Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski
|
|
- Łukasz Muszyński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej A. Bobrowski
2
3 Spis tre±ci Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych strona 6. Gªówne zagadnienia 6.2 Granice sko«czone i niesko«czone 6.3 Dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych 9.4 Przechodzenie do granicy w nierówno±ciach.5 Twierdzenie o trzech ci gach.6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych 2.7 Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych 7.8 Dodatek: twierdzenie Stoltza 8 2 Szeregi liczbowe i pot gowe Gªówne zagadnienia Poj cie szeregu i sumowalno±ci szeregu Zbie»no± bezwzgl dna Kryteria porównawcze Górna i dolna granica ci gu Kryteria Cauchy'ego i d'alamberta Szeregi naprzemienne Szeregi pot gowe 29 3 Granica funkcji Najwa»niejsze zagadnienia Punkt skupienia zbioru Granica funkcji w punkcie skupienia jej dziedziny Ci gªo± funkcji Wªasno± Darboux funkcji ci gªej Wªasno±ci funkcji ci gªej na zbiorze zwartym 40 4 Aproksymacja jednostajna Gªówne zagadnienia 44 3
4 4 Spis tre±ci 4.2 Metryki i normy Kula i zbie»no± w przestrzeni metrycznej Norma w przestrzeni funkcji ci gªych Zwi zek z jednostajn zbie»no±ci Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa 53 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Najwa»niejsze zagadnienia Pochodna funkcji Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zastosowania twierdzenia Lagrange'a Pochodna funkcji zªo»onej i odwrotnej Twierdzenie (reguªa) de l'hospitala 68 6 Pochodne wy»szych rz dów Najwa»niejsze zagadnienia Pochodne wy»szych rz dów Wzór Taylora Rozwijanie funkcji w szereg Taylora Warunek wystarczaj cy istnienia ekstremum Wypukªo±, punkty przegi cia wykresu funkcji Asymptoty Wielomiany interpolacyjne Lagrange'a 86 7 Ró»niczkowanie funkcji wielu zmiennych Najwa»niejsze zagadnienia Podstawowe wªasno±ci algebraiczne przestrzeni R w Pochodna i ró»niczka funkcji wielu zmiennych Pochodne cz stkowe Ró»niczkowanie funkcji zªo»onych wielu zmiennych Twierdzenie o funkcji uwikªanej Badanie krzywych pªaskich 02 8 Pochodne wy»szych rz dów Najwa»niejsze zagadnienia Uwaga 05 9 Ekstrema funkcji wielu zmiennych Najwa»niejsze zagadnienia Ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 2 0 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej 8 0. Najwa»niejsze zagadnienia 8
5 Spis tre±ci Uwaga 8 Caªka Riemanna 9. Najwa»niejsze zagadnienia 9.2 Dolne i górne sumy Riemanna 9.3 Poj cie caªkowalno±ci i caªki 22.4 Warunki wystarczaj ce na caªkowalno± 25 2 Caªka Riemanna (c.d.) Najwa»niejsze zagadnienia Caªka Riemanna jako funkcjonaª liniowy dodatni Nierówno±ci dla caªek Riemanna Ró»niczkowanie wzgl dem granic caªkowania 32 3 Zastosowania caªki Riemanna 36 4 Równania ró»niczkowe zwyczajne 37 5 Równania ró»niczkowe zwyczajne (c.d.) 38 6 Zadania Ci gi liczbowe Szeregi liczbowe i pot gowe Granica funkcji Przestrzenie metryczne, zbie»no± jednostajna Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Caªki nieoznaczone 56 7 Przykªadowe kolokwia Kolokwium pierwsze Kolokwium drugie 60 Index 63 Literatura 64
6 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych. Gªówne zagadnienia Granice sko«czone i niesko«czone, dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych, przechodzenie do granicy w nierówno±ciach, twierdzenie o trzech ci gach. Zbie»no± ci gów monotonicznych, ograniczonych. Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych. Przykªady..2 Granice sko«czone i niesko«czone.2. Poj cie prawie wszystkie" Mówimy,»e pewn wªasno± posiadaj prawie wszystkie liczby naturalne je±li istnieje liczba naturalna k taka,»e wszystkie liczby od niej wi ksze speªniaj t wªasno±. Innymi sªowy, prawie wszystkie to znaczy wszystkie prócz sko«czonej ilo±ci. Na przykªad, prawie wszystkie liczby naturalne s wi ksze ni» 0, prawie wszystkie liczby naturalne s wi ksze ni» itd. Prawie wszystkie liczby naturalne n maj te» t wªasno±,»e n jest mniejsze ni» 0.0. Istotnie, je±li 2 n > k = 0 to n < 2 k = 0.0. Prawie wszystkie to nie to samo co niesko«czenie 2 wiele. Na przykªad, jest niesko«czenie wiele liczb parzystych, ale nie jest prawd,»e prawie wszystkie liczby naturalne s parzyste..2.2 Poj cie ci gu Ci giem nazywamy funkcj odwzorowuj c zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Czasami jednak ci g taki jest zdeniowany tak»e dla 0 a czasem jest zdeniowany tylko dla prawie wszystkich liczb naturalnych. Najcz ±ciej ci gi oznacza si (a n ) n, (b n ) n, (x n ) n itd. lub a n, n, b n, n, x n, n itd. Ci g zadaje si zwykle za pomoc wzoru, np: a n = n + n3 2 n 3, b n = n 2 n + 5 n, c n = 6 ( + n) n, (.)
