Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej:
|
|
- Piotr Michalak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODA SYMPLEKS Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej: max(min)z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x i 0, i = 1,...,n Zbiórograniczeńmożnazapisaćwpostacimacierzowej Ax = b, x 0. Zakładamy, że rz ad macierzy A jest równy m, czyli żadne równanie nie wynika z innych równań. 1
2 Każdy model liniowy można sprowadzić do równoważnej postaci standardowej w następujący sposób: 1.Ograniczeniepostaci a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i zastȩpujemy dwoma ograniczeniami: a i1 x 1 + a i2 x a in x n + s i = b i, s i 0. 2.Ograniczeniepostaci a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i zastȩpujemy dwoma ograniczeniami: a i1 x 1 + a i2 x a in x n s i = b i, s i 0. 3.Jeżelizmienna x i możeprzyjmowaćwartościujemneto wykonujemypodstawienie: x i = u i v i idodajemyograniczenia u i 0, v i 0. 2
3 Przykład 1. Sprowadzić do postaci standardowej problem: max z = 2x 1 + 3x 2 x 3 x 1 2x 2 5 x 2 + 3x 3 3 x 1 + x 2 2x 3 = 20 x 1, x 2 0 Przekształcamyograniczenia1i2orazwykonujemypodstawienie x 3 = u 3 v 3 codajepostaćstandardową: max z = 2x 1 + 3x 2 u 3 + v 3 x 1 2x 2 + s 1 = 5 x 2 + 3u 3 + 3v 3 s 2 = 3 x 1 + x 2 2u 3 + 2v 3 = 20 x 1, x 2, s 1, s 2, u 3, v 3 0 3
4 Definicja 1. Rozpatrzmy układ ograniczeń Ax = b. Wybierzmy dokładnie m zmiennych i nadajmy pozostałym n m zmiennym wartościzerowe.otrzymujemywtensposóbukład mrównańom niewiadomych. Jednoznaczne rozwi azanie tego układu nazywamy rozwi azaniem bazowym. Wybrane zmienne nazywamy zmiennymi bazowymi i oznaczamy przez ZB natomiast pozostałe zmienne(tj. te, którym przypisano wartości 0) nazywamy zmiennymi niebazowymi i oznaczamy przez N B. Uwaga: Wybrane zmienne s a bazowe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj ace im kolumny w macierzy A s a liniowo niezależne. Zbiór tych kolumn nazywamy baz a i oznaczamy przez B. Przez B będziemy również oznaczać macierz utworzoną z tych kolumn. 4
5 Przykład 2. Wyznaczyć kilka rozwi azań bazowych układu ograniczeń: x 1 + x 2 + 2x 4 = 3 2x 1 x 2 x 3 + 4x 4 = 1 Układ ma 4 zmienne i 2 ograniczenia. Wybieramy zmienne bazowe ZB = {x 1, x 2 }.Podstawiamy x 3 = x 4 = 0(NB = {x 3, x 4 }). Otrzymujemy układ: x 1 + x 2 = 3 2x 1 x 2 = 1 Rozwi azuj acukładotrzymujemyrozwi azaniebazowe: x 1 = 4 3, x 2 = 1 2 3, x 3 = 0, x 4 = 0.Baząsąwektorywspółczynnikówmacierzy Aukładurównańprzyzmiennychbazowych x 1, x 2 tj. B =
6 Wybierzmyterazzmienne x 2 i x 3 jakobazowetj. ZB = {x 2, x 3 } podstawiamy x 1 = x 4 = 0(ZN = {x 1, x 4 }).Baząjest B = Otrzymujemy układ: x 2 = 3 x 2 x 3 = 1 Rozwi azuj acukładotrzymujemyrozwi azaniebazowe: x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 4, x 4 = 0. Wybierzmyterazzmienne x 1 i x 4 ipodstawmy x 2 = x 3 = 0. Otrzymujemy układ: x 1 + 2x 4 = 3 2x 1 + 4x 4 = 1 6
7 Układtenjestsprzeczny.Zmienne x 1 i x 4 niemogąbyćzmiennymi bazowymi a macierz B = nie jest bazą(wyznacznik jej jest zerem). 7
8 Definicja 2. Rozwi azanie bazowe nazywamy rozwi azaniem bazowym dopuszczalnym(brd) jeżeli wszystkie zmienne przyjmuj a w nim wartości nieujemne. Zbiór bazowych rozwi azań dopuszczalnych pokrywa siȩ ze zbiorem punktów wierzchołkowych(ekstremalnych) zbioru rozwi azań dopuszczalnych. Dokładniej między zbiorami wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych a bazowymi rozwiązaniami dopuszczalnymi istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne takie, że każdemu wierzchołkowi odpowiada bazowe rozwiązanie dopuszczalne i na odwrót. Definicja 3. Dwa bazowe rozwiązania dopuszczalne nazywamy sąsiednimi jeśli mają m 1 zmiennych bazowych wspólnych. Geometrycznie odpowiadają im wierzchołki sąsiednie zbioru rozwiązań dopuszczalnych. 8
9 Twierdzenie 1(Podstawowe twierdzenie programowania liniowego). Jeżeli problem w postaci standardowej ma rozwiązanie optymalne to ma również rozwiązanie bazowe optymalne. Obserwacja 1. Aby wyznaczyć rozwiązanie optymalne zagadnienia programowania liniowego wystarczy inteligentnie przeglądnąć wierzchołki zbioru rozwiązań dopuszczalnych(lub równoważnie bazowe rozwiązania dopuszczalne) i wybrać wierzchołek w którym funkcja celu przyjmuje wartość maksymalną lub minimalną(dla zagadnienia z minimum) W algorytmie sympleks rozpoczyna się przeglądanie od początkowego BRD i iteracyjnie przechodzi do sąsiedniego bazowego rozwiązania dopuszczalnego. Proces ten kończy się, gdy otrzymamy rozwiązanie optymalne lub stwierdzimy, że nie ma rozwiązania skończonego. 9
10 Idea algorytmu SYMPLEKS: Wyznacz pierwsze BRD Czy aktualne BRD jest optymalne? TAK KONIEC NIE Wyznacz kolejne, niegorsze BRD 10
11 W algorytmie SYMPLEKS należy określić trzy elementy: 1. Wyznaczenie pierwszego BRD. 2. Stwierdzenie czy aktualne BRD jest optymalne(kryterium optymalności). 3. Przejście do kolejnego, sąsiedniego i niegorszego BRD(iteracja sympleksowa) lub stwierdzenie, że zagadnienie nie ma skończonego rozwiązania optymalnego. 11
12 Przykład 3. Rozwi azać problem: 40 x 2 D max z = 4x 1 + 3x 2 x 1 + x x 1 + x 2 60 x 1, x C A B x 1 12
13 Przekształcamy model do postaci standardowej: max z = 4x 1 + 3x 2 s 1 +x 1 +x 2 = 40 s 2 +2x 1 +x 2 = 60 x 1, x 2, s 1, s 2 0 Powyższy model jest w tzw. postaci bazowej- układ ograniczeń jest rozwi azany wzglȩdem bazy składającej się z wektorów macierzy ograniczeństojącychprzyzmiennychbazowych ZB = {s 1, s 2 }(sąto wektoryjednostkowe e 1 = 1 0 ie 2 = 1 0 ),tj. B = PierwszeBRD: s 1 = 40, s 2 = 60, x 1 = 0, x 2 = 0, z = 0.Rozwi azanie to odpowiada wierzchołkowi A.. 13
14 Zapisujemy powyższy model w postaci układu równań(zmienne bazowe nie wystȩpuj a w funkcji celu- układ jest rozwi azany wzglȩdem s 1, s 2 i z): z 4x 1 3x 2 = 0 s 1 +x 1 +x 2 = 40 s 2 +2x 1 +x 2 = 60 x 1, x 2, s 1, s 2 0 (1) Zapis układu równań w postaci tablicy sympleksowej: s 1 s 2 x 1 x 2 0 s s z
15 Ostatni wiersz zawiera współczyniki optymalności poszczególnych zmiennych.zmienna x 1 maujemnywspółczynnikoptymlności. Wprowadzaj ac t a zmienn a do bazy(czyli nadaj ac jej wartość wieȩksz a od 0) możemy powiȩkszyć wartość funkcji celu z. Jak a maksymaln awartośćmożeprzyj aćzmienna x 1?Zpierwszego ograniczeniaotrzymujemymaksymaln awartośćx 1 = 40/1 = 40az drugiego x 1 = 60/2 = 30.Wybieramywiȩcmniejsz awartość30co oznaczażebazȩopuszcza(zostajewyzerowana)zmienna s 2. s 1 s 2 x 1 x 2 0 s /1 = 10 0 s /2 = 30 z Wykonujemy eliminacjȩ Gaussa wzglȩdem elementu 2 czyli 15
16 rozwi azujemy układ(1) wzglȩdem nowych zmiennych bazowych {s 1, x 1 }(czylinowejbazy B = 1 0 ). Wykonujemy 1 2 przekształcenia elementarne na wierszach układu(1): 1. Dzielimy trzeci wiersz przez 2. z 4x 1 3x 2 = 0 s 1 +x 1 +x 2 = s 2 +x x 2 = Od drugiego wiersza odejmujemy trzeci wiersz podzielony przez 2. z 4x 1 3x 2 = 0 s s x 2 = s 2 +x x 2 = 30 16
17 3. Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci wiersz pomnożony przez 2. z +2s 2 1x 2 = 120 s 1 0.5s x 2 = s 2 +x x 2 = 30 Obliczenia te wygodnie jest wykonywać bezpośrednio na tablicy sympleksowej. Otrzymujemy drug a tablicȩ: s 1 s 2 x 1 x 2 0 s x z OdczytujemyBRD: s 1 = 10, x 1 = 30, s 2 = 0, x 2 = 0owartościu funkcji celu z = 120. Rozwi azanie to odpowiada wierzchołkowi B. 17
18 Rozwiązanietoniejestoptymalneponieważzmienna x 2 maujemny współczynnik optymalności. s 1 s 2 x 1 x 2 0 s /0.5 = 20 4 x /0.5 = 60 z Dozbioruzmiennychbazowychwchodzizmienna x 2 aztegozbioru wychodzizmienna s 1.WykonujemyeliminacjȩGaussawzglȩdem 18
19 elementu 0.5 (teraz już bezpośrednio na tablicy sympleksowej). s 1 s 2 x 1 x 2 3 x x z OdczytujemyBRD: x 2 = 20, x 1 = 20, s 1 = 0, s 2 = 0iwartościu funkcjicelu z = 140.Ponieważwszystkiewspóĺczynnikioptymalności s a nieujemne to rowi azanie to jest optymalne. Rozwi azanie to odpowiada wierzchołkowi C. 19
20 Przykład 4. Nieograniczona funkcja celu. max z = 2x 1 + x 2 + x 3 s 1 +3x 1 x 2 = 60 s 2 +x 1 2x 2 + 2x 3 = 10 x 1, x 2, x 3, s 1, s 2 0 Tablica sympleksowa ma nastȩpuj ac a postać: s 1 s 2 x 1 x 2 x 3 0 s s z Zmienna x 2 maujemnywspółczynnikoptymalności.wchodziwiȩcdo bazy.jak amaksymaln awartośćmożeprzyj ać x 2?Zpierwszego 20
21 ograniczeniawynikaże x 2 możebyćdowolnieduże.podobniez drugiegoograniczenia.wartośćzmiennej x 2 (ijednocześniefunkcji celu) może być dowolnie duża. Uwaga: Jeżeli dla pewnej zmiennej wskaźnik optymalności jest ujemy i wszystkie współczynniki dla tej zmiennej s a niedodatnie to funkcja celu jest nieograniczona. 21
22 ALGORYTM SYMPLEKS 1. Na wejściu podajemy model w postaci bazowej: max(min)z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n x 1 +a 1m+1 x m a 1n x n = b 1 x 2 +a 2m+1 x m a 2n x n = b 2... x m x i 0, i = 1,...,n +a 2m+1 x m a 2n x n = b m gdziezmienne x 1,...,x m s abazoweib i 0, i = 1,...m. 22
23 2. Konstuujemy pocz atkow a tablicȩ sympleksow a: x 1 x 2... x m x m+1... x n c 1 x a 1m+1... a 1n b 1 c 2 x a 2m+1... a 2n b , c m x m a mm+1... a mn b m z c m+1... c n b 0 gdzie: c k = m c i a ik c k, k = 1,...,n (2) i=1 m b 0 = c i b i (3) i=1 23
24 3.Jeżeliwszystkiewskaźnikioptymalności c 1,...,c n s anieujemne to KONIEC- aktualna baza jest optymalna. W przeciwnym wypadku przejdź do Jeżeli dla pewnej zmiennej wskaźnik optymalności jest ujemny i wszystkie współczynniki w kolumnie odpowiadaj acej tej zmiennej s a niedodatnie to KONIEC- funkcja celu jest nieograniczona. W przeciwnym wypadku przejdź do 5. 5.Wybierzzmienn azujemnymwskaźnikiemoptymalnościnp: x p. Zmiennatawchodzidobazy.Znajdźzmienn abazow a x r tak aże: { } b r bi = min a rp a ip >0 Zmienna x r wychodzizbazy. 6.WykonajeliminacjȩGaussawzglȩdemelementu a rp.wróćdo3. a ip 24
25 Przykład. Rozwi azać algorytmem SYMPLEKS nastȩpuj acy problem: max z = 2x 1 + x 2 + x 3 3x 1 + x 2 + x 3 60 x 1 x 2 + 2x 3 10 x 1 + x 2 x 3 20 x 1, x 2, x 3 0 Przekształcamy do postaci standardowej i bazowej: max z = 2x 1 + x 2 + x 3 s 1 +3x 1 + x 2 + x 3 = 60 s 2 +x 1 x 2 + 2x 3 = 10 s 3 +x 1 + x 2 x 3 = 20 x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s
26 Konstruujemy pierwsz a tablicȩ sympleksow a. s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s s s z Uwaga: Współczynniki optymalności wygodnie jest obliczać za pomoc awzoru(2).naprzykładdlazmiennej x 1 otrzymujemy: = 2. 26
27 s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s /3 = 20 0 s /1 = 10 0 s /1 = 20 z Wykonujemy eliminacjȩ Gaussa wzglȩdem 1: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s x s z
28 Poprawność obliczeń można sprawdzić korzystaj ac ze wzoru(2). Na przykładwspółczynnikoptymalnościdla x 2 obliczamy: ( 1) = 3.Wartośćfunkcjicelu(z)sprawdzamy obliczaj ac: = 20.Kolejneiteracjewygl adaj a nastcepuj aco: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s /4 = x s /2 = 5 z
29 s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s /1 = 10 2 x /0.5 = 30 1 x z s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 1 x x /1 = 10 1 x z
30 s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 1 x s x z Ostatnia tablica jest optymalna. Optymalne rozwi azanie odczytujemy: x 3 = 20, s 2 = 10, x 2 = 40, x 1 = 0, s 1 = 0, s 2 = 0. Maksymalna wartość funkcj celu z =
31 Alternatywne rozwi azania optymalne. Jeżeli w końcowej tablicy sympleksowej współczynnik optymalności dla pewnej zmiennej niebazowej wynosi 0 to istnieją alternatywne rozwi azania optymalne. Przykład 5. Rozpatrzmy ostatnią tablicȩ z przykładu 4. Zmienna niebazowa s 3 mazerowywspółczynnikoptymalności.wprowadzamy tę zmienną do bazy wykonując jedną iterację sympleksową: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 1 x s /1.5 = x /0.5 = 80 z
32 s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x x s x z Otrzymujemyalternatywnerozwi azanieoptymalne: x 3 = , s 3 = 6 2 3, x 2 = , x 1 = 0, s 1 = 0, s 2 = 0.Wartośćfunkcjicelu z = 60. Uwaga: Problem posiada nieskończenie wiele rozwi azań optymalnych 32
33 postaci: x 1 = 0 x 2 = t + 40(1 t) x 3 = t + 20(1 t) t [0, 1] 33
34 Algorytm SYMPLEKS dla problemu minimalizacji różni siȩ tylko tym, że do bazy wchodzi zmienna z dodatnim współczynnikiem optymalności. Przykład 6. Rozwi azać problem. minz = 3x 1 + x 2 3x 1 + x 2 6 x 1 + 2x 2 1 x 1, x
35 Sprowadzamy do postaci standardowej i bazowej: minz = 3x 1 + x 2 s 1 +3x 1 + x 2 = 6 s 2 x 1 + 2x 2 = 1 x 1, x 2 0 s 1 s 2 x 1 x 2 0 s /3 = 2 0 s z
36 s 1 s 2 x 1 x 2 3 x 1 1/ /3 2 0 s 2 1/ /3 3 z Tablica ta jest optymalna(wszystkie współczynniki optymalności s a niedodatnie).optymalnerozwi azanie: x 1 = 2, x 2 = 0, s 1 = 0, s 2 = 3. Minimalna wartość funkcji celu z = 6. 36
37 Metoda sztucznej bazy: M-metoda Przykład. Rozwi azać problem: max z = 2x 1 + x 2 3x 3 x 1 + x 2 + x 3 6 2x 1 + x 2 = 14 x 1, x 2, x 3 0 Sprowadzamy do postaci standardowej: max z = 2x 1 + x 2 3x 3 x 1 + x 2 + x 3 s 1 = 6 2x 1 + x 2 = 14 x 1, x 2, x 3, s
38 Układniejestwpostacibazowej-niemożnawiȩcrozpocz ać algorytmu sympleks. Sprowadzamy układ do postaci bazowej dodaj ac sztucznezmiennebazowe a 1 i a 2.Dofunkcjiceludodajemyskładniki Ma 1 i Ma 2,gdzie Mjestjak aśbardzoduż aliczb a.robimytoaby zmienne sztuczne nie wyst apiły w rozwi azaniu(zostały wyzerowane). max z = 2x 1 + x 2 3x 3 Ma 1 Ma 2 a 1 +x 1 + x 2 + x 3 s 1 = 6 a 2 +2x 1 + x 2 = 14 x 1, x 2, x 3, s 1, a 1, a 2 0 Konstruujemy pierwsz a tabliȩ sympleksow a(współczynniki 38
39 optymalności obliczamy za pomoc a wzoru(2)). a 1 a 2 x 1 x 2 x 3 s 1 M a /1 = 6 M a /2 = 7 z 0 0 3M 2 2M 1 M + 3 M 20M a 1 a 2 x 1 x 2 x 3 s 1 2 x M a /2 = 1 z 3M M + 1 2M 1 2M 2 2M
40 a 1 a 2 x 1 x 2 x 3 s 1 2 x s z M M Ostatniatablicajestoptymalna.Optymalnerozwi azanie: x 1 = 7, s 1 = 1, x 2 = x 3 = 0.Wartośćfunkcjicelu z = 14. Uwagi: 1. Dla problemu minimalizacji do funkcji celu dodajemy składniki +Ma 1, +Ma Jeżeli w końcowej(optymalnej) tablicy sympleksowej któraś ze zmiennychsztucznych a 1, a 2,...jestbazowaododatniej wartości, to wyjściowy model jest sprzeczny. 40
41 Przykład. Rozwi azać problem: max z = 2x 1 + 2x 2 6x 1 + 4x 2 24 x 1 5 x 1, x 2 0 Postać standardowa: max z = 2x 1 + 2x 2 6x 1 + 4x 2 + s 1 = 24 x 1 s 2 = 5 x 1, x 2, s 1, s
42 Stosujemy M-metodȩ: max z = 2x 1 + 2x 2 Ma 1 Ma 2 a 1 +6x 1 + 4x 2 + s 1 = 24 a 2 +x 1 s 2 = 5 x 1, x 2, s 1, s 2 0 a 1 a 2 x 1 x 2 s 1 s 2 M a /6 = 4 M a /1 = 5 z 0 0 7M 2 4M 2 M M 29M 42
43 a 1 a 2 x 1 x 2 s 1 s x M a z 7 6 M M M M 5M + 8 Tablica ta jest optymalna(wszystkie współczynniki optymalności s anieujemne).zmiennasztuczna a 2 jestbazowaododatniej wartości czyli model wyjściowy jest sprzeczny. 43
44 Elementy analizy wrażliwości. Przykład. Rozpatrzmy problem z pierwszego wykładu(zapisany w postaci bazowej): max z = 3x 1 + 2x 2 [Maksymalizacjazysku] s 1 +2x 1 + x 2 = 100 [Zużyciesurowca S 1 ] s 2 +x 1 + x 2 = 80 [Zużyciesurowca S 2 ] s 3 +x 1 = 40 [Popytna W 1 ] x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Optymalnymrozwi azaniemjest x 1 = 20, x 2 = 60.Wjakimzakresie możesiȩzmienićcenawyrobu W 1 abyrozwi azanietopozostało optymalne? Rozwi azujemy problem algorytmem sympleks. Ostatnia, 44
45 optymalna tablica ma postać: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 3 x x s z Załóżmy,żezyskzW1wynosi 3 + δ.mamywówczas: s 1 s 2 s 3 x 1 x δ x x s z 1 + δ δ
46 Rozwi azanie pozostanie optymalne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie współczynniki optymalności bȩd a nieujemne, czyli: 1 + δ 0 δ St ad δ [ 1, 1]. Czyli rozwi azanie pozostanie optymalne dla cen wyrobu W 1 należ acychdoprzedziału [2, 4]. W jakim zakresie może siȩ zmienić zapas surowca S1 aby baza B = odpowiadającazmiennymbazowym {x 1, x 2, s 3 } pozostała optymalna(czyli aby struktura produkcji była zachowana)? Zmiana prawej strony ograniczeń nie wpływa na 46
47 współczynniki optymalności. Wynika z tego, że baza B( dla zmiennychbazowych {x 1, x 2, s 3 })pozostanieoptymalnawtedyi tylko wtedy gdy pozostanie dopuszczalna. St ad szukamy wartości δ dla których poniższy układ jest niesprzeczny: 2x 1 + x 2 = δ x 1 + x 2 = 80 s 3 + x 1 = 40 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Zapiszmy ten układ w postaci macierzowej: x δ x 2 = s 3 47
48 St ad: x 1 x 2 = δ s Odpowiedni a macierz odwrotn a odczytujemy z ostatniej tablicy sympleksowej. Tworz a j a kolumny współczynników dla pierwszego rozwi azania bazowego: =
49 St ad: δ Wykonuj ac mnożenie macierzy otrzymujemy układ nierówności: 20 + δ δ 0 20 δ 0 czyli δ [-20,20] i zapas surowca S1 należy do przedziału[80,120]
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo(Dantzig G. B. (1963))
(Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoFirma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2.
Przykład Elementy analizy wrażliwości Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2. Dla wyrobu 2 czasy te wynosza
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.
Bardziej szczegółowo12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.
matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowo