Teoria Sygnałów. II rok Informatyki Stosowanej Studia Niestacjonarne

Transkrypt

1 oria Sgałów II rok Iormatki Stosowaj Studia istacjoar oria sgałów (zakrs matriału Wstęp wiadomości z aaliz ukcjoalj, przstrzi Hilbrta, oprator. Rprztacj sgałów w dzidzii czasu, rprztacj aalogow (ciągł. oria próbkowaia, rprztacj dskrt. Aaliza sgałów w dzidzii czasu. Dzidzia widmowa. Dzidzia Z. Aaliza sgałów w dzidzii widmowj oraz w dzidzii Z. Aaliza układów damiczch, iltracja. Podstawowa litratura:. omasz P. Ziliński Od torii do crowgo prztwarzaia sgałów, Wd. EAIE AGH, (potm wda w W. Jrz Szabati Podstaw torii sgałów, WKŁ, 98 i późijsz 3. Ro Bracwll Przkształci ourira i jgo zastosowaia, W Adrzj Wojar oria sgałów, W, B.P.Lathi oria sgałów i układów tlkomuikacjch, PW, R.K.Ots, L. Eochso, Aaliza umrcza szrgów czasowch, W, 978 Zbiór zadań. Zdzisław PapirAaliza częstotliwościowa sgałów, Wd. AGH, 995. II rok IS

2 Sgał procs zmia pwj wilkości izczj lub stau obiktu izczgo w czasi lub w przstrzi. Sgał grali przkazuj jakąś iormację (tj. jst ośikim iormacji. Sgał moż bć rówiż sttzowa do clów komuikacji. Modl matmatcz sgałów : ukcj rzczwist jdo lub wilowmiarow ukcj zspolo Dstrbucj Oprowai modlami matmatczmi sgałów umożliwia ich ormalą aalizę mtodami matmatczmi w odrwaiu od izczj atur sgałów. Ułatwioa jst poadto ich jdozacza klasikacja. II rok IS 3 Prztwarzai sgałów - zastosowaia: auka (astroomia, izka, goizka, przmsł rozrwkow (audio, wido, tlkomuikacja (kodowai, mdca (rozpozawai, klasikacja obrazów mdczch, wojsko (radar, przmsł (w tm przmsł wdobwcz i prztwórcz. Aplikacj: spcjalizowa (drogi - wojsko, mdca, przmsł, szroko dostęp (tai - przmsł rozrwkow. Szbki rozwój crowgo prztwarzaia sgałów astąpił dzięki rówolgłmu rozwojowi: torii, aplikacji, sprzętu (tchologii. pow zagadiia prztwarzaia sgałów dotczą: prztwarzai jdgo sgału w clu otrzmaia drugigo (p. dmodulacja, itrprtacji sgału (p. rozpozawai mow. II rok IS 4

3 Klasikacj sgałów:. z względu a przwidwalość zmia sgał dtrmiistcz i losow (stochastcz. z względu a dzidzię sgał ciągł (okrślo wszstkich [ a, b] i dskrt, okrślo wbrach puktów. Poza tmi puktami sgał są iokrślo. Sgał ciągł będzim ozaczać jako ( lub (t. Sgał dskrt ozaczam jako [ ] lub jako []. II rok IS 5 3. Z względu a przciwdzidzię (zbiór wartości ukcji. Zbiór t moż bć ciągł (sgał ciągł w amplitudzi lub dskrt (albo skończo gd liczba wartości przjmowach przz ukcję jst rówa. W drugim wpadku sgał azwam skończom w amplitudzi. Obok przkład sgału ciągłgo i dskrtgo. Sgał taki azwam biarmi. Sgał dskrt w czasi powstał w wiku próbkowaia sgałów ciągłch z okrślom krokim próbkowaia. II rok IS 6

4 3. Z względu a czas trwaia sgału: sgał o iskończom czasi trwaia i o skończom czasi trwaia (potoczi sgał impulsow. Obok przdstawioo sgał ciągł i dskrt o iskończom i skończom czasi trwaia. Sgał impulsow to ikoiczi impuls!! II rok IS 7 Paramtr sgałów ciągłch Są to global charaktrstki liczbow sgałów użtcz w ich klasikacji. Diicj poszczgólch paramtrów różią się w zalżości od tgo cz sgał są ciągł cz dskrt. ajistotijsz z tch paramtrów to: Wartość śrdia : sgału impulsowgo okrślogo w przdzial [a,b]: b a sgału o iskończom czasi trwaia b a lim ( d ( d Wilkość graicza!! sgału okrsowgo ( d II rok IS 8

5 Ergia : Moc śrdia: E P lim ( d ( Moc śrdia sgału okrsowgo : P Wartość skutcza: ( sk P d d Poiważ zakładam, ż sgał są wilkościami bzwmiarowmi rgia ma wmiar to rgia ma wmiar tożsam z wmiarm -ów (czas lub długość. Moc jst wilkością bzwmiarową. Jśli to sgał azwam sgałm o ograiczoj rgii. Podobi diiujm sgał o skończoj moc. Wioski: moc sgałów o ograiczoj rgii jst rówa zru rgia sgałów o ograiczoj moc jst iskończoa sgał impulsow o ograiczoj amplitudzi ma ograiczoą rgię sgał o iograiczom czasi trwaia mogą mić ograiczoą rgię bądź moc sgał o ograiczoj amplitudzi i moc mają iskończo czas trwaia (p. sgał okrsow II rok IS 9 Kilka przkładów sgałów aalogowch Sgał (impuls prostokąt ( Π( E < > Sgał (impuls trójkąt ( Λ( 3 E < > II rok IS

6 Sgał (impuls Sa (od ag. samplig lub Sic siω ( Sa ω ω ω E Sgał (impuls Sa lub Sic si ω ( Sa ω ( ω E 3ω II rok IS Sgał harmoicz ( X si( ω ϕ P X < < Sgał harmoicz modulowa (radiow ( A si( ω ϕ ( < < II rok IS

7 ala prostokąta bipolara X P X ala prostokąta uipolara X P X X II rok IS 3 Sgał jdostkow ( ( u( P > < Sgał Sg( ( sg( P > < II rok IS 4

8 Rprztacj sgałów Często zamiast korzstać z bzpośrdij rprztacji ukcjj korzsta się z pwj rprztacji sgału. Przkładm ajczęścij spotkam jst rprztacja ourira (koljo rzczwista i zspoloa: ω ( a ( a cos kω b kω k k k si k ( t R z ( t k ikωω ( Y lub rprztacja zspoloa sgału: Waż! Współcziki w obu szrgach tworzą rprztację z iarg z( t ( t ( t i( t z( t ( t R z( t ( t Im z( t z ( t ( t ( t z( t arctg( ( t ( t arg Widmo amplitudow Widmo azow Wika stąd rprztacja zspoloa sgału harmoiczgo: z iωt ( t cosω t i siω t II rok IS 5. Przkład ich rprztacji to : trasormacja Laplac a, szrg Kotilikowa-Shaoa, sgał aalitcz. ostati diiujm jako: z ˆ ( t ( t iˆ ( t ( ( t t d τ t τ Ostati wzór okrśla tzw. trasormatę Hilbrta, prz czm wartość ostatij całki jst rozumiaa w ssi wartości główj Cauch go. Sgał aalitcz staowi uogólii kocpcji sgału zspologo a sgał iharmoicz. Wartość główa Cauch go moż bć okrśloa ukcji rzczwistj ( jako c b ε c vp ( d lim ( d ( d ε (rac. valur pricipal a a b ε jżli całki po prawj stroi istiją każdgo ε oraz istij graica ε II rok IS 6

9 Modl dtrmiistcz sgałów dskrtch (9.3 δ ukcja Diraca jst diiowaa jako obikt matmatcz o astępującch własościach: t δ ( t δ ( t t t t dt δ ( t t δ ( t δ t t ( t δ ( t t dt Okrsow ciąg impulsów Diraca (tzw. dstrbucja grzbiiowa - tzw. dstrbucja Sza: Impulsow sgał spróbkowa: ( t ( t δ ( t ( δ ( t II rok IS 7 Opis własości δ - ukcji moż bć prowadzo w oparciu o tzw. ukcj aproksmując. Są to ukcj dwóch zmich o postaci δ ( t,ε okrślo t, i ε któr spłiają waruki: ( lim δ ( t, ε t ε t ( t ε δ, dt ε δ ( t, ε δ ( t, ε ε t u ( t ε u( t ε ε δ ( t, ε ε ε ( t ε ( t ε ε t t ε t ε m samm przjmujm, ż δ - ukcja jst graicą ukcji aproksmującj δ ( t lim δ ( ε,t ε II rok IS 8

10 W oparciu o ukcj aproksmując moża wjaśić szrg własości δ -ukcji, p. podstawową własość orzkającą, ż rgia δ - ukcji jst skończoa. Miaowici: δ ( t dt lim δ ( t, ε dt lim δ ( t, ε ε ε dt Wkowai działań a δ - ukcji rozumim w t sposób, ż wkoujm t działaia a ukcji aproksmującj δ(t,ε a astępi obliczam graicę prz ε dążącm do zra. Własości δ - ukcji: k δ ( t dt k δ ( t dt k Możi przz stałą ( t δ ( t t ( t δ ( t t [ ( t ( t ] δ ( t t ( t δ ( t t Możi przz ukcję (t t t δ ( τ dτ ( u( t δ ( t t d dt Całkowai dstrbucji Diraca t ( t δ ( t t dt ( t δ ( t t dt ( t ( t *δ ( t ( τ δ ( t τ dτ ( t t Splot dstrbucji Diraca t t II rok IS 9 Impuls Krockra - jst o odpowidikim aalogowj (!!! δ - ukcji [ ] δ [ ] E II rok IS

11 Wartości śrdi sgałów impulsowch ( ( ( lim o skończom czasi trwaia o iskończom czasi trwaia okrsow Paramtr rgtcz ( ( ( sk P P P E lim rgia moc śrdia moc śrdia sgału okrsowgo wartość skutcza II rok IS Impuls Krockra [ ] [ ] E δ [ ] > Impuls prostokąt Sgał wkładicz [ ] a E a a < < Sgał Sa( [ ] [ ] θ θ θ si Sa E [ ] E 3 > Impuls trójkąt θ E Sgał skoku jdostkowgo [ ] [ ] < E II rok IS

12 Aaliza harmoicza sgałów Aaliza sgałów odbwa się w tzw. przstrzi Hilbrta, którj ajważijszm przkładm (do którgo ograiczm dalsz asz rozważaia jst przstrzią L ukcji całkowalch z kwadratm, tj L b a ( a, b : : ( d < Zbiór takich ukcji jak powidziao tworz przstrzń wktorową. Ilocz skalar dwóch ukcji i w tj przstrzi okrślam jako całkę z iloczu tch ukcji: b o a zaś ormę jako: ( ( d b a d ( Waża uwaga! Cz z aktu, ż o d wika ż? b a wirdzi to jst iprawdziw w przpadku, gd całka jst całką Rimaa. Jżli zaś będzim bazować a całc Lbsqu ato powższ twirdzi będzi prawdziw, jśli ukcja będzi rówa zru prawi wszędzi, to zacz poza zbiorm miar zro (miar Lbsqua. Układ ukcji { (} w przstrzią L azwam ortogoalm jśli, o ( ( d m m b a m powch przkład układu ukcji ortogoalch w przdzial jst zbiór { cos,,,... }. Jżli obliczm ilocz skalar dwóch dowolch ukcji cosmi cos m, to otrzmam ( m d [ ( m ( m ] m cos cos cos cos si m ( m si( m orma z ukcji wosi d cos d cos cos,,,... m m d Jżli każda z ukcji zbioru ortogoalgo zostai podziloa przz odpowiadającą jj ormę, to zbiór będzi zwa ortoormalm (orma każdj ukcji będzi jdostkowa. Dla powższgo przkładu zbiór ukcji ortoormalch będzi miał postać:

13 Szczgólmi przpadkami zbiorów ukcji ortogoalch w przstrzi L (a,b są zbior:,si,cos,si,cos,... l l l l {,si,cos,si,cos,... } ( a cos [ a, a ] a b si l l [ l,l] Załóżm, ż posługując się pirwszm zbiorm utworzliśm szrg zbiż do ukcji (, (moża zrobić aalogiczi posługując się dowolm zbiorm ukcji ortogoalch tj. Posługując się wzorm a uogólio współcziki ourira możm zalźć wzor a współcziki. Poiważ a l l ( d a ( l l l l cos d l a ( a cos b si b l l l ( si d l Użwając drugigo zbioru ukcji ortogoalch wzor przdstawiają się astępująco: Ja B. Josph ourir ( a ( d a ( cos d b ( si d Przkład ( a ( d ( d ( ( cos d ( cos d K a b ( si d ( si d K Jak widać współcziki a powi bć liczo osobo Załóżm, ż mam ukcję ciągłą klas C (ciągła jst rówiż pirwsza pochoda tj ukcji. wirdzi Szrg ourira ukcji ciągłj klas C w przdzial [-l,l] którj zachodzi (-l(l jst jdostaji zbiż do ukcji ( w tm przdzial.

14 asuwa się ptai jak zachowuj się szrg ourira w puktach iciągłości? Zachodzi twirdzi: Jżli ukcja (jst przdziałami klas C (ciągła lub iciągła w przdzial [-l,l] to szrg ourira jst zbiż do wszstkich wartości prz czm suma szrgu S( jst rówa : S ( ( ( ( [ ( ( ] puktu ciągłości puktu iciągłości, ozaczają odpowidio graicę lwo i prawostroą. p. Dla ukcji omawiaj w ostatim przkładzi w przdzial [-, ]szrg jst zbiż w każdm pukci do wartości ukcji (zaś szrg jst zbiż do puktu /. Szrg ourira jst ukcją priodczą. Poiważ ukcja ( bła okrślaa w przdzial [-l,l] więc szrg ourira rprztuj w istoci rzcz ukcję okrsową ( rówą (w każdm z przdziałów [( l, ( l],,±, ±,... Szrg ourira w postaci zspoloj. cos p i p i l l l si p i p i l i l l a ib a ib a cos b si p i p i l l l l a c a ib c,,k a ib c ( l c i c p, ±, ±, l i d l l l p ( K Ciąg {c } współczików zspoloch azwa się widmm ukcji, ciąg { c } widmm amplitudowm a ciąg {argc } -widmm azowm.

15 rasormacja ourira Dzidzia częstotliwościowa staowi altratwę opisu i aaliz sgałów względm dzidzi czasowj. Zakładam ż (* L, ( ( ( u ( i u d ( ( u i u du Ia, często spotkaa postać par trasormat ourira (udowodić rówoważość obu postaci ( ω ( iω d i ω dω ( ( ω Dla sgałów o ograiczoj rgii spłiającch podstawow założi (* trasormacja ourira jst wzajmi jdozacza jśli powższ całki są całkami Labsqu a. rasormację ourira będzim ozaczać w róż sposób: ( u I[ ( ] I ( ( u jφ ( u ( u ( u [ ] ( u R ( u I ( u I ( ( u u arctg R( u ( u ( u φ Postać biguowa trasormacji ourira Widmo amplitudow Widmo azow P Widmo rgii sgału Przkład: Obliczć trasormację ourira ukcji α iω ( α iω ( α iω ( ω A d A d α ω A i α ω α ω A α iω Widmo amplitudow Widmo azow α ( A u( gdzi u( ukcja jdostkowa φ ( u A α iω A α iω α ω ( ω ( ω ( ω I arctg R u ( u ω arctg ( α A α ω

16 W przpadku sgałów o ograiczoj moc trasormacja ourira w ssi zwkłm i istij, gdż całka ( ω ( iω d jst rozbiża. Cit: rgia sgałów o ograiczoj moc jst iskończoa Całka zbiża tlko ukcji z przstrzi L (, : : d Przkład : w ssi zwkłm i istij trasormacja ourira ukcji (cos( X(-h,h. Dla takich sgałów diiuj się trasormację ourira w ssi graiczm. ich ( będzi sgałm, któr i ma trasormat w ssi zwkłm. worzm ciąg sgałów któr posiadają trasormatę ourira w ssi zwkłm, tj: { α ( : α R } lim ( ( α α oraz I[ ( ] ( ω Jśli są spłio powższ waruki to przjmujm, ż I ( ( i parę ukcji ω azwam parą trasormat ourira w ssi graiczm. ω α α ω α α ( ω ( ω lim Ciąg aproksmując sgał o ograiczoj moc kostruuj się możąc go przz ukcj dostatczi szbko dążąc do zra ± α α α u ( [, (, Przkład: ukcja (cos(i jst ukcją klas L(-h,h więc jj trasormata w ssi zwkłm i istij. worzm ciąg ukcji aproksmującch, tj.: α α ( α cosω oczwiści lim cosω cosω α iω α α ( ω lim α ( ω [ δ ( ω ω δ ( ω ω ] ( α iω ω α

17 Widmo amplitudow sgałów rzczwistch jst ukcją parzstą zaś widmo azow ukcją iparzstą: ( u ( u φ( u φ ( u Poadto dowolch sgałów zachodzi: ( ( ω * * ( ( ω * * ( ( ω Parzstość i iparzstość trasormat ourira Dowolą ukcję daą w przdzial (-h,h moża rozłożć a część parzstą E( i iparzstą O(. E O ( E( O( ( [ ( ( ] ( [ ( ( ] gdzi ( ω ( iω d ( E( O( ( ω [ E( O( ]( cosω isiω E ( cosω d i O( siω d d ukcja ( moż bć ukcją zspoloą. Moża wówczas przdstawić związki pomiędz parzstością i iparzstością ukcji w obu dzidziach astępującm diagramm: ( ( o( R ( iim( R o( iimo( ( ω E( O( R E( iime( R O( iimo( Z praktczgo puktu widzia ajważijsz są ukcj rzczwist parzst ich trasormata jst rówiż rzczwista i parzsta. Ią ważą klasą ukcji są ukcj hrmitowskitjukcj (zspolo spłiając waruk (*(-. ukcj t posiadają parzstą część rzczwistą i iparzstą zspoloą. Jak wika z diagramu ich trasormata ourira jst ukcją rzczwistą.

18 Własości przkształcia ourira własość. Przkształci ourira jst liiow [ ] α ( β ( α ( ω β ( ω dowód: rwial (całkowai jst opracją liiową. własość. wirdzi o podobiństwi ω [ ( α ] α α dowód: rwial (całkowai przz podstawiai. własość 3. smtrii ω dowód: tż trwial ( ( ( ( ω własość 4. Przsuięci w dzidzii czasu (przsuięci przstrz [ α ] i ( ω α ( ω dowód: tż trwial al I t α iω iω( t α iωt iωα iωα [ ( α ] ( α d ( t dt ( t dt ( ω własość 5. Przsuięci w dzidzii częstotliwości dowód: d acto dowód idtcz jak poprzdij własości. własość 6. wirdzi o modulacji ( cos α ( ω α ( ω α dowód: iα [ ( ] ( ω α [ ] [ ] iα iα ( cosα I iα iω [ ( cosα] ( d ( iα iω i( ω α i( ω α ( d ( d [ ( ω α ( ω α ] d A il wosi [ ( siα ]?

19 wirdzi o modulacji własość 7. O pochodj w dzidzii czasu Jżli : -sgał s(t i jgo kolj pochod aż do rzędu - są ciągł, - pochoda rzędu istij prawi wszędzi, -sgał i wszstki jgo pochod aż do rzędu posiadają trasormat ourira, czli dostatczi szbko dążą do zra t ±to zachodzi: ( [ ( ] ( iω ( ω dowód: d d ( stąd: d d d d ( ω ( ω { ( ω( iω } ( d d d d iω iω ( iω ( ω i ( ω ω dω dω dω iω dω

20 własość 8. O całkowaiu w dzidzii czasu Jśli ukcja ( spłia astępując waruk: warukowi ograiczoości wrażia ( ω ω ω lim ( t dt to zachodzi: co jst rówoważ ( t dt ( ω iω Dowód: ϕ dϕ ( ( ( t dt ( jsli ( Φ( ω to ( iωφ( ω ( ( ω wic ( ω iωφ( ω ϕ al czli Φ iω d iω ( ω ( ω lub ( t dt ( ω własość 9. widmo splotu dwóch sgałów [ ] ( g( ( ω G( ω dowód: I [ ( g( ] ( t G ( t g( t dt iω iωt iωt ( ω dt G( ω ( t dt G( ω ( ω d ( t g( t iω d dt a podstawi twirdzia o wzajmości moża wioskować, ż zachodzi astępując twirdzi: [ ( g( ] [ ( ω G( ω ] własość. widmo ukcji korlacji dwóch sgałów ( ( t g *( t dt ( ω G ( ω ϕ * g Dowód: wstarcz podstawić do dowodu twirdzia o sploci za g ukcję g *( t

21 własość. wirdzi o wzajmości Raligha ( g *( d ( ω G *( ω dω dowód: ( g *( d iω ( ω dω g *( d iω ( ω ω ( ω ( ω ω g *( d d G d * a podstawi twirdzia o wzajmości moża wioskować, ż zachodzi astępując twirdzi: własość. wirdzi Parsvala ( d ( ω dω dowód: wika wprost z poprzdigo twirdzia. Zstawii wzorów i twirdzń r Własość Wzór Przkształci ourira jst liiow wirdzi o podobiństwi 3 wirdzi o przsuięciu I 4 wirdzi o przsuięciu II 5 wirdzi o przsuięciu trasormat (o modulacji 6 wirdzi o różiczkowaiu 7 wirdzi o różiczkowaiu trasormat 8 wirdzi o całkowaiu 9 wirdzi Parsvala wirdzi o wzajmości Raligha wirdzi o sploci [ ] α ( β ( α ( ω β ( ω ω [ ( α ] α α [ α ] i ( ω α ( ω iα [ ( ] ( ω α [ ( cos α ] [ ( ω α ( ω α ] [ ( ] ( iω ( ω [ ] ( ( i ( ( ω ( t dt ( ω iω ( d ( ω dω ( g( d ( ω G( ω dω [ ] ( g( ( ω G( ω

22 Przdstawim obci związk trasormacji ourira z szrgami ourira. Rozpoczam od rozwiięcia dstrbucji sza w szrg ourira (jst to ukcja okrsowa. δ Obliczm jszcz trasormację ourira ukcji sza. iω ( δ ( c Współcziki rozwiięcia są rów: c iω ( d δ ( gdzi iω ω l ω i ω iω i δ ( d więc δ ( c ich ( będzi sgałm impulsowm okrślom w przdzial (-/,/, zaś(ω jgo widmm. Ozaczm jako (przdłużi okrsow sgału (. Sgał (możm zapisać w postaci: δ iω iω d ( ( δ ( ( δ iω d ( ω ω ω δ ( ω ω iω d a podstawi twirdzia o sploci możm więc otrzmać: ( ( δ ( ( ω ( ω ω δ ( ω czli ω ( ω ( ω ( ω δ ( ω ω δ ozaczając ( ω ( ω ω oraz z uwagi a to, ż widmo sgału okrsowgo ma postać: iω ( ω δ ( ω ω ( otrzmujm ( ( ω i ω pamiętaj δ ( i ω ω ω Wiosk: współcziki rozwiięcia sgału okrsowgo w zspolo szrg ourira są okrślo przz wartości widma środkowgo lmtu tgo sgału w puktach ω.

23 Kilka podstawowch trasormat ourira Cd. podstawowch trasormat ourira