7 .2 Granice sko«czone i niesko«czone 7 lub za pomoc zale»no±ci rekurencyjnych, np.: f 0 = 0, f =, f n = f n + f n 2, n > (ci g Fibonacciego), (.2) lub w 0 = 0, w n = 2w n +, dla n (wie»e z Hanoi) (.3) lub j =, j 2n+ = 2j n +, j 2n = 2j n, n. (.4).2.3 Otoczenie punktu Otoczeniem (otwartym) liczby rzeczywistej a (punktu na prostej) nazywamy ka»dy przedziaª postaci (a ɛ, a + ɛ) gdzie ɛ > 0. Zauwa»my,»e punkt b nale»y do otoczenia o dªugo±ci 2ɛ je±li a b < ɛ; otoczenie takie nazywa si cz sto otoczeniem epsilonowym. Otoczeniem punktu w niesko«czono±ci (+, lub po prostu ) nazywamy ka»dy przedziaª postaci (K, ) gdzie K jest liczb rzeczywist. Analogicznie, otoczeniem punktu w minus niesko«czono±ci nazywamy ka»dy przedziaª postaci (, K), gdzie K jest liczb rzeczywist. Przykªad: przedziaª o ko«cach 0, 99 i, 0 jest otoczeniem punktu. Jakiego punktu otoczeniem jest przedziaª o ko«cach i? Przedziaª [00, ) nie jest otoczeniem ale jest nim przedziaª (00, )..2.4 Granica ci gu Liczb rzeczywist a nazywamy granic ci gu (a n ) n je±li w ka»dym jej otoczeniu znajduj si prawie wszystkie wyrazy tego ci gu. Innymi sªowy, dla dowolnej liczby dodatniej ɛ > 0 prawie wszystkie wyrazy ci gu speªniaj warunek a n a < ɛ. Piszemy wtedy lim n a n = a i mówimy,»e gdy n d»y do niesko«czono±ci, ci g a n, n d»y do a..2.5 Przykªady a) Je±li ci g a n = a, n gdzie a jest jak ± liczb (tak zwany ci g staªy), to lim n a n = a. Istotnie, wszystkie wyrazy tego ci gu le» w ka»dym otoczeniu liczby a. b) Ci g n 2 d»y do zera. Faktycznie, dla dowolnego ɛ > 0, niech k = ɛ (pierwiastek z najmniejszej liczby naturalnej wi kszej ni» ɛ ). O ile n > k to n 2 > k 2 > ɛ ɛ co oznacza,»e a n < ɛ a wi c i a n < ɛ (bo a n > 0). c) Zaªó»my,»e ci g a n, n 0 zd»a do granicy a i zdeniujmy ci g b n = a n+l, n gdzie l jest jak ± liczb naturaln. Czy b n, n jest Mówimy w skrócie,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu a n, n speªaniaj jak ± zale»no±, je±li prawie wszystkie liczby naturalne n maj t wªasno±,»e a n speªnia dan zale»no±.
8 8 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych zbie»ny? Tak i to do tej samej granicy co a n, n 0. Niech bowiem ɛ > 0. Wiemy,»e dla wszystkich n wi kszych ni» pewne k, a n a < ɛ. A zatem, o ile tylko n > k l to b n a = a n+k a < ɛ. d) Niech a b dzie liczb z przedziaªu (0, ); ci g a n = a n, n d»y do zera. Istotnie, maj c dane ɛ > 0 wystarczy wybra k wi ksze ni» log ɛ log a e) Ci g. (a n ) n d»y do zera wtedy i tylko wtedy gdy ( a n ) n d -»y do zera. Istotnie, to»e ten ostatni ci g d»y do zera oznacza i» dla dowolnego ɛ > 0 prawie wszystkie wyrazy tego ci gu speªniaj nierówno± a n 0 < ɛ. Lewa strona tej nierówno±ci jednak równa jest a n. Innymi sªowy to,»e ( a n ) n d»y do zera oznacza i» prawie wszystkie jego wyrazy speªniaj nierówno± a n < ɛ co jak wiemy jest równowa»ne zbie»no±ci do zera ci gu (a n ) n. f) Ci g a n = ( ) n, n nie d»y do»adnej granicy. Faktycznie, widzimy,»e dla parzystych n, a n = a dla nieparzystych a n =. Innymi sªowy, niesko«czenie wiele elementów tego ci gu jest równych jeden i niesko«czenie wiele jest równych. Gdyby a byªo granic naszego ci gu to w otoczeniu (a 4, a + 4 ) le»aªoby prawie wszystkie wyrazy naszego ci gu. Poniewa» niesko«czenie wiele wyrazów jest równych jeden a < 4. Podobnie wnioskujemy,»e a + < 4. Liczby, która speªniaªaby obie te nierówno±ci na raz nie ma. Ci g ten jest rozbie»ny. g) Podobnie, ale nie tak samo, ma si rzecz z ci giem a n = n, n. Ci g ten nie ma granicy (sko«czonej). Istotnie, gdyby granica ta by- ªa równa jakiej± liczbie a, powiedzmy dodatniej, to w przedziale (0, 2a) byªoby niesko«czenie wiele wyrazów ci gu a n. Dla dowolnej liczby rzeczywistej K jednak mo»emy wybra k równe na kwadratowi max(0, K). Wtedy n > k implikuje a n > max(0, K) K. Inaczej mówi c niesko«- czenie wiele wyrazów naszego ci gu le»y w przedziale (K, ). Niemo»- liwe jest wi c, by niesko«czenie wiele z nich byªo w przedziale (0, 2a) (podobnie jest z przypadkami a < 0 i a = 0)..2.6 Granice niesko«czone Ci g rozpatrywany w.2.5 g) jest rozbie»- ny do niesko«czono±ci: ci g a n, n nazywamy rozbie»nym do niesko«- czono±ci (czasami: zbie»nym do niesko«czono±ci) je±li w ka»dym otoczeniu niesko«czono±ci le» prawie wszystkie jego wyrazy; pieszemy wtedy lim n a n =. Podobnie deniuje si zbie»no± ci gu do minus niesko«czono±ci..2.7 Uwaga Bezpo±rednio z denicji granicy wida,»e ci g pozostanie zbie»ny je±li zmienimy dowoln sko«czon ilo± jego wyrazów; nie zmieni si te» jego granica.
9 .3 Dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych Uwaga Jak widzieli±my, niektóre ci gi maj granice a inne ich nie maj. Ale czy ci g mo»e mie wi cej ni» jedn granice? To pytanie, z pozoru przewrotne, wcale nie jest nieuzasadnione. Je±li odpowied¹ na nie brzmi tak to pisanie lim n a n = a byªoby co najmniej dwuznaczne. Na szcz ±cie tak nie jest. Skupmy si na przypadku granic sko«czonych. Co by si staªo, gdyby ci g, nazwijmy go (a n ) n miaª dwie granice, powiedzmy a i b, a b. We¹my ɛ = b a 4. W epsilonowym otoczeniu a le» prawie wszystkie elementy ci gu a n, a wi c poza nim le»y ich sko«- czona ilo±. Podobnie w epsilonowym otoczeniu b le» prawie wszystkie elementy ci gu a n, a wi c poza nim le»y ich sko«czona ilo±. Ale te otoczenia s rozª czne! Ta sprzeczno± dowodzi,»e a musi by równe b, a wi c i»e ci g mo»e mie tylko jedn granic..3 Dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych W praktyce rzadko dowodzi si zbie»no±ci ci gu bezpo±rednio u»ywaj c samej denicji: przypominaªoby to ci cie zbo»a sierpem, lub programowanie w j zyku TYMAS (Typowy Maszynowy Assembler, brr!). ycie uªatwiamy sobie za pomoc nast puj cego twierdzenia:.3. Twierdzenie Niech α i β b d liczbami rzeczywistymi. O ile ci gi (a n ) n i (b n ) n s zbie»ne, odpowiednio, do granic a i b, to zbie»ne s te» ci gi (αa n + βb n ) n i (a n b n ) n ; zachodz tak»e wzory: lim (αa n + βb n ) = αa + βb, n Ponadto, o ile b 0, to zbie»ny jest ci g an b n a n lim = a n b n b. lim a nb n = ab. (.5) n Zwró my uwag na fakt, i» zaªo»enie b 0 powoduje, i» prawie wszystkie wyrazy ci gu b n, n 0 s ró»ne od zera, i ci g an b n jest dobrze okre- ±lony dla odpowiednio du»ych n..3.2 Przykªad Czy ci g a n = 2n+n3 3n 3 +7 jest zbie»ny, a je±li tak to do jakiej granicy? By na to pytanie odpowiedzie, zauwa»amy,»e a n = 2b n+ 3+7c n gdzie b n = n a c 2 n = n. Wiemy ju»,»e b 3 n jest d»y do zera. Šatwo sprawdzi te»,»e ci g d n = n zmierza do zera. Korzystaj c z twierdzenia widzimy,»e c n = b n d n te» d»y do zera. Tak wi c, znów na podstawie Teraz wida jak misternie zostaªo dobrane ɛ; student informatyki PL poda jeszcze sto czterdzie±ci osiem innych przykªadów takiego wyboru i
10 0 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych twierdzenia, licznik w uªamku powy»ej d»y do 2 a mianowinik do 3, caªy ci g zatem d»y do 2 3. Sprawdzenie tego faktu na podstawie denicji jest»mudne, cho proste..3.3 Przykªad Niech a b dzie liczb rzeczywist a q <. Rozpatrzmy ci g a n = n k=0 aqk. Mamy qa n = n+ k= aqk = a n+ a = aq k+ + a n a. St d a n = a qk+ q. Korzystaj c z zale»no±ci qn = q n oraz przykªadów d) i e) przedstawionych w.2.5 widzimy,»e ci g nasz jest zbie»ny i lim n a n = a q..3.4 Oto dowód pierwszej cz ±ci twierdzenia Ustalmy ɛ > 0. Skoro a n, n d»y do a i b n, n d»y do b, to dla prawie wszystkich n mamy α a n a < ɛ 2 (jest to oczywiste je±li α = 0; w przeciwnym wypadku w denicji zbie»no±ci rozpatrujemy ɛ := α ; ɛ analogicznie dla prawie wszystkich n α a n a < 2. ɛ Z nierówno±ci trójk ta mamy dla prawie wszystkich n mamy: αa n + βb n (αa + βb) α(a a n ) + β(b n b) α a n a + β b n b < ɛ 2 + ɛ 2 Idea dowodu pozostaªej cz ±ci twierdzenia jest = podobna, ɛ. cho rachunki s nieco bardziej skomplikowane..3.5 Wyra»enia nieoznaczone Zwró my te» uwag na fakt,»e twierdzenie zostaªo sformuªowane przy zaªo»eniu,»e granice ci gów s sko«- czone. Twierdzenie pozostaje w mocy tak»e dla granic niesko«czonych o ile umówimy si i» + =, a = dla a > 0 a = dla a < 0 a = 0 dla dowolnego a R. ± Zwró my jednak uwag na fakt,»e symbole 0 pozostaj nieoznaczone, to znaczy,»e bez dodatkowej analizy nie mo»emy stwierdzi, czy tego typu granica istnieje czy te» nie i ile jest równa. Wyra»e«takich jest oczywi±cie wi cej. Na przykªad mo»na sprawdzi,»e a = dla a > i a = 0 o ile a < ; wyra»enie jest jednak nieoznaczone.
11 .4 Przechodzenie do granicy w nierówno±ciach.3.6 Uwaga Nie mo»na twierdzi,»e je±li ci g (a n + b n ) n jest zbie-»ny to zbie»ne s ci gi (a n ) n i (b n ) n : na przykªad a n = ( ) n i b n = ( ) n+ nie s zbie»ne a ich suma (równa stale 0) jest. Ta sama uwaga dotyczy ilorazu i iloczynu ci gów..4 Przechodzenie do granicy w nierówno±ciach W analizie granic przydatne okazuje si nast puj ce twierdzenie: o ile ci gi (a n ) n i (b n ) n maj granice a i b oraz dla prawie wszystkich n zachodzi nierówno± : a n b n to tak»e a b. Zwró my uwag na przykªad a n = n, b n = n. Mimo, i» a n < b n w granicy ostra nierówno± nie jest zachowana: 0 = 0. Dowód twierdzenia jest do± ªatwy: zastanówmy si czy mo»liwe jest by a > b. Niech ɛ = a b 4 (gdzie± podobne ɛ ju» widziaªem; czy nie mogliby±my wzi na przykªad ɛ = a b π dla odmiany?). Wiemy,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu a n le» w epsilonowym otoczeniu a i prawie wszystkie wyrazy ci gu b n le» w otoczeniu epsilonowym otoczeniu b. Skoro a ɛ > b+ɛ, dla prawie wszystkich n mamy a n > b n - co jest sprzeczne za zaªo»eniem. Sytuacj t najlepiej wyobra»a rysunek, którego wykonanie polecam jako prac domow..5 Twierdzenie o trzech ci gach Oto jeszcze jedno wa»ne twierdzenie wi» ce poj cie zbie»no±ci ci gu z porz dkiem liczb rzeczywistych. Zaªó»my,»e dane s trzy ci gi (a n ) n, (b n ) n i (c n ) n, oraz»e prawie wszystkie ich wyrazy speªniaj zale»- no± : a n b n c n. (.6) Je±li ci gi skrajne" (a n ) n i (c n ) n zbiegaj do tej samej granicy g, to zbie»ny jest te» ci g (b n ) n i jego granic jest równie» g. Oto dowód: niech b dzie dane ɛ > 0. Prawie wszystkie wyrazy ci gu (c n ) n speªniaj warunek c n g < ɛ a wi c w szczególno±ci c n < g +ɛ. Warunek (.6) dowodzi zatem,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu (c n ) n speªniaj c warunek c n < g + ɛ. Analogicznie, korzystaj c ze zbie»no±ci ci gu (a n ) n do g i warunku (.6) przekonujemy si,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu (c n ) n speªniaj nierówno± g ɛ < b n. Š cz c te dwie nierówno±ci widzimy,»e dla prawie wszystkich n, mamy b n g < ɛ. Skoro ɛ byªo wybrane dowolnie, zbie»no± ci gu (b n ) n zostaªa dowiedziona.
12 2 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych.5. Przykªad Dla dowolnego a > 0, ci g a n = n a zbiega do. Dowód przebiega w dwóch krokach. W pierwszym z nich zauwa»amy,»e mo»na si skoncentrowa na przypadku a > ; istotnie, je±li a < to b = a > i, o ile uda nam si uprzednio dowie±,»e teza jest prawdziwa dla liczb wi kszych ni» jeden, to otrzymamy lim n n a = lim n n b = = ; dla a = teza jest oczywista. W kroku drugim korzystamy z nast puj cej nierówno±ci Bernouliego: ( + x) n + nx, gdzie x 0, n ; nierówno± ta jest bezpo±rednim wynikiem znanej to»samo±ci Newtona: (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k Korzystaj c z zaªo»enia a >, otrzymujemy b n := n a 0 (Zapis x := y" oznacza,»e wielko± x deniowana jest za pomoc wielko±ci y; w naszym wypadku, b n deniujemy wzorem b n = n a ). Podstawiaj c x = b n do nierówno±ci Bernouliego mamy: 0 b n ( + b n) n n = a n. Ostatni z ci gów wyst puj cych w tej nierówno±ci zbiega do zera. Drugi ci g skrajny jest staªy i tak»e zbiega do zera. St d b n d»y do zera, a wi c a n = b n + d»y do jedynki..5.2 Przykªad Czy ci g a n = n 2 n + 5 n ma granic, a je±li tak, to jak? Wyrazy ci gu oszacowa mo»na nast puj co: 2 n + 5 n 2 5 n, wi c a n 5 n 2. Z drugiej strony oczywi±cie 2 n + 5 n 5 n co daje a n 5. St d 5 a n 5 n 2. Prawy skrajny ci g d»y, na podstawie poprzedniego przykªadu, do 5; do tej samej liczby d»y lewy skrajny ci g. St d lim n a n = 5..6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych.6. Ci gi ograniczone Ci g a n, n nazywamy ograniczonym je±li istnieje liczba M > 0 taka,»e a n M dla wszystkich n. Mówimy,»e ci g jest ograniczony z góry (analogicznie: z doªu) je±li istnieje liczba rzeczywista M taka,»e a n M (analogicznie: a n M) dla wszystkich n. Liczb tak nazywamy ograniczeniem tego ci gu. Ka»dy ci g zbie»ny jest ograniczony: istotnie, skoro prawie wszystkie jego wyrazy powiedzmy wszystkie poza pierwszymi k wyrazami le»
13 .6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych 3 nie dalej ni» w odlegªo±ci jeden od jego granicy g, to bezwzgl dna warto± jego wyrazów nie przekracza max { g +, g, a,..., a k } (liczby g + i g s ko«cami otoczenia granicy g). Nie ka»dy jednak ci g ograniczony jest zbie»ny; za przykªad sªu»y tu mo»e a n = ( ) n ; wiemy ju»,»e ci g ten nie jest zbie»ny, a jednak dla wszystkich n, a n = wi c za staª M z denicji mo»na wzi. Oczywi±cie ci g ograniczony jest ograniczony z góry i z doªu. Šatwo te» sprawdzi,»e ci g, który jest ograniczony zarówno z góry jak i z doªu jest ograniczony. Istniej ci gi, które nie s ograniczone, cho s ograniczone z góry (analogicznie: z doªu). Na przykªad, a n = n jest ograniczony z doªu (przez 0 na chocia»by), ale nie jest ograniczony: ci g ten jest wr cz rozbie»ny do niesko«czono±ci. Podobnie a n = n jest ograniczony z góry ale nie jest ograniczony. Nie powinni±my jednak s dzi,»e ka»- dy ci g nieograniczony (to znaczy taki, który nie jest ograniczony) jest rozbie»ny do niesko«czono±ci lub minus niesko«czono±ci; we¹my cho by ci g a n = ( ) n n, który jest oczywi±cie nieograniczony, bo mamy wr cz lim n a n =, ale nie mo»e by rozbie»ny ani do plus ani do minus niesko«czono±ci, bo przyjmuje na przemian wyrazy dodatnie i ujemne (tak wi c niesko«czenie wiele jego wyrazów jest dodatnich i niesko«czenie wiele jest ujemnych, nieprawd jest wi c,»e prawie wszystkie le» w (0, ), ani»e prawie wszystkie le» w (, 0)). Nie jest prawd te»,»e ka»dy ci g nieograniczony (a n ) n ma t wªasno±,»e lim n a n =. By si o tym przekona wystarczy rozpatrzy ci g a n = [( ) n ]n, którego niesko«czenie wiele wyrazów jest równych zero, a jednak jest nieograniczony bo a 2k+ = 2(2k + ). Zachodzi natomiast nast puj ce wa»ne twierdzenie:.6.2 Twierdzenie Je±li ci g a n, n 0 jest ograniczony z góry i pocz wszy od pewnego wyrazu niemalej cy to znaczy,»e dla prawie wszystkich wyrazów liczb naturalnych n prawdziwa jest nierówno± a n a n+, to ci g ten jest zbie»ny. By nabra intuicji zwi zanej z tym twierdzeniem warto pomy±le o ci gu a n = n. Dowód tego faktu przebiega nast puj co. Na podstawie wniosku.2.7 lub trzeciego z przykªadów.2.5, mo»emy bez straty ogólno±ci zaªo»y,»e ci g jest niemalej cy nie tylko poczawszy od pewnego wyrazu ale caªy czas". Zastanówmy si teraz. Liczb ograniczaj cych nasz ci g od góry jest bardzo du»o; wybierzmy najmniejsz z nich. (Istnienie takiej liczby nie jest banaln spraw, ale nie b dziemy si tu tym problemem zajmowa ). Wybieramy wi c tak liczb M 0,»e dla wszystkich n mamy
14 4 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych a n M 0 a równocze±nie je±li warunek powy»szy speªnia jaka± inna liczba M to zachodzi nierówno± M 0 M. Niech ɛ > 0. Skoro M 0 ɛ < M 0 to M 0 ɛ nie ogranicza naszego ci gu od góry. Istnieje zatem takie naturalne k,»e a k > M 0 ɛ. Skoro jednak ci g jest niemalej cy, a k+ a k > M 0 ɛ, stosuj c indukcj przekonujemy si,»e a n > M 0 ɛ, dla wszystkich n k. Z drugiej strony a n M 0 dla wszystkich n. To znaczy,»e dla prawie wszystkich n zachodzi nierówno± a n M 0 < ɛ, ale to dowodzi,»e M 0 jest granic naszego ci gu..6.3 Wniosek Ka»dy ci g nierosn cy (od pewnego miejsca) i ograniczony z doªu jest zbie»ny. Dowód: ci g (a n ) n speªnia te warunki wtedy i tylko wtedy gdy ( a n ) n speªnia zaªo»enia twierdzenia Uwaga Przestrzegam przed rozumowaniami typu: inacja stale maleje a zatem d»y do zera. Granic ci gu nierosn cego i ograniczonego z doªu jest najwi ksze a nie dowolne dolne ograniczenie tego ci gu!.6.5 Przykªad Czy ci g a n = n 3 jest zbie»ny? Šatwo sprawdzi,»e jest on malej cy: nierówno± n a n+ < a n jest bowiem równowa»na nierówno±ci n+ n < 3. Z drugiej strony, jest on niew tpliwie ograniczony z doªu (na przykªad przez 0). A zatem ma granic. Jak j obliczy? Zwró my uwag na to,»e a n+ = n+ n 3 a n. Ci g po lewej stronie d»y do g a po prawej do razy 3 razy g. Granica g speªnia wi c warunek g = 3 co znaczy,»e g g = Przykªad (bardzo wa»ny) Rozwa»my ci g b n = n k=0 k! = 2+ n k=2 k!, n. Poka»emy,»e jest on zbie»ny. Skoro c n+ c n = (n+)! ci g ten jest rosn cy. Musimy jeszcze pokaza,»e ci g a n, n jest ograniczony. Do± oczywiste jest,»e k! 2 k ; istotnie po lewej stronie mamy k jeden czynników (nie licz c jedynki, która niczego nie wnosi), z których ka»dy jest wi kszy lub równy 2. St d n k=2 k! n k=2. 2 Ci g k c n := n k=2 jest rosn cy bo c 2 k n+ c n = 2 n. Z przykªadu.3.3 wiemy,»e jego granica, która jest jednocze±nie jego ograniczeniem 2 górnym, równa jest =. To znaczy,»e ci g (b n ) 2 n jest ograniczony przez 3. Jego granic oznaczamy liter e. Jest to liczba niewymierna, a jej rozwini cie dzieci tne zaczyna si tak: 2, Dalsze wyrazy rozwini cia mo»na otrzyma nawet na zwykªym kalkulatorze korzystaj c ze wzoru na b n, który bardzo dobrze przybli»a t liczb. Staªa ta znana jako podstawa logarytmu naturalnego jest jedn z najwa»niejszych staªych w matematyce.
15 .6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych ( Przykªad (bardzo wa»ny) - c.d Poka»emy,»e ci g a n = + n n) jest zbie»ny - istnienie jego granicy nie jest wcale oczywiste: mamy tu do czynienia z wyra»eniem typu i»e granic jego jest e. Przyjrzyjmy si naszemu ci gowi dokªadniej: a = 2, a 2 = 9 4, a 3 = 64 27, a 4 = Cho nie wida jeszcze»adnej reguªy, zaczyna nam ±wita,»e jest to chyba ci g rosn cy. By sprawdzi t hipotez korzystamy z dwumianu Newtona: St d a n = a n = 2 + n k=0 = 2 + n k=2 ( ) n k n k = n k=2 n k=0 n! (n k)!k! n k (n )(n 2)...(n k + ) k! n k. ( ) ( 2 ) (... k ). (.7) k! n n n Analogiczna suma dla a n+ wygl da zatem tak: n+ a n+ = 2 + k=2 k! ( n + ) ( 2 n + ) (... k ). n + Jak wida ta druga suma ma nie tylko wi cej skªadników ni» poprzednia ale i ka»dy z jej n pierwszych skªadników jest wi kszy ni» odpowiedni skªadnik sumy poprzedniej. Dokªadniej, dla ka»dego 2 k n mamy k! ( n )( 2 k n )...( n ) k! ( n+ )( 2 k n+ )...( n+ ); wynika to st d,»e ka»dy z czynników po lewej stronie jest mniejszy ni» odpowiedni czynnik po stronie prawej. To dowodzi,»e a n+ a n. Przygl daj c si wzorowi (.7) widzimy te»,»e wszystkie czynniki w nawiasach s nie wi ksze ni», wi c a n 2 + n k=2 k! = n k=0 k!. Wyra»enie po prawej stronie ju» wcze±niej rozwa»ali±my, jest to ci g z przykªadu.6.6. Liczba e, która jest jego granic jest te» jego ograniczeniem górnym, a zatem i ograniczeniem górnym ci gu a n, n. A zatem ci g a n, n jest zbie»ny. Skoro a n b n, jego granica, powiedzmy g, speªnia warunek g e. Z drugiej strony, dla dowolnych liczb naturalnym n m mamy a n = n k=2 m k=2 (n )(n 2)...(n k + ) k! n k (n )(n 2)...(n k + ) k! n k.
16 6 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych Ci g po lewej stronie d»y do g, po lewej za± mamy sum m + ci gów z których ka»dy ma granic. Przechodz c zatem do granicy z n i korzystaj c m-krotnie z.3., na podstawie.4 otrzymujemy nierówno± g 2 + m k=2 k!. Po prawej jej prawej stronie rozpoznajemy b m. To znaczy: g b m. Przechodz c do granicy z m otrzymujemy g e. Š cz c t nierówno± z nierówno±ci otrzyman poprzednio widzimy,»e g = e..6.8 Uwaga Granic ci gu ( n) n ( ) jest e ; wynika to z faktu i» n n = ( = n n )n (+ n )n (+ n ). Zachodzi te» twierdzenie ogólniejsze, które pozwala obliczy wiele granic (do± prosty dowód pomijamy - zob. [9]). Je±li ci g (a n ) n ma wyrazy niezerowe i d»y do zera, to granica lim n ( + a n ) a n istnieje i równa jest e. Przykªady na wiczeniach..6.9 Przykªad Rozwa»my dwie liczby dodatnie a i b takie,»e a < b. Niech b = a+b 2 b dzie ich ±redni, a a = [ ( 2 a + b )] = 2ab a+b b dzie ich ±redni harmoniczn. Bezpo±redni rachunek przekonuje nas,»e a < b. Mo»emy teraz rozwa»y ±redni b 2 liczb a i b oraz ich ±redni harmoniczn a 2 itd. Otrzymamy w ten sposób ci gi (a n ) n i (b n ) n speªniaj ce nierówno±ci a < a n < a n+ < b n+ < b n < b. Wnioskujemy zatem,»e oba te ci gi maj granice, powiedzmy α i β. Ze wzgl du na fakt, i» b n+ = 2 (a n + b n ), β = 2 (α + β), to znaczy α = β. Sprawdzamy te» ªatwo,»e a b = ab i przez indukcj ab = a n b n. St d ab = αβ = α 2. Dowodzi to,»e oba ci gi d» do granicy ab to znaczy do ±redniej geometrycznej. Oto jeszcze jedno twierdzenie zwi zane z ci gami ograniczonymi. Jak ju» widzieli±my, je±li ci g (a n ) n zd»a do zera a ci g (b n ) n zd»a do jakiej± sko«czonej granicy, to ich iloczyn d»y do zera. Zbie»no± (a n ) n do zera jest jednak na tyle siln wªasno±ci,»e pozwala znacznie zredukowa zaªo»enie dotycz ce (b n ) n przy nie zmienionej tezie:.6.0 Twierdzenie Je±li ci g (a n ) n zd»a do zera a ci g (b n ) n jest ograniczony, to ich iloczyn d»y do zera. Dowód opiera si na twierdzeniu o trzech ci gach. Je±li M jest ograniczeniem ci gu (b n ) n, to zachodzi nierówno± 0 a n b n M a n.
17 .7 Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych 7 Skoro (a n ) n d»y do zera, do zera d»y te» ( a n ) n (zob..2.5 przykªad e)). Na podstawie twierdzenia o trzech ci gach wnioskujemy,»e ( a n b n ) n d»y do zera, a st d,»e i ci g (a n b n ) n d»y do zera..6. Przykªad Ci g a n = sin n n d»y do zera bo jest iloczynem d -» cego do zera ci gu b n = n i ograniczonego ci gu c n = sin n. Istotnie dla ka»dego n, sin n. Podobnie jest z ci giem a n = ( ) n sin n; ci g b n = ( ) n jest ograniczony a c n = sin n zd»a do zera (dowodzi tego cho by nierówno± 0 sin n n)..7 Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych.7. Twierdzenie Je±li ci g a n, n jest zbie»ny to zbie»ny jest te» ci g jego ±rednich arytmetycznych, to znaczy s n = n (a a n ). Idea dowodu jest do± jasna: dla du»ych n wyrazy ci gu s bliskie granicy, a sko«czona liczba tych, które blisko granicy nie s, wnosi do ±redniej niewiele. Oto szczegóªy: niech ɛ > 0 i niech g b dzie granic ci gu (a n ) n. Prawie wszystkie wyrazy tego ci gu, powiedzmy wszystkie pocz wszy od k +, speªniaj warunek a n g < 3. ɛ Niech b n,k = n n k i=k+ a i. A zatem dla dowolnego n k +, b n,k g = n k n i=k+ a i n k n i=k+ g n k n i=k+ a i g ɛ 3. Z drugiej strony, s n = n (a +...+a k )+ n k n b n,k. To znaczy,»e s n b n,k n (a +...+a k ) + k n b n,k. Poniewa» k jest ustalone, dla prawie wszystkich n pierwsza suma jest mniejsza ni» 3. ɛ Podobnie, skoro ci g (a n ) n jest ograniczony, powiedzmy przez liczb M, to ta sama liczba ogranicza b n,k, n k+ a druga suma jest ograniczona przez k nm. Dla dostatecznie du»ych n zatem ta druga suma jest mniejsza ni» ɛ 3. Š cz c te warunki widzimy,»e dla prawie wszystkich n s n g s n b n,k + g b n,k < ɛ, czego chcieli±my dowie±..7.2 Uwaga Zwró my uwag na fakt, i» twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Istotnie, ci g a n = ( ) n+ nie jest zbie»ny, a jednak zbie»ny jest jego ci g ±rednich. Istotnie, ci g b n = n k= a k równy jest je±li n jest nieparzyste i 0 je±li n jest parzyste. W szczególno±ci (b n ) n Prosz nie myli tego ci gu z ci giem a n = n sin, który d»y do! n
18 8 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych jest ograniczony. Dlatego te» s n = n b n jest zbie»ny do zera jako iloczyn ci gu ograniczonego i ci gu zbie»nego do zera. Warto te» zauwa»y, i» twierdzenie powy»sze prawdziwe jest tak»e w przypadku gdy lim n a n jest równe plus lub minus niesko«czono±. Dowód pomijamy (zob. na przykªad [6])..7.3 Twierdzenie Analogicznie dowodzi si nast puj cego twierdzenia: Je±li ci g (a n ) n ma wyrazy dodatnie (to znaczy a n > 0) i jest zbie»ny do granicy g (by mo»e niesko«czonej) to zbie»ny jest tak»e ci g jego ±rednich geometrycznych i jego granica równa jest granicy ci gu: lim n a a 2 a n = lim a n. n n.7.4 Przykªady Je±li dla pewnego ci gu a n, n o wyrazach dodatnich istnieje granica lim n+ n a n a = g to istnieje te» granica lim n n an i równa jest g. Istotnie, ci g b n = an a n, n (gdzie przyjmujemy a 0 = ) speªnia warunki twierdzenia.7.3 i b b n = n a n. Dla n n+ przykªadu, skoro lim n n =, mamy te» lim n n n =. Podobnie, z warunku lim n n! (n+)! = lim n (n + ) = wnioskujemy,»e lim n n n! =. By za± obliczy granic ci gu n n n! zauwa»amy,»e ci g a n = n! n speªnia warunek n an+ a n = ( n n+ )n = (+ n) a zatem lim n n an+ a n = e. St d te» lim n n n n! = n limn n! n n = e..8 Dodatek: twierdzenie Stoltza Czasami do obliczania granic ci gów przydatna jest nast puj ca dyskretna wersja twierdzenia de l'hospitala, znana jako twierdzenie Stoltza. Je±li x n, n i y n, n s ci gami d» cymi do niesko«czono- ±ci takimi,»e dla prawie wszystkich n, y n+ > y n, i istnieje granica x lim n+ x n x n y n+ y n = g, to istnieje te» granica lim n n yn i równa jest tak»e g. (Dowód mo»na znale¹ w ksi»kach [2, 9])..8. Przykªad Twierdzenie o zbie»no±ci ±rednich arytmetycznych jest wnioskiem z twierdzenia Stoltza: wystarczy przyj x n = n k= a k i y n = n. Wtedy ci g y n jest ±ci±le rosn cy i y n+ y n = a x n+ x n = a n+. Tak wi c istnienie granicy lim n a n+ = lim n a n = g poci - ga istnienie granicy n lim n n k= a k.
19 .8 Dodatek: twierdzenie Stoltza Przykªad Oto kolejny przykªad zastosowania twierdzenie Stoltza: je±li wiemy,»e ci g (a n ) n ma wyrazy nieujemne i istnieje granica lim n nan = g to istnieje tak»e granica n lim n n k= a k i równa jest 2g. Istotnie, za x n przyjmujemy ponownie n k= a k a y n jest teraz równe n. Mamy y n+ y n = n + n > 0, a na podstawie twierdzenia Stoltza wiemy,»e wystarczy zbada granic lim n n+ n a = lim n a n+ ( n + + n) = g + lim n a n+ n + n n+ = g + g = 2g. (Zob ).
20 2 Szeregi liczbowe i pot gowe 2. Gªówne zagadnienia Sumowalno± (zbie»no± ), zbie»no± bezwzgl dna. Kryterium porównawcze, porównawcze ilorazowe. Górna i dolna granica ci gu. Kryteria Cauchy'ego i d'alamberta. Szeregi naprzemienne, twierdzenie Leibniza. Szeregi pot gowe. Wzór Hadamarda na promie«zbie»no±ci szeregu pot gowego, bezwzgl dna zbie»no± we wn trzu przedziaªu zbie»no±ci. 2.2 Poj cie szeregu i sumowalno±ci szeregu 2.2. Szereg i jego suma Zaªó»my,»e mamy dany ci g (a n ) n. Nowy ci g utworzony z tak zwanych sum cz ±ciowych s n = n ci gu (a n ) n nazywa b dziemy szeregiem i oznacza i= a i, n n= a n. Szereg nazywamy sumowalnym, je±li jest on zbie»ny, a jego granic s, zwan sum szeregu, oznaczamy tym samym symbolem co i szereg: n= a n. Fakt,»e dwa ró»ne obiekty, sam szereg jak i jego granic oznaczamy tym samym symbolem nie prowadzi zwykle do nieporozumie«. Podobnie jak w przypadku ci gów zdarzy si mo»e,»e ci g (a n ) n zdeniowany jest tylko dla prawie wszystkich liczb naturalnych. Tylko dla tych liczb naturalnych zdeniowany jest te» wtedy szereg: piszemy wtedy na przykªad n=k a n. Widzieli±my,»e maj c dany ci g mo»emy zdeniowa szereg, a szereg ten jest znowu ci giem. Czy maj c dany dowolny ci g (s n ) n mo»emy znale¹ ci g (a n ) n taki,»e zwi zany z nim szereg równy jest (s n ) n? Tak. Wystarczy zdeniowa a = s, a 2 = s 2 s, a 3 = s 3 s 2 itd., tzn. a n = s n s n, n 2. W pewnym sensie wi c teoria szeregów sprowadza si do teorii ci gów. Istotn trudno±ci w operowaniu szeregami jest jednak fakt, i» najcz ±ciej nie jest znany wygodny bezpo±redni wzór 20
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoCaªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoLiczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski
Analiza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu Maciej Paluszy«ski 7 grudnia 2007 Liczby rzeczywiste i zespolone Liczby rzeczywiste Nie b dziemy szczegóªowo zajmowa si konstrukcj zbioru liczb rzeczywistych.
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowo