Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski"

Transkrypt

1 Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej A. Bobrowski

2

3 Spis tre±ci Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych strona 6. Gªówne zagadnienia 6.2 Granice sko«czone i niesko«czone 6.3 Dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych 9.4 Przechodzenie do granicy w nierówno±ciach.5 Twierdzenie o trzech ci gach.6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych 2.7 Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych 7.8 Dodatek: twierdzenie Stoltza 8 2 Szeregi liczbowe i pot gowe Gªówne zagadnienia Poj cie szeregu i sumowalno±ci szeregu Zbie»no± bezwzgl dna Kryteria porównawcze Górna i dolna granica ci gu Kryteria Cauchy'ego i d'alamberta Szeregi naprzemienne Szeregi pot gowe 29 3 Granica funkcji Najwa»niejsze zagadnienia Punkt skupienia zbioru Granica funkcji w punkcie skupienia jej dziedziny Ci gªo± funkcji Wªasno± Darboux funkcji ci gªej Wªasno±ci funkcji ci gªej na zbiorze zwartym 40 4 Aproksymacja jednostajna Gªówne zagadnienia 44 3

4 4 Spis tre±ci 4.2 Metryki i normy Kula i zbie»no± w przestrzeni metrycznej Norma w przestrzeni funkcji ci gªych Zwi zek z jednostajn zbie»no±ci Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa 53 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Najwa»niejsze zagadnienia Pochodna funkcji Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zastosowania twierdzenia Lagrange'a Pochodna funkcji zªo»onej i odwrotnej Twierdzenie (reguªa) de l'hospitala 68 6 Pochodne wy»szych rz dów Najwa»niejsze zagadnienia Pochodne wy»szych rz dów Wzór Taylora Rozwijanie funkcji w szereg Taylora Warunek wystarczaj cy istnienia ekstremum Wypukªo±, punkty przegi cia wykresu funkcji Asymptoty Wielomiany interpolacyjne Lagrange'a 86 7 Ró»niczkowanie funkcji wielu zmiennych Najwa»niejsze zagadnienia Podstawowe wªasno±ci algebraiczne przestrzeni R w Pochodna i ró»niczka funkcji wielu zmiennych Pochodne cz stkowe Ró»niczkowanie funkcji zªo»onych wielu zmiennych Twierdzenie o funkcji uwikªanej Badanie krzywych pªaskich 02 8 Pochodne wy»szych rz dów Najwa»niejsze zagadnienia Uwaga 05 9 Ekstrema funkcji wielu zmiennych Najwa»niejsze zagadnienia Ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 2 0 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej 8 0. Najwa»niejsze zagadnienia 8

5 Spis tre±ci Uwaga 8 Caªka Riemanna 9. Najwa»niejsze zagadnienia 9.2 Dolne i górne sumy Riemanna 9.3 Poj cie caªkowalno±ci i caªki 22.4 Warunki wystarczaj ce na caªkowalno± 25 2 Caªka Riemanna (c.d.) Najwa»niejsze zagadnienia Caªka Riemanna jako funkcjonaª liniowy dodatni Nierówno±ci dla caªek Riemanna Ró»niczkowanie wzgl dem granic caªkowania 32 3 Zastosowania caªki Riemanna 36 4 Równania ró»niczkowe zwyczajne 37 5 Równania ró»niczkowe zwyczajne (c.d.) 38 6 Zadania Ci gi liczbowe Szeregi liczbowe i pot gowe Granica funkcji Przestrzenie metryczne, zbie»no± jednostajna Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Caªki nieoznaczone 56 7 Przykªadowe kolokwia Kolokwium pierwsze Kolokwium drugie 60 Index 63 Literatura 64

6 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych. Gªówne zagadnienia Granice sko«czone i niesko«czone, dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych, przechodzenie do granicy w nierówno±ciach, twierdzenie o trzech ci gach. Zbie»no± ci gów monotonicznych, ograniczonych. Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych. Przykªady..2 Granice sko«czone i niesko«czone.2. Poj cie prawie wszystkie" Mówimy,»e pewn wªasno± posiadaj prawie wszystkie liczby naturalne je±li istnieje liczba naturalna k taka,»e wszystkie liczby od niej wi ksze speªniaj t wªasno±. Innymi sªowy, prawie wszystkie to znaczy wszystkie prócz sko«czonej ilo±ci. Na przykªad, prawie wszystkie liczby naturalne s wi ksze ni» 0, prawie wszystkie liczby naturalne s wi ksze ni» itd. Prawie wszystkie liczby naturalne n maj te» t wªasno±,»e n jest mniejsze ni» 0.0. Istotnie, je±li 2 n > k = 0 to n < 2 k = 0.0. Prawie wszystkie to nie to samo co niesko«czenie 2 wiele. Na przykªad, jest niesko«czenie wiele liczb parzystych, ale nie jest prawd,»e prawie wszystkie liczby naturalne s parzyste..2.2 Poj cie ci gu Ci giem nazywamy funkcj odwzorowuj c zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Czasami jednak ci g taki jest zdeniowany tak»e dla 0 a czasem jest zdeniowany tylko dla prawie wszystkich liczb naturalnych. Najcz ±ciej ci gi oznacza si (a n ) n, (b n ) n, (x n ) n itd. lub a n, n, b n, n, x n, n itd. Ci g zadaje si zwykle za pomoc wzoru, np: a n = n + n3 2 n 3, b n = n 2 n + 5 n, c n = 6 ( + n) n, (.)

7 .2 Granice sko«czone i niesko«czone 7 lub za pomoc zale»no±ci rekurencyjnych, np.: f 0 = 0, f =, f n = f n + f n 2, n > (ci g Fibonacciego), (.2) lub w 0 = 0, w n = 2w n +, dla n (wie»e z Hanoi) (.3) lub j =, j 2n+ = 2j n +, j 2n = 2j n, n. (.4).2.3 Otoczenie punktu Otoczeniem (otwartym) liczby rzeczywistej a (punktu na prostej) nazywamy ka»dy przedziaª postaci (a ɛ, a + ɛ) gdzie ɛ > 0. Zauwa»my,»e punkt b nale»y do otoczenia o dªugo±ci 2ɛ je±li a b < ɛ; otoczenie takie nazywa si cz sto otoczeniem epsilonowym. Otoczeniem punktu w niesko«czono±ci (+, lub po prostu ) nazywamy ka»dy przedziaª postaci (K, ) gdzie K jest liczb rzeczywist. Analogicznie, otoczeniem punktu w minus niesko«czono±ci nazywamy ka»dy przedziaª postaci (, K), gdzie K jest liczb rzeczywist. Przykªad: przedziaª o ko«cach 0, 99 i, 0 jest otoczeniem punktu. Jakiego punktu otoczeniem jest przedziaª o ko«cach i? Przedziaª [00, ) nie jest otoczeniem ale jest nim przedziaª (00, )..2.4 Granica ci gu Liczb rzeczywist a nazywamy granic ci gu (a n ) n je±li w ka»dym jej otoczeniu znajduj si prawie wszystkie wyrazy tego ci gu. Innymi sªowy, dla dowolnej liczby dodatniej ɛ > 0 prawie wszystkie wyrazy ci gu speªniaj warunek a n a < ɛ. Piszemy wtedy lim n a n = a i mówimy,»e gdy n d»y do niesko«czono±ci, ci g a n, n d»y do a..2.5 Przykªady a) Je±li ci g a n = a, n gdzie a jest jak ± liczb (tak zwany ci g staªy), to lim n a n = a. Istotnie, wszystkie wyrazy tego ci gu le» w ka»dym otoczeniu liczby a. b) Ci g n 2 d»y do zera. Faktycznie, dla dowolnego ɛ > 0, niech k = ɛ (pierwiastek z najmniejszej liczby naturalnej wi kszej ni» ɛ ). O ile n > k to n 2 > k 2 > ɛ ɛ co oznacza,»e a n < ɛ a wi c i a n < ɛ (bo a n > 0). c) Zaªó»my,»e ci g a n, n 0 zd»a do granicy a i zdeniujmy ci g b n = a n+l, n gdzie l jest jak ± liczb naturaln. Czy b n, n jest Mówimy w skrócie,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu a n, n speªaniaj jak ± zale»no±, je±li prawie wszystkie liczby naturalne n maj t wªasno±,»e a n speªnia dan zale»no±.

8 8 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych zbie»ny? Tak i to do tej samej granicy co a n, n 0. Niech bowiem ɛ > 0. Wiemy,»e dla wszystkich n wi kszych ni» pewne k, a n a < ɛ. A zatem, o ile tylko n > k l to b n a = a n+k a < ɛ. d) Niech a b dzie liczb z przedziaªu (0, ); ci g a n = a n, n d»y do zera. Istotnie, maj c dane ɛ > 0 wystarczy wybra k wi ksze ni» log ɛ log a e) Ci g. (a n ) n d»y do zera wtedy i tylko wtedy gdy ( a n ) n d -»y do zera. Istotnie, to»e ten ostatni ci g d»y do zera oznacza i» dla dowolnego ɛ > 0 prawie wszystkie wyrazy tego ci gu speªniaj nierówno± a n 0 < ɛ. Lewa strona tej nierówno±ci jednak równa jest a n. Innymi sªowy to,»e ( a n ) n d»y do zera oznacza i» prawie wszystkie jego wyrazy speªniaj nierówno± a n < ɛ co jak wiemy jest równowa»ne zbie»no±ci do zera ci gu (a n ) n. f) Ci g a n = ( ) n, n nie d»y do»adnej granicy. Faktycznie, widzimy,»e dla parzystych n, a n = a dla nieparzystych a n =. Innymi sªowy, niesko«czenie wiele elementów tego ci gu jest równych jeden i niesko«czenie wiele jest równych. Gdyby a byªo granic naszego ci gu to w otoczeniu (a 4, a + 4 ) le»aªoby prawie wszystkie wyrazy naszego ci gu. Poniewa» niesko«czenie wiele wyrazów jest równych jeden a < 4. Podobnie wnioskujemy,»e a + < 4. Liczby, która speªniaªaby obie te nierówno±ci na raz nie ma. Ci g ten jest rozbie»ny. g) Podobnie, ale nie tak samo, ma si rzecz z ci giem a n = n, n. Ci g ten nie ma granicy (sko«czonej). Istotnie, gdyby granica ta by- ªa równa jakiej± liczbie a, powiedzmy dodatniej, to w przedziale (0, 2a) byªoby niesko«czenie wiele wyrazów ci gu a n. Dla dowolnej liczby rzeczywistej K jednak mo»emy wybra k równe na kwadratowi max(0, K). Wtedy n > k implikuje a n > max(0, K) K. Inaczej mówi c niesko«- czenie wiele wyrazów naszego ci gu le»y w przedziale (K, ). Niemo»- liwe jest wi c, by niesko«czenie wiele z nich byªo w przedziale (0, 2a) (podobnie jest z przypadkami a < 0 i a = 0)..2.6 Granice niesko«czone Ci g rozpatrywany w.2.5 g) jest rozbie»- ny do niesko«czono±ci: ci g a n, n nazywamy rozbie»nym do niesko«- czono±ci (czasami: zbie»nym do niesko«czono±ci) je±li w ka»dym otoczeniu niesko«czono±ci le» prawie wszystkie jego wyrazy; pieszemy wtedy lim n a n =. Podobnie deniuje si zbie»no± ci gu do minus niesko«czono±ci..2.7 Uwaga Bezpo±rednio z denicji granicy wida,»e ci g pozostanie zbie»ny je±li zmienimy dowoln sko«czon ilo± jego wyrazów; nie zmieni si te» jego granica.

9 .3 Dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych Uwaga Jak widzieli±my, niektóre ci gi maj granice a inne ich nie maj. Ale czy ci g mo»e mie wi cej ni» jedn granice? To pytanie, z pozoru przewrotne, wcale nie jest nieuzasadnione. Je±li odpowied¹ na nie brzmi tak to pisanie lim n a n = a byªoby co najmniej dwuznaczne. Na szcz ±cie tak nie jest. Skupmy si na przypadku granic sko«czonych. Co by si staªo, gdyby ci g, nazwijmy go (a n ) n miaª dwie granice, powiedzmy a i b, a b. We¹my ɛ = b a 4. W epsilonowym otoczeniu a le» prawie wszystkie elementy ci gu a n, a wi c poza nim le»y ich sko«- czona ilo±. Podobnie w epsilonowym otoczeniu b le» prawie wszystkie elementy ci gu a n, a wi c poza nim le»y ich sko«czona ilo±. Ale te otoczenia s rozª czne! Ta sprzeczno± dowodzi,»e a musi by równe b, a wi c i»e ci g mo»e mie tylko jedn granic..3 Dziaªania arytmetyczne na ci gach zbie»nych W praktyce rzadko dowodzi si zbie»no±ci ci gu bezpo±rednio u»ywaj c samej denicji: przypominaªoby to ci cie zbo»a sierpem, lub programowanie w j zyku TYMAS (Typowy Maszynowy Assembler, brr!). ycie uªatwiamy sobie za pomoc nast puj cego twierdzenia:.3. Twierdzenie Niech α i β b d liczbami rzeczywistymi. O ile ci gi (a n ) n i (b n ) n s zbie»ne, odpowiednio, do granic a i b, to zbie»ne s te» ci gi (αa n + βb n ) n i (a n b n ) n ; zachodz tak»e wzory: lim (αa n + βb n ) = αa + βb, n Ponadto, o ile b 0, to zbie»ny jest ci g an b n a n lim = a n b n b. lim a nb n = ab. (.5) n Zwró my uwag na fakt, i» zaªo»enie b 0 powoduje, i» prawie wszystkie wyrazy ci gu b n, n 0 s ró»ne od zera, i ci g an b n jest dobrze okre- ±lony dla odpowiednio du»ych n..3.2 Przykªad Czy ci g a n = 2n+n3 3n 3 +7 jest zbie»ny, a je±li tak to do jakiej granicy? By na to pytanie odpowiedzie, zauwa»amy,»e a n = 2b n+ 3+7c n gdzie b n = n a c 2 n = n. Wiemy ju»,»e b 3 n jest d»y do zera. Šatwo sprawdzi te»,»e ci g d n = n zmierza do zera. Korzystaj c z twierdzenia widzimy,»e c n = b n d n te» d»y do zera. Tak wi c, znów na podstawie Teraz wida jak misternie zostaªo dobrane ɛ; student informatyki PL poda jeszcze sto czterdzie±ci osiem innych przykªadów takiego wyboru i

10 0 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych twierdzenia, licznik w uªamku powy»ej d»y do 2 a mianowinik do 3, caªy ci g zatem d»y do 2 3. Sprawdzenie tego faktu na podstawie denicji jest»mudne, cho proste..3.3 Przykªad Niech a b dzie liczb rzeczywist a q <. Rozpatrzmy ci g a n = n k=0 aqk. Mamy qa n = n+ k= aqk = a n+ a = aq k+ + a n a. St d a n = a qk+ q. Korzystaj c z zale»no±ci qn = q n oraz przykªadów d) i e) przedstawionych w.2.5 widzimy,»e ci g nasz jest zbie»ny i lim n a n = a q..3.4 Oto dowód pierwszej cz ±ci twierdzenia Ustalmy ɛ > 0. Skoro a n, n d»y do a i b n, n d»y do b, to dla prawie wszystkich n mamy α a n a < ɛ 2 (jest to oczywiste je±li α = 0; w przeciwnym wypadku w denicji zbie»no±ci rozpatrujemy ɛ := α ; ɛ analogicznie dla prawie wszystkich n α a n a < 2. ɛ Z nierówno±ci trójk ta mamy dla prawie wszystkich n mamy: αa n + βb n (αa + βb) α(a a n ) + β(b n b) α a n a + β b n b < ɛ 2 + ɛ 2 Idea dowodu pozostaªej cz ±ci twierdzenia jest = podobna, ɛ. cho rachunki s nieco bardziej skomplikowane..3.5 Wyra»enia nieoznaczone Zwró my te» uwag na fakt,»e twierdzenie zostaªo sformuªowane przy zaªo»eniu,»e granice ci gów s sko«- czone. Twierdzenie pozostaje w mocy tak»e dla granic niesko«czonych o ile umówimy si i» + =, a = dla a > 0 a = dla a < 0 a = 0 dla dowolnego a R. ± Zwró my jednak uwag na fakt,»e symbole 0 pozostaj nieoznaczone, to znaczy,»e bez dodatkowej analizy nie mo»emy stwierdzi, czy tego typu granica istnieje czy te» nie i ile jest równa. Wyra»e«takich jest oczywi±cie wi cej. Na przykªad mo»na sprawdzi,»e a = dla a > i a = 0 o ile a < ; wyra»enie jest jednak nieoznaczone.

11 .4 Przechodzenie do granicy w nierówno±ciach.3.6 Uwaga Nie mo»na twierdzi,»e je±li ci g (a n + b n ) n jest zbie-»ny to zbie»ne s ci gi (a n ) n i (b n ) n : na przykªad a n = ( ) n i b n = ( ) n+ nie s zbie»ne a ich suma (równa stale 0) jest. Ta sama uwaga dotyczy ilorazu i iloczynu ci gów..4 Przechodzenie do granicy w nierówno±ciach W analizie granic przydatne okazuje si nast puj ce twierdzenie: o ile ci gi (a n ) n i (b n ) n maj granice a i b oraz dla prawie wszystkich n zachodzi nierówno± : a n b n to tak»e a b. Zwró my uwag na przykªad a n = n, b n = n. Mimo, i» a n < b n w granicy ostra nierówno± nie jest zachowana: 0 = 0. Dowód twierdzenia jest do± ªatwy: zastanówmy si czy mo»liwe jest by a > b. Niech ɛ = a b 4 (gdzie± podobne ɛ ju» widziaªem; czy nie mogliby±my wzi na przykªad ɛ = a b π dla odmiany?). Wiemy,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu a n le» w epsilonowym otoczeniu a i prawie wszystkie wyrazy ci gu b n le» w otoczeniu epsilonowym otoczeniu b. Skoro a ɛ > b+ɛ, dla prawie wszystkich n mamy a n > b n - co jest sprzeczne za zaªo»eniem. Sytuacj t najlepiej wyobra»a rysunek, którego wykonanie polecam jako prac domow..5 Twierdzenie o trzech ci gach Oto jeszcze jedno wa»ne twierdzenie wi» ce poj cie zbie»no±ci ci gu z porz dkiem liczb rzeczywistych. Zaªó»my,»e dane s trzy ci gi (a n ) n, (b n ) n i (c n ) n, oraz»e prawie wszystkie ich wyrazy speªniaj zale»- no± : a n b n c n. (.6) Je±li ci gi skrajne" (a n ) n i (c n ) n zbiegaj do tej samej granicy g, to zbie»ny jest te» ci g (b n ) n i jego granic jest równie» g. Oto dowód: niech b dzie dane ɛ > 0. Prawie wszystkie wyrazy ci gu (c n ) n speªniaj warunek c n g < ɛ a wi c w szczególno±ci c n < g +ɛ. Warunek (.6) dowodzi zatem,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu (c n ) n speªniaj c warunek c n < g + ɛ. Analogicznie, korzystaj c ze zbie»no±ci ci gu (a n ) n do g i warunku (.6) przekonujemy si,»e prawie wszystkie wyrazy ci gu (c n ) n speªniaj nierówno± g ɛ < b n. Š cz c te dwie nierówno±ci widzimy,»e dla prawie wszystkich n, mamy b n g < ɛ. Skoro ɛ byªo wybrane dowolnie, zbie»no± ci gu (b n ) n zostaªa dowiedziona.

12 2 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych.5. Przykªad Dla dowolnego a > 0, ci g a n = n a zbiega do. Dowód przebiega w dwóch krokach. W pierwszym z nich zauwa»amy,»e mo»na si skoncentrowa na przypadku a > ; istotnie, je±li a < to b = a > i, o ile uda nam si uprzednio dowie±,»e teza jest prawdziwa dla liczb wi kszych ni» jeden, to otrzymamy lim n n a = lim n n b = = ; dla a = teza jest oczywista. W kroku drugim korzystamy z nast puj cej nierówno±ci Bernouliego: ( + x) n + nx, gdzie x 0, n ; nierówno± ta jest bezpo±rednim wynikiem znanej to»samo±ci Newtona: (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k Korzystaj c z zaªo»enia a >, otrzymujemy b n := n a 0 (Zapis x := y" oznacza,»e wielko± x deniowana jest za pomoc wielko±ci y; w naszym wypadku, b n deniujemy wzorem b n = n a ). Podstawiaj c x = b n do nierówno±ci Bernouliego mamy: 0 b n ( + b n) n n = a n. Ostatni z ci gów wyst puj cych w tej nierówno±ci zbiega do zera. Drugi ci g skrajny jest staªy i tak»e zbiega do zera. St d b n d»y do zera, a wi c a n = b n + d»y do jedynki..5.2 Przykªad Czy ci g a n = n 2 n + 5 n ma granic, a je±li tak, to jak? Wyrazy ci gu oszacowa mo»na nast puj co: 2 n + 5 n 2 5 n, wi c a n 5 n 2. Z drugiej strony oczywi±cie 2 n + 5 n 5 n co daje a n 5. St d 5 a n 5 n 2. Prawy skrajny ci g d»y, na podstawie poprzedniego przykªadu, do 5; do tej samej liczby d»y lewy skrajny ci g. St d lim n a n = 5..6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych.6. Ci gi ograniczone Ci g a n, n nazywamy ograniczonym je±li istnieje liczba M > 0 taka,»e a n M dla wszystkich n. Mówimy,»e ci g jest ograniczony z góry (analogicznie: z doªu) je±li istnieje liczba rzeczywista M taka,»e a n M (analogicznie: a n M) dla wszystkich n. Liczb tak nazywamy ograniczeniem tego ci gu. Ka»dy ci g zbie»ny jest ograniczony: istotnie, skoro prawie wszystkie jego wyrazy powiedzmy wszystkie poza pierwszymi k wyrazami le»

13 .6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych 3 nie dalej ni» w odlegªo±ci jeden od jego granicy g, to bezwzgl dna warto± jego wyrazów nie przekracza max { g +, g, a,..., a k } (liczby g + i g s ko«cami otoczenia granicy g). Nie ka»dy jednak ci g ograniczony jest zbie»ny; za przykªad sªu»y tu mo»e a n = ( ) n ; wiemy ju»,»e ci g ten nie jest zbie»ny, a jednak dla wszystkich n, a n = wi c za staª M z denicji mo»na wzi. Oczywi±cie ci g ograniczony jest ograniczony z góry i z doªu. Šatwo te» sprawdzi,»e ci g, który jest ograniczony zarówno z góry jak i z doªu jest ograniczony. Istniej ci gi, które nie s ograniczone, cho s ograniczone z góry (analogicznie: z doªu). Na przykªad, a n = n jest ograniczony z doªu (przez 0 na chocia»by), ale nie jest ograniczony: ci g ten jest wr cz rozbie»ny do niesko«czono±ci. Podobnie a n = n jest ograniczony z góry ale nie jest ograniczony. Nie powinni±my jednak s dzi,»e ka»- dy ci g nieograniczony (to znaczy taki, który nie jest ograniczony) jest rozbie»ny do niesko«czono±ci lub minus niesko«czono±ci; we¹my cho by ci g a n = ( ) n n, który jest oczywi±cie nieograniczony, bo mamy wr cz lim n a n =, ale nie mo»e by rozbie»ny ani do plus ani do minus niesko«czono±ci, bo przyjmuje na przemian wyrazy dodatnie i ujemne (tak wi c niesko«czenie wiele jego wyrazów jest dodatnich i niesko«czenie wiele jest ujemnych, nieprawd jest wi c,»e prawie wszystkie le» w (0, ), ani»e prawie wszystkie le» w (, 0)). Nie jest prawd te»,»e ka»dy ci g nieograniczony (a n ) n ma t wªasno±,»e lim n a n =. By si o tym przekona wystarczy rozpatrzy ci g a n = [( ) n ]n, którego niesko«czenie wiele wyrazów jest równych zero, a jednak jest nieograniczony bo a 2k+ = 2(2k + ). Zachodzi natomiast nast puj ce wa»ne twierdzenie:.6.2 Twierdzenie Je±li ci g a n, n 0 jest ograniczony z góry i pocz wszy od pewnego wyrazu niemalej cy to znaczy,»e dla prawie wszystkich wyrazów liczb naturalnych n prawdziwa jest nierówno± a n a n+, to ci g ten jest zbie»ny. By nabra intuicji zwi zanej z tym twierdzeniem warto pomy±le o ci gu a n = n. Dowód tego faktu przebiega nast puj co. Na podstawie wniosku.2.7 lub trzeciego z przykªadów.2.5, mo»emy bez straty ogólno±ci zaªo»y,»e ci g jest niemalej cy nie tylko poczawszy od pewnego wyrazu ale caªy czas". Zastanówmy si teraz. Liczb ograniczaj cych nasz ci g od góry jest bardzo du»o; wybierzmy najmniejsz z nich. (Istnienie takiej liczby nie jest banaln spraw, ale nie b dziemy si tu tym problemem zajmowa ). Wybieramy wi c tak liczb M 0,»e dla wszystkich n mamy

14 4 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych a n M 0 a równocze±nie je±li warunek powy»szy speªnia jaka± inna liczba M to zachodzi nierówno± M 0 M. Niech ɛ > 0. Skoro M 0 ɛ < M 0 to M 0 ɛ nie ogranicza naszego ci gu od góry. Istnieje zatem takie naturalne k,»e a k > M 0 ɛ. Skoro jednak ci g jest niemalej cy, a k+ a k > M 0 ɛ, stosuj c indukcj przekonujemy si,»e a n > M 0 ɛ, dla wszystkich n k. Z drugiej strony a n M 0 dla wszystkich n. To znaczy,»e dla prawie wszystkich n zachodzi nierówno± a n M 0 < ɛ, ale to dowodzi,»e M 0 jest granic naszego ci gu..6.3 Wniosek Ka»dy ci g nierosn cy (od pewnego miejsca) i ograniczony z doªu jest zbie»ny. Dowód: ci g (a n ) n speªnia te warunki wtedy i tylko wtedy gdy ( a n ) n speªnia zaªo»enia twierdzenia Uwaga Przestrzegam przed rozumowaniami typu: inacja stale maleje a zatem d»y do zera. Granic ci gu nierosn cego i ograniczonego z doªu jest najwi ksze a nie dowolne dolne ograniczenie tego ci gu!.6.5 Przykªad Czy ci g a n = n 3 jest zbie»ny? Šatwo sprawdzi,»e jest on malej cy: nierówno± n a n+ < a n jest bowiem równowa»na nierówno±ci n+ n < 3. Z drugiej strony, jest on niew tpliwie ograniczony z doªu (na przykªad przez 0). A zatem ma granic. Jak j obliczy? Zwró my uwag na to,»e a n+ = n+ n 3 a n. Ci g po lewej stronie d»y do g a po prawej do razy 3 razy g. Granica g speªnia wi c warunek g = 3 co znaczy,»e g g = Przykªad (bardzo wa»ny) Rozwa»my ci g b n = n k=0 k! = 2+ n k=2 k!, n. Poka»emy,»e jest on zbie»ny. Skoro c n+ c n = (n+)! ci g ten jest rosn cy. Musimy jeszcze pokaza,»e ci g a n, n jest ograniczony. Do± oczywiste jest,»e k! 2 k ; istotnie po lewej stronie mamy k jeden czynników (nie licz c jedynki, która niczego nie wnosi), z których ka»dy jest wi kszy lub równy 2. St d n k=2 k! n k=2. 2 Ci g k c n := n k=2 jest rosn cy bo c 2 k n+ c n = 2 n. Z przykªadu.3.3 wiemy,»e jego granica, która jest jednocze±nie jego ograniczeniem 2 górnym, równa jest =. To znaczy,»e ci g (b n ) 2 n jest ograniczony przez 3. Jego granic oznaczamy liter e. Jest to liczba niewymierna, a jej rozwini cie dzieci tne zaczyna si tak: 2, Dalsze wyrazy rozwini cia mo»na otrzyma nawet na zwykªym kalkulatorze korzystaj c ze wzoru na b n, który bardzo dobrze przybli»a t liczb. Staªa ta znana jako podstawa logarytmu naturalnego jest jedn z najwa»niejszych staªych w matematyce.

15 .6 Zbie»no± ograniczonych ci gów monotonicznych ( Przykªad (bardzo wa»ny) - c.d Poka»emy,»e ci g a n = + n n) jest zbie»ny - istnienie jego granicy nie jest wcale oczywiste: mamy tu do czynienia z wyra»eniem typu i»e granic jego jest e. Przyjrzyjmy si naszemu ci gowi dokªadniej: a = 2, a 2 = 9 4, a 3 = 64 27, a 4 = Cho nie wida jeszcze»adnej reguªy, zaczyna nam ±wita,»e jest to chyba ci g rosn cy. By sprawdzi t hipotez korzystamy z dwumianu Newtona: St d a n = a n = 2 + n k=0 = 2 + n k=2 ( ) n k n k = n k=2 n k=0 n! (n k)!k! n k (n )(n 2)...(n k + ) k! n k. ( ) ( 2 ) (... k ). (.7) k! n n n Analogiczna suma dla a n+ wygl da zatem tak: n+ a n+ = 2 + k=2 k! ( n + ) ( 2 n + ) (... k ). n + Jak wida ta druga suma ma nie tylko wi cej skªadników ni» poprzednia ale i ka»dy z jej n pierwszych skªadników jest wi kszy ni» odpowiedni skªadnik sumy poprzedniej. Dokªadniej, dla ka»dego 2 k n mamy k! ( n )( 2 k n )...( n ) k! ( n+ )( 2 k n+ )...( n+ ); wynika to st d,»e ka»dy z czynników po lewej stronie jest mniejszy ni» odpowiedni czynnik po stronie prawej. To dowodzi,»e a n+ a n. Przygl daj c si wzorowi (.7) widzimy te»,»e wszystkie czynniki w nawiasach s nie wi ksze ni», wi c a n 2 + n k=2 k! = n k=0 k!. Wyra»enie po prawej stronie ju» wcze±niej rozwa»ali±my, jest to ci g z przykªadu.6.6. Liczba e, która jest jego granic jest te» jego ograniczeniem górnym, a zatem i ograniczeniem górnym ci gu a n, n. A zatem ci g a n, n jest zbie»ny. Skoro a n b n, jego granica, powiedzmy g, speªnia warunek g e. Z drugiej strony, dla dowolnych liczb naturalnym n m mamy a n = n k=2 m k=2 (n )(n 2)...(n k + ) k! n k (n )(n 2)...(n k + ) k! n k.

16 6 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych Ci g po lewej stronie d»y do g, po lewej za± mamy sum m + ci gów z których ka»dy ma granic. Przechodz c zatem do granicy z n i korzystaj c m-krotnie z.3., na podstawie.4 otrzymujemy nierówno± g 2 + m k=2 k!. Po prawej jej prawej stronie rozpoznajemy b m. To znaczy: g b m. Przechodz c do granicy z m otrzymujemy g e. Š cz c t nierówno± z nierówno±ci otrzyman poprzednio widzimy,»e g = e..6.8 Uwaga Granic ci gu ( n) n ( ) jest e ; wynika to z faktu i» n n = ( = n n )n (+ n )n (+ n ). Zachodzi te» twierdzenie ogólniejsze, które pozwala obliczy wiele granic (do± prosty dowód pomijamy - zob. [9]). Je±li ci g (a n ) n ma wyrazy niezerowe i d»y do zera, to granica lim n ( + a n ) a n istnieje i równa jest e. Przykªady na wiczeniach..6.9 Przykªad Rozwa»my dwie liczby dodatnie a i b takie,»e a < b. Niech b = a+b 2 b dzie ich ±redni, a a = [ ( 2 a + b )] = 2ab a+b b dzie ich ±redni harmoniczn. Bezpo±redni rachunek przekonuje nas,»e a < b. Mo»emy teraz rozwa»y ±redni b 2 liczb a i b oraz ich ±redni harmoniczn a 2 itd. Otrzymamy w ten sposób ci gi (a n ) n i (b n ) n speªniaj ce nierówno±ci a < a n < a n+ < b n+ < b n < b. Wnioskujemy zatem,»e oba te ci gi maj granice, powiedzmy α i β. Ze wzgl du na fakt, i» b n+ = 2 (a n + b n ), β = 2 (α + β), to znaczy α = β. Sprawdzamy te» ªatwo,»e a b = ab i przez indukcj ab = a n b n. St d ab = αβ = α 2. Dowodzi to,»e oba ci gi d» do granicy ab to znaczy do ±redniej geometrycznej. Oto jeszcze jedno twierdzenie zwi zane z ci gami ograniczonymi. Jak ju» widzieli±my, je±li ci g (a n ) n zd»a do zera a ci g (b n ) n zd»a do jakiej± sko«czonej granicy, to ich iloczyn d»y do zera. Zbie»no± (a n ) n do zera jest jednak na tyle siln wªasno±ci,»e pozwala znacznie zredukowa zaªo»enie dotycz ce (b n ) n przy nie zmienionej tezie:.6.0 Twierdzenie Je±li ci g (a n ) n zd»a do zera a ci g (b n ) n jest ograniczony, to ich iloczyn d»y do zera. Dowód opiera si na twierdzeniu o trzech ci gach. Je±li M jest ograniczeniem ci gu (b n ) n, to zachodzi nierówno± 0 a n b n M a n.

17 .7 Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych 7 Skoro (a n ) n d»y do zera, do zera d»y te» ( a n ) n (zob..2.5 przykªad e)). Na podstawie twierdzenia o trzech ci gach wnioskujemy,»e ( a n b n ) n d»y do zera, a st d,»e i ci g (a n b n ) n d»y do zera..6. Przykªad Ci g a n = sin n n d»y do zera bo jest iloczynem d -» cego do zera ci gu b n = n i ograniczonego ci gu c n = sin n. Istotnie dla ka»dego n, sin n. Podobnie jest z ci giem a n = ( ) n sin n; ci g b n = ( ) n jest ograniczony a c n = sin n zd»a do zera (dowodzi tego cho by nierówno± 0 sin n n)..7 Granice ci gów ±rednich arytmetycznych i geometrycznych.7. Twierdzenie Je±li ci g a n, n jest zbie»ny to zbie»ny jest te» ci g jego ±rednich arytmetycznych, to znaczy s n = n (a a n ). Idea dowodu jest do± jasna: dla du»ych n wyrazy ci gu s bliskie granicy, a sko«czona liczba tych, które blisko granicy nie s, wnosi do ±redniej niewiele. Oto szczegóªy: niech ɛ > 0 i niech g b dzie granic ci gu (a n ) n. Prawie wszystkie wyrazy tego ci gu, powiedzmy wszystkie pocz wszy od k +, speªniaj warunek a n g < 3. ɛ Niech b n,k = n n k i=k+ a i. A zatem dla dowolnego n k +, b n,k g = n k n i=k+ a i n k n i=k+ g n k n i=k+ a i g ɛ 3. Z drugiej strony, s n = n (a +...+a k )+ n k n b n,k. To znaczy,»e s n b n,k n (a +...+a k ) + k n b n,k. Poniewa» k jest ustalone, dla prawie wszystkich n pierwsza suma jest mniejsza ni» 3. ɛ Podobnie, skoro ci g (a n ) n jest ograniczony, powiedzmy przez liczb M, to ta sama liczba ogranicza b n,k, n k+ a druga suma jest ograniczona przez k nm. Dla dostatecznie du»ych n zatem ta druga suma jest mniejsza ni» ɛ 3. Š cz c te warunki widzimy,»e dla prawie wszystkich n s n g s n b n,k + g b n,k < ɛ, czego chcieli±my dowie±..7.2 Uwaga Zwró my uwag na fakt, i» twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Istotnie, ci g a n = ( ) n+ nie jest zbie»ny, a jednak zbie»ny jest jego ci g ±rednich. Istotnie, ci g b n = n k= a k równy jest je±li n jest nieparzyste i 0 je±li n jest parzyste. W szczególno±ci (b n ) n Prosz nie myli tego ci gu z ci giem a n = n sin, który d»y do! n

18 8 Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych jest ograniczony. Dlatego te» s n = n b n jest zbie»ny do zera jako iloczyn ci gu ograniczonego i ci gu zbie»nego do zera. Warto te» zauwa»y, i» twierdzenie powy»sze prawdziwe jest tak»e w przypadku gdy lim n a n jest równe plus lub minus niesko«czono±. Dowód pomijamy (zob. na przykªad [6])..7.3 Twierdzenie Analogicznie dowodzi si nast puj cego twierdzenia: Je±li ci g (a n ) n ma wyrazy dodatnie (to znaczy a n > 0) i jest zbie»ny do granicy g (by mo»e niesko«czonej) to zbie»ny jest tak»e ci g jego ±rednich geometrycznych i jego granica równa jest granicy ci gu: lim n a a 2 a n = lim a n. n n.7.4 Przykªady Je±li dla pewnego ci gu a n, n o wyrazach dodatnich istnieje granica lim n+ n a n a = g to istnieje te» granica lim n n an i równa jest g. Istotnie, ci g b n = an a n, n (gdzie przyjmujemy a 0 = ) speªnia warunki twierdzenia.7.3 i b b n = n a n. Dla n n+ przykªadu, skoro lim n n =, mamy te» lim n n n =. Podobnie, z warunku lim n n! (n+)! = lim n (n + ) = wnioskujemy,»e lim n n n! =. By za± obliczy granic ci gu n n n! zauwa»amy,»e ci g a n = n! n speªnia warunek n an+ a n = ( n n+ )n = (+ n) a zatem lim n n an+ a n = e. St d te» lim n n n n! = n limn n! n n = e..8 Dodatek: twierdzenie Stoltza Czasami do obliczania granic ci gów przydatna jest nast puj ca dyskretna wersja twierdzenia de l'hospitala, znana jako twierdzenie Stoltza. Je±li x n, n i y n, n s ci gami d» cymi do niesko«czono- ±ci takimi,»e dla prawie wszystkich n, y n+ > y n, i istnieje granica x lim n+ x n x n y n+ y n = g, to istnieje te» granica lim n n yn i równa jest tak»e g. (Dowód mo»na znale¹ w ksi»kach [2, 9])..8. Przykªad Twierdzenie o zbie»no±ci ±rednich arytmetycznych jest wnioskiem z twierdzenia Stoltza: wystarczy przyj x n = n k= a k i y n = n. Wtedy ci g y n jest ±ci±le rosn cy i y n+ y n = a x n+ x n = a n+. Tak wi c istnienie granicy lim n a n+ = lim n a n = g poci - ga istnienie granicy n lim n n k= a k.

19 .8 Dodatek: twierdzenie Stoltza Przykªad Oto kolejny przykªad zastosowania twierdzenie Stoltza: je±li wiemy,»e ci g (a n ) n ma wyrazy nieujemne i istnieje granica lim n nan = g to istnieje tak»e granica n lim n n k= a k i równa jest 2g. Istotnie, za x n przyjmujemy ponownie n k= a k a y n jest teraz równe n. Mamy y n+ y n = n + n > 0, a na podstawie twierdzenia Stoltza wiemy,»e wystarczy zbada granic lim n n+ n a = lim n a n+ ( n + + n) = g + lim n a n+ n + n n+ = g + g = 2g. (Zob ).

20 2 Szeregi liczbowe i pot gowe 2. Gªówne zagadnienia Sumowalno± (zbie»no± ), zbie»no± bezwzgl dna. Kryterium porównawcze, porównawcze ilorazowe. Górna i dolna granica ci gu. Kryteria Cauchy'ego i d'alamberta. Szeregi naprzemienne, twierdzenie Leibniza. Szeregi pot gowe. Wzór Hadamarda na promie«zbie»no±ci szeregu pot gowego, bezwzgl dna zbie»no± we wn trzu przedziaªu zbie»no±ci. 2.2 Poj cie szeregu i sumowalno±ci szeregu 2.2. Szereg i jego suma Zaªó»my,»e mamy dany ci g (a n ) n. Nowy ci g utworzony z tak zwanych sum cz ±ciowych s n = n ci gu (a n ) n nazywa b dziemy szeregiem i oznacza i= a i, n n= a n. Szereg nazywamy sumowalnym, je±li jest on zbie»ny, a jego granic s, zwan sum szeregu, oznaczamy tym samym symbolem co i szereg: n= a n. Fakt,»e dwa ró»ne obiekty, sam szereg jak i jego granic oznaczamy tym samym symbolem nie prowadzi zwykle do nieporozumie«. Podobnie jak w przypadku ci gów zdarzy si mo»e,»e ci g (a n ) n zdeniowany jest tylko dla prawie wszystkich liczb naturalnych. Tylko dla tych liczb naturalnych zdeniowany jest te» wtedy szereg: piszemy wtedy na przykªad n=k a n. Widzieli±my,»e maj c dany ci g mo»emy zdeniowa szereg, a szereg ten jest znowu ci giem. Czy maj c dany dowolny ci g (s n ) n mo»emy znale¹ ci g (a n ) n taki,»e zwi zany z nim szereg równy jest (s n ) n? Tak. Wystarczy zdeniowa a = s, a 2 = s 2 s, a 3 = s 3 s 2 itd., tzn. a n = s n s n, n 2. W pewnym sensie wi c teoria szeregów sprowadza si do teorii ci gów. Istotn trudno±ci w operowaniu szeregami jest jednak fakt, i» najcz ±ciej nie jest znany wygodny bezpo±redni wzór 20

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

7. Nierówno Schwarza. 3. Ci gi i szeregi 1. Ci g liczbowy, zbie no, granica ci gu. 2. Tw. o granicach ci gu (sumy itd.). Tw. o zachowaniu relacji w gr

7. Nierówno Schwarza. 3. Ci gi i szeregi 1. Ci g liczbowy, zbie no, granica ci gu. 2. Tw. o granicach ci gu (sumy itd.). Tw. o zachowaniu relacji w gr Analiza Matematyczna - Informatyka Lista tematów na egzamin ustny UWAGA: W odpowiedzi nale y poda stosowne definicje i przyk ady, oraz wykaza si zrozumieniem tematu. 1. Logika, teoria mnogo ci, zbiory

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski

Analiza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski Analiza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu Maciej Paluszy«ski 7 grudnia 2007 Liczby rzeczywiste i zespolone Liczby rzeczywiste Nie b dziemy szczegóªowo zajmowa si konstrukcj zbioru liczb rzeczywistych.

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1 semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów *** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Poni»ej podane s przykªadowe pytania Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Dowód niewymierno±ci liczby 2.

Poni»ej podane s przykªadowe pytania Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Dowód niewymierno±ci liczby 2. Pytania na egzaminie magisterskim dotycz gªównie zagadnie«zwi zanych z tematem pracy magisterskiej. Nale»y by przygotowanym równie» na pytania sprawdzaj ce podstawow wiedz ze wszystkich zaliczonych wykªadów.

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy. Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo