5 1 [1 _ 5] 2 Nie chce zabrać jednocześnie przedmiotów 1 i 6: x 1 + x 6 apple 1 [ (1 ^ 6)] 3 Jeżeli zabierze przedmiot 3, to chce również zabrać przedmiot 4: x 3 apple x 4 [3 ) 4] 4 Chce zabrać albo przedmiot 5 albo przedmiot 6 (ale nie oba): x 5 + x 6 = 1 [5 6] Ponieważ x i 2{0, 1}, więc możemy identyfikować 1 z prawda a 0 z fałszem.
11 Sformułowanie problemu Zastosowania Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Firma DA wytwarza trzy typy samochodów: kompaktowe, średnie i duże. Wymagane zasoby oraz zyski jednostkowe ze sprzedaży sa podane w poniższej tabeli: Kompaktowy Średni Duży Wymagana stal (t./jedn.) Nakład pracy (godz./jedn.) Zysk ($/jedn.) Dostępnych jest 6000 ton stali i godzin pracy. Firma DA chce zmaksymalizować zysk. Model jest następujacy: max z = 2000x x x 3 1.5x 1 + 3x 2 + 5x 3 apple 6000 [Stal] 30x x x 3 apple [Praca] x 1, x 2, x 3 0 i całkowite
12 Sformułowanie problemu Zastosowania Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Jeżeli DA uruchomi produkcję samochodów kompaktowych, to co najmniej 1000 sztuk tych samochodów musi być produkowanych. Ograniczenie jest następujace: x 1 > 0 ) x lub równoważnie: x 1 apple 0 lub x Modelujemy to w następujacy sposób: x 1 apple My x 1 apple M(1 y 1 ) gdzie y 1 2{0, 1} i M jest duża stała (nie jest zmienna!).
13 Sformułowanie problemu Zastosowania Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Jeżeli liczba produkowanych dużych samochodów jest większa niż 500, to produkcja średnich samochodów musi być niewiększa niż 100 Ograniczenie jest następujace: x 3 > 500 ) x 2 apple 100. lub równoważnie: x 1 apple 500 lub x 2 apple 100 (x apple 0 lub x apple 0) Modelujemy to w następujacy sposób: gdzie M duża stała a y 2 2{0, 1} x apple My 2 x apple M(1 y 2 )
14 Sformułowanie problemu Zastosowania Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje W ogólnym przypadku chcemy zamodelować alternatywę ograniczeń: f (x 1,...,x n) apple 0 _ g(x 1,...,x n) apple 0 Chcemy zapewnić, żeby przynajmniej jedno z dwóch ograniczeń było spełnione. Wprowadzamy dodatkowa zmienna binarna y 2{0, 1} i dodajemy do modelu następujace ograniczenia: f (x 1,...,x n) apple My g(x 1,...,x n) apple M(1 y) (1) gdzie M jest dostatecznie duża liczba taka, że warunki f (x 1,...,x n) apple M i g(x 1,...,x n) apple M sa prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych.
15 Sformułowanie problemu Zastosowania Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Implikację f (x 1,...,x n) > 0 ) g(x 1,...,x n) apple 0. zastępujemy równoważnym logicznie warunkiem: f (x 1,...,x n) apple 0 _ g(x 1,...,x n) apple 0. Implikację f (x 1,...,x n) > 0 ) g(x 1,...,x n) 0 zastępujemy równoważnym logicznie warunkiem: f (x 1,...,x n) apple 0 _ g(x 1,...,x n) apple 0,
16 Sformułowanie problemu Zastosowania Zastosowanie - problem Job Shop Zadany jest zbiór prac J = {J 1, J 2,...,J n }. Każda praca J i składa się z operacji O i1, O i2,...o ini, które musza być wykonywane w kolejności: O i1! O i2!!o ini Każda operacja O ij musi być wykonywana na zadanej maszynie ze zbioru maszyn {M 1,...,M m } i czas jej wykonania wynosi p ij. Należy wyznaczyć harmonogram o najkrótszym czasie wykonania wszystkich prac.
17 Przykład Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Sformułowanie problemu Zastosowania Operacja Czas trwania Maszyna O 11 3 M 1 O 12 2 M 2 O 13 2 M 3 O 21 2 M 2 O 22 1 M 1 O 31 4 M 1 O 32 2 M 2 O 33 3 M 3 M1 M2 M3 O 11 O 21 O 31 O22 O 12 O 32 O 13 O 33 Przykładowy harmonogram o długości 12.
18 Model dla problemu Job Shop Sformułowanie problemu Zastosowania 1 Zmienne decyzyjne 2 Funkcja celu S ij - czas rozpoczęcie operacji O ij na odpowiedniej maszynie. min z = C 3 Ograniczenia S ij S ij 1 + p ij 1 dla każdej operacji O ij, j > 1. S ij S kl + p kl _ S kl S ij + p ij dla każdej pary operacji O ij, O kl wykonywanych na tej samej maszynie C S ij + p ij dla każdej operacji O ij Model liniowy otrzymujemy przekształcajac ograniczenia dyzjunkcyjne.
19 Sformułowanie problemu Zastosowania Modelowanie iloczynu zmiennych 0-1 Fabryka rozważa 5 miejsc w celu lokalizacji nowych magazynów. W miejscach tych można wybudować magazyny o pojemnościach odpowiednio 120, 200, 180, 150 i 300. Odległości pomiędzy każda para miejsc sa podane w poniższej tabeli: Fabryka chce zbudować 3 magazyny o maksymalnej sumarycznej pojemności. Magazyny powinny być tak ulokowane aby odległość pomiędzy każda para magazynów była niewiększa niż 10.
20 Sformułowanie problemu Zastosowania Modelowanie iloczynu zmiennych Zmienne decyzyjne: 1 jeżeli magazyn jest w miejscu i x i = 0 w przeciwnym wypadku 2 Funkcja celu:, i = 1,...,5. 3 Ograniczenia: max z = Pojemność = 120x x x x x 5 12x 1 x 2 apple 10 [Odległość między 1 i 2] 3x 1 x 3 apple 10 [Odległość między 1 i 3]... x i 2{0, 1}, i = 1,...,5. Ograniczenia nie sa liniowe!
21 Sformułowanie problemu Zastosowania Modelowanie iloczynu zmiennych 0-1 Ograniczenie 12x 1 x 2 apple 10 nie jest liniowe. Zmieniamy je na liniowe wprowadzajac zmienna y 12 2{0, 1} i zastępujac ograniczeniami: 12y 12 apple 10 y 12 apple x 1 y 12 apple x 2 y 12 x 1 + x 2 1
22 Maksymalny przekrój Sformułowanie problemu Zastosowania Zadany jest graf G =(V, A). Wyznacz podział zbioru wierzchołków V na dwa zbiory V 1 i V 2 tak aby liczba krawędzi prowadzacych z V 1 do V 2 była maksymalna.
23 Maksymalny przekrój Sformułowanie problemu Zastosowania 1 Zmienne decyzyjne: 1 jeżeli i 2 V1 x i =, i = 1,..., V. 0 jeżeli i 2 V 2 2 Funkcja celu: min z = 3 Ograniczenia: X {i,j}2e (x i x j ) 2 x i 2{0, 1}, i = 1,..., V. Cel przekształcamy korzystajac z faktu, że dla zmiennych binarnych zachodzi: (x i x j ) 2 = xi 2 2x i x j + xj 2 = x i 2x i x j + x j i stosujemy metodę dla iloczynu zmiennych binarnych.
24 Algorytm płaszczyzn odcinajacych [Algorytm 1.] Usuń warunki całkowitoliczbowości. Rozwiaż model algorytmem sympleksowym i zaokraglij wyniki do najbliższej liczby całkowitej. 3 x max z = 21x1 + 12x2 7x1 + 4x2 < 13 x1, x2 > 0, integer x 1 Optymalnym rozwiazaniem jest (13/7, 0). Zaokraglaj ac do (1, 0) otrzymujemy rozwiazanie nieoptymalne. Zaokraglaj ac do (2, 0) otrzymujemy rozwiazanie niedopuszczalne.
25 Algorytm płaszczyzn odcinajacych [Algorytm 2.] Wygeneruj wszystkie rozwiazania dopuszczalne i wybierz najlepsze z nich. Problem plecakowy ze zmiennymi binarnymi x 1,...,x n posiada nie więcej niż 2 n dopuszczalnych rozwiazań. Przypuśćmy, że jedno rozwiazanie można sprawdzić w czasie 10 6 sekundy. Jak długo potrwaja obliczenia? n n s s lat lat
26 Algorytm płaszczyzn odcinajacych Zadanie programowania liniowego całkowitoliczbowego jest dużo trudniejsze do rozwiazania niż zwykłe zadanie programowania liniowego. Do chwili obecnej nie jest znany szybki algorytm dla tej klasy problemów i uważa się, że taki algorytm nie istnieje. Do rozwiazania zadania programowania liniowego całkowitoliczbowego powszechnie stosuje się algorytm podziału i ograniczeń, który można traktować jako znacznie ulepszona wersję metody pełnego przegladu.
27 Liniowa relaksacja Algorytm płaszczyzn odcinajacych Jeżeli usuniemy ograniczenia na całkowitość zmiennych w problemie P, to otrzymamy zadanie programowania liniowego, które nazywamy relaksacja P. Dla problemu maksymalizacji, optymalna wartość funkcji celu relaksacji jest górnym ograniczeniem na wartość funkcji celu optymalnego rozwiazania P. 3 x P: max z = 21x x2 7x 1 + 4x 2 < 13 x1, x2 > 0, integer relaxation of P: max z = 21x1 + 12x2 7x 1 + 4x 2 < 13 x1, x2 > x 1 Optymalnym rozwiazaniem P jest (0, 3), z = 36. Optymalnym rozwiazaniem relaksacji P jest (13/7, 0), z R = 39.
28 Algorytm płaszczyzn odcinajacych max z = 8x 1 + 5x 2 6x x 2 apple 45 9x 1 + 5x 2 apple 45 x 1, x 2 0, x 1, x 2 całkowite b (3.75,2.25) a Rozwiazuj ac relaksację otrzymujemy x 1 = 3.75, x 2 = 2.25, zr =
29 Algorytm płaszczyzn odcinajacych x 1 apple 3 0 x 1 1 = 3, x 2 = zr = 37.5 x 1 = 3.75, x 2 = 2.25 zr = x 1 4 x 1 = 4, x 2 = 1.8 z R = (3,2.7) (4,1.8) 5 Wartość zmiennej x 1 = 3.75 nie jest całkowita. Rozpatrujemy dwa podproblemy 1 i 2 dodajac odpowiednio ograniczenia x 1 apple 3ix 1 4.
30 Algorytm płaszczyzn odcinajacych x 1 apple 3 0 x 1 = 3.75, x 2 = 2.25 z R = x 1 4 x x 1 = 4, x 2 = = 3, x 2 = z zr R = 37.5 = 41 x 2 apple 1 x 2 2 x 3 1 = 4.44, x 2 = 1 4 zr = sprzeczny W podproblemie 2 wartość zmiennej x 2 = 1.8 nie jest całkowita. Rozpatrujemy dwa kolejne podproblemy 3 i 4 dodajac odpowiednio ograniczenia x 2 apple 1 i x 2 2. Podproblem 4 jest sprzeczny, dlatego wierzchołek odpowiadajacy temu podproblemowi zamykamy.
31 Algorytm płaszczyzn odcinajacych x 1 apple 3 0 x 1 = 3.75, x 2 = 2.25 z R = x 1 4 x x 1 = 4, x 2 = = 3, x 2 = z zr R = 37.5 = 41 x 2 apple 1 x 2 2 x 3 1 = 4.44, x 2 = 1 4 zr = x 1 apple 4 x 1 5 x 5 1 = 4, x 2 = 1 x 6 1 = 5, x 2 = 0 zr = 37 zr = 40 sprzeczny W podproblemie 3 wartość zmiennej x 1 = 4.44 nie jest całkowita. Rozpatrujemy więc kolejne dwa podproblemy 5 i 6 dodajac ograniczenia x 1 apple 4i x 1 5. W obu podproblemach otrzymujemy optymalne rozwiazanie całkowite i zamykamy wierzchołki im odpowiadajace. Zamykamy też wierzchołek 1, ponieważ w problemie odpowiadajacym temu wierzchołkowi zr = 37.5 < 40. Optymalne rozwiazanie: xadam 1 = Kasperski 5, x 2 = 0, z Badania = 40. operacyjne (INS) 2015/2016
32 Algorytm płaszczyzn odcinajacych 1 Algorytm konstruuje binarne drzewo przeszukiwania. W każdym wierzchołku tego drzewa rozwiazywane jest zadanie programowania liniowego. 2 Istnieje kilka metod wyboru kolejnego wierzchołka do podziału. Jedna z najbardziej popularnych jest wybór wierzchołka z największa wartościa zr. 3 Wierzchołek drzewa zamykamy jeżeli: 1 rozwiazanie otrzymane w tym wierzchołku jest całkowitoliczbowe; 2 problem odpowiadajacy temu wierzchołkowi jest sprzeczny; 3 wartość funkcji celu optymalnego rozwiazania w tym wierzchołku jest niewiększa niż wartość funkcji celu dla pewnego znanego rozwiazania dopuszczalnego. 4 Jeżeli wszystkie wierzchołki sa zamknięte, to najlepsze znalezione rozwiazanie całkowitoliczbowe jest optymalne.
33 Algorytm płaszczyzn odcinajacych Mieszany problem liniowy całkowitoliczbowy Jeżeli w zadaniu programowania liniowego tylko niektóre zmienne musza być całkowite, to zadanie takie nazywamy mieszanym zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. max z = 2x 1 + x 2 5x 1 + 2x 2 apple 8 x 1 + x 2 apple 3 x 1, x 2 0, x 1 całkowite
34 Algorytm płaszczyzn odcinajacych Mieszany problem liniowy całkowitoliczbowy x 1 apple 0 0 x 1 = 0, x 2 = 3 zr = 3 x 1 = 2/3, x 2 = 7/3 zr = 11 x x 1 = 1, x 2 = 3/2 z R = 7/2 Przy podziale bierzemy pod uwagę tylko zmienna x 1. Optymalne rozwiazanie wynosi x 1 = 1, x 2 = 3/2.
35 Problem plecakowy Algorytm płaszczyzn odcinajacych Relaksacja: max z = 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 6x 4 + 2x 5 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 2x 5 apple 15, x 1,..,x 5 2{0, 1} max z = 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 6x 4 + 2x 5 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 2x 5 apple 15, 0 apple x i apple 1, i = 1,...,5
36 Problem plecakowy Algorytm płaszczyzn odcinajacych Relaksacja może być efektywnie rozwiazana za pomoca algorytmu zachłannego: i c i w i c i /w i / / Wybieramy przedmioty zgodnie z nieroznac a wartościa c i /w i. Zatem bierzemy całe przedmioty 1, 4, 5 i 2/7 przedmiotu 3. W optymalnym rozwiazaniu relaksacji co najwyżej jedna zmienna jest niecałkowita.
37 Problem plecakowy Algorytm płaszczyzn odcinajacych zr = 14 1 z 2 R = (1, 1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 1, 0) zr = (1, 0, 2, 1, 1) 7 x 3 = 0 x 3 = 1 x 2 = 0 x 2 = 1 x 4 = 0 x 4 = 1 zr = 13 zr = 14 zr = 13 3 z 4 R = (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 0, 1, 0) (1, 1, 1, 0, 1) ( 2, 0, 1, 1, 0) 4 5 W każdym wierzchołku wybieramy zmienna niecałkowita x i i rozpatrujemy dwa przypadki x i = 1 (bierzemy przedmiot i) oraz x i = 0 (nie bierzemy przedmiotu i). Optymalne rozwiazanie znajduje się w wierzchołku 4. Zatem bierzemy przedmioty 1, 2 i 4.
38 Odcięcie Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Algorytm płaszczyzn odcinajacych Odcięciem nazywamy dodatkowe ograniczenie dodane do zadania programowania liniowego, które: 1 sprawia, że bieżace niecałkowite rozwiazanie optymalne staje się niedopuszczalne; 2 nie usuwa żadnego rozwiazania całkowitoliczbowego ze zbioru dopuszczalnych rozwiazań. Idea algorytmu płaszczyzn odcinajacych polega na kolejnym dodawania kolejnych odcięć do modelu, dopóki otrzymane rozwiazanie optymalne nie jest całkowitoliczbowe.
39 Ilustracja algorytmu Algorytm płaszczyzn odcinajacych
40 Generowanie odcięć Algorytm płaszczyzn odcinajacych W optymalnej tablicy sympleksowej wybieramy zmienna bazowa x i, która jest niecałkowita. Oznaczmy prze N zbiór indeksów zmiennych niebazowych. Wówczas z optymalnej tablicy odczytujemy: x i + X aij 0 x j = ˆb i (2) j2n Niech [a] oznacza największa liczbę całkowita, niewiększa niż a. Wówczas: x i + X j2n[a 0 ij ]x j apple ˆb i (3) Każdy wektor całkowitoliczbowy, który spełnia (2) spełnia również (3). Zatem dla rozwiazań całkowitoliczbowych zachodzi x i + X j2n[a 0 ij ]x j apple [ˆb i ] (4) Po zbilansowaniu: x i + X j2n[a 0 ij ]x j + u i =[ˆb i ] (5) Odcięcie otrzymujemy odejmujac (2) od (5).
41 Generowanie odcięć Algorytm płaszczyzn odcinajacych Jeżeli a 0 ij =[a 0 ij]+f ij, ˆb i =[ˆb i ]+g i i g i > 0, to odcięcie ma postać: X f ij x j + u i = j2n g i 1 Wszystkie rozwiazania całkowitoliczbowe wyjściowego modelu spełniaja odcięcie. 2 Bieżace rozwiazanie optymalne nie spełnia odcięcia, ponieważ podsatwiajać x j = 0 dla j 2 N otrzymamy u i = g i < 0. Odcięcie dodajemy do modelu i stosujemy dualny algorytm sympleksowy aby przywrócić dopuszczalność rozwiazania.
42 Przykład Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Algorytm płaszczyzn odcinajacych max z = 5x 1 + 6x 2 10x 1 + 3x 2 apple 52 2x 1 + 3x 2 apple 18 x 1, x 2 0, całk. x 1 x 2 s 1 s z x x Zmienna bazowa x 1 = 17 jest niecałkowita. Zatem generujemy odcięcie na 4 podstawie wiersza tablicy, który odpowiada x 1 : 1 8 s s 2 + u 1 = 1 4
43 Przykład Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Algorytm płaszczyzn odcinajacych Rozwiazujemy problem stosujac dualny algorytm sympleksowy: x 1 x 2 s 1 s 2 u z x x u x 1 x 2 s 1 s 2 u 1 z x x s Zmienna bazowa x 2 = 10 jest niecałkowita. Zatem generujemy odcięcie na podstawie 3 wiersza tablicy, który odpowiada x 2 : 0s u 1 + u 2 = 1 3
44 Przykład Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Algorytm płaszczyzn odcinajacych u 1 x 1 x 2 s 1 s 2 u 1 u 2 z x x s u u x 1 x 2 s 1 s 2 u 1 u 2 z x x s u Rozwiazanie jest całkowitoliczbowe, zatem algorytm kończy pracę. 1 3
45 Przykład Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Algorytm płaszczyzn odcinajacych 1 8 s 1 Podstawiamy s 1 = 52 10x 1 3x 2 i s 2 = 18 2x 1 3x 2. Odcięcie 7 s u 1 = 1 ma postać x x 2 apple 22/3; odcięcie 0s 2 u u 2 = 1 ma 3 postać x 1 + x 2 apple 7.
46 Uwagi końcowe Algorytm płaszczyzn odcinajacych 1 W praktyce algorytm płaszczyzn odcinajacych jest mniej efektywny niż algorytm podziału i ograniczeń. 2 Nowoczesne solvery stosuja metodę podziału i ograniczeń połaczon a z metoda płaszczyzn odcinajacych. Taki zaawansowany algorytm nazywamy algorytmem branch and cut.
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoetody programowania całkowitoliczboweg
etody programowania całkowitoliczboweg Wyróżnia się trzy podejścia do rozwiazywania zagadnień programowania całkowitoliczbowego metody przegladu pośredniego (niebezpośredniego), m.in. metody podziału i
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych.
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowo) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n
PDczęść4 8. Zagadnienia załadunku 8.1 Klasyczne zagadnienia załadunku (ozn. N = {1, 2,..., n} Binarny problem ( (Z v(z =max c j x j : a j x j b; x j binarne (j N zakładamy, że wszystkie dane sa całkowitoliczbowe;
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B),(A, D),(A, C),(B, C),...,} Ścieżki i cykle Ciag wierzchołków
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoFirma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2.
Przykład Elementy analizy wrażliwości Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2. Dla wyrobu 2 czasy te wynosza
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowo1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC
Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt
Metody Optymalizacji Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Wstęp W ogólności optymalizacja związana jest z maksymalizowaniem lub minimalizowaniem pewnej wielkości np. maksymalizacja zysku
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoOptymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)
* ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. IX Jesień 2014 1 / 26 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.
Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE
PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Algorytmy dokładne
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Algorytmy dokładne
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania
METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed
Bardziej szczegółowoPrzykłady problemów optymalizacyjnych
Przykłady problemów optymalizacyjnych NAJKRÓTSZA ŚCIEŻKA W zadanym grafie G = (V, A) wyznacz najkrótsza ścieżkę od wierzchołka s do wierzchołka t. 2 7 5 5 3 9 5 s 8 3 1 t 2 2 5 5 1 5 4 Przykłady problemów
Bardziej szczegółowoWykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ
Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ dr hab. Krzysztof SZKATUŁA, prof. PAN Instytut Badań Systemowych PAN Uniwersytet
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowo[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.
Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoMetody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy zachłanne
Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,
Bardziej szczegółowoPrzykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego
Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoPrzeszukiwanie z nawrotami. Wykład 8. Przeszukiwanie z nawrotami. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279
Wykład 8 J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279 sformułowanie problemu przegląd drzewa poszukiwań przykłady problemów wybrane narzędzia programistyczne J. Cichoń, P. Kobylański
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne egzamin
Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoAdam Kasperski, Michał Kulej, Badania Operacyjne, Wykład 3, Programowanie całkowite(plc)1 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE(DYSKRET- NE)
Adam Kasperski, Michał Kulej, Badania Operacyjne, Wykład 3, Programowanie całkowite(plc)1 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE(DYSKRET- NE) Zadanie programowania liniowego w którym zmienne decyzyjne
Bardziej szczegółowoAlgorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych
Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski PhD Open, listopad 12-13, 2008 - p. 1/45 Plan Wykład I - 2-etapowe algorytmy stochastyczne: Wstęp Wykład II
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowo